(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题05空间角的向量求法重难点专练(原卷版+解析)

专题05空间角的向量求法重难点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海·华师大二附中高二期末）如图，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为θ，则（）A． B． C． D．2．(2023·上海·高三月考）如图，点､､分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设二面角的大小为，则（）A． B． C． D．3．(2023·上海奉贤区致远高级中学高二期中）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．4．(2023·上海虹口·高二期中）阅读材料：空间直角坐标系O﹣xyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为＝（a，b，c）的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0；过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为＝（u，v，w）（uvw≠0）的直线l的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y﹣2z﹣4＝0，直线l是两平面3x﹣2y﹣7＝0与2y﹣z+6＝0的交线，则直线l与平面α所成角的大小为（）A．arcsin B．arcsinC．arcsin D．arcsin5．(2023·上海市徐汇中学高二月考）过平面外一点引斜线段、以及垂线段，若与所成角是，，，则线段长的取值范围是（）A． B． C． D．6．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高二期中）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，的中点为，底面，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．7．(2023·上海·复旦附中高三开学考试）在正方体中，点O为线段BD的中点.设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．(2023·上海·曹杨二中高二期末）在正方体中，点（异于点）是棱上一点，则满足与，所成的角为45°的点的个数为A．0 B．3 C．4 D．69．(2023·上海中学高二期末）a，b为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以为旋转轴选择，有下列结论：①当直线与a成60°角时，与b成30°角；②当直线与a成60°角时，与b成60°角；③直线与a所成角的最小值为45°；④直线与a所成角的最大值为60°；其中正确的是_______.（填写所以正确结论的编号）.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④10．(2023·上海市控江中学高二期中）如图，平面平面，，，．平面内一点P满足，记直线与平面所成角为，则的最大值是（）A． B． C． D．二、填空题11．(2023·上海市七宝中学高二期末）已知，，则直线和所成角的余弦值是__________．12．(2023·上海交大附中高二开学考试）已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，若l⊥α，则m+n=____.13．(2023·上海·华师大二附中高二月考）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、BB1的中点，则异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为__________．14．(2023·上海市甘泉外国语中学高二期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、CC1的中点，异面直线A1E与B1F所成角的余弦值是___.15．(2023·上海市行知中学高二期中）在棱长为的正方形中，，分别是和的中点，则直线与所成角的余弦值为___．16．(2023·上海·曹杨二中高二月考）若平面的法向量，直线的方向向量为，则与所成角的大小为___________.17．(2023·上海市七宝中学高三开学考试）直线的一个方向向量，直线的一个法向量，则直线与直线的夹角是______18．(2023·上海·高三月考）在长方体中，，分别为棱，的中点，若，则异面直线与所成的角为________.19．(2023·上海·华师大二附中高二期中）正方体中，与平面所成角的正弦值为___________.20．(2023·上海市建平中学高二期中）正方体中，是线段上的一个动点，则直线与平面所成角的范围是________（结果用反三角函数表示）三、解答题21．(2023·上海中学高二期中）如图，在圆柱中，它的轴截面是一个边长为2的正方形，点C为棱的中点，点为弧的中点．(1)求异面直线OC与所成角的大小；(2)求直线与圆柱底面所成角的正弦值.22．(2023·上海·复旦附中高二期中）已知三棱锥中，(1)若，且二面角为，求三棱锥体积．(2)若，面面，D是的中点，设Q是线段上的动点，当与所成角取得最小值时，求线段的长度．23．(2023·上海市复兴高级中学高二期末）如图，已知菱形中，，直角梯形中，，，，分别为中点，平面平面.(1)求证：平面；(2)异面直线与所成角的大小；(3)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.24．