(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题09数列新定义难点综合专练(原卷版+解析)

专题09数列新定义难点综合专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．数列是等比数列，是其前n项之积，若，则的值是（）A．1024 B．256 C．2 D．5122．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，则该数列的第7项为（）A．95 B．131 C．139 D．1413．若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”．现有以下数列：①；②；③；④；其中是数列的有（）．A．①③ B．②④ C．②③ D．①④4．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（）A． B． C． D．5．单调递增的数列中共有项，且对任意，和中至少有一个是中的项，则的最大值为（）A．9 B．8 C．7 D．66．对于，，若正整数组满足，，则称为的一个拆，设中全为奇数，偶数时拆的个数分别为，，则（）A．存在，使得 B．不存在，使得C．存在，使得 D．不存在，使得7．对于数列若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为有界数列.记是数列的前项和，下列说法错误的是（）A．首项为1，公比为的等比数列是有界数列B．若数列是有界数列，则数列是有界数列C．若数列是有界数列，则数列是有界数列D．若数列、都是有界数列，则数列也是有界数列8．若数列满足：，，，使得对于，都有，则称具有“三项相关性”下列说法正确的有（）①若数列是等差数列，则具有“三项相关性”②若数列是等比数列，则具有“三项相关性”③若数列是周期数列，则具有“三项相关性”④若数列具有正项“三项相关性”，且正数，满足，，数列的通项公式为，与的前项和分别为，，则对，恒成立．A．③④ B．①②④ C．①②③④ D．①②9．定义【】为“函符数列”，且有“函符数列”【】满足.例如，数列满足，则当m=1时，.用表示当m=1时的值.已知数列满足，则（）（注：的值等于a，b，c中最大的值，的值等于a，b，c中最小的值）A． B．C． D．10．若数列满足，则下列说法错误的是（）A．存在数列使得对任意正整数p，q都满足B．存在数列使得对任意正整数p，q都满足C．存在数列使得对任意正整数p，q都满足D．存在数列使得对任意正整数p，q部满足二、填空题11．某项测试有道必答题，甲和乙参加该测试，分别用数列和记录他们的成绩．若第题甲答对，则，若第题甲答错，则；若第题乙答对，则，若第题乙答错，则．已知，且只有题甲和乙均答错，则甲至少答对______________________道题．12．对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________．13．在数列中，，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确的序号是________．14．数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(LeonardoFibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为__________．15．已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列.表示不超过x的最大整数，如，则数列的前35项和为___________.三、解答题16．已知数列，其中，且.若数列满足，，当时，或，则称为数列A的“紧数列”.例如，数列A：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.(1)直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”；(2)已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为；(3)已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”.若数列A存在“强紧数列”，求的最小值.（用关于N的代数式表示）17．