西师大版数学六年级下册第三单元全部教案

西师大版数学六年级下册第三单元全部教案（教学设计）

第3单元正比例和反比例

♦教学内容：

本单元的教学内容包括：①教材第39页单元主题图；②教材第40〜42页比例；③教材

第43〜47页正比例；④教材48〜50页反比例；⑤整理与复习等内容。

♦教材分析：

本单元教材包括比例的意义和基本性质、正比例和反比例的意义及其应用。这是本册教

科书的重点内容之一。

比例的内容比较少，只要求学生理解什么是比例和比例的基本性质，会解一些简单的比

例。

全单元除了主题图之外，一共安排了比例、正比例、反比例、整理与复习四个小节。主

题图既为后面的比例教学创设了情景，又提供了课程资源。第一节根据主题图所引出的内容，

集中介绍比例的意义和比例的基本性质，并运用基本性质进行解比例；第二节主要介绍正比

例，其内容包括正比例的意义、成正比例的量的判定、正比例的图像和应用正比例知识解决

问题；第三节主要介绍反比例，内容包括反比例的意义，成反比例的量的判定和应用反比例

知识解决问题等；第四小节是对全单元知识的系统整理和复习。

本单元教科书在其内容的编写上具有以下主要特点：

1.创设活动情景引出新知识比例对小学生来说是一种全新的知识,为了让学生更好地理

解比例的意义，教科书根据比例在现实生活中的背景，创设了如下情景图：图中3组同学在

同一时刻测量旗杆、竹竿、米尺影子长度，根据比例利用旗杆影子的长度计算旗杆的高度。

这一情景图不仅为后面探索比例的意义和基本性质提供了素材，更重要的是表明了研究

比例的现实意义，使学生感受到比例的重要价值。同时,活动过程还体现了转化的数学思想，

让学生在学习中感受到我们虽然不能直接测量竖立的旗杆的高度，但是我们可以利用比例知

识通过测量其影子的长度而算出旗杆的高度,这实际上也是让学生获得一种解决问题的策略。

情景图为学生学习什么是比例和理解为什么要学习比例创设了很好的条件，有利于激发学生

学习比例的兴趣和心理需要。

2.联系生活实际揭示正、反比例的意义正比例和反比例的意义是判断两种相关联的量是

成正比例的量还是成反比例的量，运用正、反比例关系解决问题的依据和基础，是全单元学

习的重点。

3.强调学生的探究发现根据六年级学生的年龄特点和认识水平,本单元教科书在其内容

的编写上十分重视学生的探究发现，给学生的自主探究留下了很大的空间。

教科书的编写,充分体现“有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、

自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式”的理念，反映教科书为学生的数学学习提

供活动线索和引导学习方式的编写思想。

♦教学目标：

1.掌握比例的意义和基本性质，会运用比例的基本性质解比例。

2.正确理解正比例和反比例的意义，能正确判断成正比例的量和成反比例的量。

3.初步认识正比例图像，能在有坐标系的方格纸上画出正比例图像。

4.能运用正、反比例知识解决生活中的简单实际问题，培养学生的数学应用意识和解决

问题的能力。

5.经历探索比例的意义和基本性质、正比例和反比例意义及其应用的学习过程，了解正、

反比例知识的形成过程，体会正、反比例知识与生活的联系。

6.在学习中体会具有正比例关系和反比例关系的两种量之间的联系，进行辩证唯物主义

观点的启蒙教育。

♦重点难点:

