(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题09直线与圆锥曲线的位置关系压轴题专练(原卷版+解析)

专题09直线与圆锥曲线的位置关系压轴题专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、解答题1．(2023·上海黄浦·一模）设常数且，椭圆：，点是上的动点．(1)若点的坐标为，求的焦点坐标；(2)设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值；(3)设，若上的另一动点满足（为坐标原点），求证：到直线PQ的距离是定值．2．(2023·上海普陀·一模）已知点与定点的距离是点到直线距离的倍，设点的轨迹为曲线，直线与交于、两点，点是线段的中点，、是上关于原点对称的两点，且.(1)求曲线的方程；(2)当时，求直线的方程；(3)当四边形的面积时，求的值.3．(2023·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且椭圆过点、，过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）.(1)求椭圆的标准方程；(2)若，求点P的坐标；(3)设直线AP、BQ的斜率分别为、，是否存在常数，使得?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.4．(2023·上海市建平中学高二月考）给定椭圆，称圆为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中，离心率为．(1)求椭圆E的方程；(2)若直线与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，．①请将用含有k的关系式表示（不需给出k的范围）；②求弦长的最大值．5．(2023·上海奉贤·二模）曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为､右交点为.（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由.（3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为..当对任意直线恒成立，求的值.6．已知椭圆：与抛物线：在第一象限交于点，，分别为的左､右顶点.（1）若，且，求的焦点坐标；（2）设点是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于，两点，与相交于，两点，，若直线的斜率为1，求的值；（3）设直线，直线分别与直线交于，两点，与的面积分别为，，若的最小值为，求点的坐标.7．(2023·上海青浦·高二期末）已知抛物线∶的焦点坐标为.（1）若直线被抛物线截得的弦长为，求抛物线的方程；（2）设为点关于原点的对称点，为抛物线上任意一点，求的取值范围；（3）过焦点作直线交抛物线于、两点，满足，过作抛物线准线的垂线，垂足记为，准线交轴于点，若，求的值.8．(2023·上海市新场中学高二期中）已知分别为椭圆W：的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．（1）若点M的坐标为（），求的面积；（2）若点M的坐标为(x0，y0)，且是钝角，求横坐标x0的范围；（3）若点M的坐标为，且直线（）与椭圆W交于两不同点，求证：为定值，并求出该定值；9．(2023·上海市控江中学高三月考）在平面直角坐标系中，抛物线，点，，为上的两点，在第一象限，满足.（1）求证：直线过定点，并求定点坐标；（2）设为上的动点，求的取值范围；（3）记△的面积为，△的面积为，求的最小值.10．(2023·上海·格致中学高三月考）已知点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）斜率为的直线与曲线交于两个不同点，若直线不过点，设直线的斜率分别为，求的数值；（3）设点为曲线的上顶点，点是椭圆上异于点的任意两点，若直线与的斜率的乘积为常数，试判断直线是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．11．(2023·上海·复旦附中青浦分校高二月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.