湖北省随州市随县2023-2024学年八年级下学期期末数学试题（解析版）

机密★启用前随县2023-2024学年度第二学期学业质量监测八年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：120分）命题人：审题人：注意事项：1．答题前，考生务必将自己姓名、准考证号填写在答题卡和试卷上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．选择题每小题选了答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．3．非选择题用0．5毫米的黑色签字笔直接答在答题卡上，答在试卷上无效．4．考试结束后，监考人员将试卷与答题卡一并收回．一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1.下列式子中，是二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查了二次根式的定义，熟记“形如的式子叫做二次根式”是解题关键．解：A、不是二次根式，不符合题意；B、不是二次根式，不符合题意；C、不是二次根式，不符合题意；D、是二次根式，符合题意；故选：D2.式子在实数范围内有意义，则a的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件：被开方数要大于等于0，进行求解即可．解：∵式子在实数范围内有意义，∴，∴，故选C．3.某班5名同学参加学校“感党恩，跟党走”主题演讲比赛，他们的成绩（单位：分）分别是8，6，8，7，9，这组数据的众数是（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】【分析】本题考查了众数的定义，熟记“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”是解题关键．解：由题意可知，这组数据中，8出现了两次，次数最多，即这组数据的众数是8，故选：C．4.下列四组线段中，可以构成直角三角形的是（）A.4，5，7 B.1，2， C.2，3，7 D.6，8，12【答案】B【解析】【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，相等即可构成直角三角形．解：A、，不能构成直角三角形，不符合题意；B、，能构成直角三角形，符合题意；C、，不能构成直角三角形，不符合题意；D、，不能构成直角三角形，不符合题意；故选：B．5.如图，在中，，点D，E分别为，的中点，则（）A. B. C.1 D.2【答案】D【解析】【分析】利用中位线的性质：平行三角形的第三边且等于第三边的一半即可求解．∵D、E分别为AB、AC的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴，∵BC=4，∴DE=2，故选：D．【点睛】本题考查了中位线的判定与性质，掌握中位线的判定与性质是解答本题的关键．6.关于菱形的性质，以下说法不正确的是（）A.四条边相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.是轴对称图形【答案】B【解析】【分析】根据菱形的性质判断即可．解：A、菱形的四条边都相等，A选项正确，不符合题意；B、菱形的对角线不一定相等，B选项错误，符合题意；C、菱形的对角线互相垂直，C选项正确，不符合题意；D、菱形是轴对称图形，D选项正确，不符合题意；故选：B．【点睛】本题主要考查了对菱形的性质的理解，关键是根据菱形的性质解答．7.一次函数向上平移2个单位长度得到（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了一次函数的平移．根据一次函数的平移的规律，即可求解．解：一次函数向上平移2个单位长度得到．故选：B8.由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”．图中正方形的面积是10，，则正方形的面积是（）A.4 B.5 C.6 D.8【答案】A【解析】【分析】本题主要考查勾股定理和勾股弦图，根据正方形的面积可得，再根据勾股定理求出的值，从而得四个直角三角形的面积之和，进而即可求解．解：∵正方形的面积为10，，∴，∴在中，，∴，∵四个直角三角形全等，∴正方形的面积，故选：A．9.小明与家人乘车去翠湖游玩然后返回家中，小明与小明家的距离与所用时间的对应关系如图所示，以下说法错误的是（）A.小明全家去翠湖时的平均速度为B.小明全家停车游玩了4.5小时C.小明全家返回时平均速度为D.小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为小时【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，小明全家去翠湖时花费1.5小时，路程为，回家时花费2小时，路程为，根据速度=路程÷时间可判断A、C；小明全家在出发1.5小时后到达阳屏湖，在出发6小时后离开翠湖，据此可判断B；小明全家出发后，距家90千米有离家和回家过程中两个时间，据此可判断D．A．小明全家去翠湖时的平均速度为，原说法正确，不符合题意；B．小明全家停车游玩了小时，原说法正确，不符合题意；C．小明全家返回时的平均速度为，原说法正确，不符合题意；D．小明全家出发后，距家90千米时，所用时间为或小时，原说法错误，符合题意；故选：D．10.如图，在矩形中，，，点P在上，点Q在上，且，连接、，则的最小值为（）A.10 B.11 C.12 D.13【答案】D【解析】【分析】本题考查的是最短路径问题，勾股定理，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，中垂线的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．