2024届云南省曲靖市一中高三上学期教学质量监测（五）数学试题及答案

曲靖一中2024届高三教学质量监测试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．,a,0Bxx2x0Aa2BA1.已知集合，，且，则a的值为（A.1B.1C.1D.218z2.已知，则的虚部为（zi22C.1318A.13B.D.π3sincos()tan2（3.已知，则333A.B.C.3D.333x2，P是双曲线右支上的一动点，则1的左焦点，M1,3的最小y24.已知F是双曲线3值为（A.10B.2310C.23D.23325.根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃1323饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为31，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周42一去食堂一楼的概率为（3471545A.B.C.D.76.过点P2作圆C:x24xy30的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为2（）4147A.B.C.D.2AbC2A7.在中，角，B，Cac所对的边分别为，，，若acb，，，成等差数列，则C=（第1页/共5页18341245A.B.C.D.8.已知函数及其导函数fx的定义域均为R，及，若f12xg2x，均为fxgxfx偶函数，则下列说法正确的是（的周期为gxf10A.B.D.2C.ff3g0g2二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．，则下列说法正确的是（xyx2y29.已知，都是正数，且129212A.C.的最大值为B.的最小值为xyx24y2的最小值为4D.x2y的最大值为210.已知抛物线C:y24x，O为坐标原点，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线C交于点A，B两点，设，，抛物线C的准线与x轴的交点为G．则下列说法正确的是（Bx,y22）Ax,y11xx4AB8时，直线l的斜率为1A.C.GF始终平分AGBB.当128SAGBD.1，如图，A，是直线fxsin与曲线的两个交点，若xyyfx11.已知函数B2πAB，则下列说法正确的是（3πππ66fx,2，A.C.B.在上单调递增35π3xx是的一条对称轴fxD.y是曲线的一条切线fx12212.远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中．其基础主体结构可以看做ABCDBCD．如图所示，过作底面ABCD的垂线，垂足为G．记是一个倒扣的正四棱台B第2页/共5页BBGBBC，BBCCABCD与面所成角为，面BBCCG与面，，面BCBCbBG所成角为x，a，，h，则（）1A.正四棱台ABCDABCD的体积为2bab2ha3tan2tansinsinsinB.C.xD.sinsin三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．，则22ab3ab，ab__________．213.已知向量中，，1，则数列中的最小项a933．记n1a2an2,3,Tn14.已知等差数列为__________．nnπNπ2内恰好有两条对称轴，则实数的值可以是ysinx15.若函数的图象在3__________（写出一个满足题意的fx2axx218，其中a0且a1．若存在两个极值点fxx1，x2，则实数16.已知函数a的取值范围为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．ABCBCsinA17.已知在中，，，AB2．（1）求的外接圆半径R；（2）求sinA．18.如图，在四棱锥P中，PA平面ABCDABCD为梯形，且，AD//BC，，底面PAABBC2AD2，E为PB边上的一点，满足．BE2EP第3页/共5页（1）求证：直线PD//面ACE；（2）F为线段BC的中点，求直线PFACE与平面所成角的余弦值．19.某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题．（1）现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X的分布列，并求出X的数学期望．EX（2）现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有a0aaN条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，aa设事件A为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当时，事件A发生的概率最大，求0a0的值．是公差为的等差数列，是的前项和，nN．anddSn0an20.已知数列na1a2a的通项公式；an（1）若（2）若，且，求数列12nnb的前n项和为nad1aa1aaT，求T．