（1）求椭圆的方程∶（2）若，求直线AF1的斜率；（3）求证∶是定值.12．(2023·上海·复旦附中青浦分校高二月考）点为椭圆C∶上位于x轴上方的动点，分别为C的左、右焦点.（1）若线段PF1的垂直平分线经过椭圆C的上顶点B，求点P的纵坐标yp；（2）设点A（t，0）为椭圆C的长轴上的定点，当点P在椭圆上运动时，求|PA|关于x的两数f（x0）的解析式，并求出使f（x0）为增函数的常数t的取值范围；（3）延长PF1、PF2分别交C于点M、N，求点P的坐标使得直线MN的斜率等于.13．(2023·上海市建平中学高三月考）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．（1）求的周长；（2）求面积的取值范围；（3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．14．(2023·上海市向明中学高三期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线.(1)写出过双曲线C的左顶点且与双曲线两条渐近线平行的直线方程；(2)设F是C的左焦点，M是C右支上一点.若，求过M点的坐标；(3)设斜率为的直线交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：.15．(2023·上海市建平中学高三期中）已知椭圆，其长轴长为短轴长的倍，且两焦点距离为2，点.(1)求椭圆的方程；(2)过点P的直线交椭圆于M､N两点，O为坐标原点，求面积的最大值，并求此时直线的方程；(3)已知斜率为k的直线l交椭圆于A､B两点，直线､分别交椭圆于C､D，且直线过点，求k的值.16．(2023·上海·华师大二附中高三月考）已知椭圆C∶（a>b>0）与抛物线y2=4x共焦点F，且过点，设是椭圆上任意一点，A、B为椭圆的左、右顶点，点E满足．(1)求椭圆C的方程；(2)判断是否为定值，并说明理由；(3)设Q是直线x=9上动点，直线AQ、BQ分别交椭圆于M、N两点，求|MF|+|NF|的最小值．17．(2023·上海黄浦·一模）定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题：（1）写出协同圆圆的方程；（2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；（3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.18．(2023·上海市建平中学高三开学考试）设实数，椭圆D：的右焦点为F，过F且斜率为k的直线交D于P、Q两点，若线段PQ的中为N，点O是坐标原点，直线ON交直线于点M．（1）若点P的横坐标为1，求点Q的横坐标；（2）求证：；（3）求的最大值．19．(2023·上海·华师大二附中高三月考）已知椭圆M：的左、右焦点分别为、，，点在椭圆M上．（1）求椭圆M的方程；（2）过的直线l与椭圆M交于P、Q两点，且，求直线l的方程；（3）如图，四边形ABCD是矩形，AB与椭圆M相切于点F，AD与椭圆M相切于点E，BC与椭圆M相切于点G，CD与椭圆M相切于点H，求矩形ABCD面积的取值范围．20．(2023·上海·格致中学高三期中）椭圆：的焦点，是等轴双曲线：的顶点，若椭圆与双曲线的一个交点是P，的周长为.(1)求椭圆的标准方程；(2)点M是双曲线上任意不同于其顶点的动点，设直线、的斜率分别为，，求证，的乘积为定值；(3)过点任作一动直线l交椭圆与A，B两点，记，若在直线AB上取一点R，使得，试判断当直线l运动是，点R是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由.专题09直线与圆锥曲线的位置关系压轴题专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、解答题1．(2023·上海黄浦·一模）设常数且，椭圆：，点是上的动点．（1）若点的坐标为，求的焦点坐标；（2）设，若定点的坐标为，求的最大值与最小值；（3）设，若上的另一动点满足（为坐标原点），求证：到直线PQ的距离是定值．【标准答案】（1）；（2）最大值为5，最小值为；（3）详见解析.【思路指引】（1）由题可得，，即得；（2）由题可得，利用二次函数的性质即得；（3）当直线PQ斜率存在时设其方程为，联立椭圆方程可得，利用韦达定理及条件可得，进而可得到直线PQ的距离为定值，当直线PQ斜率不存在时，可得，易得到直线PQ的距离为定值，即证.