(沪教版2021选择性必修一)高二数学专题训练专题08抛物线的性质综合难点专练(原卷版+解析)

专题08抛物线的性质综合难点专练（原卷版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，、是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“、、三点共线”等价的是（）A． B．C． D．2．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（）A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在3．(2023·上海市金山中学高二月考）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，位于第一象限，则的最小值是（）A． B． C． D．4．已知抛物线和直线在第一象限内的交点为．设是抛物线上的动点，且满足，记，则（）A．当时，的最小值是B．当时，的最小值是C．当时，的最小值是D．当时，的最小值是5．若直线与抛物线交于A、B两点(不与原点重合)，且，则实数b的值为（）A．2 B．1 C．4 D．6．(2023·上海市南洋模范中学高二期末）已知过抛物线焦点的直线与交于，两点，交圆于，两点，其中，位于第一象限，则的值不可能为（）A．6 B．5 C．4 D．37．(2023·上海市控江中学高三月考）已知点的坐标为，点是抛物线上的点，则使得是等腰三角形的点的个数是（）A．2 B．4 C．6 D．88．已知直线与抛物线交于、两点，若四边形为矩形，记直线的斜率为，则的最小值为（）．A．4 B． C．2 D．9．已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，有（）A．个 B．个 C．有限个，但多于个 D．无限多个10．(2023·上海·位育中学三模）已知抛物线为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题:①;②;③;④与的交点在轴上;⑤与交于原点．其中真命题的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个二、填空题11．(2023·上海·位育中学高二月考）直线被抛物线截得线段长是____________12．设抛物线的焦点为，过的两条直线，分别交抛物线于点，，，，且，的斜率，满足，则的最小值为__________．13．已知圆：与抛物线：恰有两个公共点､，圆与恰有一个公共点，且圆与轴相切于的焦点，则___________.14．(2023·上海市复兴高级中学高二期中）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于点（在轴的上方），为抛物线的准线，点在上且，则到直线的距离为________15．(2023·上海·曹杨二中高二月考）如图，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于、、、四点，则的最小值为_____．16．(2023·上海市建平中学高三期中）过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于点（在轴上方），为抛物线的准线，点在上且，则到直线的距离为___________17．(2023·上海崇明·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，以为顶点为焦点作抛物线.若双曲线与抛物线交于点，且，则抛物线的准线方程是_____.18．(2023·上海长宁·一模）已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线上，设直线与轴交于点，则的最小值为____________．19．(2023·上海长宁·一模）设曲线与函数的图像关于直线对称，若曲线仍然为某函数的图像，则实数的取值范围为____________20．(2023·上海交大附中模拟预测）焦点为的抛物线与圆交于、两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是圆与轴的交点，是坐标原点.有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：_________.①对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；②对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；③对于任意，该曲线有且仅有一个内接正△；④当时，存在面积大于2021的内接正△.三、解答题21．(2023·上海青浦·一模）已知抛物线.