立体几何（文数）（解析）2020年高考物理十年真题精解（全国Ⅰ卷）

三观一统2020年高中数学十年高考真题精解（全国卷I）

专题8立体几何（文）

十年树木，百年树人，十年磨一剑。本专辑按照最新2020年考纲，对近十年高考真题精

挑细选，去伪存真，挑选符合最新考纲要求的真题，按照考点/考向同类归纳，难度分层精析，

对全国卷I具有重要的应试性和导向性。

三观指的观三题（观母题、观平行题、观扇形题），一统指的是统一考点/考向，并对十

年真题进行标灰（调整不考或低频考点标灰色）。

（一）2020考纲

考点2020考纲要求

空间几何体认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结

构特征，并能运用这些特征描述现实生活

中简单物体的结构

能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、

圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能

识别上述三视图所表示的立体模型，会用

斜二测法画出它们的直观图

会用平行投影与中心投影两种方法画出简

单空间图形的三视图与直观图，了解龙剑

图形的不同的表示形式

会画某些建筑物的视图与直观图

了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积

的计算公式

点、直线、平面之间的位置关系理解空间直线、平面位置关系的定义，并

2

了解如下可以作为推理依据的公理和定理

以立体几何的定义、公理和定理为出发点，

认识和理解空间中线面平行、垂直的有关

性质和判定定理

能够运用公理、定理和己经获得的结论证

明一些空间图形的位置关系的简单命题

（二）本节考向题型研究汇总

题型考向考点/考向

空间几何体之三视图由三视图求空间几何体的体积和表面积

由三视图求空间几何体的最长边长

由三视图求空间几何体的边长

空间几何体之外接球、内接球由空间几何体求外接球、内接球的体积和表面积

由外接球、内接球求几何体的体积和表面积

空间几何体的体积空间几何体的体积问题

点到面的距离问题点到面的距离问题

直线和平面、平面和平面平行的判定和直线和直线的平行的性质

性质

直线和平面的平行的性质

平面和平面的平行的性质

直线和平面、平面和平面垂直的判定和直线和直线的垂直的性质

2

性质直线和平面的垂直的性质

平面和平面的垂直的性质

一、考向题型研究一：空间几何体之三视图

三观真题》

期母题）

（2018新课标I卷T7理科）某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点在

正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，

最短路径的长度为

A,□______,口_________

A.2V17B.2V5C.3D.2

【答案】B

【解析】分析：首先根据题中所给的三视图，得到点M和点N在圆柱上所处的位置，点M在上底面

上，点N在下底面上，并且将圆柱的侧面展开图平铺，点M、N在其四分之一的矩形的对角线的端点

处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.

详解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，

可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对

角线的端点处，

所以所求的最短路径的长度为V42+22=2逐，故选B.

点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明

2

确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺,

利用平面图形的相关特征求得结果.

（观平行题）

（2016新课标I卷T6理科）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的

半径.若该几何体的体积是空巴，则它的表面积是

3

(A)17〃(B)18»(C)20乃(D)28乃

【答案】A

【解析】原立体图如图所示:

是一个球被切掉左上角的工后的三视图

8

7

表面积是-的球面面积和三个扇形面积之和

8

71

S=—X4TIX291+3X—»X292=17»

84

故选A.

2

（2015新课标I卷T11理科）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该

几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20%,则r=（）

(A)1(B)2(C)4(D)8

【答案】B

【解析】由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为r,

圆柱的高为2r,其表面积为+乃厂义2r+7?■产+2厂义2r=5万r+4产=16+20万，解得尸2,故

选B.

【点睛】简单几何体的三视图；球的表面积公式、圆柱的测面积公式

（2013新课标I卷T8理科）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.

A.16+871

2

B.8+871

C.16+16兀

D.8+16兀

【答案】A

【解析】由三视图可知该几何体为半圆柱上放一个长方体，由图中数据可知圆柱底面半径厂=2,长为

4,在长方体中，长为4,宽为2,高为2,所以几何体的体积为b+4义2'2=8无+16.故选A.

2

（观扇形题）

（2017新课标I卷T7理科）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直

角三角形组成，正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯

形，这些梯形的面积之和为（）

A.10B.12C.14D.16

【答案】B

【分析】由三视图可得直观图，由图形可知该立体图中只有两个相同的梯形的面，根据梯形的面积公

式计算即可

【解析】解：由三视图可画出直观图，

该立体图中只有两个相同的梯形的面，

S梯形二工X2X（2+4）=6,

2

2

.•.这些梯形的面积之和为6x2=12,

故选：B.

