高中数学必修二知识点总结

必修二复习(立体几何)

第一章柱、锥、台、球的结构特征

一、柱、锥、台、球的结构特征

1、棱柱

⑴结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边

都互相平行，由这些面围成的多面体。

注意：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗?

答：不一定是.如图所示，不是棱柱

1.侧棱都相等，侧面都是平行四边形；

2.两个底面与平行于底面的截面都是全等的多边形；

3.平行于侧棱的截面都是平行四边形；

(3)棱柱的分类

按侧棱是否和底面垂直分类：

J斜棱柱

I直棱柱严棱柱

I其它直棱柱

按边数分：三棱柱四棱柱五棱柱

按侧棱是否与底面垂直分：斜棱柱直棱柱正棱柱

2、棱锥

(1)结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形

(2)棱锥的分类

按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥、

正棱锥：底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面中心的棱锥。

定义：

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫棱锥。

如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，这样的棱锥叫做正棱

锥。

性质

I、正棱锥的性质

⑴各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形。

(2)棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影组成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在

底面上的射影也组成一个直角三角形。

正棱锥性质2:棱锥的高、斜高和斜高在底面的射影组成一个直角三角形。棱锥的高、侧棱

和侧棱在底面的射影组成一个直角三角形

棱台由棱锥截得而成，所以在棱台中也有类似的直角梯形。

3棱台

结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分是棱台.

4圆柱

结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做

圆柱。

5圆锥

结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成

的几何体叫做圆锥

6圆台

结构特征：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分是圆台.

7球

结构特征：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体.

8空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积和体积

p圆柱的侧面积：s=2m•/

—圆锥的侧面积：S-nrl

面积一

圆台的侧面积：S=n(r'+r)/

球的表面积：

—S=4兀R'

—柱体的体积：

v=Sh

—锥体的体积：V=

体积一

台体的体积：.T（S，+JsS+S）〃

—球的体积：y

练习题

1.设棱锥的底面面积为8cm2,那么这个棱锥的中截面（过棱锥的中点且平行于底面的截面）的

(A)4cm2zVzcm2

(C)2cllI?(T>>-x/2cm2

面积是（)

2.若一个锥体被平行于底面的平面所截，若截面面积是底面面积的四分之一，则锥体被截面

截得的一个小锥与原棱锥体积之比为（）

（A）l：4（B）1：3

（C）1:8（D）1:7

3.上、下底面积分别为367r和497r,母线长为£

的圆台，其两底面之间的距离为

练4：一个正三棱锥的底面边长是6,高是6,那么这个正三榜

锥的体积是（A）

7

(A)9(B)|(C)7(D)-

4

练5：一个正三棱台的上、下底

面边长分别为3cm和6cm,

高是1.5cm,求三棱台的侧

面积。2773

6.如图，等边圆柱（轴截面为正方形ABCD）一只蚂蚁在A处，想吃Ci处的蜜糖，怎么走

才最快，并求最短路线的长？

二、空间几何体的三视图和直观图

「中心投影

—正视图

三视图一一侧视图

孑行投影-1-俯视图

一直观图一副二测

画法

平行投影法投影线相互平行的投影法.

(1)斜投影法

投影线倾斜于投影面的平行投影法称为斜投影法.

(2)正投影法

投影线垂直于投影面的平行投影法称为正投影法.

阈有关概念：物体向投影面投影所得到的图形称为视图。

S如果物体向三个互相垂直的投影面分别投影，所得到的三个图形摊平在一个平面上,

则就是三视图。

俯视图方向

三视图的作图步骤

1.确定视图方向

2.先画出能反映物体真实形状的一个视图

3.运用长对正、高平齐、宽相等的原则画出其它视图

4.检查，加深，加粗。

斜二测画法步骤是:

（1）在已知图形中取互相垂直的X轴和y轴，两轴相交于点。。画直观图时，把它们画成

对应的x'轴和y'轴，两轴交于点O',且使/x'O'y'=45"（或135°）,它们确定

的平面表示水平面。

（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x'轴或y'轴的线

段。

（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长

度为原来的一半。

练1：

圆柱的正视图、侧视图都是,俯视图是；（矩形、圆）

圆锥的正视图、侧视图都是,俯视图是；（三角形、圆及圆心）

圆台的正视图、侧视图都是,俯视图是o（梯形、圆环）

练2:利用斜二测画法可以得到：

①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的

直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形。以上结论正确的是（）A

（A）①②（B）①（C）③④（D）①②③④

练3:根据三视图可以描述物体的形状，其中根据左视图可以判断物体

的；根据俯视图可以判断物体的；根据

正视图可以判断物体的（宽度和高度、长度和宽度、长度和高度）

练4:某生画出了图中实物的正视图与俯视图，则下列判断正确的是（）

A.正视图正确，俯视图正确B.正视图正确，俯视图错误

正视图错误，俯视图错误

）（答案：一个倒放着的圆锥）

6.一平面图形的直观图如图所示，它原来的面积是（

7.如图所示，AABC的直观图AA'B'C',这里AA'B'C'是边长为2的正三角形，作

出AABC的平面图，并求AABC的面积.

8、正三棱柱的侧棱为2,底面是边长为2的正三角形，则侧视图的面积为

9将正三棱柱截去三个角（如图1所示分别是三边的中点）得到几何体如图2,则该几何体

10如图是一个空间几何体的三视图，如果直角三角形的直角边长均为1,那么几何体的体积

为

11.已知某个几何体的三视图如图2,根据图中标出的尺寸（单位：cm）,可得这个几何体的

体积是

第二章点、直线、平面之间的位置关系

四个公理

直线与直线位置关系

•三类关系直线与平面位置关系

平面与平面位置关系

线线角

•三种角线面角

二面角

线面平行的判定定理与性质定理

线面垂直的判定定理与性质定理

•八个定理面面平行的判定定理与性质定理

面面垂直的判定定理与性质定理

1、四个公理

公理1:如果一条直线上有两点在一个平面内，那么直线在平面内.（常用于证明直线在平面

内）

公理2:不共线的三点确定一个平面.（用于确定平面）.

推论1：直线与直线外的一点确定一个平面.

推论2:两条相交直线确定一个平面.

推论3:两条平行直线确定一个平面.

公理3:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有公共点，这些公共点的集合是一条直线

（两个平面的交线）.

平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

2、三类关系

f共面:ab=A,a//b

（1）线线关系：日本一日不

〔异面:a与b异面

异面直线：

（1）定义：不同在任何一个平面内的两条直线——异面直线；

（2）判定定理：连平面内的一点与平面外一点的直线与这个平面内不过此点的直线是异面

直线。

异面直线所成的角：（1）范围：口«0。,90。］|；

（2）作异面直线所成的角：平移法

直线与平面所成的角（简称线面角）：若直线与平面斜交，则平面的斜线与该斜线在平面内

射影的夹角。

'平行：a//13

(3)面面关系'斜交：aJ3=a

相交＜

、垂直：a1/3

①二面角：(1)定义：【如图】；范围：ZAOBe[0°,180°]

03J/,Q4J/=NAOB是二面角c—I-/7的平面角

②作二面角的平面角的方法：

(1)定义法；(2)三垂线法(常用)；(3)垂面法.

3、八个定理

1.线面平行：

②判定定理：如果一个平面内的两条相交直线都平行于

另一个平面，那么两个平面互相平行；

符号表述：a,bua,ab=O,alla,blla^all[3

allP

③面面平行的性质定理:ay=a>=allb

0y-b

④判定与证明面面平行的依据：

(1)定义法；(2)判定定理及结论1；(3)结论2.

结论1：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面的

两条直线，那么这两个平面互相平行

符号表述：a,bua,ab=O,a',b'u0,alla',bIIb'nall/3

结论2:垂直于同一条直线的两个平面互相平行.

