第11讲 用公式法求解一元二次方程（解析版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

第11讲用公式法求解一元二次方程模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2．会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；知识点一．公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，.2.用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定a、b、c的值（要注意符号）；③求出的值；④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.知识点二、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即；（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定的值；③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况.2.一元二次方程根的判别式的逆用在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.要点：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则≥0.考点一：利用用公式法还原一元二次方程例1．（23-24八年级下·全国·假期作业）在用求根公式解方程的过程中，，，的值分别是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【解析】略【变式1-1】（23-24八年级下·安徽安庆·期中）若关于的一元二次方程的根为，则这个方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了解一元二次方程．根据公式法解答，即可求解．【详解】解：∵关于的一元二次方程的根为，∴二次项系数为1，一次项系数为，常数项为，∴这个方程为．故选：D【变式1-2】（2024八年级下·浙江·专题练习）是下列哪个一元二次方程的根（）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程的方法即可得结论，用公式法解一元二次方程的一般步骤为：把方程化成一般形式，进而确定，，的值；求出的值（若，方程无实数根）；在的前提下，把的值代入公式进行计算求出方程的根，解题的关键是掌握去根公式．【详解】解：、中，，不合题意；、中，，不合题意；、中，，不合题意；、中，x，符合题意；故选：．【变式1-3】（2024·河北石家庄·一模）若是一元二次方程的根，则（

）A． B．4 C．2 D．0【答案】D【分析】本题主要考查解一元二次方程----公式法，利用求根公式判断即可【详解】解：∵是一元二次方程方程的根，∴，，，∴，故选：D考点二：求一元二次方程中判别式的值例2.（23-24九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（

）A．16 B．24 C．72 D．64【答案】B【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，先化为一元二次方程的一般形式，将的值代入，即可求解．【详解】解：，即∴，故选：B．【变式2-1】（22-23九年级上·广东梅州·阶段练习）用公式法解一元二次方程时，计算的结果为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据方程的系数的带、、的值，再将其代入求值即可得到结果．【详解】解：在一元二次方程中，，，，，故选D．【点睛】本题考查了一元二次方程的系数与根的判别式，熟练掌握基本知识是解题关键．【变式2-2】（23-24八年级下·安徽安庆·阶段练习）当用公式法解方程时，的值为（

）A．2 B． C．17 D．【答案】C【分析】本题考查了根的判别式，将原方程变形为一般式找出、、的值是解题的关键．将原方程变形为一般式，找出、、的值，将其代入即可得出结论．【详解】解：原方程可变形为，，，，．故选：C【变式2-3】（22-23九年级上·山东德州·阶段练习）在公式法解方程时，的值是（

）A．16 B．4 C．32 D．64【答案】D【分析】首先把方程化简为一般形式，再得出、、的值，最后求出判别式的值即可．【详解】解：，，，，，；故选：D．【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程，解此题时首先要化简．还要注意熟练应用公式．考点三：用公式法求解一元二次方程例3.（23-24八年级下·吉林长春·期中）解方程：．【答案】【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的解法是解题关键．本题直接利用公式法求解即可．【详解】解：一元二次方程中，，，，∴，∴，∴．【变式3-1】（23-24九年级上·四川凉山·阶段练习）用公式法解方程：．【答案】【分析】本题考查公式法解一元二次方程，根据公式法，按步骤求解即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键．【详解】解：，，，．【变式3-2】（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：【答案】，【分析】本题考查了解一元二次方程，根据公式法解一元二次方程，即可求解．【详解】解：∴，∴解得：，【变式3-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)，(3)方程无解【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握利用公式法求解方程是解题的关键；（1）由题意易得，然后根据公式法可进行求解；（2）由题意易得，然后根据公式法可进行求解；（3）由题意易得，然后根据公式法可进行求解．【详解】（1）解：∴，∴，∴，∴；（2）解：∴，∴，∴，∴；（3）解：∴，∴，∴原方程无解．考点四：用公式法解一元二次方程的错题复原问题例4.（2024九年级下·全国·专题练习）小明在解方程的过程中出现了错误，其解答如下：解：，，，第一步，第二步，第三步，．第四步(1)问：小明的解答是从第______步开始出错的；(2)请写出本题正确的解答．【答案】(1)一；(2)正确的解答见解析．【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．（1）先把方程化为一般式，再确定a、b、c的值，从而可判断小明的解答从第一步开始出错了；（2）方程化为一般式得到，，，再计算根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【详解】（1）小明的解答是从第一步开始出错的，故答案为：一；（2）解：方程化为一般式为，，，，，，，．【变式4-1】（23-24八年级下·全国·假期作业）解方程，某位同学的解答过程如下：解：∵，，，∴，∴，∴，.请你分析以上解答过程有无错误，如有错误，指出错误的地方，并写出正确的结果.【答案】见解析【详解】解：有错误，的值应为.将方程化为一般形式，得.∵，，，∴，∴，∴，.【变式4-2】（22-23九年级下·河北邢台·开学考试）嘉淇在用公式法解方程时出现了错误，解答过程如下所示：解方程解：