【点睛】本题考查了体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

（2015新课标I卷T11文科）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几

何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20万，则r=（）

正视图俯视图

A.1B.2C.4D.8

【答案】A

【解析】解：由几何体三视图中的正视图和俯视图可知，

截圆柱的平面过圆柱的轴线，

该几何体是一个半球拼接半个圆柱，

其表面积为：—x4^r2+—xnr1+—x2rxInr+2rx2r+—xTir1=5^r2+4r2，

2222

2

又该几何体的表面积为16+20万，

;.5万/+4/=16+20万，解得厂=2,

故选：B.

（2014新课标I卷T12理科）如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,

则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）

67264724

【答案】B

【分析】画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可

【解析】解：几何体的直观图如图：AB=4,BD=4,C到BD的中点的距离为：4,

,BC=CD=I22+42=2近•AC=J42+（2正）2=6,AD=4«,

显然AC最长.长为6.

故选：B.

2

B

【点睛】本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力

（2013新课标I卷T11文科）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）.

A.16+84B.8+8不C.16+164D.8+16%

【解析】该几何体为一个半圆柱与一个长方体组成的一个组合体.

V半圆槎=—兀x2?x4=8兀,

V长方体=4x2x2=16.

所以所求体积为16+8兀故选A.

（2012新课标I卷T7文科）如图，网格上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图，则

此几何体的体积为

2

(A)6

(B)9

(C)12

(D)18

【答案】B

【解析】由三视图知，其对应几何体为三棱锥，其底面为一边长为6,这边上高为3,棱锥的高为3,

故其体积为」XLX6X3X3=9,故选B.

32

(2011新课标I卷T8文科)在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如图所示，则相应的侧视图

【答案】D

【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的

半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图.

【解析】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，

是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，

.♦•侧视图是一个中间有分界线的三角形，

故选：D.

2

【点睛】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本

题是一个基础题.

「统考点/考向〉,

空间几何体的三视图与直观图

1.空间几何体的三视图

(1)三视图的概念

①光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图;

②光线从几何体的左面向右面正投影，得到的投影图叫做几何体的侧视图;

③光线从几何体的上面向下面正投影，得到的投影图叫做几何体的俯视图.

几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几何体的三视图.如图.

c

O口，

ab

正视图侧视图

b

俯成图

(2)三视图的画法规则

①排列规则：一般地，侧视图在正视图的右边，俯视图在正视图的下边.如下图:

正侧

2

俯

②画法规则

i）正视图与俯视图的长度一致，即“长对正”;

ii）侧视图和正视图的高度一致，即“高平齐”;

出）俯视图与侧视图的宽度一致，即“宽相等

③线条的规则

i）能看见的轮廓线用实线表示；

ii）不能看见的轮廓线用虚线表示.

（3）常见几何体的三视图

常见几何体正视图侧视图俯视图

长方体矩形矩形矩形

正方体正方形正方形正方形

圆柱矩形矩形圆

圆锥等腰三角形等腰三角形圆

两个同心的

圆台等腰梯形等腰梯形

圆

球圆圆圆

2.空间几何体的直观图

（1）斜二测画法及其规则

对于平面多边形，我们常用斜二测画法画它们的直观图.斜二测画法是一种特殊的画直观图的方法，其

画法规则是：

2

①在已知图形中取互相垂直的无轴和y轴，两轴相交于点。.画直观图时，把它们画成对应的尤，轴和y

轴，两轴相交于点。'，且使/尤储y=45。(或135。)，它们确定的平面表示水平面.

②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于V轴或y轴的线段.

③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一

半.

(2)用斜二测画法画空间几何体的直观图的步骤

①在己知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox,Oy,再作Oz轴使NxOz=90。,且NyOz=90。.

②画直观图时，把它们画成对应的轴Ok,O'y',O'z',使/xby=45。(或135。)，Zx'O'z'=90°,x'O'y'

所确定的平面表示水平平面.

③已知图形中，平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于才轴、y轴或/轴的线段,

并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同.

④已知图形中平行于x轴或z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度变为原

来的一半.

⑤画图完成以后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图.

(3)直观图的面积与原图面积之间的关系

①原图形与直观图的面积比为之=20,即原图面积是直观图面积的2夜倍,

②直观图面积是原图面积的」式=也倍.

