第05讲 正方形的性质（原卷版）-2024年九年级数学暑假讲义（北师版）

第05讲正方形的性质模块一思维导图串知识模块二基础知识全梳理（吃透教材）模块三核心考点举一反三模块四小试牛刀过关测1．了解正方形的有关概念，理解并掌握正方形的性质定理；2．会利用正方形的性质进行相关的计算和证明．一、正方形的定义定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.要点：既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形.二、正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.1.边——四边相等、邻边垂直、对边平行；2.角——四个角都是直角；3.对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心.要点：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形.考点一：正方形性质的理解例1．（23-24八年级下·河南周口·期中）下列关于正方形的说法错误的是（

）A．正方形的四条边都相等，四个角都是直角B．正方形有四条对称轴C．正方形的两条对角线互相垂直平分且相等D．正方形一条对角线上的点到另一条对角线两端点的距离不一定相等【变式1-1】（23-24八年级下·湖北荆州·期中）菱形，矩形，正方形都具有的性质是（

）A．四条边都相等 B．都是轴对称图形C．对角线互相垂直且互相平分 D．对角线相等且互相平分【变式1-2】（23-24八年级下·山东淄博·期中）正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线平分一组对角 B．对角线相等C．对角线互相垂直平分 D．四条边相等【变式1-3】（23-24八年级下·江苏无锡·阶段练习）正方形具有而矩形不一定具有的性质是（

）A．对角线互相垂直B．对角线互相平分C．对角线相等D．四个角都是直角考点二：根据正方形的性质求角度例2.（23-24八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，在正方形的内侧，作等边三角形，则为（

）A． B． C． D．【变式2-1】（23-24八年级下·黑龙江·期中）如图，正方形中，，直线交于点，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24八年级下·广西玉林·期中）如图，正方形的对角线是菱形的一边，则等于（

）

A． B． C． D．【变式2-3】（23-24九年级下·重庆·期中）如图，正方形中，点E、F、G、H分别为边、、、上的点，连接、、，若，，．当时，则的度数为（

）A． B． C． D．考点三：根据正方形的性质求线段长例3.（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，正方形的边长为，点是的中点，垂直平分且分别交、于点、，则．【变式3-1】（23-24八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在正方形中，点在上，，，垂足分别为、，若，则．【变式3-2】（23-24八年级下·广东江门·期末）如图，点，，在同一条直线上，正方形、正方形的边长分别为，，为线段的中点，则的长为【变式3-3】（2024·河南南阳·二模）正方形中，，点E在边上，且，点F在边上，当为等腰三角形时，的长为．考点四：根据正方形的性质求面积例4.（23-24八年级下·云南昭通·期中）如图，正方形的边长为4，则图中阴影部分的面积之和为．【变式4-1】（23-24七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，正方形和正方形的边长分别为和，则阴影部分的面积为.【变式4-2】（2024八年级下·浙江·专题练习）如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的面积是．【变式4-3】（23-24九年级上·吉林·期末）如图，四边形是边长为的正方形，E是上一点，，将绕着点A顺时针旋转到与重合，则的面积为．考点五：求正方形重叠部分面积例5.（23-24八年级下·江苏徐州·期中）如图，有一个边长为的正方形，将一块的三角板直角顶点与正方形对角线交点O重合，两条直角边分别与边交于点E，与边交于点F．则四边形的面积是．【变式5-1】（2023·山东菏泽·一模）如图，两个边长为4的正方形重叠在一起，点是其中一个正方形的中心，则图中阴影部分的面积为．【变式5-2】（23-24九年级上·河南郑州·期中）如图，正方形的对角线相交于点，以为顶点的正方形的两边，分别变正方形的边，于点，．记的面积为，的面积为，若正方形的边长，则的大小为．【变式5-3】（23-24九年级上·广东汕头·阶段练习）将n个边长都为的正方形按如图所示的方法摆放，点，，…，分别是正方形对角线的交点，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为．考点六：正方形折叠问题例6.（2024·上海浦东新·三模）如图，在正方形的边上取一点，连接，将沿翻折，点恰好与对角线上的点重合，连接，若，则的面积是．【变式6-1】（2024·湖北荆门·模拟预测）如图，对折正方形纸片，得到折痕，将纸片展平，在上取一点P，沿折叠，使点A落在正方形内部点M处，将纸片展平，连接，延长交于点Q，连接若正方形的边长为6，，则的长为．【变式6-2】（23-24九年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，正方形的边长为3，、分别为、上的点，，将四边形沿翻折，得到四边形，恰好落在边上，交于，若连结，则的度数为，的长是．【变式6-3】（23-24八年级下·江苏无锡·期中）如图，点是正方形的边上一动点(点不与、重合)，连接，将沿翻折，使点落在点处．