n5，数列的首项为，满足，记数列bn1nn21.已知抛物线O:x22pyp0，其顶点在坐标原点，直线y1与抛物线交于M，N两点，且．（1）求抛物线O的方程．C:xy221，，上的三个点，且任意两点连线斜率都存2A12A，是抛物线3（2）已知OCAAAA相切，请判断此时圆心C2A到直线的距离是否为定值，如果是定值，请3在．其中，均与1213求出定值；若不是定值，请说明理由．axxf(x)g(x)22.已知函数和有相同的最大值.exax第4页/共5页（1）求a；yf(x)yg(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线交点的横坐标成等比数列.和第5页/共5页曲靖一中2024届高三教学质量监测试卷（五）数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．,a,0Bxx2x0Aa2BA1.已知集合，，且，则a的值为（A.1B.1C.1D.2【答案】B【解析】a【分析】解二次方程化简集合B，再由集合的包含关系求得，进而利用元素的互异性即可得解.x00,1且Bxx2BA，【详解】因为1或a1，得a1，则集合A中必含元素0，1，所以a2根据集合中元素的互异性可知：a1．故选：B．18z2.已知，则的虚部为（zi221318A.13B.C.D.【答案】C【解析】z【分析】应用复数运算法则化简式子求，根据zabizaiz即可知的共轭复数，求出z的求出虚部即可.5，z18，z2218，【详解】i4n1，所以i22所以z的虚部为13.故选：C.iii1π3sincos()tan2（3.已知，则333A.B.C.3D.333【答案】D【解析】【分析】综合应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式即可解决.第1页/共21页π13313sincos()cossinsincos，【详解】由，即322222333可得tan故选：D．，由正切的倍角公式可得3．1313x2，P是双曲线右支上的一动点，则1的左焦点，M1,3的最小y24.已知F是双曲线3值为（A.10B.2310C.23D.2332【答案】C【解析】PMPFMF，进而根据，即可求解2a【分析】利用双曲线定义得到【详解】设双曲线的右焦点为F，x2F2,0，则，y21可知a3，c2由3因为P是双曲线右支上的一动点，根据双曲线的定义可知：PFPF2a23，PFPM23PFPM所以因为，PFPMMF，MF，当且仅当F，P，M三点共线时，达到最小值因为，，所以10，M1,3F2,0232310．即的最小值为故选：C．5.根据曲靖一中食堂人脸识别支付系统后台数据分析发现，高三年级小孔同学一周只去食堂一楼和二楼吃1323饭．周一去食堂一楼和二楼的概率分别为和，若他周一去了食堂一楼，那么周二去食堂二楼的概率为31，若他周一去了食堂二楼，那么周二去食堂一楼的概率为，现已知小孔同学周二去了食堂二楼，则周42第2页/共21页一去食堂一楼的概率为（3471545A.B.C.D.7【答案】A【解析】【分析】利用贝叶斯概率公式求解即可.【详解】记小赵同学周一去食堂一楼为事件A，周二去食堂一楼为事件B，13PBAPA37PAB34则本题所求．1321PBAPAPBAPA3432故选：A．6.过点P2作圆C:x24xy30的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为2（）4147A.B.C.D.2【答案】B【解析】PC【分析】先求以及切线长，再根据等面积法即可得结果.1，4xy230，即x2y22【详解】圆C:x222易知所以四边形，圆C的半径r1，所以切线长PAPB7．1S2717的面积为．PACB21S7，所以根据等面积法知：PACB214所以AB．2故选：B．AbacC2Ab所对的边分别为，，，若ac，，，成等差数列，则7.在中，角，B，CC=（13124A.B.C.D.845【答案】A第3页/共21页【解析】【分析】根据等差中项性质并结合正弦定理及正弦函数两角和差公式，倍角公式即可求解.【详解】因为C2A，所以Bπ3A．abc又因为，，成等差数列，则bac．2sinBsinAsinC2sin3AsinAsinC，根据正弦定理可得：，即2sin2AA2cos2AsinAsinAsinC展开得：，sin2A2cosA1sinA12cos2A，进一步得：因为sinA0，可得8cosA2cosA30，223318AC21又易知A为锐角，所以故选：A．，则4，故A正确.48.已知函数及其导函数fx的定义域均为R，及，若f12xg2x，均为fxgxfx偶函数，则下列说法正确的是（的周期为gxf10A.B.D.2C.ff3g0g2【答案】C【解析】【分析】根据奇函数和偶函数的定义，结合函数的周期性和对称性，即可判断.【详解】因为f12x是偶函数，则，即关于x1对称，f12xf12xfxf12xf12x对两边同时求导可得：2f12x2f12x，g12xg12x0关于0对称，即gx，所以又因为g2x是偶函数可得g2xg2x，即关于x2对称．gx从而得的周期为4．所以的周期也为4．fxgx对于选项A，因为若满足题意，则也满足题意．