2V24

3.空间几何体的三视图问题的常见类型及解题策略：

(1)由几何体的三视图还原几何体的形状.要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理,

结合空间想象将三视图还原为实物图.

(2)由几何体的直观图求三视图.注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线,

不能看到的部分用虚线表示.

2

(3)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图.先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能

形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式.当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出

的部分三视图是否符合.

4.空间几何体结构特征的判断技巧：

紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的

情况下，变换模型中的线面关系增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定

通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可

5.由三视图还原直观图的方法

还原后的几何体一般为较熟悉的柱、锥、台、球的组合体

注意图中实线、虚线，实际是原几何体中的可视线与被遮挡线

想象原图形，并画出草图后进行三视图还原，把握三视图和几何体之间的关系，与所给三视图比较，

通过调查准备画出几何体

6.常见三视图对应的几何体：

三视图为三个三角形，对应三棱锥

三视图为两个三角形，一个四边形，对应四棱锥

三视图为两个三角形，一个圆，对应圆锥

三视图为一个三角形，两个四边形，对应三棱柱

三视图为两个四边形，一个圆，对应圆柱

5.具体方法可采用垂线法或者削体法

二、考向题型研究二：空间几何体之外接球、内接球

2

三观真题》

观母题）

（2013新课标I卷T15文科）已知H是球。的直径48上一点，AH:HB=1;2,A3,平面a,H为

垂足，a截球。所得截面的面积为万，则球。的表面积为.

9

【答案】-TI

2

【解析】如图，

设球。的半径为R,

2R

则AH=

R_

OH=7

又,：KEH2=TI,：.EH=1.

1七•

•.,在RSOE”中，R2=+12,

9兀

；・S球=4兀火2=——

2

（观平行题）

（2019新课标I卷T12理科）.已知三棱锥P-A8C的四个顶点在球。的球面上，PA=PB=PC,LABC

是边长为2的正三角形，E,尸分别是PA,的中点，ZCEF=90°,则球。的体积为

2

A.8A/6HB.4娓兀C.2娓兀D.几为

【答案】D

【分析】先证得尸5,平面PAC，再求得PA=PB=PC=g,从而得P—ABC为正方体一部分,

进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解.

【解析】

解法一:PA=PB=PC,AA3C为边长为2的等边三角形，ABC为正三棱锥，

:.PB±AC,又E,歹分别为下月、AB中点，

:.EF//PB,：.EFLAC,又哥Jffi,CEAC=C,..跖，平面B4C,尸5,平面PAC,

.•.NPAB=90°,，P4=PB=PC=0ABC为正方体一部分，2R=,2+2+2=历即

R-2^；.v=3兀-3=士兀义6戈=逐兀,故选D.

2338

解法二:

2

P

E

B

设24=尸5=尸。=2*，E,尸分别为R4,A3中点，

：.EF//PB,且所=工尸3=x,AA3C为边长为2的等边三角形，

2

:.CF=6又NCEF=9Q°：.CE=13-*2,AE=^PA=x

r24-f3-x21

AAEC中余弦定理,os/以/=二___+____~'—L,作PDLAC于。，PA=PC,

2x2xx

„„।/厂4个AD1冗2+4—3+%21

QZ）为AC中点，cosZ.EAC==—,--------------------二—,

PA2x4xlx

2X2+1=2:.X2^-x=叵，；.PA=PB=PC=6,又9我个刍,:.PA,PB,PC

22

两两垂直，2R=j2+2+2=R=V=—兀=—兀x',故选D.

2338

【点睛】

本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题.可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直

关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决.

（2017新课标I卷T16文科）已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若

平面SCA,平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,则球。的表面积为.

【答案】36K

2

【解析】解：三棱锥s-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径，若平面SCA，平面

SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S-ABC的体积为9,

可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形，设球的半径为r,

可得2rXrXr=9,解得r=3.

球O的表面积为：471r2=36兀.

故答案为：36n.

【点睛】本题考查球的内接体，三棱锥的体积以及球的表面积的求法，考查空间想象能力以及计算能

力.

(2012新课标I卷T8文科)平面a截球。的球面所得圆的半径为1,球心。到平面a的距离为限,

则此球的体积为

(A)yffm(B)4小兀(C)4加兀(D)64n

【答案】B

【解析】设球的半径为R,由球的截面性质得R=J(、反『+1=6,所有球的体积V=-万夫3=不后兀

(2011新课标I卷T15理科)已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球。的球面上，且AB=6,BC=2

加，则棱锥O-ABCD的体积为.