若有穷数列且满足，则称为M数列．(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由；①1，2，4，3．②4，2，8，1．(2)已知M数列中各项互不相同．令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；(3)已知M数列是且个连续正整数的一个排列．若，求的所有取值．18．设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质．(1)若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；(2)若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；(3)对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)19．已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列.若对任意的，（），与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质.(1)判断数列，，，是否具有性质，并说明理由；(2)设数列具有性质，求证：；(3)若数列具有性质，且不是等差数列，求项数的所有可能取值.20．已知数列满足以下条件：①，且；②共有100项，且各项互不相等．定义数列为数列的一个“10阶连续子列”．(1)若的通项公式为，写出的一个“10阶连续子列”，并求其各项和；(2)求证：对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于505；(3)若对于每个，都至少有一个10阶连续子列的各项和不小于正整数，求的最大值．专题09数列新定义难点综合专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．数列是等比数列，是其前n项之积，若，则的值是（）A．1024 B．256 C．2 D．512【标准答案】D【思路指引】设数列的公比为q，由已知建立方程求得q，再利用等比数列的通项公式可求得答案.【详解详析】解：因为数列是等比数列，是其前n项之积，，设数列的公比为q，所以，解得，所以，故选：D.2．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，他所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，5，11，21，37，61，则该数列的第7项为（）A．95 B．131 C．139 D．141【标准答案】A【思路指引】利用已知条件，推出数列的差数的差组成的数列是等差数列，转化求解即可【详解详析】由题意可知，1，5，11，21，37，61，……，的差的数列为4，6，10，16，24，……，则这个数列的差组成的数列为：2，4，6，8，……，是一个等差数列，设原数列的第7项为，则，解得，所以原数列的第7项为95，故选：A若数列满足：对任意的，总存在，使，则称是“数列”．现有以下数列：①；②；③；④；其中是数列的有（）．A．①③ B．②④ C．②③ D．①④【标准答案】D【思路指引】利用特殊值的方法可以否定②③,再根据通项公式的特点证明①④即可【详解详析】①,则,,则,故①是“数列”；②,则,若,则只能是1,2,但,,此时,故②不是“数列”；③,则,若,则只能是1,2,但,,此时,故③不是“数列”；④,则,，则,故④是“数列”故选：D【名师指路】本题考查数列的通项公式的应用,考查对新定义的理解,考查分析阅读能力,考查推理论证能力4．0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列满足，且存在正整数，使得成立，则称其为0-1周期序列，并称满足的最小正整数为这个序列的周期.对于周期为的0-1序列，是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1序列中，满足的序列是（）A． B． C． D．【标准答案】C【思路指引】根据新定义，逐一检验即可【详解详析】由知，序列的周期为m，由已知，，对于选项A，，不满足；对于选项B，，不满足；对于选项D，，不满足；故选：C【点晴】本题考查数列的新定义问题，涉及到周期数列，考查学生对新定义的理解能力以及数学运算能力，是一道中档题.5．