（第一步）

（第二步）∴原方程无实数根

（第三步）(1)嘉淇的解答过程从第__________步开始出错的，其错误的原因是__________；(2)请你写出此题的正确的求解过程．【答案】(1)一，原方程没有化成一般形式(2)见解析【分析】（1）运用公式法的前提是将一元二次方程化成一般形式；（2）将一元二次方程化成一般形式，即可代入公式法求解．【详解】（1）解：确定各项系数时，应将一元二次方程化成一般形式故答案为：一；原方程没有化成一般形式；（2）解：原方程化成一般形式是：∵，，∴∴即，【点睛】本题考查利用公式法求解一元二次方程．注意求解过程中的易错点：未将一元二次方程化成一般形式，直接使用公式法．【变式4-3】（22-23八年级下·北京门头沟·期末）阅读材料，并回答问题：小明在学习一元二次方程时，解方程的过程如下：解：∵，，

①∴

②

③∴此方程无解问题：(1)上述过程中，从步开始出现了错误（填序号）；(2)发生错误的原因是：；(3)在下面的空白处，写出正确的解答过程．【答案】(1)③(2)计算错误(3)见解析【分析】根据公式法的步骤判断和求解即可．【详解】（1）解：由题意可得：从③步开始出现了错误故答案为：③；（2）计算错误（负数乘以负数得负数）；（3）∵，，，∴，∴，解得：，．【点睛】本题考查了用公式法解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法的计算步骤．考点五：根据判别式判断一元二次方程根的情况例5.（23-24九年级下·云南昆明·阶段练习）已知关于x的一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（

）A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．无法确定【答案】A【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根．【详解】解：∵，∴，∴方程两个不相等的实数根．故选A．【变式5-1】（2024·河南周口·三模）关于x的一元二次方程的根的情况是（

）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根【答案】D【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先计算根的判别式的值得到，再由非负数的性质可判断，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．【详解】解：∵，∴方程有两个不相等的实数根．故选：D．【变式5-2】（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断．【详解】解：A．，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意；B．，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意；C．，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意；D．，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意；故选：D．【变式5-3】（23-24八年级下·安徽六安·阶段练习）下列方程中，没有实数根的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根是解题的关键．分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断根的情况．【详解】解：A、可化为：，方程有两个不相等的实数根；B、，方程有两个相等的实数根；C、，方程有两个不相等的实数根；D、可化为：，方程没有实数根；故选：D．考点六：根据一元二方程根的情况求参数例6.（2024·甘肃金昌·三模）已知关于的一元二次方程．(1)当时，求方程的解；(2)若该方程有实数根，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程跟的判别式．（1）利用配方法解方程即可；（2）根据一元二次方程跟的判别式，列出不等式求解即可．【详解】（1）解：当时，原方程可化为，配方，得，解得；（2）解：∵该方程有实数根，∴，解得，即若该方程有实数根，的取值范围是．【变式6-1】（23-24八年级下·山东烟台·期中）关于的一元二次方程有实数根．(1)求的取值范围；(2)若为正整数，请用配方法求出此时方程的解．【答案】(1)且(2)，【分析】本题考查一元二次方程根的判别式及用配方法解方程，（1）由关于的一元二次方程有实数根，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义可得且，即，两个不等式的公共解即为的取值范围；（2）求出的值，用配方法解方程即可；解题的关键是掌握：式子是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根．【详解】（1）解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴且，解得：且，∴的取值范围为且；（2）∵且，且m为正整数，∴，∴原方程为，∴，∴，∴，∴，∴此时方程的解为：，．【变式6-2】（23-24八年级下·山东泰安·期中）已知：关于x的一元二次方程．(1)当m取何值时，此方程没有实数根；(2)若此方程有两个实数根，求m的最小整数值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了根的判别式，熟知根的判别式为是解题的关键．（1）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可解答；（2）利用判别式的意义得到，根据题意可得，即可得到m的最小整数值．【详解】（1）解：关于x的一元二次方程，可得，当，即时，此方程没有实数根；（2）解：∵有两个实数根，∴，∴；∴m的最小整数值为．【变式6-3】（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）已知关于x的方程．(1)求证：无论k取任何实数，该方程总有实数根；(2)如果这个方程的两个根恰好是等腰三角形的两边长，其第三边长为4，求的周长．【答案】(1)见详解(2)的周长为11或10．【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，根据根的情况求参数和等腰三角形的性质.（1）先计算出，然后根据非负数的性质即可证明．（2）分两种情况计算，当腰长为4时，代入方程，求出k值，得出方程，进而求得方程的另一个根，当底边长为4时，此时方程有两个相等的实数根，根据得出k的值，把k值代入方程，解方程即可求的的腰长．【详解】（1）证明：，∵，即，∴无论取任何实数，方程总有实数根．（2）当腰长为4时，把代入，得，，解得；方程化为，则其另一个解为，此时的周长为．当底边长为4时，则方程有两个相等的实数根，∴，∴，此时方程化为，即,解得：，此时的周长为．综上所述，的周长为11或10．一、单选题1．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）用求根公式解方程时，，的值是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】将方程化为一般形式即可得到a，b，c的值．【详解】解：∵，∴，则，，．故选：B．【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式：，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．2．（23-24八年级下·浙江温州·期中）一元二次方程的实数根有（