连接，，在的延长线上截取，连接，，，则的最小值转化为的最小值，则，根据勾股定理可得结果．解：如图，连接，，在矩形中，，∴，∵，∴四边形是平行四边形，∴四边形是矩形，∴，则，则的最小值转化为的最小值，在的延长线上截取，连接，∵，∴是的垂直平分线，∴，∴，连接，则，∵，，∴．∴的最小值为13．故选：D．二、填空题（本题共5个小题，每小题3分，共15分）11.计算：______．【答案】【解析】【分析】本题考查的是利用二次根式的性质化简，利用直接可得答案．解：，故答案为：12.已知直线过第一、二、四象限，请写出符合条件的一条直线解析式__________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，当，时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当，时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当，时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当，时，一次函数图象经过第二、三、四象限．根据题意可知，，据此写出满足条件的直线解析式即可．解：直线过第一、二、四象限，，，即符合条件的一条直线解析式，故答案为：13.某公司欲招聘一名员工，对甲进行了笔试和面试，其笔试和面试的成绩分别为90分和80分，若按笔试成绩占，面试成绩占计算综合成绩，甲的综合成绩为__分．【答案】86【解析】【分析】本题考查了加权平均数的计算，加权平均数公式为：（其中分别为的权）．据此计算即可．解：（分），即甲的综合成绩为86分，故答案为：86．14.九章算术中有一道“引葭赴岸”问题：“仅有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深，葭长各几何？”题意是：有一个池塘，其地面是边长为尺的正方形，一棵芦苇生长在它的中央，高出水面部分为尺，如果把芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边的，示意图如图，则水深为______尺【答案】【解析】【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．我们可以将其转化为数学几何图形，如图所示，根据题意，可知的长为尺，则尺，设出尺，表示出水深，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．解：依题意画出图形，设芦苇长尺，则水深尺，因为尺，所以尺，在中，，解之得，即水深尺，芦苇长尺．故答案为：．15.如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是上一点，连接，将沿折叠，使点D落在矩形内的点G处，若点G恰好在矩形的对角线上，则的长为________．【答案】或【解析】【分析】①当点G在对角线上时，根据折叠的性质及矩形的性质可知，再根据中点的定义及勾股定理即可解答；②当点G在对角线上时，根据折叠的性质及矩形的性质可知，再根据勾股定理即可解答．解：①当点G在对角线上时，由折叠的性质可知：，，是线段的垂直平分线，，四边形是矩形，，，，，，，，，，，，，是边的中点，，，在中，，，；②当点G在对角线上时，由折叠性质可知：，，是线段的垂直平分线，，是边的中点，，，，，，四边形是矩形，，，，，，，在中，，，；故答案为或．【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，掌握矩形的性质是解题的关键．三、解答题（共9小题，共75分）16.计算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查了二次根式的加减混合运以及乘法运算，掌握相关运算法则是解题关键．（1）先根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可；（2）根据平方差公式展开，再计算二次根式即可．【小问1】解：【小问2】解：17.已知，求代数式的值．【答案】2【解析】【分析】本题考查了因式分解，二次根式的混合运算，代数式求值，将代数式因式分解是解题的关键．根据完全平方公式因式分解，然后将代入求解即可．解：，．18.如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证：（1）四边形是平行四边形（2）．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据矩形的对边平行得出，又，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明四边形是平行四边形；

（2）根据平行四边形的对边相等得出，根据矩形的对角线相等得出，等量代换即可证明．【小问1】证明：∵四边形是矩形，∴，∵，∴四边形是平行四边形；【小问2】∵四边形是平行四边形，∴，∵四边形矩形，∴，∴．【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质．掌握矩形的性质是解题的关键．19.孔子曾说：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者．”兴趣是最好的老师，阅读、书法、绘画、手工、烹饪、运动、音乐……各种兴趣爱好是打并创新之门的金钥匙．某校为了解学生兴趣爱好情况，组织了问卷调查活动，从全校2200名学生中随机抽取了200人进行调查，其中一项调查内容是学生每周自主发展兴趣爱好的时长．