（1）∵椭圆：，点的坐标为，∴，，∴的焦点坐标为；（2）设，又，由题知，即，∴，又，∴当时，取得最大值为25；当时，取得最小值为；∴的最大值为5，最小值为.（3）当时，椭圆：，设，当直线PQ斜率存在时设其方程为，则由，得，∴，由可知，即，∴，即，∴，可得，满足，∴到直线PQ的距离为为定值；当直线PQ斜率不存在时，，可得直线方程为，到直线PQ的距离为.综上，到直线PQ的距离是定值．2．(2023·上海普陀·一模）已知点与定点的距离是点到直线距离的倍，设点的轨迹为曲线，直线与交于、两点，点是线段的中点，、是上关于原点对称的两点，且.（1）求曲线的方程；（2）当时，求直线的方程；（3）当四边形的面积时，求的值.【标准答案】（1）（2）（3）【思路指引】（1）根据已知条件列等式，可求得曲线的方程；（2）设点、，联立直线与曲线的方程，列出韦达定理，求出点的坐标，进一步可求得点的坐标，再将点的坐标代入曲线的方程，求出的值，即可得出直线的方程；（3）求得点、，将点的坐标代入曲线的方程，可得，求出、两点到直线的距离以及，利用三角形的面积公式可得出关于的等式，结合已知条件可求得的值.（1）解：由题意可得，化简可得，因此，曲线的方程为.（2）解：设点、，联立，可得，，由韦达定理可得，，则，，所以点的坐标为，因为，可得点，将点的坐标代入曲线的方程得，解得，因此，直线的方程为.（3）解：由（2）可得，则点，则点，因为点在曲线上，则，可得，因为，则，点到直线的距离为，点到直线的距离为，，所以，，因为，解得.3．(2023·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆：的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F，且椭圆过点、，过点F的直线l与椭圆交于P、Q两点（点P在x轴的上方）.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求点P的坐标；（3）设直线AP、BQ的斜率分别为、，是否存在常数，使得?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.【标准答案】（1）（2）（3）存在，【思路指引】（1）代入已知两点坐标求得得椭圆方程；（2）设，.由，可用表示出，然后把的坐标代入椭圆方程可解得；（3）设存在常数，使得.由题意可设直线的方程为，点，，求出，把代入椭圆方程，变形出，代入把表示出，的表达式．然后把直线方程代入椭圆方程，应用韦达定理得，再代入的表达式可得常数．（1）因为椭圆过点、，则有，解得，所以椭圆的标准方程为.（2）设，.由（1）知，.因为，则有，即，所以解得即.分别将、两点的坐标代入得解得（舍）或所以所求点的坐标为.（3）设存在常数，使得.由题意可设直线的方程为，点，，则.又因为，即，即，所以即（*）又由得，，且，.代入（*）得即，所以存在常数，使得.4．(2023·上海市建平中学高二月考）给定椭圆，称圆为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中，离心率为．（1）求椭圆E的方程；（2）若直线与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，．①请将用含有k的关系式表示（不需给出k的范围）；②求弦长的最大值．【标准答案】（1）（2）；【思路指引】（1）由离心率得关系，结合及关系式，可求，进而得到椭圆E的方程；（2）①由圆的几何关系求得弦心距，再结合圆心到直线距离公式可求关于的关系式；②联立直线与椭圆方程，写出韦达定理，利用弦长公式化简，结合基本不等式可求的最大值．（1）由题可知，，，又，解得，故椭圆的标准方程为：；（2）①由（1）可求“伴随圆”为：，因为，所以圆心到直线距离为，由圆心到直线距离公式得，解得；②联立直线与椭圆方程，得，由得，由得，，设，则，由弦长公式可得：，当且仅当时取到等号，故5．(2023·上海奉贤·二模）曲线与曲线在第一象限的交点为.曲线是()和()组成的封闭图形.曲线与轴的左交点为､右交点为.（1）设曲线与曲线具有相同的一个焦点，求线段的方程；（2）在（1）的条件下，曲线上存在多少个点，使得，请说明理由.（3）设过原点的直线与以为圆心的圆相切，其中圆的半径小于1，切点为.直线与曲线在第一象限的两个交点为..当对任意直线恒成立，求的值.【标准答案】（1）或；（2）一共2个，理由见解析；（3）答案见解析.