符号表述：=e〃力.【如右图】

3.线面垂直

①定义：若一条直线垂直于平面内的任意一条直线,

则这条直线垂直于平面。

符号表述：若任意|au%|都有且则|/La

a,bua

ab-0

②判定定理：Iaa"n/_La（线线垂直巨线面垂直）

I.La

lib

③性质定理：a±a,b±a=>a//b（线面垂直三线线平行）;

另：/Ja,auiz=/La（线面垂直日线线垂直）;

（1）定义：若二面角叵壬司的平面角为阿，则叵立］;

（2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.

（线面垂直目面面垂直）

a10

aB=AB

（3）性质定理：>n〃_L〃（面面垂直三线面垂直）;

aua

a_LAB

基础知识网络:

立体几何解题中的转化策略

位置关系的相互转化：

大策略：空间到平面

小策略：

①平行转化：线线平行线面平行面面平行

②垂直转化：线线垂直线面垂直面面垂直

③平行关系垂直关系

例1：在棱长为1的正方体ABCD—AiBiGD]中,

(1)求异面直线A〔B与B〔C所成的角的大小；

(2)求直线A〔B与平面BB〔DiD所成的角；

(3)求二面角A—BD—A1的正切值；

(4)求证:平面A]BD〃平面CBM1；4q\

⑸求证:直线4G1平面A]BD;卜

(6)求证：平面45G-1-平面A]BD;%/'

(7)求点A1到平面CB1D1的距离.卜'

例2；

如图，在长方体ABCD-4131GA中，AAx=.lD=a,

、下分别为、的中点)

AB=la,E0rDi.

(I)求证：DE1平面BCE；AXI

<n)求证：AF〃平面BDE.：i/

练习1：

如图，在长方体ABCD-451G2中，441=40=a,

AB=2a,E、下分别为GR、A。1的中点.D,

(I)求证：DEBCE；*」

j7

(n)求证：AF〃平面BDE.:,/

策略：线面平行转化成线线平行(空间转化平面)

例3（综合题型）：

一个多面体的直观图及三视图如图所示:

（其中分别是4尸、3c的中点）

D

直观图

1）求该多面体的表面积与体积（策略：空间几何体的相互转化可考虑将该多面体补图成

正方体

^：5=2x-x22+2x2?+2x2戊

2

=12+4&

r=-X22X2=4

2

(2)求证：MM/怦面CDEH

解：

连结班;，EC,贝！LBE经过点M

在AgEC中,MN是中位线

MN//EC

ECu平面CDEF»nMN〃平面CDEF

WZ平面CDEF

策略：利用中位线将线面平行转化成线线平行

(3)求二面角C-4F—8的正切值；

解：连结

AB=BF=2,AC=CF=2^2,

M为^^的中点

NCMB为二面角。-AF-3的平面角

CB=工MB="在&ACMB中

tanNCMB=C^=&

MB

策略：将二面角转化成平面角，先找后求

解(4)求多面体N—CZ)£F的体积；

委面体4-CD”为四棱锥

且侧面4DE，底面CDE产

点4到平面8针的垂线必在平面4。石内，

且垂直于交线必

•.•AE=AD=2,取力£中点为O

AO_1_底面CZZEF,AO=V2

：.7=-X2X2V2X42=-

33

策略：将点面距离转化成点线距离

第三章直线与直线方程

1、直线的倾斜角

倾斜角的取值范围是0°<a<180°.

2、直线的斜率

k=tana,(aw90°)

意义：斜率表示倾斜角不等于90。的直线对于x轴的

倾斜程度。

直线的斜率计算公式;即kJ二叫

,X2-Xi:

直线方程的形式:

形式条件方程应用范围

点斜式过点（Xo,%）,

"”=依＞一/）上存在

斜率为k

斜截式在y轴上的截距为b,

斜率为ky=kx+b格在

两点式过Pl（M，%）,♦f二Xf上存在

P2（*2,，2）yi-yi叼一西且左士0

截距式在y轴上的截距为b,Xy1上存在且H0

在x轴上的截距为a-+-=1.

ab且不过原点

一般式任何直线

Ax+By+C=0

两直线平行的判定：

方法：

1）若4:歹=左1工+”，：歹=左2%+4

/]〃，2O左1=左2,4Wb?