（1）过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的值（其中为坐标原点）；（2）过抛物线上一点，分别作两条直线交抛物线于另外两点､，交直线于两点，求证：为常数（3）已知点，在抛物线上是否存在异于点的两个不同点，使得若存在，求点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.22．(2023·上海浦东新·一模）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于不同的两点、.（1）若点和到抛物线准线的距离分别为和，求；（2）若，求的值；（3）点，，对任意确定的实数，若是以为斜边的直角三角形，判断符合条件的点有几个，并说明理由.23．(2023·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上一点.（1）求曲线的方程；（2）过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若且直线与直线交于点，求的值；（3）若点在轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值.24．(2023·上海宝山·高二期末）已知椭圆的右焦点为，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）设S为椭圆的右顶点，过点F的直线与交于M、N两点（均异于S），直线、分别交直线于U、V两点，证明：U、V两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；（3）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点F的直线与交于A、B两点，点C在上，并使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在F的右侧，设、的面积分别为、，是否存在锐角，使得成立？请说明理由.25．(2023·上海浦东新·高二期中）在平面直角坐标系中，原点为，抛物线的方程为，线段是抛物线的一条动弦．（1）求抛物线的准线方程；（2）求，求证：直线恒过定点；（3）过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，、分别是线段、的中点，求面积的最小值．26．(2023·上海·曹杨二中高二月考）直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点．（1）求证：直线过定点；（2）求中点的轨迹方程；（3）设，求的最小值．27．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，，（1）若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；（2）若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点；（3）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数.28．(2023·上海市实验学校高三月考）已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线l交于抛物线于，两点.（1）求抛物线的方程；（2）若射线，分别与椭圆交于点，，点为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线使？若存在求出直线的方程，若不存在，请说明理由；（3）若为上一点，，与轴相交于，两点，问，两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.29．(2023·上海·闵行中学高三开学考试）如图，直线与抛物线相交于不同的两点、，且（为定值），线段的中点为，与直线平行的抛物线的切线的切点为．（1）用、表示出点、点的坐标，并证明垂直于轴；，（2）求的面积（只与有关，与、无关）；（3）小张所在的兴趣小组完成上面两个小题后，小张连、，再作与、平行的切线，切点分别为、，小张马上写出了、的面积，由此小张求出了直线与抛物线围成的面积，你认为小张能做到吗？请你说出理由．30．(2023·上海市吴淞中学高三期中）已知点在抛物线上，过点的直线与抛物线C有两个不同的交点A、B，且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N.（1）求抛物线C的方程；（2）求直线的斜率的取值范围；（3）设O为原点，，求证：为定值.专题08抛物线的性质综合难点专练（解析版）错误率：___________易错题号：___________一、单选题1．(2023·上海·高三专题练习）已知为抛物线的焦点，、是抛物线上的不同两点，则下列条件中与“、、三点共线”等价的是（）A． B．C． D．【标准答案】B【思路指引】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，将韦达定理逐一代入各选项中的等式，求出的值，进而可得出结论.