单调递增的数列中共有项，且对任意，和中至少有一个是中的项，则的最大值为（）A．9 B．8 C．7 D．6【标准答案】C假设是中大于0的最大的4项，由题意得和中至少有一个是中的项，得到，进而得到和都不是中的项，再由题意得和中至少有一个是中的项，得到以，得出中大于0的最多有3项，进而得出存在数列满足题意，得到答案.【详解详析】假设是中大于0的最大的4项，对于来说，因为，所以和都不是中的项，又由题意得和中至少有一个是中的项，所以是中的项，且，所以，对于来说，因为，所以和都不是中的项，又由题意得和中至少有一个是中的项，所以是中的项，且，所以，所以，矛盾，所以中大于0的最多有3项，同理，中小于0的最多有3项，加上0，故的最大值为7，此时存在数列满足题意.故选C.【名师指路】与数列的新定义有关的问题的求解策略：1、通过给出一个新的数列的定义，或约定一种新的运算，或给出几个新模型来创设新问题的情景，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实心信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决.6．对于，，若正整数组满足，，则称为的一个拆，设中全为奇数，偶数时拆的个数分别为，，则（）A．存在，使得 B．不存在，使得C．存在，使得 D．不存在，使得【标准答案】D【思路指引】任意的，至少存在一个全为1的拆分，判断选项A；当为奇数时，判断能否是全偶拆分，判断选项B；选项，可以举例发现规律，判断选项.【详解详析】对于任意的，至少存在一个全为1的拆分，故A错误；当为奇数时，，故B错误；当为偶数时，是每个数均为偶数的分拆，则它至少对应了和的均为奇数的拆，当时，偶数拆为，奇数拆为，；当时，偶数拆为，，奇数拆为，；故当时，对于偶数的拆，除了各项不全为1的奇数拆分外，至少多出一项各项均为1的拆，故，故C错误，D正确.故选：D【名师指路】关键点点睛：本题考查新定义，关键是读懂题意，理解定义，并能根据选项举例解决问题.7．对于数列若存在常数，对任意的，恒有，则称数列为有界数列.记是数列的前项和，下列说法错误的是（）A．首项为1，公比为的等比数列是有界数列B．若数列是有界数列，则数列是有界数列C．若数列是有界数列，则数列是有界数列D．若数列、都是有界数列，则数列也是有界数列【标准答案】B【思路指引】根据有界数列的定义，利用不等式放缩，可判断A、C正确；设，可判断B错误；根据数列和数列的有界性，用和来控制，即可选项D.【详解详析】解：对A:设满足题设的等比数列为，则，当时，，所以，即，所以首项为1，公比为的等比数列是有界数列，故A正确；对B:事实上，设，则，易知数列是有界数列，而此时，所以，由的任意性，知数列不是有界数列，故B错误；对C：因为数列是有界数列，所以存正数，对任意有，即，于是，所以数列是有界数列，故C正确；对D：若数列、都是有界数列，则存在正数，，使得对任意，有；，又因为同理，可得，所以，所以，数列也是有界数列，故D正确.故选：B【名师指路】关键点点睛：本题的关键在于读懂题目，准确把握“有界数列”的定义.8．若数列满足：，，，使得对于，都有，则称具有“三项相关性”下列说法正确的有（）①若数列是等差数列，则具有“三项相关性”②若数列是等比数列，则具有“三项相关性”③若数列是周期数列，则具有“三项相关性”④若数列具有正项“三项相关性”，且正数，满足，，数列的通项公式为，与的前项和分别为，，则对，恒成立．A．③④ B．①②④ C．①②③④ D．①②【标准答案】B【思路指引】根据题目给出的“三项相关性”的定义，逐项验证即可.【详解详析】①若为等差数列，则有即，①正确②，，（）即易知，显然成立时，，取有，也成立，所以②正确③周期数列：0，0，1，0，0，1，时，，显然不成立，③错误④即，∴，易知即，，故：，④正确综上：①②④正确故选：B9．定义【】为“函符数列”，且有“函符数列”【】满足.例如，数列满足，则当m=1时，.用表示当m=1时的值.已知数列满足，则（）（注：的值等于a，b，c中最大的值，的值等于a，b，c中最小的值）A． B．C． D．【标准答案】B【详解详析】解析征集10．若数列满足，则下列说法错误的是（）A．存在数列使得对任意正整数p，q都满足B．存在数列使得对任意正整数p，q都满足C．存在数列使得对任意正整数p，q都满足D．存在数列使得对任意正整数p，q部满足【标准答案】C【思路指引】根据题意，找到合适的数列满足递推关系，或举反例否定.