【答案】8V3

2

【分析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱

锥的高，即可求出棱锥的体积.

【解析】解：矩形的对角线的长为：正+（2⑨2=4,所以球心到矩形的距离为：d42T2a）2

=2,

所以棱锥o-ABCD的体积为：—X6x2V3X2=8VS-

3

故答案为：8V3

【点睛】本题是基础题，考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，常考题型.

（观扇形题）

（2017新课标I卷T16理科）如图，圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC

的中心为O.D、E、F为圆O上的点，ADBC,AECA,AFAB分别是以BC,CA,AB为底边的

等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC,CA,AB为折痕折起ADBC,AECA,AFAB,使得D、

E、F重合，得到三棱锥.当AABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为一.

【答案】4J元cn?.

2

【分析】法一：由题，连接0D,交BC于点G,由题意得ODLBC,OG=^BC,设OG=x,则BC=2

6

加X,DG=5-X,三棱锥的高h="25TOx，求出SAABC=3J^X2，丫=£S△期cXh=

J

W25x4-10x5,令f(X)=25x4-10x5,xG(0,-1-),f(x)=100x3-50x4,f(x)<f(2)

=80,由此能求出体积最大值.

法二：设正三角形的边长为X,贝UOG=Lx返xX^x，FG=SG=5-返X，SO=h=^sG2Q2=

3266

,由此能示出三棱锥的体积的最大值.

【解析】解法一：由题意，连接OD,交BC于点G,由题意得ODLBC,OG=返:

BC,

6

即OG的长度与BC的长度成正比,

设OG=x,则BC=2«x,DG=5-x,

三棱锥的高h=4DG2-oG2=正_]dx+X2_X2="25TOx，

SzkABC^X号X(275x)2=3病x2,

则SAABCXh=V3x2XV25-10x=V3'V25x4-10x5,

令f(x)=25x4-10x5,x£(0,,f(x)=100x3-50x4,

2

令f(x)>0,即X4-2X3<0,解得x<2,

则f(x)<f(2)=80,

V<V3X五忌!!？，・,•体积最大值为4

故答案为：4A/元cm3.

解法二：如图，设正三角形的边长为X,贝UOG=Lx返xX^x，

326

；.FG=SG=5-运•¥，

6

2

SO=h=JSG2-GC)2=J(5-^X)2-(*X)2={5(5一*；,

三棱锥的体积V《s△超c-h

□

qX乎X小(5岑x)噜g与5'

34>

令b(x)=5x4-亨X，则J(x)-20x--y^-x

令b(x)=0,则4x3-x=0,解得x=4«,

73

VzX48X

max^V5^4=4V15(加3).

故答案为：4V15cm3.

【点睛】本题考查三棱锥的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、函数

性质、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、

化归与转化思想，是中档题.

2

一统考点/考向》

1.球的表面积和体积公式

设球的半径为R,它的体积与表面积都由半径R唯一确定，是以R为自变量的函数，其表面积公式为

43

4冰2,即球的表面积等于它的大圆面积的4倍；其体积公式为§兀穴3.

2.球的切、接问题（常见结论）

1J3

（1）若正方体的棱长为。，则正方体的内切球半径是一a；正方体的外接球半径是2士a；与正方体

22

所有棱相切的球的半径是注a.

2

外接球球心是正方体的中心

内切球球心是正方体的中心

与各条棱相切的求，球心是正方体的中心

（2）若长方体的长、宽、高分别为a,b,h,则长方体的外接球半径是:4?+灯+层.

球心是体对角线的交点

（3）若正四面体的棱长为。，则正四面体的内切球半径是逅a；正四面体的外接球半径是逅a；

124

与正四面体所有棱相切的球的半径是一a.

4

球心是正四面体的中心

（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径.

（5）球与圆台的底面与侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.

综上，可以认为，外接球的球心在空间几何体底面的外接圆的圆心的竖直线上

2

3、球的表面积和体积

确定一个球的条件是球心和球的半径，已知球的半径可以利用公式求球的表面积和体积；反之，已知

球的体积或表面积也可以求其半径.

球与几种特殊几何体的关系：（1）长方体内接于球，则球的直径是长方体的体对角线长；（2）正四面体的

外接球与内切球的球心重合，且半径之比为3：1；（3）直棱柱的外接球：找出直棱柱的外接圆柱，圆柱

的外接球就是所求直棱柱的外接球.特别地，直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的

中点；（4）球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径；（5）

球与圆台的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆台的高.