【详解详析】设直线的方程为，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去得，由韦达定理得，.抛物线的焦点的坐标为，若、、三点共线，则.对于A选项，，解得；对于B选项，，解得；对于C选项，，整理得，即，解得；对于D选项，，整理得，解得或.故选：B.【名师指路】本题考查焦点弦性质相关的判断，涉及韦达定理的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于中等题.2．过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于两点，它们的横坐标之和等于，则这样的直线（）A．有且仅有一条 B．有且仅有两条 C．有无穷多条 D．不存在【标准答案】A分别讨论直线斜率存在和不存在的情况，根据是否能够满足横坐标之和为2进行判断.【详解详析】根据题意，抛物线的焦点坐标为.若直线的斜率不存在，则两点关于焦点对称，故满足；若直线的斜率不存在，设直线方程为联立抛物线方程，可得设，故，不可能等于2，故此时不存在满足题意的直线.综上所述，满足题意的直线只有1条.故选：A.【名师指路】本题考查直线与抛物线的位置关系，属基础题.3．(2023·上海市金山中学高二月考）已知抛物线的焦点为，过的直线与抛物线交于，两点，位于第一象限，则的最小值是（）A． B． C． D．【标准答案】D【思路指引】设直线的方程为：，，联立直线与抛物线的方程消元，然后韦达定理可得，然后根据抛物线的定义可得，然后用基本不等式可求得答案.【详解详析】抛物线的焦点，设直线的方程为：联立方程组，得设，则有，即由抛物线的定义可得所以，当且仅当时等号成立所以的最小值是故选：D【名师指路】本题考查的是抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系和基本不等式求最值，考查了学生的转化能力，属于中档题.4．已知抛物线和直线在第一象限内的交点为．设是抛物线上的动点，且满足，记，则（）A．当时，的最小值是B．当时，的最小值是C．当时，的最小值是D．当时，的最小值是【标准答案】D由抛物线方程求得焦点坐标，再利用抛物线定义，数形结合找到的最小值.【详解详析】到直线的距离抛物线的焦点为根据抛物线的定义知故F到直线的距离当时，的最小值是故选：D【名师指路】本题考查应用抛物线定义相关知识求最值问题，属于中档题.5．若直线与抛物线交于A、B两点(不与原点重合)，且，则实数b的值为（）A．2 B．1 C．4 D．【标准答案】A【思路指引】设，联立直线与抛物线方程并整理，结合韦达定理及向量数量积的坐标公式，列方程求b的值，根据A、B两点不与原点重合、判别式大于0，判断b的取值即可.【详解详析】设，联立，整理得，∴，，且由题意：，，∵，而，∴，即，解得或(舍).而时，.故选：A.【名师指路】关键点点睛：联立直线与抛物线方程，应用韦达定理及向量数量积的坐标公式，列方程求参数值，注意验证参数值的合理性.6．(2023·上海市南洋模范中学高二期末）已知过抛物线焦点的直线与交于，两点，交圆于，两点，其中，位于第一象限，则的值不可能为（）A．6 B．5 C．4 D．3【标准答案】D【思路指引】本题考查了抛物线的性质及基本不等式的应用，属于中档题．设PQ的方程为可得，可得，利用基本不等式求得最小值，从而作出判定．【详解详析】易得抛物线的焦点,设，，PQ的方程为，．，，则．，则．故选：D．【名师指路】PQ的方程为的形式，包括了斜率不存在的情况，可以避免分类讨论.7．(2023·上海市控江中学高三月考）已知点的坐标为，点是抛物线上的点，则使得是等腰三角形的点的个数是（）A．2 B．4 C．6 D．8【标准答案】C【思路指引】根据等腰三角形的腰长不明确，分①；②；③；三种情况进行讨论求解．【详解详析】，则P为OA垂直平分线与抛物线的交点，下图中的、；，则P为以O为圆心，OA为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、；，则P为以A为圆心，AO为半径的圆与抛物线的交点，下图中的、．故选：C.8．已知直线与抛物线交于、两点，若四边形为矩形，记直线的斜率为，则的最小值为（）．A．4 B． C．2 D．【标准答案】B【思路指引】设直线方程并与抛物线方程联立,根据,借助韦达定理化简得.根据,相互平分,由中点坐标公式可得,即可求得,根据基本不等式即可求得最小值.【详解详析】设,,设直线:将直线与联立方程组,消掉:得:由韦达定理可得:┄①,┄②，故,可得:┄③，，是上的点,,可得:┄④由③④可得:,结合②可得:和相互平分,由中点坐标公式可得，结合①②可得:,，故，根据对勾函数(对号函数)可知时,.(当且仅当)时,.(当且仅当)所以.故选:B.【名师指路】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,通过联立直线方程与抛物线方程的方程组,应用一元二次方程根与系数的关系,得到“目标函数”的解析式,确定函数的性质进行求解.9．