对这项调查结果使用画“正”字的方法进行初步统计，得到下表：学生每周自主发展兴趣爱好时长分布统计表组别时长t（单位：h）人数累计人数第一组正正正正正正30第二组正正正正正正正正正正正正60第三组正正正正正正正正正正正正正正70第四组正正正正正正正正40根据以上信息，解答下列问题：（1）补全频数直方图；（2）这200名学生每周自主发展兴趣爱好时长的中位数落在第__________组；（3）若将上述调查结果绘制成扇形统计图，则第二组的学生人数占调查总人数的百分比为__________，对应的扇形圆心角的度数为__________；（4）学校倡议学生每周自主发展兴趣爱好时长应不少于，请你估计，该校学生中有多少人需要增加自主发展兴趣爱好时间？【答案】（1）图见解析（2）三（3）30%，108（4）330人【解析】【分析】（1）根据频数分布表补全图形即可；（2）根据中位数定义，中间的一个数或两个数的平均数求出中位数；（3）根据百分比=该组频数÷总数，圆心角百分比，即可得出答案；（4）用2200乘以第一组所占百分比即可得出答案．【小问1】解：学生每周自主发展兴趣爱好时长频数直方图：【小问2】∵总人数为200人，∴中位数落在第100、101个学生每周自主发展兴趣爱好的时长的平均数，又∵30+60=90＜100，30+60+70=160＞101，∴中位数落在第三组，故答案为：三；【小问3】第二组的学生人数占调查总人数的百分比为：第二组的学生人数对应的扇形圆心角的度数为：故答案为：30%，108；【小问4】估计该校需要增加自主发展兴趣爱好时间的人数为：（人）答：估计该校有330人需要增加自主发展兴趣爱好时间．【点睛】本题考查频数及频率的应用，熟练掌握频数及频率的意义及应用、频数分布直方图的画法及一定的数据分析方法是解题关键．20.如图，已知直线：与坐标轴交于A、C两点，直线：与坐标轴交于B、D两点，两线的交点为P点．（1）求P点的坐标；（2）求的面积；（3）利用图象求当x取何值时，．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）当两个函数的值相等时可得关于x的方程，求出x的值再求解y即得答案；（2）求得A、B的坐标，再根据三角形的面积公式求解；（3）即为直线比直线低的图象对应的x的范围，结合图象解答即可．【小问1】当时，有，解得，所以，所以；【小问2】对，令，得，对，令，得∴，，则；【小问3】由图象可知：当时，x的取值范围是．【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、两个函数的交点以及一次函数与不等式的关系，熟练掌握一次函数的基本知识是解题的关键．21.小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作：①测得水平距离的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．（1）求风筝的垂直高度；（2）如果小明想风筝沿方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【答案】（1）21.6米；（2）应该往回收线8米．【解析】【分析】本题考查勾股定理的实际应用，掌握勾股定理是解题的关键．（1）勾股定理求出的长，再加上小明的身高即可；（2）如图勾股定理求出此时的长，即可得出结果．【小问1】解：由勾股定理得，（米），（米）；【小问2】如图，由勾股定理得，（米），（米），他应该往回收线8米．22.某城市为了节约用水，采用分段收费标准，若某户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间关系的图像如图所示，根据图形回答：（1）该市自来水收费时，每户使用不超过吨时，每吨收费________元；超过吨时，每吨收费________元；（2）求该户居民每月应交水费（元）与用水量（吨）之间的关系式；（3）若某户居民某月交水费元该户居民用水多少吨？【答案】（1），；（2）；（3）吨．【解析】【分析】（）分两种情况，用水费除以用水量即可得每吨收费；（）分两种情况，用待定系数法求出函数关系式即可；（）把代入法（）所得对应的函数解析式计算即可求解；本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能从函数图象中获取有用信息，列出函数关系式．【小问1】解：∵(元吨)，∴不超过吨时，每吨收费元，∵(元吨)，∴超过吨时，每吨收费元，故答案为：，；【小问2】解：当时，设，把，代入得，，解得，∴；当时，设，把，代入得，，解得，∴；综上所述，与之间的关系式为；【小问3】解：∵，∴用水量超过吨，把代入得，，解得，答：该户居民用水吨．23.如图1，在正方形中，点是边上一点（点不与点，重合），连接，过点作交于点．（1）求证：；（2）如图2，取的中点，过点作，交于点，交于点．①求证：；②连接，若，求的长；（3）如图3，取的中点，连接，过点作交于点，连接，，若，则四边形的面积为____________．（直接写出结果）【答案】（1）见解析（2）①见解析；②（3）【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟练掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键．（1）令与的交点为，根据正方形的性质，利用“”即可证明全等；（2）①由（1）可知，得到，再利用平行四边形的性质和平行线的判定，易证四边形是平行四边形，得到，即可得出结论；②由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，再结合①结论，即可求出的长；（3）令与的交点为，同（1）可得，，由直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，，再根据四边形的面积，即可求解【小问1】证明：如图，令与的交点为，四边形是正方形，，，，，，，，在和中，，；【小问2】证明：①由（1）可知