(2023·上海金山·高二期末）如图，在直棱柱中，已知，点分别的中点.(1)求异面直线与所成的角的大小；(2)求点到平面的距离；(3)在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成的角的大小是?若存在，请指出点的位置，若不存在，请说明理由.25．(2023·上海市南洋模范中学高二期中）如图，在平行六面体中，，，平面，与底面所成角为，设直线与平面､平面､平面所成角的大小分别为，，.(1)若，求平行六面体的体积的取值范围；(2)若且，求，，中的最大值；(3)若，，，，（其中，是指，中的最大的数），求的最小值.专题05空间角的向量求法重难点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海·华师大二附中高二期末）如图，点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，设二面角的大小为θ，则（）A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】利用直接求解．【详解详析】∵点、、分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，平面的法向量为，二面角的大小为θ，故选：C．2．(2023·上海·高三月考）如图，点､､分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，，，，设二面角的大小为，则（）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】先求出平面和平面的法向量，再利用二面角公式求解即可.【详解详析】因为，，，所以，，设平面的法向量为，则即取又因为平面的法向量为，所以故选：B3．(2023·上海奉贤区致远高级中学高二期中）在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为A． B． C． D．【标准答案】C【详解详析】分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.4．(2023·上海虹口·高二期中）阅读材料：空间直角坐标系O﹣xyz中，过点P（x0，y0，z0）且一个法向量为＝（a，b，c）的平面α的方程为a（x﹣x0）+b（y﹣y0）+c（z﹣z0）＝0；过点P（x0，y0，z0）且一个方向向量为＝（u，v，w）（uvw≠0）的直线l的方程为，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y﹣2z﹣4＝0，直线l是两平面3x﹣2y﹣7＝0与2y﹣z+6＝0的交线，则直线l与平面α所成角的大小为（）A．arcsin B．arcsinC．arcsin D．arcsin【标准答案】B【思路指引】先根据两个平面的方程，求出平面交线的方向向量，结合已知平面的方程确定平面的法向量，然后求解.【详解详析】平面α的法向量为＝（1，2，﹣2），联立方程组，令x＝1，得y＝﹣2，z＝2，令x＝3，得y＝1，z＝8，故点P（1，﹣2，2）和点Q（3，1，8）为直线l的两个点，∴＝（2，3，6）为直线l的方向向量，∵，∴直线l与平面α所成角的正弦值为，故选B．【名师指路】本题主要考查直线和平面所成角的正弦，属于信息提供题目，理解题中所给的信息是求解关键.5．(2023·上海市徐汇中学高二月考）过平面外一点引斜线段、以及垂线段，若与所成角是，，，则线段长的取值范围是（）A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】画出已知图形，可得出是以为斜边的直角三角形，求出的长度，则线段长的范围即可求出.【详解详析】如下图所示：，，.又，，、平面，平面.平面，，在中，，，.在平面内，要使得是以为斜边的直角三角形，则，即，因此，线段长的取值范围是.故选C.【名师指路】本题考查线段长度的取值范围的求解，同时也考查了线面角的定义，解题的关键就是推导出线面垂直，得出线线垂直关系，从而构造直角三角形来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题.6．(2023·上海·华东师范大学第三附属中学高二期中）已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，的中点为，底面，则异面直线与所成角的余弦值为（）A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法可求得异面直线与所成角的余弦值.【详解详析】设三棱柱的棱长为，，为的中点，则，平面，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如下图所示：则点、、，所以，，.因此，异面直线与所成角的余弦值为.故选：D.【名师指路】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.7．(2023·上海·复旦附中高三开学考试）在正方体中，点O为线段BD的中点.设点P在线段上，直线OP与平面所成的角为，则的取值范围是（）A． B． C． D．【标准答案】B【思路指引】建立三维直角坐标系，求出平面的法向量，然后求出OP与法向量夹角的余弦值就是直线OP与平面所成的角正弦.【详解详析】设正方形的棱长为1，分别以、、为，，轴正方向建立直角坐标系，令，则，，，，，设平面的法向量为由解得平面的一个法向量为故选：B8．(2023·上海·曹杨二中高二期末）在正方体中，点（异于点）是棱上一点，则满足与，所成的角为45°的点的个数为A．0 B．3 C．4 D．6【标准答案】B【思路指引】建立空间坐标系，通过分类讨论，利用向量法求异面直线所成的夹角，即可找出满足条件的点P的个数．【详解详析】如图建立坐标系，不妨设棱长，则，，①在中，，因此．同理,,与成角都为．故当P位于棱,,上时，与所成角都为，故不满足条件．