已知为抛物线的焦点，、、为抛物线上三点，当时，有（）A．个 B．个 C．有限个，但多于个 D．无限多个【标准答案】D根据可得为△的重心，结合解的情况可求.【详解详析】因为，所以为△的重心，设，的中点为，则，可得，只要满足点在抛物线内部，即，解得，所以有无限多个.故选：D.【名师指路】本题主要考查抛物线的性质，明确点的取值范围是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.10．(2023·上海·位育中学三模）已知抛物线为其焦点，为其准线，过任作一条直线交抛物线于两点，分别为在上的射影，为的中点，给出下列命题:①;②;③;④与的交点在轴上;⑤与交于原点．其中真命题的个数为（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【标准答案】D【思路指引】①根据抛物线的定义和平行可以证明且，从而即;②根据抛物线定义和梯形的中位线证明点在以为直径的圆上，从而有;③通过证明,，从而证明;④由③知与的交点是的中点，由与轴的交点也为的中点，从而证明与的交点在轴上;⑤通过设而不求将直线，与轴的交点都在原点，从而证明与交于原点．【详解详析】如图所示：对①，由抛物线的定义得：，所以,又因为轴，所以，所以,同理因为，所以,所以即，故①正确；如图所示：对②，为的中点,取为的中点,所以,所以点在以为直径的圆上，从而有，故②正确；如图所示：对③，,又所以，又所以,由②知，故③正确;对④，由③知与的交点是的中点，由与轴的交点也为的中点，故与的交点在轴上，所以④正确;对⑤，设直线方程为：，，则联立得，由韦达定理得：又，所以直线方程：整理得：，所以直线过原点，同理可以证明直线过原点，所以与交于原点；故⑤正确；故选：D.【名师指路】(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．二、填空题11．(2023·上海·位育中学高二月考）直线被抛物线截得线段长是____________【标准答案】【思路指引】设直线交抛物线于点、，将直线方程与抛物线方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的焦点弦长公式计算可得结果.【详解详析】设直线交抛物线于点、，抛物线的焦点为，而直线过点，联立，消去可得，，所以，，由抛物线的焦点弦长公式可得.故答案为：.12．设抛物线的焦点为，过的两条直线，分别交抛物线于点，，，，且，的斜率，满足，则的最小值为__________．【标准答案】8【思路指引】根据解析式求出焦点的坐标，从而由直线的点斜式方程写出直线，方程，与抛物线进行联立，设交点坐标，由韦达定理得焦点横坐标之和，结合抛物线中焦点弦长公式可得，由基本不等式即可求出最值.【详解详析】解：抛物线的焦点坐标为，设直线：，直线：，联立，整理得．设，，则，设，，同理可得．由抛物线的性质可得：，，又∵，∴．当且仅当时，等号成立，∴的最小值为8．故答案为：8．【名师指路】关键点睛:本题的关键是联立直线和抛物线方程后，结合韦达定理和抛物线中的焦点弦公式写出的表达式.13．已知圆：与抛物线：恰有两个公共点､，圆与恰有一个公共点，且圆与轴相切于的焦点，则___________.【标准答案】【思路指引】联立圆与抛物线方程，化为关于的一元二次方程，利用判别式等于0求得，可得抛物线的方程，求得抛物线焦点坐标，设圆的半径为，则，设，则有，设圆与抛物线相切于点，利用导数可得抛物线在切点处的切线方程，求出切线与轴的交点坐标，由列式求得点坐标，分类求出，的坐标，则可求.【详解详析】解：由题意，圆与抛物线均关于轴对称，则､关于轴对称，即，联立，得.则关于的方程有两相等实数解，则，解得或，当时，方程化为，解得；当时，方程化为，解得(舍去).∴，：，把代入，可得，，，设圆的半径为，则，设，则有，由题意，圆与抛物线相切于点，设点处抛物线的切线的斜率为，对两边求导得，，∴，则，∴切线方程为，设切线与轴的交点为，令，得，可得，又与圆切于点，与圆切于点，∴，∴，整理得，解得或(舍去).∴或，若，则，，；若，则，，.综上所述，.故答案为：.14．(2023·上海市复兴高级中学高二期中）过抛物线的焦点，且斜率为的直线交抛物线于点（在轴的上方），为抛物线的准线，点在上且，则到直线的距离为________【标准答案】【思路指引】由直线的斜率为和抛物线定义可得为边长等于4的等边三角形可得答案.【详解详析】因为直线的斜率为，所以与轴正方向的夹角为，因为，所以，又，所以为等边三角形，所以，由抛物线方程知，在中，，所以等边三角形边长为4，到直线的距离为.故答案为：.15．(2023·上海·曹杨二中高二月考）如图，已知抛物线的焦点为，直线过点且依次交抛物线及圆于、、、四点，则的最小值为_____．【标准答案】【思路指引】利用抛物线的定义表示出，，对直线的斜率是否存在进行讨论：当直线的斜率不存在时，，，当直线的斜率存在时，设：，用设而不求法表示出，利用基本不等式求最值.【详解详析】解：抛物线的准线为，所以，因为，由圆的半径为，所以.