1.理解比例的意义和基本性质；学会应用比例的基本性质解比例。

2.正确理解正比例的意义，能正确判断成正比例的量。

重点3.正确理解反比例的意义，能正确判断成成反比例的量•

4.认识并理解正比例的图像，能根据图像解决相关问题。

5.运用正、反比例知识解决生活中的简单实际问题。

1.应用比例的意义和基本性质判断两个比能否组成比例，并能正确

地组成比例。

难点2.正确理解正比例和反比例的意义，能正确判断成正比例的量和成

反比例的量。

3.能运用正、反比例知识解决生活中的简单实际问题。

♦教学建议

1.创设问题情景，激发学生学习比例的心理

需要根据教科书的安排，在比例教学中要充分利用主题图所创设的活动情景，通过测量

旗杆、竹竿影子长度探究旗杆实际高度的问题情景引出比例的问题，激发学生学习比例知识

的心理需要。

教学时可用不同的方式去再现主题图上的活动情景:一是可以通过计算机多媒体动态地

呈现主题图中的内容，并引导学生观察图中的旗杆，引出''旗杆有多高”的思考。在此基础

上让学生阅读教科书关于''可以通过测量影子的长度把旗杆的长度计算出来”的提示，并根

据提示观察图中小朋友测量旗杆、竹竿、米尺影长的画面，引导学生联想旗杆、竹竿、米尺

的长分别与它们各自影长的比的问题。

创设问题情景，在这里具有多方面的作用和功能。一是用活动情景作为比例在生活中的

现实背景,让学生从现实生活中引出所要学习的比例知识,这体现了数学学习内容的现实性。

二是由于图中情景只引出了测量旗杆、竹竿影长的活动，并没有算出旗杆的实际高度，所以

它可以起到激发学生学习比例知识算出旗杆实际长度的心理需要。三是活动情景中蕴含着解

决问题的策略，这有利于培养学生的探索精神、解决问题的能力及创新思维。教学时要高度

重视活动情景的教育价值，并最大限度地发挥其价值。

2.突出重点，强化学生对正、反比例意义的理解深刻

理解正比例和反比例的意义是全面掌握正、反比例知识的关键，在教学中要特别注意突

出这一教学重点，切实让学生理解正比例和反比例的意义，深刻认识正比例和反比例中两种

相关联的量之间的变化规律。

3.适当增强学习的探索性，让学生在探究中发现规律

本单元教科书安排了大量让学生探究发现的内容，如比例的意义和基本性质、正比例和

反比例的意义、正比例图像等都需要学生去探究、发现和总结。在教学中特别要注意根据教

科书的编写意图，把学习的主动权交给学生，让学生全面经历探究发现的过程，引导学生在

自主探索的基础上通过合作交流等形式去发现和总结出规律。

♦课时安排：

本单元用8课时完成教学，其中机动1课时。

课题课时

比例2

正比例3

反比例2

整理与复习1

总计8

3.1.1比例的意义和基本性质

♦教学内容：

教科书第40〜41页例1、例2,教材的41页课堂活动第1题及教材第42页练习十

一第1〜2题。

♦教学提示：

主题图：着重突出了小朋友在校园内测量旗杆影长的场面。从而引出“通过测量影

子的长度把旗杆的长度计算出来”的策略，这里并不要求计算，为后面的比例教学创设

了情景，提供了课程资源。

例1是教学比例的意义。一是可以让学生实际测量提供素材；二是观察例题插图引

出表格；三是重点引导学生认真观察表中数据并展开讨论；四是发现6：2和9：3的关

系得出构建比例式并根据这种相等关系总结出比例的意义。

例2是教学比例的基本性质。可先放手让学生去探索发现，然后师生共同总结比例

的基本性质。对于例2后面的“等号两边的分子分母分别交叉相乘的积相等。”这一结论

要引导学生探索发现，这一发现对后续学习很有帮助。

♦教学目标：

1.知识与技能:理解比例的意义,认识比例各部分的名称;理解并掌握比例的基本性质，

并能运用比例的基本性质判断两个比能否组成比例，会组比例。

2.过程与方法：让学生经历探讨“两内项之积等于两外项之积”的过程，使之更好理解

并掌握比例的基本性质。并能运用比例的意义和比例的基本性质，判断两个比能否组成比例,

会组比例。

3.情感、态度、价值观：培养学生自主参与的意识、主动探究的精神；培养学生进行初

步的观察、分析、比较、判断、概括的能力，发展学生思维，能够在解决问题的过程中体验

到学习数学的愉悦。

♦重点难点：

教学重点：理解比例的意义和基本性质。

教学难点:应用比例的意义和基本性质判断两个比能否组成比例，并能正确地组成比例。

♦教学准备：

教具准备：多媒体课件

学具准备：扑克牌10张（A-10）,圆规一个。

♦教学过程：

（-）新课导入

出示教材章前图

谈话：同学们，每周一的早上我们学校都要举行庄严的升国旗仪式，那么，你们对国旗

都有哪些了解呢？（生自由回答）

我们学校升国旗时，五星红旗冉冉升到旗杆的顶部。但是同学们有谁知道我们学校的旗

杆有多高吗？

你有什么办法测量出旗杆的高度呢？

预设：可以通过测量旗杆的影子的长度来测量旗杆的长度。

那么应该怎样操作呢？其中的依据又是什么呢？

今天我们就来解决这个问题。

【设计意图：通过创设学生熟悉的情景，结合情景提出问题，引起学生的注意，激起学

生学习新知识的欲望，自然的引出比例课题。］

（二）探究新知

1.探究比例的意义

出示例1：两组同学同时在操场探讨竹竿长与影子长之间的规律。列表如下：

竹竿长（m）39........

影子长（m）26........

