高中数学-椭圆复习教学设计学情分析教材分析课后反思

椭圆的学情分析

在本节之前，学生已经学习过直线与圆的方程、曲线与方程的

概念，对解析几何有初步认识，能用坐标法研究几何图形。学生对

椭圆概念的形成及精准的数学语言描述存在一定困难。而在推导椭

圆标准方程时会遇到两个困难：一是建立合适的坐标系使椭圆方程

最简单；二是化简方程。而学生已有的知识与能力不能完全胜任，

需要教师作适当的引导。

效果分析

由学生自己画图建立椭圆形象，又由学生根据画图过程归纳出

椭圆的定义，接着推导出椭圆的标准方程，引导学生分析椭圆方程的

特点，归纳参数与椭圆形状之间的关系.再通过例题和练习掌握椭圆

的标准方程的特点.

第一，在讲解"顶点"定义时，单纯定义为椭圆与坐标轴的交点,

没把握住顶点的重要特征，即"顶点是椭圆与其对称轴的交点"，如果

把握住这一点，在讲解时就应先讲"对称性"，再讲"顶点"；二是本节

课对几何性质的导入，是由学生回顾上节所讲特征三角形的三边与角

的大小关系开始的，而多数人对特征三角形的记忆是很模糊的，上节

课在这个知识点上学生吸收的并不好，如果把它放在本节课"顶点"之

后再讲解，会显得更自然一些；三是"对称性"的讲解过于单薄，学生

既然很快就观察出了这个性质，何不趁热打铁，再从代数的角度证明

一下呢？过于避重就轻的做法不利于对学生数学思维能力的培养。

教材分析

【知识与技能】

1、掌握椭圆的定义，能用数学语言准确描述椭圆的概念；

2、能选择恰当的坐标系，推导出椭圆的标准方程；

3、理解椭圆的标准方程中的几何意义。

【过程与方法】

1、通过研究旦德林双球模型发现椭圆的几何性质，培养数学抽象的

核心素养；

2、利用椭圆的几何性质提炼出椭圆的定义，培养直观想象的核心素

养，体会数形结合的数学思想；

3、通过推导椭圆的标准方程，培养数学运算的核心素养，掌握解析

几何的研究方法。

【情感、态度和价值观】

1、通过发现生活中的椭圆，体会数学与生活的紧密相连，感受到数

学的有用；

2、通过利用旦德林双球模型探究椭圆的定义，激发学生学习数学的

积极性，培养学生的学习兴趣与创新意识；

3、通过推导椭圆的标准方程，感受算法优化的重要性，从椭圆图形

的对称性、方程的简洁性体会数学的美与简洁。

椭圆

编写:审核：祝继玲

教师寄语:用微笑坦望前景,用拼搏铸就辉煌。

［考纲传真］1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.

2.会求椭圆的标准方程和离心率.

知识点1椭圆的定义

1.平面内与两个定点为，尸2的距离的和等于常数(大于尸声2|)的点的轨迹叫

做这两个定点叫做椭圆的，两焦点间的距离叫做椭圆

2.集合尸={M||MR|+|M尸2|=2a},|尸1尸2|=2。(a>0,c>0,且a,c为常数)：

(1)若a>c,则M点的轨迹为；

(2)若亡£,则M点的轨迹为；

(3)若心，则M点的轨迹为

椭圆上一点P与椭圆的两焦点组成的三角形通常称为“焦点三角形”，

(1)其周长:

⑵其面积为反叫=/1211日(利用椭圆定义，余弦定理和面积公式推出)