同理，当直线的斜率不存在时，，，当直线的斜率存在时，设：，由得，所以，所以，（取等号的条件为，即）综上，的最小值为．故答案为：11【名师指路】解析几何中的最值问题一般的求解思路：①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数或基本不等式求最值.16．(2023·上海市建平中学高三期中）过抛物线的焦点且斜率为的直线交抛物线于点（在轴上方），为抛物线的准线，点在上且，则到直线的距离为___________【标准答案】【思路指引】由抛物线方程可得焦点坐标和准线方程，将直线方程与抛物线方程联立可求得坐标，进而得到，确定直线方程，利用点到直线距离公式可得结果.【详解详析】由抛物线方程知：，，直线方程为：，由得：或，又在轴上方，，，，直线方程为：，即，点到直线的距离.故答案为：.17．(2023·上海崇明·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，以为顶点为焦点作抛物线.若双曲线与抛物线交于点，且，则抛物线的准线方程是_____.【标准答案】【思路指引】直线的方程与抛物线方程联立，求得点的坐标，判断出，结合双曲线定定义求得，由此求得抛物线的准线方程.【详解详析】设，则抛物线方程为，直线的方程为，，所以，，根据双曲线的定义得，所以抛物线的直线方程为.故答案为：18．(2023·上海长宁·一模）已知点在抛物线上，点在的准线上，线段的中点均在抛物线上，设直线与轴交于点，则的最小值为____________．【标准答案】【思路指引】设，进而根据题意得是方程的两个实数根，故，进而得，再根据直线与轴交于点得，最后结合对勾函数求解即可.【详解详析】解：设所以的中点坐标为，由于，所以，即；同理得，所以，即是方程的两个实数根，所以，所以，故由于直线与轴交于点所以，即，因为对勾函数的取值范围是，所以，故答案为：19．(2023·上海长宁·一模）设曲线与函数的图像关于直线对称，若曲线仍然为某函数的图像，则实数的取值范围为____________【标准答案】【思路指引】设是在点处的切线，进而根据题意得直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，进而得的方程为，再联立方程即可得，进而得答案.【详解详析】解：设是在点处的切线，因为曲线与函数的图像关于直线对称，所以直线关于对称后的直线方程必为，曲线才能是某函数的图像，如图所示直线与的角为，所以的倾斜角为，所以的方程为故联立方程得，即，所以，解得所以的取值范围为故答案为：.20．(2023·上海交大附中模拟预测）焦点为的抛物线与圆交于、两点，其中点横坐标为，方程的曲线记为，是圆与轴的交点，是坐标原点.有下面的四个命题，请选出所有正确的命题：_________.①对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；②对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角；③对于任意，该曲线有且仅有一个内接正△；④当时，存在面积大于2021的内接正△.【标准答案】①②③【思路指引】由题设抛物线与圆的方程可得交点横坐标与圆半径的关系为，结合各项条件，应用特殊值法判断①②的正误，由于随着圆半径的增大，直线与的交点从圆上会变化，直到时交点刚好为抛物线与圆的交点上，此后R再增大位置不变，即可判断③④的正误.【详解详析】联立抛物线与圆的方程，消去y得，即，而且，∴，即A、B横坐标与半径R的关系，∵抛物线与圆有两个交点，即，∴当时，，①正确；∵由题意知：关于x轴对称，则对于给定的角，存在使得圆弧所对的圆心角，即只需存在R使即可.∴令，则，解得或，1、当，在如下图阴影部分变化，有，2、当，若时，故在如下图阴影部分变化，有，∴或时，有即，所以对于给定的角，存在，使得圆弧所对的圆心角，故②正确；由，于是轴，直线：，同理，∴与分别都只有一个交点，即对于任意，该曲线有且仅有一个内接正△，③正确；当时，如下图示，抛物线与圆只有一个交点且交点为原点，不符合题意，但此时，∴当时，与的交点在圆上，会一直增大，如下图示，直到，即与、重合分别为、，此时，∴.当时，与的交点在抛物线上，的变化对没有影响，如下图示，，∴④错误.【名师指路】关键点点睛：确定A、B横坐标与半径R的关系，应用特殊值法判断前两项的正误，由题设确定，，且在圆的半径增大过程中首先在圆上变化，直到时一直为与抛物线的交点.三、解答题21．(2023·上海青浦·一模）已知抛物线.(1)过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，求的值（其中为坐标原点）；(2)过抛物线上一点，分别作两条直线交抛物线于另外两点､，交直线于两点，求证：为常数(3)已知点，在抛物线上是否存在异于点的两个不同点，使得若存在，求点纵坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.