高中数学：圆锥曲线复习题解析版

圆锥曲线复习题

1.已知/（XI，yi）,B（X2,”）为抛物线c：V=4x上不同的两点.

（1）若川+”=4,求直线48的倾斜角；

（2）若必用=3,且N8的中点为。求。到y轴距离的最小值.

【分析】（1）利用两点间斜率公式求出斜率，由斜率与倾斜角的关系求解即可;

（2）设直线48的方程，与抛物线方程联立，由|/8|=3,得到机与f的关系，表示出点

。到y轴的距离，然后求解最值即可.

解：（I）由两点间斜率公式可得上=2学为一、2二4

xl~x2江—文丫1+丫2

~~4~

所以直线N8的倾斜角为45°；

（2）设直线的方程为x=/如

联立方程组为=广，

（y£—4x

可得/-4ty-4加=0,

所以△=16a+16〃?>0,即尸+用>0,

且月小=今，口”=-4加，

所以（九一”）2=16t2+16m,

则（1+?）（16»+16加）=9,

故m=--------t2,

16（产+1）

因为P+121,

又点Q到y轴的距离d==1（yi+y2）+m

a

=2t2+m=--------------Ft2

16（产+1）

=雇筋+（r+1）—1单调递增’

9

所以当r=0时取的最小值一，

16

9

所以Q到y轴距离的最小值为

【点评】本题考查了抛物线标准方程的应用、直线与抛物线位置关系的应用，两点间斜

率公式的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线

的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题.

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2.在平面直角坐标系xOy中：

①已知点/(V3,0),直线I：%=竽，动点尸满足到点/的距离与到直线/的距离之

V3

比——;

2

②已知点S,T分别在x轴，y轴上运动，且即=3,动点尸满OP=2OS+力or；

③已知圆C的方程为7+丁2=4,直线/为圆C的切线，记点4(国，0),B(-再，0)到直

线/的距离分别为由，dz，动点P满足|以|=力，|P8|=d2.

(I)在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；

(H)记(I)中动点尸的轨迹为E,经过点。(1,0)的直线/'交E于M,N两点、,

若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q,求点。纵坐标的取值范围.

【分析】(1)分别由①②③条件列出x,y关系式，化简即可得轨迹方程；

(2)设。(0,泗)，当/'斜率不存在时，y0=0,当厂斜率存在时，设直线/'的方程

为y=A(x-1)(A六0),Af(xi，yi),N(X2,”)，联立直线/'与椭圆方程，由根与系

8%2

数的关系得，jq+x2=—J，进而得到线段MN中点(X3,”)，则知，/，线段的

14-4^

垂直平分线的方程，令x=0,得泗=—%=<一,再求出范围.

•i+4r^+4/c

2*42

J(x-V3)+yx2

解：(1)若选①，设尸(x,y),根据题意，------证---，整理得/十/=1,

\x~~\

K2

所以动点P的轨迹方程为一=1：

4

若选②，设P(x,y),S(xf,0),T(0,yr)则J(x')2+(y')2=3(*).

z2

—3

X=-X:

3x--X

整

所以

T2T1T理2

因为OP=[OS+[OT,11,-

1y-yy3y

=3

22

代入(*)得二+y2=\,所以动点P的轨迹方程为上+/=1；

44

若选③，设尸(x,y),设直线/与圆相切于点”,则以|+p8|=di+d2=2|O〃]=4>2B=\AB\,

由椭圆定义知点尸的轨迹是以/，8为焦点的椭圆，所以2a=4,2c=M8|=2V1

%2

故。=2,。=代，6=1,所以动点P的轨迹方程为:~+『=1；

4

(2)设。(0,yo),当厂斜率不存在时，涧=0,

当「斜率存在时，设直线厂的方程为(x-1)(左WO),M(XI，vi),N(X2,”)，

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y=k(x—1)

x2，消去y整理得(1+4修)f-80c+4-1)=0

1彳+y2=i

△>0恒成立，Xl+%2=----7，

l+4k‘

设线段MN中点、（X3，N3），则%3=产=4ky=k（X3-1）=-----幺”

2i+加3i+4r

设线段MN的垂直平分线的方程为y+—^=—*（x一~史J）,

1+4々’卜1+4/

3/c3

令x=0得#==

1+4必-%+4k'

11Q

当左V0时，-+4k^-4,当且仅当斤=一皮取等号，所以一・Syo<O,

11Q

当k>0时，%+4后4,当且仅当上挪等号，所以0V泗线,

o3

综上，0的纵坐标的取值范围是[-本-].

【点评】本题考查轨迹方程及直线与椭圆的综合，基本不等式的应用，考查转化思想与

运算求解能力，属于中档题.

3.已知抛物线C：y2=4x.

（1）若C与圆G：（x-4）2+/=13在第一象限内交于“，N两点，求直线MN的方程；

（2）直线/过点。（-1,0）交C于/,8两点，点8关于x轴的对称点为E,直线ZE

交x轴于点P,求证：P为定点.

【分析】（1）联立直线与圆方程，求出交点坐标，即可求出直线方程.

（2）设直线/方程为》=叩-1,A（xi，yi）,B（%2，y2），E（X2，-J2）,直线/方程与

抛物线联立，结合韦达定理可得，川竺=4,设直线ZE方程为x=gb,直线/£方程与

抛物线联立，结合韦达定理可得，以"=-46=-4,解得％=1,即ZE方程为工=町》1,

直线ZE必过点（1,0）,即得证.

y2—4x

（X一4）2+y2=13,解得仁=；或『=

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