【思路指引】（1）先求曲线的焦点，再求点的坐标，分焦点为左焦点或右焦点，求线段的方程；（2）分点在双曲线或是椭圆的曲线上，结合条件，说明点的个数；（3）首先设出直线和圆的方程，利用直线与圆相切，以及直线与曲线相交，分别表示，并计算得到的值.【详解详析】（1）两个曲线相同的焦点，，解得：，即双曲线方程是，椭圆方程是，焦点坐标是,联立两个曲线，得，，即，当焦点是右焦点时，线段的方程当焦点时左焦点时，，，线段的方程（2），假设点在曲线上单调递增∴所以点不可能在曲线上所以点只可能在曲线上，根据得可以得到当左焦点，，同样这样的使得不存在所以这样的点一共2个（3）设直线方程，圆方程为直线与圆相切，所以，，根据得到补充说明：由于直线的曲线有两个交点，受参数的影响，蕴含着如下关系，∵，当，存在，否则不存在这里可以不需讨论，因为题目前假定直线与曲线有两个交点的大前提，当共焦点时存在不存在.【名师指路】关键点点睛：本题考查直线与椭圆和双曲线相交的综合应用，本题的关键是曲线由椭圆和双曲线构成，所以研究曲线上的点时，需分两种情况研究问题.6．已知椭圆：与抛物线：在第一象限交于点，，分别为的左､右顶点.（1）若，且，求的焦点坐标；（2）设点是和的一个共同焦点，过点的一条直线与相交于，两点，与相交于，两点，，若直线的斜率为1，求的值；（3）设直线，直线分别与直线交于，两点，与的面积分别为，，若的最小值为，求点的坐标.【标准答案】（1）；（2）；（3）.【思路指引】（1）求得的坐标，以及的坐标，代入椭圆方程，结合向量数量积的坐标表示，解方程可得，，进而得到抛物线的方程和焦点坐标；（2）联立直线方程和椭圆方程､抛物线的方程，运用弦长公式，计算可得所求值；（3）由三点共线的条件，分别求得，的纵坐标，结合基本不等式和点满足椭圆方程，可得的坐标.【详解详析】解：（1）由题意可知，，把，可得，即，把点坐标代入椭圆方程可得，①因为，所以，②由①②，解得，，所以椭圆的方程为，抛物线的方程为，焦点坐标为；（2）根据题意直线的方程为，因为点是和的一个共同焦点，所以，即，所以抛物线的方程为，所以，所以，所以椭圆的方程为，联立，得或，所以，联立，解得或，所以，所以，因为与共线，所以.（3）由，，三点共线，可得，即有，同理可得，由，，三点共线，可得，则，，所以，令即有，则，由，可得，当且仅当，取得最小值，即，，则，，即有.【名师指路】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．7．(2023·上海青浦·高二期末）已知抛物线∶的焦点坐标为.（1）若直线被抛物线截得的弦长为，求抛物线的方程；（2）设为点关于原点的对称点，为抛物线上任意一点，求的取值范围；（3）过焦点作直线交抛物线于、两点，满足，过作抛物线准线的垂线，垂足记为，准线交轴于点，若，求的值.【标准答案】（1）；（2）；（3）.【思路指引】（1）联立与解得，由被截得的弦长等于可求得值，进而可得抛物线的方程；（2）由题意知，设则，利用两点间距离公式计算，分和，结合基本不等式即可求范围；（3）过作抛物线准线的垂线，垂足记为，过作抛物线准线的垂线，垂足记为，过作的垂线，垂足记为，设可得，结合抛物线的定义求出，进而可得点坐标，代入抛物线方程，可得与的关系，再利用面积列方程即可求解.【详解详析】（1）由可得，所以直线被抛物线截得的弦长为，可得，所以抛物线的方程为：，（2）由可得，因为为点关于原点的对称点，所以，为抛物线上任意一点，设，则，所以当时，，此时，可得，当时，，当且仅当即时，等号成立，所以，综上所述：的取值范围为；（3）过作抛物线准线的垂线，垂足记为，过作抛物线准线的垂线，垂足记为，过作的垂线，垂足记为，设，由，可得，由抛物线的定义可得：，，所以，在中，，所以，所以，，所以，将其代入可得：，即，所以，可得或（舍）所以，所以，解得：，【名师指路】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．8．(2023·上海市新场中学高二期中）已知分别为椭圆W：的左、右焦点，M为椭圆W上的一点．（1）若点M的坐标为（），求的面积；（2）若点M的坐标为(x0，y0)，且是钝角，求横坐标x0的范围；（3）若点M的坐标为，且直线（）与椭圆W交于两不同点，求证：为定值，并求出该定值；【标准答案】（1）；（2）；（3）定值为0，证明见解析.【思路指引】（1）把M代入椭圆方程，可得，由可得答案；（2）由余弦定理得，由是钝角得，结合可得答案；（3）设，联立直线与椭圆方程，利用韦达定理和可得答案.【详解详析】（1）因为点M在椭圆上，所以，因为，所以，因为，所以，，所以.（2）因为点M在椭圆上，所以，由余弦定理得，因为是钝角，所以，又因为，所以，解得，的范围为.