【标准答案】(1)(2)(3)存在；【思路指引】（1）设直线方程为，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理和向量数量积可求；（2）由题设出直线方程，联立抛物线表示出，化简即可求解；（3）设，将转化为数量积为0，得出关于关系式，利用基本不等式即可求解的取值范围.(1)由题知，直线斜率不为0，故可设过焦点的直线为，联立得，，设，则；(2)由题可设过点的一条直线交抛物线于，交直线于，另一条直线交抛物线于，交直线于，则，，直线方程可表示为：，直线方程可表示为：，联立直线与抛物线方程可得，故，即，同理联立直线和抛物线方程化简可得，故，，即(3)假设存在点满足，设，，则，易知，化简得，即，当时，，当且仅当时取到等号，故；当时，，当且仅当时取到等号，因为，故，令，则，但能取到，此时，故；故，22．(2023·上海浦东新·一模）已知斜率为的直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于不同的两点、.(1)若点和到抛物线准线的距离分别为和，求；(2)若，求的值；(3)点，，对任意确定的实数，若是以为斜边的直角三角形，判断符合条件的点有几个，并说明理由.【标准答案】(1)(2)(3)一个，理由见解析【思路指引】（1）根据抛物线的定义求得焦点弦长；（2）直线的方程为，代入抛物线方程后应用韦达定理得，利用焦半径公式及已知，得出的关系，与韦达定理结合可求得；（3）把用坐标表示出来，代入韦达定理的结论，得出关于的方程，由一元二次方程根的分布可得的正数解的个数．(1)根据抛物线定义，，∴.(2)直线的方程为，由，，，，，，，代入（5）得：，（舎）或，∴.(3)∵是以为斜边的直角三角形，∴，，,，即，，（或者），∴，，，，方程仅有一个正实数解，存在一个满足条件的点.23．(2023·上海徐汇·一模）在平面直角坐标系中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上一点.(1)求曲线的方程；(2)过点且斜率为的直线与曲线交于两点，若且直线与直线交于点，求的值；(3)若点在轴上，的内切圆的方程为，求面积的最小值.【标准答案】(1)(2)(3)【思路指引】（1）根据抛物线的定义直接判断出轨迹写出方程即可；（2）联立直线与抛物线方程求出，再求出点的坐标，计算，即可求解；（3）求出DE的长，再利用点到直线的距离求出三角形的高，代入面积公式，由均值不等式求最值即可.(1)由题意，动圆圆心到与到直线距离相等，所以曲线K为抛物线，焦点为.所以抛物线方程为；(2)设直线l：，则，由根与系数关系可得，，由，又，.(3)设，且切线斜率为，则切线方程为，，所以，则，则，所以当且仅当，即时，等号成立，24．(2023·上海宝山·高二期末）已知椭圆的右焦点为，短轴长为.（1）求椭圆的方程；（2）设S为椭圆的右顶点，过点F的直线与交于M、N两点（均异于S），直线、分别交直线于U、V两点，证明：U、V两点的纵坐标之积为定值，并求出该定值；（3）记以坐标原点为顶点、为焦点的抛物线为，如图，过点F的直线与交于A、B两点，点C在上，并使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在F的右侧，设、的面积分别为、，是否存在锐角，使得成立？请说明理由.【标准答案】（1）；（2）证明见解析；-9；（3）不存在，理由见解析.【思路指引】（1）由右焦点为，短轴长为，得，且，解得，即可得出答案．（2）若直线的斜率不存在，则直线，进而求出，点的坐标，写出直线、的方程，与联立，解得，的坐标，再计算、两点的纵坐标之积．若直线的斜率存在，则可设，，，，直线，联立椭圆的方程，结合韦达定理可得，，写出直线的方程，进而可得点的纵坐标，同理可得点的纵坐标，再计算、两点的纵坐标之积，即可得出答案．（3）设，，写出直线方程，联立抛物线的方程，结合韦达定理可得，进而可得点坐标，由于重心在轴上，推出，即，进而可得点，点坐标，写出直线方程，进而可得点坐标，计算，结合基本不等式，即可得出答案．【详解详析】解：（1）依题意，得，且，∵，∴，∴椭圆的方程为.（2）由椭圆的方程可知.若直线的斜率不存在，则直线，∴，，直线、的方程分别为、，易得，，∴、两点的纵坐标之积为.若直线的斜率存在，则可设直线，由得.设，，则，，∵直线的方程为，∴点的纵坐标.同理，点的纵坐标.所以.综上，U、V两点的纵坐标之积为定值-9.（3）不存在.理由如下：显然，抛物线的方程为.设，，则直线方程可为，由可得故，∴，∴.∵重心在轴上，∴，即，∴，进而，.进一步可得直线，∴，又在焦点的右侧，∴，即.因此.当（注意到），即时，取等号，即有（※）.若存在锐角，使得成立，则，即，这与（※）矛盾.因此，不存在锐角，使得成立.25．(2023·上海浦东新·高二期中）在平面直角坐标系中，原点为，抛物线的方程为，线段是抛物线的一条动弦．（1）求抛物线的准线方程；（2）求，求证：直线恒过定点；（3）过抛物线的焦点作互相垂直的两条直线、，与抛物线交于、两点，与抛物线交于、两点，、分别是线段、的中点，求面积的最小值．【标准答案】（1）准线方程：；（2）直线恒过定点，证明见解析；（3）．