②当点P位于棱AD上时，设，，则，，若，满足于所成角为，则，即，无正数解（舍），同理当P位于上时，也不符合题意．③当P位于棱上时，设，则，，若满足于所成角为，则，即，因为，所以，满足条件，此时．④同理可求得棱上一点，棱上一点也满足题意，其它棱上没有满足条件的点P．综上，满足条件的P点共有3个，故选B【名师指路】本题考查线线角的求法，即求两条直线方向向量夹角，通过推理分析，即可求解，计算难度较大，属中档题．9．(2023·上海中学高二期末）a，b为空间两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与a，b都垂直，斜边以为旋转轴选择，有下列结论：①当直线与a成60°角时，与b成30°角；②当直线与a成60°角时，与b成60°角；③直线与a所成角的最小值为45°；④直线与a所成角的最大值为60°；其中正确的是_______.（填写所以正确结论的编号）.A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【标准答案】C【思路指引】由题意知，、、三条直线两两相互垂直，构建如图所示的边长为1的正方体，，，斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，以坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．【详解详析】解：由题意知，、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故，，斜边以直线为旋转轴，则点保持不变，点的运动轨迹是以为圆心，1为半径的圆，以坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，直线的方向单位向量，1，，，直线的方向单位向量，0，，，设点在运动过程中的坐标中的坐标，，，其中为与的夹角，，，在运动过程中的向量，，，，，设与所成夹角为，，则，，，，③正确，④错误．设与所成夹角为，，，当与夹角为时，即，，，，，，，此时与的夹角为，②正确，①错误．故选：．【名师指路】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．10．(2023·上海市控江中学高二期中）如图，平面平面，，，．平面内一点P满足，记直线与平面所成角为，则的最大值是（）A． B． C． D．【标准答案】A【思路指引】如图建立空间直角坐标系，令，即可得到、的坐标，设，根据，则，即可得到，再求出平面的法向量，依题意根据正弦函数、正切函数的单调可知，要求的最大值，即可求的最大值，利用空间向量法表示出线面角的正弦值，再根据函数的性质求出的最大值，从而根据同角三角函数的基本关系求出；【详解详析】解：如图以平面为平面，平面为平面，建立如图所示空间直角坐标系，令，则，，显然平面的法向量可以为，设，则，，，因为，所以，即，因为直线与平面所成角为，因为，显然，即，因为与在均单调递增，要求的最大值，即可求的最大值，所以，所以当时，又，所以故选：A二、填空题11．(2023·上海市七宝中学高二期末）已知，，则直线和所成角的余弦值是__________．【标准答案】【思路指引】利用向量夹角余弦函数公式直接求解即可．【详解详析】设直线和所成角为，，1，，，0，，．直线和所成角的余弦值为．故答案为：．【名师指路】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查向量夹角余弦函数公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．12．(2023·上海交大附中高二开学考试）已知直线l的一个方向向量，平面α的一个法向量，若l⊥α，则m+n=____.【标准答案】-16【思路指引】由l⊥α得，结合向量坐标关系即可求解．【详解详析】∵l⊥α，∴，又，，∴==，解得m=-6，n=-10，∴m+n=-16．故答案为：-1613．(2023·上海·华师大二附中高二月考）正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、BB1的中点，则异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为__________．【标准答案】或者0.4【思路指引】建立空间直角坐标系，利用异面直线所成角的向量求法求解.【详解详析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为2，则A1（2，0，2），E（2，1，0），C1（0，2，2），F（2，2，1），＝（0，1，﹣2），＝（2，0，﹣1），设异面直线A1E与C1F所成角为，则异面直线A1E与C1F所成角的余弦值为：cos＝＝．故答案为：．14．(2023·上海市甘泉外国语中学高二期中）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是棱AB、CC1的中点，异面直线A1E与B1F所成角的余弦值是___.【标准答案】或者0.4【思路指引】建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解详析】建立如图所示空间直角坐标系：设正方体的棱长为2，则，所以，则，所以异面直线A1E与B1F所成角的余弦值是，故答案为：15．(2023·上海市行知中学高二期中）在棱长为的正方形中，，分别是和的中点，则直线与所成角的余弦值为___．【标准答案】或者0.4【思路指引】以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，求出、的坐标，由利用空间向量夹角公式即可求解.【详解详析】如图：以为原点，分别以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，所以直线与所成角的余弦值为，故答案为：.16．