(1)当最小时，的值为；(2)如图，连接并延长，交的延长线于点，在点的运动过程中，的大小是否变化，若变化，请说明理由；若不变，请求的值；(3)如图3，在（2）的条件下，连接，试探索、、之间的数量关系．考点七：根据正方形的性质证明例7.（23-24八年级下·北京西城·期中）点在正方形的边上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交交于点，连接．(1)求证：；(2)过点作交射线于点．①求的度数；②用等式表示线段与之间的数量关系，并证明．【变式7-1】（2024八年级下·浙江·专题练习）在正方形中，为对角线，E为上一点，连接．(1)求证：．(2)延长交于F，当时，求的度数．【变式7-2】（2024·北京石景山·二模）在正方形中，E是边上的一动点（不与点A，D重合），连接，点C关于直线的对称点为F，连接，．(1)如图1，若是等边三角形，则__________；(2)如图2，延长交的延长线于点M，连接交于点H，连接．①求的大小；②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【变式7-3】（23-24八年级下·湖北武汉·阶段练习）（1）【探究】如图1，正方形中，点、分别是，上一点，．①求证：；②若，，求正方形的边长．（2）【应用】如图2，正方形中，点在边上（不与端点重合），、分别是，上一点，交于点，，若，直接写出的值：．一、单选题1．（22-23八年级下·河北邢台·阶段练习）正方形具有而平行四边形不具有的性质是（

）A．对角相等 B．两组对边分别相等C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直2．（23-24八年级下·河南焦作·期中）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（）A． B． C． D．3．（22-23八年级下·山东济宁·阶段练习）如图，在正方形中，对角线，相交于点O，E为上一点，过点E作交于点F，连接，．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．4．（23-24八年级下·江苏镇江·期中）如图，在正方形中，，是的中点，将沿对折至，延长交于点，则的长是（

）A．4 B． C．3 D．5．（2020·黑龙江大庆·中考真题）如图，在边长为2的正方形中，，分别为与的中点，一个三角形沿竖直方向向上平移，在运动的过程中，点恒在直线上，当点运动到线段的中点时，点，恰与，两边的中点重合．设点到的距离为，三角形与正方形的公共部分的面积为，则当时，的值为（

）A．或 B．或 C． D．或二、填空题6．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，已知平行四边形和正方形，其中点E在上，若，，则．7．（23-24八年级下·湖北鄂州·期中）用四根长度相等的木条制作学具，先制作图（1）所示的正方形，测得，活动学具成图（2）所示的四边形，测得，则图（2）中的长是．8．（23-24九年级下·内蒙古·期中）如图，正方形的边长为，为上的一点，，为上的一点，，为上一个动点，则的最小值为．9．（23-24九年级下·江苏盐城·期中）用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案，每块大正方形地砖边长为a，小正方形地砖边长为b，依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形．则正方形的面积为．（用含a，b的代数式表示）

10．（22-23八年级下·安徽滁州·期末）如图1，正方形的边长为3，E为边上一点（不与端点重合）．将沿对折至，延长交边于点G，连接．

（1）；（2）如图2，若E为的中点，则．三、解答题11．（2023·四川绵阳·一模）如图，四边形是正方形，点为平面内一点，(1)若点在正方形内，如图1，，求的度数；(2)若点在正方形外，如果，如图2，且，求的长．（用表示）12．（2024·贵州黔东南·一模）如图，在边长为2的正方形中，点E在边上，点F在边上，连接，，与相交于点P．

(1)【动手操作】在图1中画出线段，；(2)【问题探究】若．①利用图2探究的值；②过点P作，垂足分别为M，N，连接，试求的最小值．13．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）已知正方形，点是射线上一动点（不与、重合），连接并延长交直线于点，交于点，连接，过点作交直线于点．

(1)若点F在边上，如图1．①证明：；②猜想线段与的关系，并说明理由；(2)