【思路指引】（1）由焦点在轴正半轴上，且，即可得准线方程；（2）设直线方程为，与抛物线方程联立由韦达定理和向量数量积的坐标运算，解方程可得的值，即可得所过的定点；（3）设的方程为，，，与抛物线方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式求、两点坐标，由两点间距离公式求、的长，再计算，由基本不等式求最值即可求解.【详解详析】（1）由可得：，焦点为，所以准线方程：，（2）设直线方程为，，由得，所以，，，即，解得：所以直线过定点（3），由题意知直线、的斜率都存在且不为，设直线的方程为，，，则直线的方程为，由得，所以，，所以，，所以用替换可得，，所以，所以，当且仅当即时，等号成立，所以的面积取最小值．【名师指路】方法点睛：解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑：①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系；③利用基本不等式求出参数的取值范围；④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围．26．(2023·上海·曹杨二中高二月考）直线与抛物线交于、两点，为坐标原点，直线、的斜率之积为，以线段的中点为圆心，为半径的圆与直线交于、两点．（1）求证：直线过定点；（2）求中点的轨迹方程；（3）设，求的最小值．【标准答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．【思路指引】（1）设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，分析可知，利用平面向量的数量积的坐标运算并结合韦达定理求出的值，即可证得结论成立；（2）设线段的中点为，可得出，消去可得出线段的中点的轨迹方程；（3）利用平面向量的数量积推导出，结合两点间的距离公式以及二次函数的基本性质可求得的最小值.【详解详析】（1）设直线的方程为，设点、，由得，所以，所以，，所以，，因为直线、的斜率之积为，所以，所以，所以，所以直线的方程为，过定点；（2），直线中点为圆心，设线段的中点为，可得，消去得，因此，线段的中点的轨迹方程为；（3）如下图所示，易知圆心为线段的中点，，所以，，所以，，即，所以，所以当时，的最小值为．【名师指路】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．27．(2023·上海市奉贤区奉城高级中学高二期中）过抛物线上一定点作两条直线分别交抛物线于，，（1）若横坐标为的点到焦点的距离为1，求抛物线方程；（2）若为抛物线的顶点，，试证明：过、两点的直线必过定点；（3）当与的斜率存在且倾斜角互补时，求的值，并证明直线的斜率是非零常数.【标准答案】（1）；（2）证明见解析；（3），证明见解析.【思路指引】（1）根据抛物线的定义，结合题中条件，列出关于的方程，求解，即可得出结果；（2）先由题意得，直线斜率不为零；设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，根据韦达定理，得到，，再由，得，求出，即可证明结论成立；（3）根据题中条件，先得到，；由作差整理，可得；同理可得；再由两倾斜角互补，即可求出；由作差整理，可表示出，进而可判断其为非零常数.【详解详析】（1）因为抛物线的焦点坐标为，准线方程为；又横坐标为的点到焦点的距离为1，所以，即，故抛物线方程为；（2）若为抛物线的顶点，则；因为，为抛物线上的点，所以直线斜率不为零；可设直线的方程为，由得，则，，所以，又，则；所以，即，所以，即直线的方程为，因此，过、两点的直线必过定点；（3）因为，，都是抛物线上的点，且与的斜率存在，则，；由可得，所以；由可得，所以；又因为与的倾斜角互补，所以，即，整理得，要求的值，显然；所以，要证明直线的斜率是非零常数，显然直线的斜率存在；由可得，所以，因为，，所以是非零常数，即直线的斜率是非零常数.【名师指路】思路点睛：求解圆锥曲线中直线过定点问题，一般需要先设直线方程，联立直线与曲线方程，结合韦达定理，以及题中所给条件，确定直线方程中两系数之间关系（或直接求出某一系数的值），即可得解.28．(2023·上海市实验学校高三月考）已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线l交于抛物线于，两点.（1）求抛物线的方程；（2）若射线，分别与椭圆交于点，，点为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线使？若存在求出直线的方程，若不存在，请说明理由；（3）若为上一点，，与轴相交于，两点，问，两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.【标准答案】（1）（2）不存在，理由见解析；（3）是定值，且定值为，理由见解析.【思路指引】（1）联立直线与抛物线方程求出，两点坐标，由两点间距离公式列方程即可求解；（