备战2024高考数学二轮复习讲义第1讲 数形结合思想在平面向量中的应用

第1讲数形结合思想在平面向量中的应用数形结合是重要的数学思想,又是常用的数学方法。把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中"数"与"形"相互转化的研究策略,就是数形结合的思想。平面向量加法、减法、数乘和数量积等运算中既有几何意义又有代数意义。因此，在进行有关向量的运算时将“数”与“形”有机地结合起来，有时数转化为形、有时形转化为数，通过这种转化可以更好求解相关问题，而本文会重点就数形结合思想在平面向量中的几类应用展开详细讲解。【应用一】数形结合思想在平面向量建系问题中的应用我们在学习平面向量的综合运用时，经常会遇到求数量积最值及范围的综合问题，这类问题如果用平面向量的基本定理及相关数量积的几何运算，计算量往往偏大且不易求得答案；那有没有简洁且方便的解题方法呢，通过细心读题我们会发现题干中包含“正方形、矩形、菱形、等边三角形、等腰三角形”等特殊几何图形，于是我们可以想到从建系角度建立平面直角坐标系来求解，例如下面这道例题：【例1】（2017·全国·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．本题以等边三角形为载体，是特殊几何图形，如图所示：我们可以以BC边的中点为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，即，，，设，则，，，所以，即可求得最值。【思维提升】通过本题我们不难发现，对于给定“正方形、矩形、菱形、等边三角形、等腰三角形”等特殊几何图形，我们可以依据图形的特殊性来建立平面直角坐标系，进而通过平面向量的坐标运算求解相关问题，可通过学习这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究稍复杂型建系问题。【变式1.1】（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【变式1.2】（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1.3】（2023·天津·校联考一模）如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【应用二】数形结合思想在平面向量投影问题中的应用我们在学习平面向量的数量积及向量投影时，可以运用坐标运算求解，但有时不具备坐标运算条件或不具备建系条件时，我们也可以从定义角度来求解，而向量投影的本质及运算就很重要了，我们不妨先回顾下向量投影的相关知识。（1）若a在b方向上的投影向量为m,则a（2）b在a方向上的投影向量为bcosθ⋅a在b方向上的投影向量为acosθ⋅（3）设a在b上的投影向量为λb,则a对于向量投影或数量积问题求解时，我们可以从定义角度求解，例如下面这道例题：【例2】（2019秋·江苏南通·高三统考）在中，已知为边上的高，为的平分线，，，，则______本题以数量积为背景，实则考查向量的投影问题，如图所示由向量投影可知:AE⋅过点E作EF垂直于AB，交AB于点F,则ABBE所以∠BAE=所以AB【思维提升】通过本题我们不难发现，对于给定数量积为背景考查向量投影问题，我们可以用定义来求解，可通过学习这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究稍复杂型投影问题。【变式2.1】（2020春·四川眉山·高一期中）如图，在半径为的圆中，已知弦的长为，则A． B． C． D．【变式2.2】（2022秋·山东青岛·高三统考）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【变式2.3】（2022·江西南昌·高三南校考）如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，记，则的值为A． B．45 C． D．180【应用三】数形结合思想在平面向量隐圆问题中的应用我们在学习平面向量模长及其相关最值的求解计算中，会遇到形如“的最大值、的最小值”等问题，我们在用坐标运算或向量线性运算把模长表示出来后会发现对应的几何意义为对应圆及圆上一点到对应点或对应直线的最值问题，我们称隐藏的圆为“隐圆”，进而我们可以利用数形结合思想结合几何意义快速求解，例如下面这道例题：【例3.1】（2023·吉林·统考三模）已知，是单位向量，且．若向量满足，则的最大值是．本题由，得，我们可以先建立如图所示的平面直角坐标系，不妨记，设，由，得，所以点C在以Q(1,2)为圆心，1为半径的圆上，进而结合几何意义可求得的最大值【思维提升】通过本题我们不难发现，对于在平面向量模长及其最值的运算中，我们都可以用数形结合的思想结合具体隐圆作出图象，从而可直观用几何意义求解出对应问题，未来我们也可以用同样的方法来研究较为复杂型的隐圆综合问题。【变式3.1】（2023·重庆·统考三模）已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式3.3】（2016·四川·高考真题）已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是A． B． C． D．巩固练习1．（2023·湖南·校联考模拟预测）正八边形上存在一动点（点与，不重合），已知正八边形边长为2，则的最大值为（