（3）设，由得，，，又，所以，即有为定值.9．(2023·上海市控江中学高三月考）在平面直角坐标系中，抛物线，点，，为上的两点，在第一象限，满足.（1）求证：直线过定点，并求定点坐标；（2）设为上的动点，求的取值范围；（3）记△的面积为，△的面积为，求的最小值.【标准答案】（1）证明见解析，；（2）；（3）.【思路指引】（1）设，由已知并结合向量数量的坐标表示易得，再设为联立抛物线，应用韦达定理有，求得，即可证结论.（2）设并求，关于参数a的表达式，由目标式化简，应用换元法并结合二次函数的性质求范围.（3）由（1），用参数k表示、到的距离、，由、可得关于k的函数，应用判别式法求值域，进而可得最小值.【详解详析】（1）令，则，由知：，又，，∴，则，设直线为，联立抛物线方程整理得：，则，∴，故直线为，即直线过定点.（2）设，则，，∴，令，∴且，∴当时，；当时，.∴.（3）由（1），直线为，联立抛物线整理得：，∴，，有，由在第一象限，则，即，∴，可得.，又到的距离，∴，而，∴，∴，整理得，∴，即，又，得：.∴的最小值为.10．(2023·上海·格致中学高三月考）已知点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）斜率为的直线与曲线交于两个不同点，若直线不过点，设直线的斜率分别为，求的数值；（3）设点为曲线的上顶点，点是椭圆上异于点的任意两点，若直线与的斜率的乘积为常数，试判断直线是否经过定点，若经过定点，请求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由．【标准答案】（1）；（2）0；（3）经过定点，定点坐标．【思路指引】（1）由已知得，化简得曲线C的方程；（2）设直线l的方程为：，与椭圆的方程联立得，设，得出根与系数的关系，代入中，计算可得值；（3）由（1）得，设直线PQ的方程为与椭圆的方程联立得，设，得出根与系数的关系，再计算，可解得，由此得定点坐标．【详解详析】解：（1）因为点是平面直角坐标系上的一个动点，点到直线的距离等于点到点的距离的2倍，所以，化简得曲线C的方程为：；（2）因为直线的斜率为，且直线不过点，所以设直线l的方程为：，联立方程组，得，又交点为，所以，因为，所以；（3）由（1）得，由题意，直线的斜率存在，设直线PQ的方程为，联立方程组，得，设，所以，则，所以，所以直线经过定点，定点坐标．【名师指路】方法点睛：(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式.11．(2023·上海·复旦附中青浦分校高二月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆（a>b>0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0）.已知（1，e）和都在椭圆上，其中e为椭圆的离心率.A，B是椭圆上位于x轴上方的两点，且直线AF1与直线BF2平行，AF2与BF1交于点P.（1）求椭圆的方程∶（2）若，求直线AF1的斜率；（3）求证∶是定值.【标准答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.【思路指引】（1）根据椭圆的性质和已知（1，e）和都在椭圆上列式求解.（2）设直线AF1的方程为，直线BF2的方程为，与椭圆方程联立，求出、，根据已知条件，用待定系数法求解.（3）利用直线与直线平行，点B在椭圆上知，可得，，由此可得为定值.【详解详析】解∶（1）由题设知，.由点（1，e）在椭圆上，得，解得..于是，又点在椭圆上，所以，即，解得.因此，所求椭圆的方程是.（2）由（1）知，，又直线AF1与BF2平行，所以可设直线AF1的方程为.直线BF2的方程为.设A（x1，y1），B（x2，y2），y1>0，y2>0.由，得，解得故①同理，②由①②得、解得.注意到m>0，故.所以直线AF1的斜率为（3）因为直线AF1与BF2平行，所以，于是，故，由B点在椭圆上知，从而.同理因此，又由①②知，所以，因此，是定值.12．(2023·上海·复旦附中青浦分校高二月考）点为椭圆C∶上位于x轴上方的动点，分别为C的左、右焦点.（1）若线段PF1的垂直平分线经过椭圆C的上顶点B，求点P的纵坐标yp；（2）设点A（t，0）为椭圆C的长轴上的定点，当点P在椭圆上运动时，求|PA|关于x的两数f（x0）的解析式，并求出使f（x0）为增函数的常数t的取值范围；（3）延长PF1、PF2分别交C于点M、N，求点P的坐标使得直线MN的斜率等于.【标准答案】（1）；（2），；（3）.【思路指引】（1）根据题意，建立关于x0，y0的方程组，即可求解；