故的值不确定，所以错；fxfxfxcA对于选项B，的周期为4，所以B错；gx对于选项C，的周期也为4，所以fx，所以对；f3Cf1第4页/共21页对于选项D，关于对称，所以，所以错．1,0g0g2Dgx故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．，则下列说法正确的是（xyx2y29.已知，都是正数，且129212A.C.的最大值为B.的最小值为xyx24y2的最小值为4D.x2y的最大值为2【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式可对A，C、D判断；利用基本不等式“1”的应用可对B判断；121x2y222xyx2y1，即x1y，【详解】对A：可得，当且仅当时成立，故A2选项正确；xx2y2y1，对B：由，得21292122y2x2y2xx2y5529，故所以，xyxyxyxy2xy当且仅当时成立，故B选项正确；3121对C：x2y2x244y2x24y244444，由A知，所以2，212仅当x2y1，即x1，y时成立，故C选项错误；112x2yx2y222222224对D：由A知，所以，241当且仅当x2y1，即x1，y时成立，故D选项正确．2故选：ABD．10.已知抛物线C:y4x，O为坐标原点，直线l经过抛物线的焦点F，与抛物线C交于点A，B两2点，设，，抛物线C的准线与x轴的交点为G．则下列说法正确的是（Bx,y22）Ax,y11xx4AB8时，直线l的斜率为1A.B.当12第5页/共21页8C.GF始终平分AGBD.SAGB【答案】BC【解析】【分析】设直线l的方程为：xny1，联立直线与抛物线的方程通过韦达定理可判断A，通过弦长公式k0可判断C，由三角形面积公式可判断D.k可判断B，通过【详解】显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为：xny1，24ny40，则1y24，y联立直线与抛物线得y21y22所以121，所以A选项错误；xxpnyy44n2248又因为，可得n21，1211n1，所以k1即，所以B选项正确；kkk0即证，2yy1y21y221y8n8ny41y22ny122120，即x1x112ny22n21y22nyy4n21212所以C选项正确；12dxny10S由上述知：，已知直线方程为：，2d则，1n2121S4n244n14，2所以1n2n0时成立，所以S4当且仅当，所以D选项错误．AGBmin故选：BC．12，如图，A，是直线fxsin与曲线的两个交点，若fxxyy11.已知函数BπAB，则下列说法正确的是（3第6页/共21页πππ,fx2，A.C.B.在上单调递增3665π3xx是的一条对称轴fxD.y是曲线的一条切线fx122【答案】AD【解析】【分析】由函数的图象可确定，的值，从而确定单调性和对称性，再通过求导得到切线方程.1212πAx,Bx,，xx，则21【详解】设．123112，sin2因为sinx1,2π5π12π2，2π，kZ所以所以，662π2π2xxx，即2．，即121332π3π32fsin0π,0为下降零点，又因为，且3π所以π2π，kZ，3π2πkZ，，即3π3πfxsin2x．所以A选项正确；故取．故3ππx,π2π2x,0当将，，显然不是单调增区间，所以B选项错误；66335ππ7π5πxfxsin2sin1，显然不是对称轴，代入方程得121236所以C选项错误；第7页/共21页π3π令1得xπ或xπ，fx2x333yx得其中一条切线为，所以D选项正确．取点22故选:AD．12.远看曲靖一中文昌校区紫光楼主楼，一顶巨大的“博士帽”屹立在爨园之中．其基础主体结构可以看做ABCDBCD．如图所示，过作底面ABCD的垂线，垂足为G．记是一个倒扣的正四棱台BBBGBBC，BBCCABCD与面所成角为，面BBCC，，面与面GBCBCbBG所成角为x，a，，h，则（）1A.正四棱台ABCDABCD的体积为2bab2ha3tan2tansinsinsinB.C.xDsinsin【答案】ACD【解析】BBCC的二面角，分别【分析】根据正四棱台的体积计算公式即可判断A选项；作出面与面ABCDtan,tanB，B写出的表达式，即可判断B选项；根据，B，均为直角三角BBsinBHBBsinBBCCG的二面角，通过形．得到，即可判断C选项；作出面与面sin余弦定理即可判断D选项.【详解】对于A，根据正四棱台体积计算公式：11bab，所以A正确；VhSSSSha22台3上下上下3对于B，过G点作BC边的垂线交BC于H点，第8页/共21页BGABCDBCABCDBGBC，所以，因为，面，面HG,BGBHG面又，BHGBBBCCABCD，所以面，所以就为面与面所成角的二面角BHBG2BGtantantan2tan，则．所以B错误；则，BBBGBG面对于C，因为面ABCD，BHG，B，B，均为直角三角形．B所以，BBsinBHBBsin,即sinsinsin．所以C正确；所以sin对于D，过H点作的垂线，交于I，再在平面G内过I作的垂线交BG于J．BBCCHIJx易知此时面与面G所成角的二面角就为．cossinsinmcosBHBJm设，则msin，．