）A． B．C． D．2．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别在上，且，点是圆弧上的动点（包括端点），则的最小值为（

）

A． B． C． D．3．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（

）

A． B．3 C． D．484．（2023春·福建福州·高二校联考期末）已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为．（用表示）5．（2018秋·上海闵行·高二闵行中学校考期中）在边长为1的正方形中，若是边上的动点，则6．（2020·江苏苏州·统考一模）如图，已知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为.7．（2020秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）如图，已知半圆的直径，是等边三角形，若点是边（包含端点）上的动点，点在弧上，且满足，则的最小值为．8．（浙江·高考真题）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是A．1 B．2 C． D．9．（2018·浙江·高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是A． B． C．2 D．10．（2021·浙江·模拟预测）已知非零平面向量，，满足，，若与的夹角为，则的最小值为（

）A． B． C． D．第1讲数形结合思想在平面向量中的应用数形结合是重要的数学思想,又是常用的数学方法。把数量关系的研究转化为图形性质的研究,或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究,这种解决问题过程中"数"与"形"相互转化的研究策略,就是数形结合的思想。平面向量加法、减法、数乘和数量积等运算中既有几何意义又有代数意义。因此，在进行有关向量的运算时将“数”与“形”有机地结合起来，有时数转化为形、有时形转化为数，通过这种转化可以更好求解相关问题，而本文会重点就数形结合思想在平面向量中的几类应用展开详细讲解。【应用一】数形结合思想在平面向量建系问题中的应用我们在学习平面向量的综合运用时，经常会遇到求数量积最值及范围的综合问题，这类问题如果用平面向量的基本定理及相关数量积的几何运算，计算量往往偏大且不易求得答案；那有没有简洁且方便的解题方法呢，通过细心读题我们会发现题干中包含“正方形、矩形、菱形、等边三角形、等腰三角形”等特殊几何图形，于是我们可以想到从建系角度建立平面直角坐标系来求解，例如下面这道例题：【例1】（2017·全国·高考真题）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是A． B． C． D．本题以等边三角形为载体，是特殊几何图形，如图所示：我们可以以BC边的中点为坐标原点建立如图的平面直角坐标系，即，，，设，则，，，所以，即可求得最值。【思维提升】通过本题我们不难发现，对于给定“正方形、矩形、菱形、等边三角形、等腰三角形”等特殊几何图形，我们可以依据图形的特殊性来建立平面直角坐标系，进而通过平面向量的坐标运算求解相关问题，可通过学习这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究稍复杂型建系问题。【答案】B【分析】根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，则，，，设，则，，，则当，时，取得最小值，故选：．【变式1.1】（2023·全国·统考高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（