与球有关的实际应用题一般涉及水的容积问题，解题的关键是明确球的体积与水的容积之间的关系，

正确建立等量关系.

有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将空间几何问题转化为平面中圆的有关问题解决.球心到

截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r之间满足关系式：d=-产.

5.柱体的外接球问题，其解题关键是在于确定球心在多面体中的位置，找到球的半径或者直径与多面

体相关元素之间的关系，结合原有多面体的特性求出球的半径，然后再利用球的表面积和体积公式进

行正确计算，常见的方法是将多面体还原成正方体和长方体中再去求解

6.椎体的外接球问题的关键是确定球心位置：

将椎体还原或者补形为正方体或者长方体，进而确定球心

椎体的外接球的球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上

球心到各顶点的距离都相等

球心一定在外接球的直径上

三、考向题型研究三：空间几何体的体积

三观真题》

观母题

2

（2018新课标I卷T12理科）已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面a所成的角相等，则a

截此正方体所得截面面积的最大值为

ABc3D

.4342

【答案】A

【解析】分析：首先利用正方体的棱是3组每组有互相平行的4条棱，所以与12条棱所成角相等，只

需与从同一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个

正六边形，且边长是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果.

详解：根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，

所以在正方体力BCD中，

平面力当4与线441,4/1,44所成的角是相等的，

所以平面AB1/与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，

同理平面G8D也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，

要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB1%与GBD中间的，

且过棱的中点的正六边形，且边长为渔，

2

所以其面积为S=6xf・（乎）2=乎，故选A.

【点睛】该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截

面的位置，之后需要从题的条件中找寻相关的字眼，从而得到其为过六条棱的中点的正六边形，利用

六边形的面积的求法，应用相关的公式求得结果.

（观平行题）

（2013新课标I卷T6理科）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球

放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度，则球

的体积为（）.

2

8667r

3

B.3cm

1372兀2048兀

C.3cm3D.3cm3

【答案】A

【解析】设球半径为尺，由题可知凡R—2,正方体棱长一半可构成直角三角形，即△OA4为直角三

角形，如图.

BC=2,BA=4,OB=R—2,OA=R,

由R2=（R—2）2+42,得R=5,

所以球的体积为士兀53=迎兀。013）,故选A.

33

(观扇形题)

(2013新课标I卷T19文科)如图，三棱柱中，CA=CB,AB=A4i，ZBAAi=60°.

(1)证明：ABXAiC；

(2)若A8=CB=2,AiC=V6,求三棱柱ABC—ABCi的体积.

2

【答案】答案见解析

【解析】

(1)证明：取的中点。，连结。C,0AltAiB.

因为CA=CB,

所以OC_LAB.

由于A8=AAi,ZBAAi=60°,

故△A4山为等边三角形，

所以OAX±AB.

因为0CCO4i=0,所以AB_L平面0Ale

又AiCu平面0AC，故AB_LAiC.

(2)解：由题设知AABC与A441B都是边长为2的等边三角形，

所以0C=04=百.

又AiC=底,则4C2=0C2+O4；,

故OAi±OC.

因为OCrUB=O,所以。41J_平面ABC,0A1为三棱柱ABC-AiBiG的高.

又以ABC的面积SAABC=A/3,故三棱柱ABC-AiBiCi的体积V=SAABCX0A1=3.

(2012新课标I卷T19文科)如图，三棱柱ABC-A4cl中，侧棱垂直底面,

ZACB=90°,AC=BC^AAt，。是棱44i的中点。

(I)证明：平面3DG，平面

(II)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.

2

【解析】（I）由题设知BC_LCG，8C_LAC,CC（nAC=C,

5。_1_面ACG4，又：£>Gu面ACG4，；.5C,

由题设知Z^DC]=ZADC=45°，,ZCDQ=90°，即DC,1DC,

又,：DCc\BC=C,；.£>G，面8。。，：。。1（=面3。。1，

面BDC_1面BDC1；

（H）设棱锥B—D4C£的体积为匕，AC=1,由题意得，匕=g义号xlxl=g,

由三棱柱ABC-4与。]的体积V=1,

.•.（V—匕）：匕=1：1,.••平面BDG分此棱柱为两部分体积之比为1:1.