2）若/“F+BJ+G=0,/2：+B2y+C?—0

/1//（OA&2=4耳,4。）。/2。1

两直线相交的判定：

方法：

1）若小y=kxx+bY,l2:y=k2x+b2

4,相交=左工左2

2）若点小+B[y+C[=0J2:A^x+B2y+C?—0

乙，相交04为w4耳

两直线垂直的判定：

方法：

1）若I:y=kyX+by,^:y=k2x+b2

4_L，2=0•左2=—1

2）若"如+By+C]=0,12:A^x+B2y+C?—0

kj/2o44+B\B?=o

4.点到直线的距离，平行线的距离

(1)点P(%,J1)到直线4+为+C=0距离：

d_[4x0+By0+C\

J]+.2

(2)直蚪+的+6=啕直线小+为+。2=0

的距离：

〃I。2y

4A1+B2

中心对称(点关于点的对称点直线关于点的对称直线)

解决方法中点坐标公式

9轴对称(点关于直线的对称点,直线关于直线的对称直线)

解决方法⑴垂直⑵中点在对称轴上

题型一求直线的方程

例1、求适合下列条件的直线方程：

(1)经过点P(3,2),且在两坐标轴上的截距相等；

(2)经过点A(-1,-3),且倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍.选择适当的直线方程形

式，把所需要的条件求出即可.

解(1)方法一设直线1在x,y轴上的截距均为a,

若a=0,即1过点(0,0)和(3,2),

的方程为y=x,即2x-3y=0.

若aKO,则设1的方程为

•••1过点(3,2),A

.'.a=5,.,.1的方程为x+y-5=0,

综上可知，直线1的方程为2x-3y=0或x+y-5=0.

方法二由题意知，所求直线的斜率k存在且k*0,

设直线方程为y-2=k(x-3),

令y=0,得x=3-，令x=0,得y=2-3k,

由已知3-=2-3k,解得k=-l或k=,

二直线1的方程为

y-2=-(x-3)或y-2=(x-3),

即x+y-5=0或2x-3y=0.

(2)由已知：设直线y=3x的倾斜角为，

则所求直线的倾斜角为2.

'.'tan=3,；.tan2—

又直线经过点A(-1,-3),

因此所求直线方程为y+3=(x+1),

即3x+4y+15=0.

题型二直线的斜率

【例2】已知直线I过点P(-1,2),且与以

A(-2,-3),B(3,0)为端点的线段相交,

求直线I的斜率的取值范围.

思维启迪分别求出PA、PB的斜率，直线I处

于直线PA、PB之间，根据斜率的几何意义利

用数形结合即可求.

解方法一如图所示，直线PA的

斜率％=2±2=5,

PA-1-(-2)

直线PB的斜率A(-2,-3)

,0-21

kpR=----------=—.

3-(-1)2

当直线I绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC

时，它的斜率变化范围是[5,+8)；

当直线I绕着点P由PC旋转到PB的位置时，它的斜

率的变化范围是,吟-：

I2」,in

二直线I的斜率的取值范围是|-]]U[5,+=o)

方法二设直线I的斜率为匕则直线I的方程为

y-2=k(x+1),HPkx-y+k+2=0.

：A、B两点在直线的两侧或其中一点在直线I上，

:.(-2k+3+k+2)(3k-(Hk+2)WO,

即(k-5)(4k+2)20,，k25或kwg.

即直线I的斜率k的取值范围是-j-工

二2」

U[5,+8).

探究提高：方法一运用了数形结合思想.当直线的倾斜角由锐角变到直角及由直角变到钝

角时，需根据正切函数丫=由2的单调性求k的范围，数形结合是解析几何中的重要方法.解

题时，借助图形及图形性质直观判断，明确解题思路，达到快捷解题的目的.

方法二则巧妙利用了不等式所表示的平面区域的性质使问题得以解决.