）A． B．3 C． D．5【答案】B【分析】方法一：以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；方法二：建系，利用平面向量的坐标运算求解；方法三：利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解.【详解】方法一：以为基底向量，可知，则，所以；方法二：如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系，则，可得，所以；方法三：由题意可得：，在中，由余弦定理可得，所以.故选：B.【变式1.2】（2022·北京·统考高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依题意建立平面直角坐标系，设，表示出，，根据数量积的坐标表示、辅助角公式及正弦函数的性质计算可得；【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D【变式1.3】（2023·天津·校联考一模）如图所示，梯形中，，点为的中点，，，若向量在向量上的投影向量的模为4，设、分别为线段、上的动点，且，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由向量的运算及投影向量的模求出梯形的直角边长，再建立平面直角坐标系，利用坐标运算得出关于的函数，利用对勾函数单调性求最值即可得解.【详解】，，梯形为直角梯形，，，即，由，同理可得，又向量在向量上的投影向量的模为4，所以，以B为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，则，，所以，由且可得，令，则由对勾函数单调性知，当时单调递减，时单调递增，故，由知，，故，故选：D【应用二】数形结合思想在平面向量投影问题中的应用我们在学习平面向量的数量积及向量投影时，可以运用坐标运算求解，但有时不具备坐标运算条件或不具备建系条件时，我们也可以从定义角度来求解，而向量投影的本质及运算就很重要了，我们不妨先回顾下向量投影的相关知识。（1）若a在b方向上的投影向量为m,则a（2）b在a方向上的投影向量为bcosθ⋅a在b方向上的投影向量为acosθ⋅（3）设a在b上的投影向量为λb,则a对于向量投影或数量积问题求解时，我们可以从定义角度求解，例如下面这道例题：【例2】（2019秋·江苏南通·高三统考）在中，已知为边上的高，为的平分线，，，，则______本题以数量积为背景，实则考查向量的投影问题，如图所示由向量投影可知:AE⋅过点E作EF垂直于AB，交AB于点F,则ABBE所以∠BAE=所以AB【思维提升】通过本题我们不难发现，对于给定数量积为背景考查向量投影问题，我们可以用定义来求解，可通过学习这一道题会一类题的效果。未来我们也可以用同样的方法来研究稍复杂型投影问题。【答案】【详解】解：法二,,,,又,,,设,则,且,解得,．故答案为：【变式2.1】（2020春·四川眉山·高一期中）如图，在半径为的圆中，已知弦的长为，则A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：由于为半径，圆心，为弦，故在上的投影为考点：平面向量的数量积【变式2.2】（2022秋·山东青岛·高三统考）已知的外接圆圆心为O，且，，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据条件作图可得为直角三角形，结合条件，并根据根据投影向量的概念求解即可【详解】所以外接圆圆心为的中点，即为外接圆的直径，所以,如图：因为，所以，即，所以，向量在向量上的投影数量为：故选：A【变式2.3】（2022·江西南昌·高三南校考）如图，三个边长为2的等边三角形有一条边在同一直线上，边上有10个不同的点，记，则的值为A． B．45 C． D．180【答案】D【详解】因为与垂直,设垂足为，所以在投影为，，从而的值为选D.【应用三】数形结合思想在平面向量隐圆问题中的应用我们在学习平面向量模长及其相关最值的求解计算中，会遇到形如“的最大值、的最小值”等问题，我们在用坐标运算或向量线性运算把模长表示出来后会发现对应的几何意义为对应圆及圆上一点到对应点或对应直线的最值问题，我们称隐藏的圆为“隐圆”，进而我们可以利用数形结合思想结合几何意义快速求解，例如下面这道例题：【例3.1】（2023·吉林·统考三模）已知，是单位向量，且．若向量满足，则的最大值是．本题由，得，我们可以先建立如图所示的平面直角坐标系，不妨记，设，由，得，所以点C在以Q(1,2)为圆心，1为半径的圆上，进而结合几何意义可求得的最大值【思维提升】通过本题我们不难发现，对于在平面向量模长及其最值的运算中，我们都可以用数形结合的思想结合具体隐圆作出图象，从而可直观用几何意义求解出对应问题，未来我们也可以用同样的方法来研究较为复杂型的隐圆综合问题。【答案】/【分析】由题意建立平面直角坐标系，设，根据条件确定确定点C在以(1,2)为圆心，1为半径的圆上，结合圆的几何性质，可求得答案.【详解】由，得，建立如图所示的平面直角坐标系，则，设，由，得，所以点C在以Q(1,2)为圆心，1为半径的圆上.所以故答案为：【变式3.1】（2023·重庆·统考三模）已知均为单位向量，且夹角为，若向量满足，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将向量的起点平移到原点，设向量，，的终点分别为，将化为，得点在以为直径的圆上，利用圆的知识可求出结果.【详解】将向量的起点平移到原点，设向量，，的终点分别为，则，，由得，得，则点在以为直径的圆上，因为均为单位向量，且夹角为，不妨设，，则，，所以以为直径的圆的圆心，半径为，又，所以，即的最大值为.故选：D【变式3.2】（2023·全国·高三专题练习）已知单位向量与向量垂直，若向量满足，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意不妨设，设，由模的坐标表示得点在圆上，由的几何意义，只要求得圆心到原点的距离后可得结论．【详解】由题意不妨设，设，则．∵，∴，即表示圆心为，半径为1的圆，设圆心为P，∴．∵表示圆P上的点到坐标原点的距离，，∴的取值范围为，故选：C．【变式3.3】（2016·四川·高考真题）已知正三角形ABC的边长为，平面ABC内的动点P，M满足，，则的最大值是A． B． C． D．【答案】B【详解】设D为三角形ABC的外心，如图可得.以为原点，直线为轴建立平面直角坐标系，则设由已知，得，又，它表示圆上的点与点的距离的平方的，，故选B.【考点】向量的夹角，解析几何中与圆有关的最值问题【名师点睛】本题考查平面向量的夹角与向量的模，由于结论是要求向量模的平方的最大值，因此我们要把它用一个参数表示出来，解题时首先对条件进行化简变形，本题中得出，且，因此我们采用解析法，即建立直角坐标系，写出点的坐标，同时动点的轨迹是圆，则，因此可用圆的性质得出最值．因此本题又考查了数形结合的数学思想．巩固练习1．（2023·湖南·校联考模拟预测）正八边形上存在一动点（点与，不重合），已知正八边形边长为2，则的最大值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由平面向量数量积的几何意义分析可知，当点运动到点时，取得最大值，然后建立平面直角坐标系利用坐标计算即可.【详解】，由平面向量数量积的几何意义可知，当最大，即在方向上投影最大时，最大，由图可知当点运动到点时，在方向上投影取得最大.如图：建立平面直角坐标系，则，，，所以，.所以的最大值为故选：D2．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知是半径为2，圆心角为的扇形，点分别在上，且，点是圆弧上的动点（包括端点），则的最小值为（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，则，利用平面向量的坐标运算得，结合基本不等式即可求得最值.【详解】如图，以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系