（2011新课标I卷T16文科）已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个

球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的旦，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者

16

的高的比值为一.

【答案】1

3

【分析】所成球的半径，求出球的面积，然后求出圆锥的底面积，求出圆锥的底面半径，即可求出体

积较小者的高与体积较大者的高的比值.

【解析】解：不妨设球的半径为：4；球的表面积为：64K,圆锥的底面积为：12K,圆锥的底面半径为：

2T；

2

由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离，求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角

形

由此可以求得球心到圆锥底面的距离是^42_(2/§)2=2,

所以圆锥体积较小者的高为：4-2=2,同理可得圆锥体积较大者的高为：4+2=6；

所以这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为：1.

3

故答案为：1

3

【点睛】本题是基础题，考查旋转体的体积，球的内接圆锥的体积的计算，考查计算能力，空间想象

能力，常考题型.

(2011新课标I卷T18文科)如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形.ZDAB=60°,

AB=2AD,PD_L底面ABCD.

(I)证明：PA±BD

(II)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.

【答案】答案见解析

【分析】(I)因为NDAB=60。，AB=2AD,由余弦定理得BD=^AD,利用勾股定理证明BD_LAD,

根据PD_L底面ABCD,易证BD_LPD,根据线面垂直的判定定理和性质定理，可证PA_LBD；

(II)要求棱锥D-PBC的高.只需证BCL平面PBD,然后得平面PBCL平面PBD,作DELPB于

E,则DEL平面PBC,利用勾股定理可求得DE的长.

【解析】解：（I）证明：因为NDAB=60。，AB=2AD,由余弦定理得BD=J^AD,

Affi]BD2+AD2=AB2,故BDJ_AD

又PD_L底面ABCD,可得BD_LPD

所以BD_L平面PAD.故PA_LBD.

（II）解：作DE_LPB于E,已知PD_L底面ABCD,

则PD_LBC,由（I）知，BDXAD,又BC〃AD,

；.BC_LBD.

故BC_L平面PBD,BC±DE,

则DE_L平面PBC.

由题设知PD=1,贝ijBD=«,PB=2.

根据DE・PB=PD・BD,得DE=返，

2

即棱锥D-PBC的高为区.

2

【点睛】此题是个中档题.考查线面垂直的性质定理和判定定理，以及点到面的距离，查了同学们观

察、推理以及创造性地分析问题、解决问题能力.

一统考点/考向》

一、柱体、锥体、台体的表面积

1.旋转体的表面积

圆柱（底面半径为圆锥（底面半径为圆台（上、下底面半径分

r,母线长为/）r,母线长为/）别为r’,厂,母线长为/）

2

s，-L

，2irr'//

侧面展

开图"人

2irr_-"占

底面面

氐=兀,$底=",2c*2

s上底=“，5下底="

积

侧面面

s伊j=litrls侧=兀"s侧=7i/(/+r)

积

厂，2+/+，in

S表=兀r+

表面积S表=2jir(r+/)S表=兀r（厂+/）

2.多面体的表面积

多面体的表面积就是各个面的面积之和，也就是展开图的面积.

棱锥、棱台、棱柱的侧面积公式间的联系：

二、柱体、锥体、台体的体积

1.柱体、锥体、台体的体积公式

几

体积

何体

唳体=S，（S为底面面积，/l为高）,%柱=兀厂2介（厂为底面半径，h为高）

柱

2

体

锥唳体=gs/i（S为底面面积，〃为高），/锥为底面半径，力为高）

体

%体=g（S'+JF?+S）/i（S、S分别为上、下底面面积，/Z为高），

台

体

%台=；兀%卜，2+/厂+厂2卜八厂分别为上、下底面半径，〃为高）

2.柱体、锥体、台体体积公式间的关系

%体=护+乒+奶

3.必记结论

（1）一个组合体的体积等于它的各部分体积之和或差;

（2）等底面面积且等高的两个同类几何体的体积相等.

三、柱体、锥体、台体的表面积

1.已知几何体的三视图求其表面积，一般是先根据三视图判断空间几何体的形状，再根据题目所给数

据与几何体的表面积公式，求其表面积.

2.多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积应注意重合部分的处理，以确保不重复、不

遗漏.

2

3.求多面体的侧面积时，应对每一个侧面分别求解后再相加；求旋转体的侧面积时，一般要将旋转体

展开为平面图形后再求面积.

4.柱体、锥体、台体的体积

空间几何体的体积是每年高考的热点之一，题