，cosm22m2coscoscos2BJ2BH22BJBHcosm22，2222cosx由余弦定理可知：，2m22sin2m222m2coscoscosm2sin2m222，2m2sincossincos第9页/共21页sin222sin222coscoscos2，cossincos2，所以D正确．sinsinsinsin故选：ACD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．，则22ab3ab，ab213.已知向量__________．【答案】8【解析】【分析】利用向量数量积及平方差公式可得答案.22abab21238ab【详解】．故答案为：8.中，，1，则数列中的最小项33．记n1a2an2,3,na9T14.已知等差数列nn为__________．【答案】【解析】【分析】先求出数列的通项公式，求出n，观察可得答案.3a1【详解】因为等差数列，所以公差，即n13n12n．and3a92a9a6a3a0，由于所以，，，4123T9TT162TTT0，，，，12345n所以3162．Tn故答案为：πNπ2内恰好有两条对称轴，则实数的值可以是ysinx15.若函数的图象在3__________（写出一个满足题意的3【答案】或（只写一个即可）4【解析】第10页/共21页πxππππ323π2x,，结合已知条件图象在内恰好有两条对称【分析】根据求得23轴，求得关于的不等式解出范围，因N确定的值.πxππππ323x,【详解】因为，则，23π3πππ5π因为需要包含两条相邻的对称轴，因为在区间内，则有，3223273，所以3即或4．33故答案为：或（只写一个即可）4fx2axx218，其中a0且a1．若存在两个极值点fxx1，x2，则实数16.已知函数a的取值范围为__________．1,11,e【答案】e【解析】【分析】根据函数存在两个极值点，得出导函数存在两个不同的变号零点，研究导函数的零点，fxhxaxagxx，hx两种情况讨论，根据0xa10a1和即aax，令，分与有两个交点，求出过原点的切线，比较过原点的切线的斜率与斜率，得出关于两gxhxhxgxa斜率的不等式求解即可.【详解】对函数fx2axx218求导得：fx2aax2aaxxx，因为存在两个极值点，所以fx有两个不同的变号零点．fx令hxaxagxx，有aax，令，，fx0x所以与有两个交点；gxhxhxaxahxaa，，x2a1当时，hxaa的切点坐标为设过原点的直线与xlna，0,ax0kax02a，切线斜率为ya0lnaa0ln2axx，所以切线方程为：0第11页/共21页1x0将原点坐标带入切线方程得．a1此时切线的斜率为：，现在需要aax有两个交点，xka2aa2a2ae，因为a1a00a1，所以1ae；即k，有，所以1a0kae1a0a1．同理知当0a1时，，2，即，所以e1e综上知：a的取值范围为,11,e．1,11,e故答案为：e四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．ABCBCsinA17.已知在中，，，AB2．（1）求的外接圆半径R；（2）求sinA．【答案】（1）R23（2）【解析】1）根据内角和求出C，由正弦定理即可得结果；sinAsinBC，最后根据即可得结（2）通过两角和与差的正弦公式可得tanB，即得sinB，cosB果.【小问1详解】πABC，ABCπ，所以C．因为6cc22R4，又因为，所以根据正弦定理得：sinC所以R2．【小问2详解】BCsinAsinBC，因为233展开可得：sinBcosC2cosBsinC，即B，第12页/共21页277217所以sinB，B，因为ABCπ，2773211321所以sinAsinBCsinBcosCcosBsinC．2721418.如图，在四棱锥P中，PA平面ABCD，底面ABCD为梯形，且AD//BC，，PAABBC2AD2，E为PB边上的一点，满足．BE2EP（1）求证：直线PD//面ACE；（2）F为线段BC的中点，求直线PFACE与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析65（2）9【解析】BGBE1BD交AC于GEG，证明出△∽△CGBDGEP出PD//，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、、轴建立空间直角坐标系，利用空间yz向量法可求得直线PF与平面【小问1详解】ACE所成角的余弦值.证明：连接BD交AC于G，再连接EG．第13页/共21页AD//BCDAGBCG，ADGCBG，则△∽△CGB，因为，则2所以，，BEEPBGBE2，所以，，所以，PD//，又因为BE2EP，则DGEPPDACE，ACEPD//ACE平面.因为平面平面，因此，【小问2详解】解：由题可得：PA平面ABCD，，以点A为坐标原点，AB、AD、AP所在直线分别为x、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系yzA．2433则，，，，A0,0,0P0,0,2E,0,C2,02433F0,0,AC2,0．