（2）由两点间的距离公式表示出，再由二次函数的性质可得出t的取值范围；

（3）设出点M，N的坐标及直线PF1，直线PF2的方程，分别与椭圆方程联立，进而可得到直线MN的斜率，再结合题意可得到x0=5y0，代入椭圆方程即可得答案．【详解详析】解：（1）由题意可知B（0，1），，所以，即，联立，又可得，即；（2），所以对称轴，欲使f（x0）是增函数，只需，所以；（3）设M（x1，y1），N（x2，y2），PF1：x=my-2，PF2：x=ny+2，则，，由得，∴，，同理，由得，∴，，∴，∴，即，又∴，代入椭圆方程得，∴，∴.13．(2023·上海市建平中学高三月考）如图所示，在平面直角坐标系中，椭圆：的左，右焦点外别为，，设P是第一象限内上的一点，、的延长线分别交于点、．（1）求的周长；（2）求面积的取值范围；（3）设、分别为、的内切圆半径，求的最大值．【标准答案】（1）；（2）；（3）．【思路指引】（1）根据椭圆的定义即可求解；（2）设过的直线方程为，联立椭圆方程消元后，根据根与系数的关系得，换元后可求，代入三角形面积公式即可求解；（3）根据三角形内切圆的性质及（1）可得，即可转化为，根据三角形面积可化为，利用直线与椭圆联立求出，代入化简后利用均值不等式即可求解.【详解详析】（1），为椭圆的两焦点，且，为椭圆上的点，，从而的周长为．由题意，得，即的周长为.（2）由题意可设过的直线方程为，联立，消去x得，则，所以，令，则（当时等号成立，即时）所以,故面积的取值范围为.（3）设，直线的方程为：，将其代入椭圆的方程可得，整理可得，则，得，，故．当时，直线的方程为：，将其代入椭圆方程并整理可得，同理，可得，因为，所以，当且仅当时，等号成立.若轴时，易知，，，此时，综上，的最大值为.14．(2023·上海市向明中学高三期中）在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）写出过双曲线C的左顶点且与双曲线两条渐近线平行的直线方程；（2）设F是C的左焦点，M是C右支上一点.若，求过M点的坐标；（3）设斜率为的直线交C于P、Q两点，若l与圆相切，求证：.【标准答案】（1）（2）（3）证明见解析【思路指引】（1）根据双曲线C的左顶点及渐近线的斜率即可得出答案；（2）求出双曲线的左焦点的坐标，设，利用，求出的范围，推出的坐标；（3）设直线的方程为，通过直线与已知圆相切，得到，通过求解．证明．（1）解：；（2）解：双曲线的左焦点，设，则，由点是右支上的一点，可知，所以，得，则，所以；（3）设直线的方程为，因直线与已知圆相切，故，即①，由，得，设，，，，则，又，所以．由①式可知，故．【名师指路】本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，圆锥曲线的综合，向量的数量积的应用，设而不求的解题方法，点到直线的距离的应用，考查分析问题解决问题的能力，考查计算能力．15．(2023·上海市建平中学高三期中）已知椭圆，其长轴长为短轴长的倍，且两焦点距离为2，点.（1）求椭圆的方程；（2）过点P的直线交椭圆于M､N两点，O为坐标原点，求面积的最大值，并求此时直线的方程；（3）已知斜率为k的直线l交椭圆于A､B两点，直线､分别交椭圆于C､D，且直线过点，求k的值.【标准答案】（1）；（2）面积的最大值为，直线的方程为：或；（3）【思路指引】（1）由已知结合即可求出和，进而求出椭圆的方程；（2）设出直线的方程，再与椭圆方程联立得到韦达定理，然后利用弦长公式以及点到直线的距离公式将面积表示出来，最后利用基本不等式求出最值即可；（3）设出A和B的坐标以及直线PA的方程，再将直线PA的方程与椭圆联立得出C和D点的坐标，最后由CD直线上任意两点连线的斜率相等即可求解.（1）解：由题知，其长轴长为短轴长的倍，且两焦点距离为2则，，又解得：，椭圆的方程为：（2）解：由椭圆的方程知，当过点P的直线斜率不存在时，直线与椭圆无交点，所以直线的斜率存在，设过点P的直线的斜率为则直线的方程为：，，由（1）可得椭圆的方程为：联立直线方程与椭圆方程：得：解得：，即，设点到直线的距离为，则令且得：，当且仅当，即时取等号此时，，即所以面积的最大值为直线的方程为：或（3）解：设，，由题意知，直线的斜率不为，则直线的方程为：由（1）知椭圆方程为联立直线与椭圆的方程：，得所以即所以同理可得：，设，则即化简得：即所以直线l的斜率为【名师指路】关键点睛：本题第三问比较复杂，选择切入点是关键.