1+cos。2

3运用:学情自测

▼

1.（思考辨析）判断下列结论的正误.（正确的打“J”，错误的打“X”）

（1）平面内与两个定点的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（）

（2）椭圆上一点P与两焦点Fi,Fi构成△PBB的周长为2a+2c（其中a为椭

圆的长半轴长，c为椭圆的半焦距）.（）

（3）椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆.（）

（4）方+5=1（0工份表示焦点在y轴上的椭圆.（）0

92

2..（2011•新课标全国卷）椭圆£+?=1的离心率为（）

10o

A1c也D也

/A,.3*2v-x«3i-j•2

3.己知焦点在x轴上的椭圆的离心率为/且它的长轴长等于圆C：/+尸

—2x—15=0的半径，则椭圆的标准方程是()

人5+9=118号+(=1C.^+/=lD..?=l

91

4.(2015・广东高考)椭圆会+5=1(*0)的左焦点为4,0),则〃?=()

A.2B.3C.4D.9

攻考向，，三级提能基础能力探究逐级提升解题能2

考向一：待定系数法求椭圆的标准方程。

1.（教材改编）椭圆京J+三=1的焦距为4,则相等于（）

•11/III'fit'4

A.4B.8C.4或8D.12

2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点尸（3,0）,

则椭圆的方程为.

3.经过点p（-2夜,0）,Q（0,右），求圆的标准方程o

考向二：利用定义及性质求椭圆的标准方程。

1.（课本42页）如果点M（X,y）在运动过程中，总满足关系式：

加+（丫+3）2+收+（川=10,点M的轨迹是什么曲线？写出它的方程。

变式1：(2016.盐城模拟)已知两圆Ci：(x—4)?+y2=]69,C2：(x+4)2+y2

=9,动圆在圆G内部且和圆。相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹

方程为（）

A支—JC--^=lDMJ

A-64481048十641c-48641^64十481

?2

2.（2014•大纲全国卷）已知椭圆C：a十方=1（»〉0）的左、右焦点为R、Fi,

离心率为竽，过尸2的直线/交C于A、8两点.若aAF归的周长为4小，则C

的方程为（）

22222P.2

A.y+2-=1B.y+/=1五D.^+^-=1

变式2：已知椭圆C：$+/=1（。>">0）的两焦点Fi（-4,0）,尸2（4,0）,点P

在椭圆C±.若除.而2=0,△PFiB的面积为9,则椭圆方程为.

小结1.求椭圆方程的方法

（1）利用椭圆的定义求标准方程时，要注意常数2a>阴川这一条件.

（2）利用待定系数法求标准方程时，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，再根

据条件建立关于a,6的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题

方便，也可把椭圆方程设为加一+〃*=1（於0,/?>0,/〃的形式.

考向三：求椭圆的离心率

1.已知椭圆盘十敏=1（。>。〉0）的两焦点为K、尸2,以乃尸2为边作正三角形，

若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为.

99

2（2014•江西高考）设椭圆C：，+%=l（a>b>0）的左，右焦点为R,Fi,

过尸2作工轴的垂线与C相交于A,8两点,F方与y轴相交于点。，若

则椭圆C的离心率等于.

变式1.（2016・广州模拟）设Fi,尬分别是椭圆C：.+冬=1（。》>0）的左、

右焦点，点尸在椭圆C上，若线段的中点在y轴上，NPBF2=30。，则椭圆

的离心率为o

小结2：求椭圆离心率的方法

1.直接求出4,C的值，利用离心率公式直接求解.

2.列出含有a,b,c的齐次方程（或不等式），借助于/=。2一/消去乩转化为含有e

的方程（或不等式）求解.3与离心率有关的不等式。

当堂训练：

1.已知椭圆点+占=1的离心率为与，则％的值为（）

1910

A.-21B.21C.一石或21D.^或一21

2.已知4,A2分别为椭圆C：「+g=l（a>Z?>0）的左、右顶点，P是椭圆C

4

上异于Ai,A2的任意一点，若直线而1,出2的斜率的乘积为一泰则椭圆C的

离心率为（）

3.（2016•厦门模拟）椭圆E：'=l（a>0）的右焦点为R直线y=x+m与

椭圆E交于A,B两点，若△必B周长的最大值是8,则机的值等于（）

A.0B.1C.小D.2

22

4.方程为2+5=l（a>力0）的椭圆的左顶点为/,左、右焦点分别为£、£,

ab

〃是它短轴上的一个端点，若3万开=加+2硒，则该椭圆的离心率为（）

A3B.§号D5

?2

5.（2016・长沙模拟）已知过椭圆也+$=l（a>/?>0）的左顶点A（—a,O）作直线I

交y轴于点P,交椭圆于点Q,若△AOP是等腰三角形，且的=23，则椭圆

的离心率为.

