江西省红色十校高三下学期2月联考数学试卷

江西红色十校2月联考数学说明：1．全卷满分150分，考试时间120分钟.2．全卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，不得在试卷上作答，否则不给分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.样本中共有个个体，其值分别为、、、、，若该样本的中位数为，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】对实数的取值进行分类讨论，将数据由小到大排序，结合中位数的定义可得出实数的取值范围.【详解】若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为，不合乎题意；若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为，不合乎题意；若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为；若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为；若，则这组数据由小到大排列依次为、、、、，中位数为.综上所述，实数的取值范围是.故选：C.2.若椭圆的焦点在轴上，其离心率为，则椭圆的短轴长为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的离心率求出，即可求得该椭圆的短轴长.【详解】对于椭圆，由已知可得，，则，椭圆的离心率为，解得，则，因此，椭圆的短轴长为.故选：B3.已知数列满足，数列的前项和为，,，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】分析可知，数列为等差数列，设等差数列的公差为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，结合等差数列的求和公式可求得的值.【详解】因为数列满足，则数列为等差数列，设等差数列的公差为，则，可得，①，可得，②联立①②可得，，所以，.故选：A.4.设m，n是不同的直线，是不同的平面，则下列命题正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】D【解析】【分析】利用线面、面面平行关系判断A；由B的条件可得判断；由直线、都平行于的交线判断C；由线面垂直的性质推理判断D.【详解】对于A，若，则直线与可能相交、也可能平行、还可能是异面直线，A错误；对于B，若，则，B错误；对于C，若，直线与可能平行，如直线、都平行于的交线，且，满足条件，而，C错误；对于D，若，则，又，因此，D正确.故选：D5.某班级举办元旦晚会，一共有个节目，其中有个小品节目．为了节目效果，班级规定中间的个节目不能安排小品，且个小品不能相邻演出，则不同排法的种数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先确定个小品的安排方式，再安排其余个节目，根据分步乘法计数原理可求得结果.【详解】用表示不安排中间且不相邻的位置，则有，，，，，，，，，，，共种情况，个小品有种安排方式；再安排其余个节目，共有种安排方式；不同排法的种数有种.故选：C.6.已知面积为的正方形的顶点、分别在轴和轴上滑动，为坐标原点，，则动点的轨迹方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设点、、，由平面向量的坐标运算可得出，由正方形的面积公式可得出，将代入等式整理可得出点的轨迹方程.详解】设点、、，由，所以，，可得，因为正方形的面积为，即，即，整理可得，因此，动点的轨迹方程为.故选：C.7.已知为锐角，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据已知条件结合两角和的正切公式可得出关于的方程，由已知可得出，可得出关于的方程，求出的值，利用二倍角的正弦和余弦公式可求得所求代数式的值.【详解】因为为锐角，则，则，整理可得，解得，所以，.故选：C.8.已知双曲线的左、右焦点分别是，点A，B是其右支上的两点，，则该双曲线的离心率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意，根据双曲线的定义可得，进而，在、中，分别用余弦定理表示，建立关于a的方程，解之即可求解.【详解】由，得，结合题设有，由双曲线的定义知，，，又，由，得，得，在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得，解得，所以双曲线的离心率为.故选：B二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数，则下列结论正确的是（）A.图象的对称中心为B.是奇函数C.D.在区间上单调递减【答案】BC【解析】【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，利用余弦型函数的对称性可判断A选项；利用诱导公式结合正弦型函数的奇偶性可判断B选项；利用余弦型函数的最值可判断C选项；利用余弦型函数的单调性可判断D选项.【详解】因为，对于A选项，由可得，所以，函数图象的对称中心为，A错；对于B选项，，所以，奇函数，B对；对于C选项，，C对；对于D选项，当时，，单调递减，所以，在区间上单调递增，D错.故选：BC.10.若、为复数，则（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】利用特殊值法可判断AC选项；利用共轭复数定义、复数的加法可判断B选项；利用复数的模长公式、共轭复数的定义以及复数的乘法可判断D选项.【详解】对于A选项，取，，则，，所以，，，所以，，所以，，，故，A错；对于B选项，设，，则，，，，则，所以，，B对；对于C选项，不妨取，，则，，，所以，，故，C错；对于D选项，设，则，所以，，所以，，D对.故选：BD.11.已知函数的定义域为，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是（）A. B.C.为奇函数 D.