对选项，找到，且满足题意；对选项，找到，且满足题意；对选项，找到与题设矛盾；对选项，找到满足题意；【详解详析】对选项，令，且，则有：，故选项正确；对选项，由，得：令，则当时，数列满足题设，所以B正确；对选项，由，令，得，，，，令，得，，，则，，从而，与矛盾，所以错误；对选项，存在数列，比如，则有：，故选项正确；故选：【名师指路】需要熟悉常见函数的运算规则，比如对数运算、指数运算等，注意类比常见函数的运算性质，寻找恰当的数列；否定命题，赋值举反例，发现矛盾.二、填空题11．某项测试有道必答题，甲和乙参加该测试，分别用数列和记录他们的成绩．若第题甲答对，则，若第题甲答错，则；若第题乙答对，则，若第题乙答错，则．已知，且只有题甲和乙均答错，则甲至少答对______________________道题．【标准答案】【思路指引】设出甲和乙均答对的题数，表示出恰有人答对的题数，再依据条件列式求解即得.【详解详析】设甲和乙均答对的题数为，则甲和乙中恰有人答对的题数为，依题意，若第题甲和乙均答对，则，若第题甲和乙恰有人答对，则，若第题甲和乙均答错，则，于是得，解得，即甲和乙有题均答对，剩余题目甲可能都答错，所以甲至少答对道题.故答案为：2212．对任一实数序列A＝(a1，a2，a3，…)，定义新序列ΔA＝(a2－a1，a3－a2，a4－a3，…)，它的第n项为an＋1－an.假定序列Δ(ΔA)的所有项都是1，且a12＝a22＝0，则a2＝________．【标准答案】100【思路指引】结合新定义，令bn＝an＋1－an，由题可知{bn}为公差为1的等差数列，求得，列式得a1＝a1，a2－a1＝b1，…，an－an－1＝bn－1，叠加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1，结合等差数列前项和公式化简可得an＝(n－1)a2－(n－2)a1＋，令n＝12，n＝22解方程可求.【详解详析】令bn＝an＋1－an，依题意知数列{bn}为等差数列，且公差为1，所以bn＝b1＋(n－1)×1，a1＝a1，a2－a1＝b1，a3－a2＝b2，…an－an－1＝bn－1，累加得an＝a1＋b1＋…＋bn－1＝a1＋(n－1)b1＋，＝(n－1)a2－(n－2)a1＋，分别令n＝12，n＝22，得解得a1＝，a2＝100.故答案为：10013．在数列中，，若（为常数），则称为“等差比数列”，下列是对“等差比数列”的判断：①不可能为0；②等差数列一定是“等差比数列”；③等比数列一定是“等差比数列”；④“等差比数列”中可以有无数项为0.其中所有正确的序号是________．【标准答案】①④【思路指引】根据得到k不为0，①正确，考虑常数列得到②③错误，数列0，1，0，1，…是等差比数列，得到④正确，得到答案.【详解详析】由等差比数列的定义可知，，故，故k不为0，所以①正确；当等差数列的公差为0，即等差数列为常数列时，等差数列不是等差比数列，所以②错误；当是等比数列，且公比q＝1时，不是等差比数列，所以③错误；数列0，1，0，1，…是等差比数列，该数列中有无数多个0，所以④正确．故答案为：①④.14．数列：1，1，2，3，5，8，…，称为斐波那契数列，该数列是由意大利数学家菜昂纳多·斐波那契(LeonardoFibonacci)从观察兔子繁殖而引入，故又称为“兔子数列”．数学上，该数列可表述为，．对此数列有很多研究成果，如：该数列项的个位数是以60为周期变化的，通项公式等．借助数学家对人类的此项贡献，我们不难得到，从而易得＋＋＋…＋值的个位数为__________．【标准答案】4【思路指引】先根据将式子化简，进而根据该数列项的个位数是以60为周期变化求得答案.【详解详析】因为，所以.又该数列项的个位数是以60为周期变化，所以的个位数字相同，的个位数字相同，易知，则，所以的个位数字为4.故答案为：4.15．已知数列的前n项和为，数列是首项为，公差为的等差数列.表示不超过x的最大整数，如，则数列的前35项和为___________.【标准答案】397【思路指引】利用数列的通项公式与前n项和的关系可得，利用数列的新定义可得数列的各项，即求.【详解详析】由题可得，所以，当时，，当时，，又也适合上式，∴，令，则，，，，，，，…，，，，所以，，，，，，，…，，，，所以数列前35项的和为.故答案为：397.【名师指路】关键点点睛：本题的关键是根据新定义的特点，分析数列各项，使问题得到解决.三、解答题16．已知数列，其中，且.若数列满足，，当时，或，则称为数列A的“紧数列”.例如，数列A：2，4，6，8的所有“紧数列”为2，3，5，8；2，3，7，8；2，5，5，8；2，5，7，8.