因为F为线段BC的中点，则，所以，，m2x2y0x,y,zACEm设面的法向量为，则243，mxz031取x2，可得m，第14页/共21页PF2PFACE所成角为，又因为，设直线与平面m44sinPF,m则，339m249659则cos1sin21，65因此，直线PF与平面ACE所成角的余弦值为.919.某兴趣小组利用所学统计与概率知识解决实际问题．（1）现有甲池塘，已知小池塘里有10条鲤鱼，其中红鲤鱼有4条．若兴趣小组捉取3次，每次从甲池塘中有放回地捉取一条鱼记录相关数据．用X表示其中捉取到红鲤鱼的条数，请写出X的分布列，并求出X的数学期望．EX（2）现有乙池塘，已知池塘中有形状大小相同的红鲤鱼与黑鲤鱼共10条，其中红鲤鱼有a0aaN条，身为兴趣小组队长的骆同学每次从池塘中捉了1条鱼，做好记录后放回池塘，aa设事件A为“从池塘中捉取鱼3次，其中恰有2次捉到红鲤鱼”．当时，事件A发生的概率最大，求0a0的值．65EX【答案】19.分布列见解析，0720.【解析】25XB1）根据已知条件求出每次捉到红鲤鱼的概率，布列期望.，根据二项分布的公式可以求出分（2）根据已知条件求出的表达式，求导判断函数的单调性，求出函数最值，结合PA0a10且，大小确定值P6P7a.Na，比较【小问1详解】X03，，，，由题可得：1242p可得：每次捉到红鲤鱼的概率为．105第15页/共21页2XB3235272354013易知，PX；PX1C；512512555232336282233PXC；PX．551255125分布列如表所示：X01238PX265EXnp3所以．5【小问2详解】aa每次捉鱼，捉到红鲤鱼的概率为，则捉到黑鲤鱼的概率为1．102aa323a310a2，其中且，0a10aN所以PAC110101000203haa令310a2haa220aha0解得a0，a，则或，，ha0，haha为减函数，,10ha0故在上为增函数，在上33203所以hha．544410a10且aN，所以验证P6P7，，又因为1251000所以P7，所以a7，0PAa70综上所述：事件A发生的概率最大时.是公差为的等差数列，是的前项和，nN．andd0Snan20.已知数列na1a2a的通项公式；a，求数列n（1）若（2）若，且12nnb的前n项和为nad1aaaaT，求T．n5，数列的首项为，满足，记数列b1n1nnann【答案】（1）；T5（2）.【解析】第16页/共21页1）根据给定条件，利用等差数列通项列式，求出公差d即可求出通项公式.的通项，再借助分组求和即bnb,b（2）利用等差数列通项列式，求出的关系，利用构造法求出数列n1n得.【小问1详解】由数列是等差数列，a2a，得，则aa12n1d2an1d212n1dn2nn1d11，所以数列的通项公式为：．aan1n1nn【小问2详解】因为数列是等差数列，且满足a，aann1nn，ab1d3ab1da3b1d则又由1n11n1ad，则化简得：bn4，于是b23b2，1n1n1naab11是以为首项，为公比的等比数列，bn2，得，因此数列33b113135b23nb32n则，即，所以510353.nn1321.已知抛物线O:x22pyp0，其顶点在坐标原点，直线y1与抛物线交于M，N两点，且．（1）求抛物线O的方程．C:xy221，，，是抛物线O上的三个点，且任意两点连线斜率都存2A12A3（2）已知CAAAA相切，请判断此时圆心C2A到直线的距离是否为定值，如果是定值，请3在．其中，均与1213求出定值；若不是定值，请说明理由．2xy【答案】（1）（2）是定值，定值为1【解析】M,Np的坐标，从而利用向量数量积的坐标表示求得，由此得解；1）先由题意求得（2）充分利用，得到直线与x2iyi2,3AAAA2A的方程，利用与圆相切的性质同构出直线3i1213的方程，从而得解.第17页/共21页【小问1详解】因为联立y1与抛物线相交，y1y1M2pN2p．，解得，所以，则，x22pyx2p因为2p10，2p1，则抛物线的方程为xy．2所以【小问2详解】AAAA2A由题易知直线，，斜率一定存在，12133设，Ax,y2，，则2yi2,3，iAx,yAx,y11122333y2y21xx，1AAyy1则直线的方程为：121yyxxx1，即0xxyxx，2x即121211C:xy221的圆心为C0,2，半径为2r1，因为21x21，A2与圆C1因为直线相切得：2xx211x21x221222xx30，122平方化简得：yy1y21231，为变量的式子得：20x看成关于，212相切，化简式子后得：，AA与圆Cy1y2133130同理得直线131y的方程为：2A1y2xx3y0，所以可以同构出直线3111则所以圆心到直线C0,2AA的距离为：23第18页/共21页21131111111d1，2412y212114yy111此时圆心C到直线23的距离为定值，定值为1.2A【点睛】关键点睛：本题解决的关键是同构出直线的方程，从而得解.3axxf(x)g(x)22.已知函数（1）求a；和有相同的最大值.exaxyf(x)yg(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个（2）证明：存在直线y=b，其与两条曲线和交点的横坐标成等比数列.【答案】（1）a1（2）证明见解析【解析】1）由导数确定函数的单调性，得最大值，