若直接设直线的斜截式方程，再与曲线联立，得到韦达定理，再求和的坐标，会使计算过程很复杂，因此选择从和切入，并且在设直线的方程时，选择用横轴的截距来设立，使得计算过程更简洁.16．(2023·上海·华师大二附中高三月考）已知椭圆C∶（a>b>0）与抛物线y2=4x共焦点F，且过点，设是椭圆上任意一点，A、B为椭圆的左、右顶点，点E满足．（1）求椭圆C的方程；（2）判断是否为定值，并说明理由；（3）设Q是直线x=9上动点，直线AQ、BQ分别交椭圆于M、N两点，求|MF|+|NF|的最小值．【标准答案】（1）（2）是定值3；理由见解析（3）【思路指引】（1）求出点的坐标，再根据的关系及点求得，解得得出答案；（2）根据是椭圆上任意一点，求得，将用表示，从而可得出结论；（3）可设，求出直线AQ、BQ的方程，分别联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理分别求出，再根据为椭圆的右准线，由椭圆上得点到焦点得距离与到准线得距离之比为离心率，可得，计算结合基本不等式即可得出答案.（1）解：抛物线y2=4x的焦点，则有，解得，所以椭圆C的方程为；（2）解：因为，所以，因为是椭圆上任意一点，所以，则，所以，所以是定值3；（3）解：，可设，则，则直线的方程为，，消得：，则有，所以，同理可得，因为为椭圆的右准线，所以由椭圆上得点到焦点得距离与到准线得距离之比为离心率，可得，当且仅当，即时，取等号，所以|MF|+|NF|的最小值为.【名师指路】本题考查了椭圆、抛物线的标准方程，考查了椭圆中的定值与最值问题，考查了学生的数学运算能力及数据分析能力，难度较大.17．(2023·上海黄浦·一模）定义：已知椭圆，把圆称为该椭圆的协同圆.设椭圆的协同圆为圆(为坐标系原点)，试解决下列问题：（1）写出协同圆圆的方程；（2）设直线是圆的任意一条切线，且交椭圆于两点，求的值；（3）设是椭圆上的两个动点，且，过点作，交直线于点，求证：点总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.【标准答案】（1）；（2）；（3）证明见解析，定圆的方程为.【思路指引】（1）由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆的方程；（2）讨论直线的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用向量数量积的坐标表示求；斜率存在时，设联立椭圆方程，由切线的性质确定判别式符号，应用根与系数关系、向量数量积的坐标表示求；（3）设，则，讨论有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在，分别求，，，由等面积法求，即可证结论，并写出定圆方程.【详解详析】（1）由椭圆，知.根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆.（2）设，则.直线为圆的切线，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论：①当直线的斜率不存在时，直线.若，由，解得，此时.若，同理得：.②当直线的斜率存在时，设.由，得，有，又直线是圆的切线，故，可得.∴，则，而.∴，即.综上，恒有.（3）是椭圆上的两个动点且，设，则.直线：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论.若直线的斜率不存在，即点在轴上，则点在轴上，有.∴，，且，由，解得.若直线的斜率都存在，设，则.由，得，有；同理，得.于是，.由，可得.因此，总有，即点在圆心为坐标原点，半径为的圆上.∴该定圆的方程为圆.【名师指路】关键点点睛：研究直线与曲线相交关系注意讨论直线的斜率是否存在，求出交点坐标或联立椭圆、直线方程，根据判断判别式的符号、根与系数关系，结合题设已知条件列方程求定值或定曲线.18．(2023·上海市建平中学高三开学考试）设实数，椭圆D：的右焦点为F，过F且斜率为k的直线交D于P、Q两点，若线段PQ的中为N，点O是坐标原点，直线ON交直线于点M．（1）若点P的横坐标为1，求点Q的横坐标；（2）求证：；（3）求的最大值．【标准答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.【思路指引】（1）先求得点坐标，进而求得直线的方程，进而求得点的横坐标.（2）联立直线