则，设，则，所以，因为，所以，又，则，所以，当且仅当时，等号成立则的最大值为，所以的最大值为，即的最小值为.故选：A.3．（2023·重庆巴南·统考一模）如图所示，正方形的边长为2，点，，分别是边，，的中点，点是线段上的动点，则的最小值为（

）

A． B．3 C． D．48【答案】A【分析】建立平面直角坐标系，设，，（），即可得到、，根据数量积的坐标表示得到，再结合二次函数的性质计算可得.【详解】如图建立平面直角坐标系，则、、、，设，，（），则，所以，所以，即，所以，，所以，又，所以当时取得最小值为.

故选：A4．（2023春·福建福州·高二校联考期末）已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为．（用表示）【答案】【分析】根据投影向量的计算公式求解即可.【详解】因为向量，的夹角为，且，，所以，向量在向量上的投影向量为.故答案为:.5．（2018秋·上海闵行·高二闵行中学校考期中）在边长为1的正方形中，若是边上的动点，则【答案】【分析】将正方形放入平面直角坐标系中,分别标出、、、四点的坐标,进而得到为,分别写出,的坐标后求解即可【详解】将正方形放入平面直角坐标系中,如图,则,,,可设为,则,,故,故答案为：1【点睛】本题考查数量积的计算,考查坐标法表示向量,考查运算能力6．（2020·江苏苏州·统考一模）如图，已知半圆的直径，点是弦（包含端点，）上的动点，点在弧上．若是等边三角形，且满足，则的最小值为.【答案】8【分析】建系，设，表示出点坐标，则，根据的范围得出答案．【详解】解：以为原点建立平面坐标系如图所示：则，，，，设，则，，，，，，，显然当取得最大值4时，取得最小值8．故答案为：8．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算，坐标运算，属于中档题．7．（2020秋·上海嘉定·高二上海市嘉定区第一中学校考期中）如图，已知半圆的直径，是等边三角形，若点是边（包含端点）上的动点，点在弧上，且满足，