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文档简介
第三节圆的方程知识点一圆的定义和圆的方程定点定长D2+E2-4F>0•
温馨提醒
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二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0,与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的判别式Δ=b2-4ac相类似,表述的都是一次项的平方和减去二次项与常数项积的4倍,只有把条件理解了、记清楚了,才不会陷入命题人设置的这个“陷阱”.1.若方程x2+y2+mx-2y+3=0表示圆,则m的取值范围是________.2.已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是________,半径是________.答案:(-2,-4)
53.圆C的圆心在x轴上,并且过点A(-1,1)和B(1,3),则圆C的方程为________.答案:(x-2)2+y2=10知识点二点与圆的位置关系平面上的一点M(x0,y0)与圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2之间存在着下列关系:(1)d>r⇔M在圆外,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2⇔M在
;(2)d=r⇔M在圆上,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2⇔M在
;(3)d<r⇔M在圆内,即(x0-a)2+(y0-b)2<r2⇔M在
.圆外圆上圆内C2.若点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4的内部,则实数a的取值范围是________.答案:(-1,1)题型一圆的方程求法合作探究
[例]求满足下列条件的圆的方程:(1)过点A(4,1)的圆C与直线l:x-y-1=0相切于点B(2,1);(2)已知圆C经过P(-2,4),Q(3,-1)两点,且在x轴上截得的弦长等于6.求圆的方程的两种方法(1)几何法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程.(2)待定系数法:①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值;②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择设圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值.[对点训练]已知圆C经过直线x+y+2=0与圆x2+y2=4的交点,且圆C的圆心在直线2x-y-3=0上,则圆C的方程为________.求与圆有关的轨迹方程的方法[对点训练]如图,已知点A(-1,0)与点B(1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接BC并延长至点D,使得|CD|=|BC|,求AC与OD的交点P的轨迹方程.题型三与圆有关的最值、范围问题合作探究[例]
(2021·兰州市高三诊断考试)已知圆C:(x-1)2+(y-4)2=10和点M(5,t),若圆C上存在两点A,B使得MA⊥MB,则实数t的取值范围是(
)A.[-2,6]
B.[-3,5]C.[2,6] D.[3,5]C与圆有关的最值、范围问题一是利用数形结合思想进行临界分析,二是利用条件建立目标函数转化为函数最值或值域问题.直观想象——从课本习题看“阿波罗尼斯”圆历史背景:阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家,与欧几里得、阿基米德一起被称为亚历山大时期的数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要的研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书中,“阿波罗尼斯”圆是他的研究成果之一.化简得:x2+y2+2x-3=0,即(x+1)2+y2=4
①,则方程①即为所求点M的轨迹方程,它表示以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆.若对此题进行二次开发,从系统的高度切入,可以进行从特殊到一般的推广探究,还可
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