题型三两直线的位置关系

例3:已知直线方程为(2+&x+(l—2&7+9—34=0.

⑴求证不论4取何实数值，此直线必过定点；

(2)过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.

解：把直线方程整理为2x+y+9+4(x—2y—3)=0.

2x+y+9=0

解方程组'

x—2y-3=0

即点(一3,—3)适合方程2x+y+9+2(x—2y—3)=0,也就

是适合方程(2+4r+(l—+9-32=0.

所以，不论无取何实数值，直线(2+2)x+(l—24)y+9—34=0必过定点(一3,-3).

(2)设经过点(一3,—3)的直线与两坐标轴分别交于4(2,0),B(0,

a+0

2=-3

由中点坐标公式得八,人,

[0丁+b=-3

解得。=—6,b=~~6.

故过点(一3,—3)的直线方程为士+々=1,

即

6).x+y+6=0.

练1、过P(-1,2)的直线/与线段.45相交，若,4(-2,-3),5(3,0)，

求1的斜率4的取值范围。

2、证明：/(—1,—5),方(3,3),。(7」1)三点共线。

3、设直线/的斜率为左，且—石＜之＜1,求直线的倾斜角。

的取值范围。3

4、已知直线Z的倾斜角的正弦值为m,且它与两坐标轴围成

的三角形面积为6，求直线/的疗程。

答案：1、ke—ao,——U[5,4-ao)；2、方法；①=k.4c

I2」

②网+函=明③石〃就；3、；

4、壬+1=1—+工=1、三+1=1、二+上=1。

434-3-43-4-3

练5、a为何值时，直线依+(l-a)j，+3=0与(a-l)x+(2a+3)『-2=0

平行？垂直？

练6、求过点/(—1,2)且与原点的距离为4的直线方程。

答案；1、判断4殳-也当是否为0,。=1或。=—3时垂直;

2、x+/-1=0或7x+『+5=0;

7、将直线4：x-y+如-2=0绕着

它上面的一点⑵痴)沿逆时针方向旋转15。

得直线4,求的方程。

解：♦.《=1k2=tan(450+15。)=6

:.lz:y-^3=4^(X-2)

/.V3x-j-V3=0为所求的方程。

8、直线过点(-2,-1),且在两坐标轴上

的截距相等，求直线方程。

解：若直线截距为o,则设所求直线为J，=h,

再由过点(—2,—1)得£=工；

2

若直线截距不为0,则设所求直线为三+工=1,

aa

再由过点(一2,—1)得a=-3.

/.所求直线方程为x-2y=0或x+”3=0。

9、(1)求A(-2,3)关于直线对称点B的坐标；

(2)光线自A(-3,3)射出，经x轴反射以后经过点B(2,5),求入射光线和反射光线的

直线方程；

(3)已知M(-3,5),N(2,15),在直线上找一点P,使|PM|+|PN|最小，并求出最小

值

10、若直线ax+by+c=O在第一、二、

三象限，则(D)

A.ab>0,bc>0B.ab〉0,bc^.0

C.bc^>0D.ab<0,

解析：由题意，直线的斜率一定大于0,所以左=一号>0,

即abVO；根据直线的纵截距大于0,可得一：>0,即历V0.

第四章圆与方程

圆的标准方程

!(x-a):+(y-bp=/1

圆的——般方程

\x2+y2+Dx+Ey+F=Q!

圆的参数方程

\\x-a-\-rcosa•

•[y=b+rsina!

1.(全国)圆心为(1,2)且与直线5x-12y-7=0相切的圆的方程为

2.圆心在直线2x-y-7=0上的圆C与y轴交于两点A(0,-4),B(0,-2),求圆C的方程.

3.AABC的三个顶点的坐标分别是A(5,l),B0,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.

直线与圆的位置关系：

位置关系判断方法

相离0目〉/或A〉。

相切Od=r或A=0

相交Od<r或A<0

例1、(1)求实数m,使直线x-

my+3=0和圆+y2-6x+5=0

(1)相交