为上的减函数【答案】ABC【解析】【分析】令，解得即可判断A；令求得，令求得，令求得即可判断B；令可得，即可判断C；由AB即可判断D.【详解】A：令，代入，得，解得，故A正确；B：令，代入，得，又，所以；令，代入，得，令，代入，得，所以，故B正确；C：令，代入，得，则，所以函数为奇函数，故C正确；D：由选项AB知，，，则，所以函数不为R上的减函数，故D错误.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设集合，，若的真子集的个数是，则正实数的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】解出集合，分析可知，集合的元素个数为，确定集合，可得出关于实数的不等式，解之即可.【详解】由可得，解得，因为，则且，因为的真子集的个数为，设的元素个数为，则，解得，因为，则，所以，，解得,因此，实数的取值范围是.故答案为：.13.在正四面体中，M为PA边的中点，过点M作该正四面体外接球的截面，记最大的截面半径为R，最小的截面半径为r，则_________；若记该正四面体和其外接球的体积分别为和，则_________．【答案】①.##②.【解析】【分析】把正四面体放置于正方体中，利用正四面体与正方体有相同的外接球，结合球的截面小圆的性质、体积公式计算即得.【详解】将正四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球即为该正四面体的外接球，如图，外接球球心为正方体的体对角线的中点，设正四面体的棱长为，则正方体棱长为，由外接球直径等于正方体的体对角线，得正四面体外接球半径，当过中点的正四面体外接球截面过球心时，截面圆面积最大，截面圆半径为，当该截面到球心的距离最大时，截面圆面积最小，此时球心到截面距离为，可得最小截面圆半径，因此；正四面体外接球体积，正四面体的体积，因此.故答案为：；14.定义表示、、、中的最小值，表示、、、中的最大值，设，已知或，则的值为________．【答案】【解析】【分析】设，，，可知，，，可得出，设，分、两种情况讨论，结合不等式的基本性质可求得的最小值.【详解】设，，，且，则，，，所以，，若，则，故，设，因此，，故，即，若，则，即，则，故，当且仅当时，等号成立，综上所述，的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于换元，，，，将、用、、表示，结合不等式的性质求解.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为．（1）求实数、的值；（2）求函数的单调区间和极值．【答案】15.16.减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可得出实数、的值；（2）利用导数分析函数的单调性，结合极值的定义可得结果.【小问1详解】解：因为，该函数的定义域为，，因为函数（、为实数）的图象在点处的切线方程为，则，解得.【小问2详解】解：由（1）可得，该函数的定义域为，，由可得，列表如下：减极小值增所以，函数的减区间为，增区间为，极小值为，无极大值.16.有双鞋子，每双标记上数字、、、、，从中取只鞋子．（1）求取出的只鞋子都没有成对的概率；（2）记取出的只鞋子的最大数字为，求的分布列和数学期望．【答案】（1）（2）分布列答案见解析，【解析】【分析】（1）分析可知，只需在指定三双鞋子，每双鞋子各取一只，利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值.【小问1详解】解：取出的只鞋子都没有成对，只需在指定三双鞋子，每双鞋子各取一只，所以，取出的只鞋子都没有成对的概率为.【小问2详解】解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，则，，，，所以，随机变量的分布列如下表所示：所以，.17.如图，在三棱柱中，，，平面，，，、分别是、的中点．（1）证明：平面；（2）求与平面夹角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面垂直的性质可得出，由已知条件可得出，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立；（2）以为坐标原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法可求得与平面夹角的正弦值.【小问1详解】证明：因为平面，平面，所以，.因为，则，又，平面，平面，所以，平面.【小问2详解】解：以为坐标原点，以、、的方向分别为、、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、，所以，，，，设平面的法向量为，则，得，令，得，故.所以，，故与平面夹角的正弦值为.18.设抛物线，过焦点的直线与抛物线交于点、．当直线垂直于轴时，．（1）求抛物线的标准方程．（2）已知点，直线、分别与抛物线交于点、.①求证：直线过定点；②求与面积之和的最小值．【答案】（1）（2）①证明见解析；②.【解析】【分析】（1）利用弦长求解，即可求解抛物线方程；（2）①设直线方程，与抛物线联立，韦达定理找到坐标关系，表示出直线方程，即可求出定点；②利用三角形的面积公式结合二次函数的基本性质可求得与面积之和的最小值．【小问1详解】解：由题意，当直线垂直于轴时，直线方程为，联立可得，则，所以，即，所以抛物线的方程为.【小问2详解】证明：①若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，同理可知，直线也不与轴重合，易知点，设、，设直线的方程为，联立得，，因此，.设直线的方程为，联立得，则，因此，，则，同理可得.所以.因此直线的方程为，由对称性知，定点在轴上，令得，，所以，直线过定点.解：②记点，，，所以，，当且仅当时，等号成立，故与面积之和的最小值为.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明.19.同余定理是数论中的重要内容．同余的定义为：设且．若，则称a与b关于模m同余，记作（“|”为整除符号）．（1）解同余方程：；（2）设（1）中方程的所有正根构成数列，其中．①若，数列的前n项和为，求；②若，求数列的前n项和．【答案】19.或20.6072；【解析】【分析】（1）根据同