(1)直接写出数列A：1，3，6，7，8的所有“紧数列”；(2)已知数列A满足：，，若数列A的所有“紧数列”均为递增数列，求证：所有符合条件的数列A的个数为；(3)已知数列A满足：，，对于数列A的一个“紧数列”，定义集合，如果对任意，都有，那么称为数列A的“强紧数列”.若数列A存在“强紧数列”，求的最小值.（用关于N的代数式表示）【标准答案】(1)；；；(2)证明见解析(3)【思路指引】（1）利用“紧数列”的定义求解；（2）由均为递增数列，得到，进而转化为证明：①，②，③，④即可；（3）记，且根据“强紧数列”的定义求解.(1)解：；；；.(2)依题意，对任意，有或，或，因为均为递增数列，所以有，即同时满足：①，②，③，④.因为为递增数列，因此①和②恒成立.又因为为整数数列，对于③，也恒成立.对于④，一方面，由，得，即.另一方面，，所以，即从第项到第项是连续的正整数，所以，，因此，故共有种不同取值，即所有符合条件的数列共有个.(3)记，依题意，对任意，有或，注意到，即对任意，有，若，则，即；若，则，即，即对任意，或者，或者.所以，所以不能成立.记，，则，且.注意到：若存在且，即，则.否则，若，则，不合题意.因此集合有以下三种情形：①，.对任意，有，则，当且仅当：，，即时，等号成立，此时存在“强紧数列”，故此情形下，的最小值为；②，，其中.对任意，有，对任意，有..故此情形下，的最小值不小于；③，.对任意，有，.故此情形下，的最小值不小于.综上，的最小值为.17．若有穷数列且满足，则称为M数列．(1)判断下列数列是否为M数列，并说明理由；①1，2，4，3．②4，2，8，1．(2)已知M数列中各项互不相同．令，求证：数列是等差数列的充分必要条件是数列是常数列；(3)已知M数列是且个连续正整数的一个排列．若，求的所有取值．【标准答案】(1)①数列不是M数列；②数列是M数列；理由见解析(2)证明见解析(3)的所有取值为4或5【思路指引】（1）直接根据条件检验即可；（2）先判断必要性，若数列是等差数列，设公差为，可得数列是常数列．再判断充分性，若数列是常数列，可得，进而可得是等差数列；（3）先判断不符合题意，，符合题意，进而证明不符合题意，令，可得有三种可能：①；②；③．当，根据（2）的结论排除这3种可能性，则可得答案.(1)①因为，所以该数列不是M数列；②因为，所以该数列是M数列．(2)必要性：若数列是等差数列，设公差为，则．所以数列是常数列．充分性：若数列是常数列，则，即．所以或．因为数列的各项互不相同，所以．所以数列是等差数列．(3)当时，因为，所以，不符合题意；当时，数列为．此时，符合题意；当时，数列为．此时，符合题意；下证当时，不存在满足题意．令，则，且，所以有以下三种可能：①；②；③．当时，因为，由（2）知：是公差为1（或−1）的等差数列．当公差为1时，由得或，所以或，与已知矛盾．当公差为−1时，同理得出与已知矛盾．所以当时，不存在满足题意．其它情况同理可得．综上可知，的所有取值为4或5．【名师指路】方法点睛：1、对于数列种的新定义问题，一定要理解新数列的性质后才能解题，充分利用新数列的定义去解答问题.2、对于第三问，可能的取值必然不多，那么可以通过尝试取值，然后找到规律和方法来解决问题.18．设等差数列的各项均为整数，且满足对任意正整数，总存在正整数，使得，则称这样的数列具有性质．(1)若数列的通项公式为，数列是否具有性质？并说明理由；(2)若，求出具有性质的数列公差的所有可能值；(3)对于给定的，具有性质的数列是有限个，还是可以无穷多个？(直接写出结论)【标准答案】(1)数列具有性质，理由见解析；(2)，；(3)有限个.【思路指引】（1）由题意，由性质的定义，即可知是否具有性质.（2）由题设，存在，结合已知得且，则，由性质的定义只需保证为整数即可确定公差的所有可能值；（3）根据（2）的思路，可得且，由为整数，在为定值只需为整数，即可判断数列的个数是否有限.(1)由，对任意正整数，，说明仍为数列中的项，∴数列具有性质.(2)设的公差为．由条件知：，则，即，∴必有且，则，而此时对任意正整数，，又必一奇一偶，即为非负整数因此，只要为整数且，那么为中的一项．易知：可取，对应得到个满足条件的等差数列.(3)同（2）知：，则，∴必有且，则，故任意给定，公差均为有限个，∴具有性质的数列是有限个.【名师指路】关键点点睛：根据性质的定义，在第2、3问中判断满足等差数列通项公式，结合各项均为整数，判断公差的个数是否有限即可.19．已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列