椭圆自测

基础过关

1.设Q，22为定点，尸|&|=10，动点M满足|MF||+|M&I=8,则动点M的轨迹是（）

A.线段B.椭圆C.圆D.不存在

2.椭圆25/+16/=1的焦点坐标为（）

A.（±3,0）0）

C.魅,°）D.（0,土却

3.椭圆手+?2=1的两个焦点为人、Fz，过Q作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为

P,则IPBI等于()

A.当B./C.^D.4

?2

4.已知椭圆，+方=13>匕>0),M为椭圆上一动点，Fi为椭圆的左焦点，则线段的中点

P的轨迹是()

A.圆B.椭圆C.线段D.直线

?292

5.曲线会++=1与占+恚7=1(0<%<9)的关系是()

A.有相等的焦距，相同的焦点

B.有相等的焦距，不同的焦点

C.有不相等的焦距，不同的焦点

D.以上都不对

6.椭圆系+方=1(心。>0)的两个焦点为Q、尸2，点P在椭圆C上，且PF」FiB，|PFI|=5-

|眸|=呈14求椭圆C的方程.

7.AABC的三边a,b,c成等差数列,且a>b>c,A,C的坐标分别为(-1,0),(1,0),求顶点

B的轨迹方程.

二、能力提升

72

8.设尸卜尸2分别是椭圆器+5=1的左、右焦点，若点P在椭圆上，且而赤2=0,则府j+

PF2|=________.

9.已知从一/0),B是圆尸：口一分+尸纵尸为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交

BF于P,则动点P的轨迹方程为.

10.曲线C是平面内与两个定点Q(—1,0)和/2(1,0)的距离的积等于常数43>1)的点的轨迹，

给出下列三个结论：

①曲线C过坐标原点；②曲线C关于坐标原点对称；③若点尸在曲线C上，则△QPF2

的面积不大于3

其中，所有正确结论的序号是.

-)2

11.已知点M在椭圆经+]=1上，MP'垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为P',并且M

为线段PP'的产点，求P点的轨迹方程.

12.P是椭圆£+==1(“>〃>0)上的任意一点，Q,佗是它的两个焦点，。为坐标原点，OQ

=即|+而2，求动点。的轨迹方程.

椭圆课标分析

本节课的主要内容是研究椭圆的定义及其标准方程，属于概念性知

识。

从知识上，本节是在选择性必修2直线与圆的方程的基础上，对

曲线与方程概念的进一步实际应用，同时也是研究椭圆几何性质的基

础；

从方法上，本节内容的学习为进一步研究双曲线、抛物线提供了

研究方法与理论基础。

在研究椭圆定义与方程的过程中，渗透数学抽象、数学运算、直

观想象、逻辑推理的数学核心素养。

因此，本节内容起到承上启下的重要作用，是本章内容的基础。

椭圆课后反思

课后的反思过程中我发现了几个问题：第一，在讲解“顶点”定义时，单纯

定义为椭圆与坐标轴的交点，没把握住顶点的重要特征，即"顶点是椭圆与其对

称轴的交点"，如果把握住这一点，在讲解时就应先讲“对称性"，再讲"顶点”；

二是本节课对几何性质的导入，是由学生回顾上节所讲特征三角形的三边与角

的大小关系开始的，而多数人对特征三角形的记忆是很模糊的，上节课在这个

知识点上学生吸收的并不好，如果把它放在本节课"顶点"之后再讲