(2023·上海·曹杨二中高二月考）若平面的法向量，直线的方向向量为，则与所成角的大小为___________.【标准答案】##【思路指引】设直线与平面所成角为，则，直接利用直线与平面所成的角的向量计算公式，即可求出直线与平面所成的角．【详解详析】解：已知直线的方向向量为，平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，，，所以直线与平面所成角为.故答案为：.17．(2023·上海市七宝中学高三开学考试）直线的一个方向向量，直线的一个法向量，则直线与直线的夹角是______【标准答案】【思路指引】先求得直线的一个方向向量,先用两个方向向量的数量积的定义，求得直线与直线的夹角的余弦值,可得直线与直线的夹角．【详解详析】解：直线的一个方向向量,直线的一个法向量,故直线的一个方向向量,设直线与直线的夹角是,则，,故答案为:.【名师指路】本题主要考查两个向量的数量积的定义,直线的方向向量和法向量,属于基础题.18．(2023·上海·高三月考）在长方体中，，分别为棱，的中点，若，则异面直线与所成的角为________.【标准答案】【思路指引】建立空间直角坐标系，结合，求出的坐标，利用向量夹角公式可求.【详解详析】以为坐标原点,所在直线分别为轴,建立空间直角坐标系,如图,设,则,,,因为,所以,即有.因为,所以,即异面直线和所成角为.故答案为：.【名师指路】本题主要考查异面直线所成角的求解，异面直线所成角主要利用几何法和向量法，几何法侧重于把异面直线所成角平移到同一个三角形内，结合三角形知识求解；向量法侧重于构建坐标系，利用向量夹角公式求解.19．(2023·上海·华师大二附中高二期中）正方体中，与平面所成角的正弦值为___________.【标准答案】【思路指引】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解详析】设正方体的棱长为，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，则、、、、，设平面的法向量为，，，由，取，则，，.因此，与平面所成角的正弦值为.故答案为：.20．(2023·上海市建平中学高二期中）正方体中，是线段上的一个动点，则直线与平面所成角的范围是________（结果用反三角函数表示）【标准答案】【思路指引】建立合适的空间直角坐标系，求出平面的法向量，用参数表示点坐标，根据线面角的向量公式并结合未知数的范围求解，最后转化为反三角函数形式即可.【详解详析】如图，以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为.则，所以，.又因为是线段上的一个动点，所以,.所以,所以.设平面的一个法向量为，则，即，令得.设直线与平面所成角为，则.又因为，显然，当时，，此时；当时，，此时.直线与平面所成角的范围是.故答案为:三、解答题21．(2023·上海中学高二期中）如图，在圆柱中，它的轴截面是一个边长为2的正方形，点C为棱的中点，点为弧的中点．(1)求异面直线OC与所成角的大小；(2)求直线与圆柱底面所成角的正弦值.【标准答案】(1)(2)【思路指引】（1）用向量法求解即可；（2）用向量法求解即可；(1)以为原点，直线分别为轴，建立如图所示的坐标系，则，，于是，所以，所以异面直线OC与所成角的大小为；(2)是圆柱底面的一个法向量，又，设直线与圆柱底面所成角的大小为，则，直线与圆柱底面所成角的正弦值为；22．(2023·上海·复旦附中高二期中）已知三棱锥中，(1)若，且二面角为，求三棱锥体积．(2)若，面面，D是的中点，设Q是线段上的动点，当与所成角取得最小值时，求线段的长度．【标准答案】(1)；(2).【思路指引】（1）取的中点，连接，由题意得出，从而可求出棱锥的高，然后利用棱锥的体积公式即可求出答案.（2）建立空间直角坐标系，计算向量与，根据取最大值时，求线段的长度即可．(1)取的中点，连接，因为，所以，所以为二面角的一个平面角，即，又因为，所以，设三棱锥的高为，则，所以.(2)因为，所以由余弦定理，得，，所以为钝角，因为面面，且面面，所以过作的垂线，交的延长线于点，连接，则面，，所以以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰直角三角形和中，，所以，设，，，则，设，设直线与所成的角为，则，令，所以，令，因为，所以，当时，，单调递增；时，，单调递减，所以当时，函数取最大值，且最大值为，所以，所以当与所成角取得最小值时，线段的长度为.23．(2023·上海市复兴高级中学高二期末）如图，已知菱形中，，直角梯形中，，，，分别为中点，平面平面.(1)求证：平面；(2)异面直线与所成角的大小；(3)线段上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.【标准答案】(1)证明见解析(2)(3)存在，【思路指引】（1）根据题意得，进而结合平面平面即可证明平面；（2）根据题意，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；（3）假设存在，设，，再根据线面角的向量法求解即可.(1)证明：因为在菱形中，，所以为等边三角形，因为分别为中点，所以因为平面平面，平面平面，平面.所以平面.(2)解：因为直角梯形中，，，平面，所以，以点为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，因为，所以，，，，，，，所以，，所以，所以异面直线与所成角的大小为(3)解：假设线段上是存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时，则，由（1）知平面的法向量为，设直线与平面所成角为，则，解得所以线段上是存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.24．(2023·上海金山·高二期末）如图，在直棱柱中，已知，点分别的中点.(1)求异面直线与所