）A．1个 B．2个 C．0个 D．无数个【答案】B【分析】本题考查了根的判别式，掌握判别式是解题的关键．计算出方程的进行判断即可，当时，方程有两个实数根，时，方程无实数根．【详解】解：，∴方程有两个不相等的实数根，故选：B．3．（23-24九年级上·福建泉州·期中）是下列哪个一元二次方程的根（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，方程有两个实数根，即，根据一元二次方程的求根公式，反推出一元二次方程各项的系数，即可得到答案．【详解】解：设一元二次方程为，则方程的根为：，，，，，该一元二次方程为，故选：D．4．（23-24九年级上·河北保定·期中）已知方程的两根是等腰三角形的两条边长，则等腰三角形的周长是（

）A．15 B．12 C．9 D．12或15【答案】A【分析】题考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三边关系，等腰三角形的性质，利用因式分解法求出x的值，再根据等腰三角形的性质分情况讨论是解题的关键．【详解】解：解方程得，因为，所以等腰三角形的两腰为6、6，底边长为3，所以三角形周长．故选A．5．（2024·四川广安·中考真题）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（

）A．且 B．C．且 D．【答案】A【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴，解得：，，，的取值范围是：且．故选：A．二、填空题6．（23-24九年级上·全国·课后作业）方程的解是．【答案】，【分析】选择公式法求解即可．【详解】，整理，得，∵∴，∴，，故答案为：，．【点睛】本题考查了解方程，选择适当的方法求解是解题的关键．7．（23-24九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程时，其中求得的的值是．【答案】64【分析】先将方程化为一般式，准确找出a、b、c的值，代入计算即可．【详解】解：，，∴，∴，故答案为：64．【点睛】本题主要考查了求一元二次方程根的判别式，解题的关键是将方程化为一般式，准确找出二次项系数，一次项系数，常数项．8．（2024·上海徐汇·二模）关于的一元二次方程根的情况是：原方程实数根．【答案】有两个不相等的【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可．【详解】解：由题意得，，∴原方程有两个不相等的实数根，故答案为：有两个不相等的．9．（2024·江苏连云港·二模）若一次函数的图像经过第一、二、四象限，则方程有个根．【答案】两或2【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、一次函数的图象和性质等知识点，先根据一次函数的性质得到，再计算判别式的值得到，则，然后根据判别式的意义判断方程根的情况，熟练掌握其性质是解决此题的关键．【详解】∵一次函数（k、b为常数）的图象经过第一、二、四象限，∴，∵，∵，∴，即，∴方程有两个不相等的实数根．故答案为：两．10．（2024·甘肃定西·三模）若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是．【答案】且【分析】本题考查一元二次方程的定义，根的判别式的意义，解题的关键是记住：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．根据一元二次方程的定义结合根的判别式的意义列不等式求解即可．【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根，∴，且，解得，且，故答案为：且．三、解答题11．（21-22八年级上·上海静安·期末）用公式法解方程：．【答案】【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，先求解，再利用求根公式解方程即可．【详解】解：，，，则，∴原方程的根为.12．（23-24八年级下·全国·假期作业）用公式法解下列方程：(1)；(2)；(3).【答案】(1)，(2)，.(3)【详解】解：（1）∵，，，∴，∴，即，.（2）移项，得，∴，，，∴，∴，即，.（3）∵，，，∴，∴，即.13．（2024·江西·一模）课堂上，刘老