观察上表，你能写出多少个有意义的比？并求出比值。把这些比都写出来。

学生讨论并写出比，完成后抽几个学生的作业在讲台上展示，教师选几个有代表性的比

在黑板上板书。

观察这些比，哪些能用等号连接？把能用等号连接的比用等号连接起来。

揭示比例的概念，让学生用自己的语言说一说什么是比例？

引导学生用自己的语言归纳比例的意义。并板书——比例的意义

2.判断两个比能否组成比例。

问题：2：9和3：6能组成比例吗？你是怎么知道的？

引导学生思考并回答下面的问题:

（1）判断两个比能不能组成比例，关键看什么？（两个比的比值是否相等）

（2）如果不能很快看出两个比的比值是否相等，怎么办？（化简）

（3）比和比例有什么区别？（比表示两个数相除，有两项；比例表示两个比相等，有

四项）

指导学生总结出“判断两个比能不能组成比例，要看他们的比值是否相等等有关知

识，然后再试判断4：7和80：140能否组成比例？并说明理由。

组织并指导学生完成书上第41页课堂活动第1题。

两人一组，从十张扑克牌中任意抽出4张，看看牌上的数（A代表1）能不能组成比例。

【设计意图：课堂活动通过做游戏的方式，使学生进一步明确判断两个比能否组成比例

的方法，寓教于乐，使学生在游戏中获取了知识。】

3.认识比例的各部分

引导学生思考：在一个比例里，有四个数，这四个数分别叫什么名字？能不能根据比中

的各项的名字试着给比例中的各项命名？

指明学生回答。揭示比例的各部分名称：在一个比例中，两端的两项叫做比例的外项,

中间的两项叫做比例的内项。

3：2=9：6

,,ft

1—内项」

--------京项--------1

39

3：2=9：6也可以写成分数形式：-=-

26

引导学生自己分析归纳出：在比例里，靠近等号的两个数是内项，剩下的两个数是外项；

如果写成分数形式，那么可以用交叉的方法找出比例的内项和外项。

【设计意图：引导学生自己分析归纳总结，学生对于自己总结的知识记忆深刻，掌握的

更加牢固，同时也培养了学生的分析问题解决问题的能力。】

4.教学比例的基本性质

前面我们已经探究发现了比例的一个秘密，就是组成比例的两个比的比值相等，比例还

有一个秘密，你们愿意去寻找吗？

你们任意找一个比例，把它们的内项和外项分别乘起来，又可以发现什么？

学生初步发现两个内项的积等于两个外项的积后，教师提醒学生：是不是每个比例都有

这个规律，多找几个比例试一试，如果把这个比例写成分数形式，它是不是也有这样的规律

呢？

让学生们通过多个比例的探究，发现它们都有这个规律。同时让学生用自己的语言归纳

这个规律。

2:3=4:62X6=3x4

1.2:0.9=0.8:0.61.2^0.6=0.9X0.8

指导学生归纳后，教师板书：在比例里，两个内项的积等于两个外项的积，并且告诉学

生，这就是比例的基本性质。

思考：把比例写出分数形式，等号两边的分子和分母分别交叉相乘，积相等。为什么？

5.运用比例的基本性质判断两个比是否能组成比例

用比例的基本性质，也可以判断两个比能不能组成比例。请同学们用比例的基本性质判

断一下，0.9：0.3能否和15：5组成比例？为什么？

学生讨论后回答：因为0.9X5=15X0.9,所以0.9：0.3能否和15：5能组成比例。

【设计意图：推导出比例的基本性质之后，紧跟着让学生利用比例的基本性质判断两个

比能否组成比例，使学生能够学以致用，并且使所学的知识能够及时得到巩固。】

（三）巩固新知

教材第42页练习十一第1题，这是一道判断下面的每组中的两个比是否能够组成比例

的问题，引导学生在解题时既可以利用比例的意义去判断即判断两个比的比值是否想的，也

可以利用比例的基本性质去判断。

（四）达标反馈

1.说一说比和比例有什么区别。

2.在6：5=30：25这个比例中，外项是（）和（），内项是（）和（）。

根据比例的基本性质可以写成（）X（）=（）X（）。

3.下面的四个数可以组成比例吗？把组成的比例写出来（能组几个就组几个）。

2、3、4、6

答案:

1.比是表示两个数相除的关系，有两项；比例是一个等式，表示两个比相等的关系，有

四项。

2.625530625530

3.答案不唯一。例如2:3=4:62:4=3:6

（五）课堂小结

先让学生总结本课所学内容，谈感想说收获，教师再进行全课总结。

【设计意图：通过学生总结本课所学内容，谈感想说收获的方式，可以使学生对本节课

所学知识有一个系统的认识,使本节课所学的知识得到进一步的巩固。】

（六）布置作业

1.(）叫做比例。

2.在一个比例中，（）叫做比例的夕卜项，（）叫做比例的内项。

3.(）这叫做比例的基本性质。

4.两个比的（）相等，这两个比就相等。

5.写出一个你喜欢的比例。

6.写出一个比值是0.6的比例。

答案：1.表示两个比相等的式子2.两端的两个项中间的两个项

3.两个外项的积等于两个内向的积4.比值

5.答案不唯一。

6.答案不唯一，例如3:5=6:10

♦板书设计

比例的意义

比例：表示两个比相等的式子。

各部分名称：

3：2=9：6

'—内项一1

----------外项-----------

2:3=4:6।2X6=3X4

1.2:0.9=0.8:0.61.2X0.6=0.9XQ8

比例的基本性质：两个外项的积等于两个内项的积。

♦教学资料包

（-）教学精彩片段

《比例的意义》教学片断

探究比例的基本性质

通过前面的学习，同学们已掌握了有关比例的知识，回忆一下，什么是比例？你能在

练习本上写出几个比例来吗？（学生写出比例后集体订正）

我们仔细观察比例，会发现比例的各项之间还存在着一定的规律与联系，想了解吗？这

节课，我们就来一起研究比例的另一个知识，比例的基本性质。（板书课题：比例的基本性

质）

教师出示教科书第41页上的例2,将4个比例中的两个内项和两个外项分别相乘，你

发现了什么？

学生通过计算，初步发现上面4个比例中，每个比例两个内项的积等于两个外项的积。

之后教师提醒学生：是不是每个比例都有这种规律？多找几个比例来试一试。（学生自己写

出比例进行验证后发现，在一个比例中，两个内项之积始终等于两个外项之积）

同学们通过对多个比例的计算，发现它们都有这个规律。你能用自己的语言归纳这个规

律吗？

教师引导学生归纳总结：”在比例中，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的

基本性质

教师引导学生对比例的基本性质作深入的分析，找出“比例的基本性质”成立的前提和

条件必须首先是一个比例，如果所组成的式子不是比例，则不具有“比例的基本性质”。

通过讨论，同学们进一步明确了“比例的基本性质”的内容及存在的条件。运用比例的

基本性质，还能判断两个比能不能组成比例。请同学们用比例的基本性质判断一下，

0.4：25和1.2：75能组成比例吗？为什么？

学生讨论后回答；因为0.4X75=25X1.2,所以0.4：25和1.2：75能组成比例。

【设计意图:一是注意在已有知识的基础上搭建新知学习平台，给学生自主探索的空间。

由于比例的基本性质和比例知识有着密切的关系，所以在复习回忆比例知识的基础上，直接

将比例中的两个内项和两个外项分别相乘，探索它们之间的内在联系，为总结归纳“比例的

基本性质”做好准备。】

（二）数学资源

1.用比例的意义判断两个比能否组成比例的步骤是：一求、二看、三判断。“求”是指

（）,"看”是指（）。

2.用比例的基本性质判断两个比能否组成比例的步骤是：一算、二看、三判断。“算”

是指（），“看”是指（）。

3.写出一个比值是0.2的比例。

4.把6X8=24X2改写成四个比例。

5.把7a=8b改写成四个比例。

答案：1.求比值看比值是相等2.两项的乘积看乘积是否相等

3.答案不唯一：例如2:10=4:20

4.答案不唯一：例如6:24=2:824:6=8:28:24=2:66:2=24:8

5.答案不唯一：例如b:a=7:8a:b=8:7a:8=b:77:b=8:a

资料链接

人体比例

现实生活中的人,身高比例大概都在7〜7.5个头.艺术上则认为最佳的人体比例应该是

8头身,而英雄的形像为9头身.1岁时的婴儿身体比例大概为4头身,身体的中心点在肚脐附

近的位置.3岁时，身体比例大概为5头身,身体中心下移到了小腹上.长到5岁时,身体比例

为6头身左右,身体中心下移到小腹下侧.而到了10岁以后，身体中心几乎没有大的变化,身

体比例从7头身长到了8头身.从中我们可以看出，如果要制作一个上精灵或是Q版的人物，

我们可以增加头部和上身,减少下身在身体上所点的比例,而制作英雄或者模特一类的角色

则相反.

成年人的肩膀宽度大约为头部的两倍.制作魁梧的角色时，可以适当地加宽肩膀.双手下

垂时,指尖的位置一般在大腿两侧偏下.增加手臂的长度会使角色看起来像个疯子,制作古怪

的角色时,可以使用这种方法.

用比例关系表示人体美

比例关系是用数字来表示人体美，并根据一定的基准进行比较。用同一人体的某一部位

作为基准，来判定它与人体的比例关系的方法被称为同身方法（见中图）。分为三组：系数

法，常指头高身长指数，如画人体有坐五、立七，即身高在坐位时为头高的五倍、立位时为

7或7.5倍；百分数法，将身长视为100%,身体各部位在其中的比例；两分法：即把人体分

成大小两部分，大的部分从脚到脐，小的部分为脐到头顶。标准的面型，其长宽比例协调，

符合三停五眼（见右图）。三停是指脸型的长度，从头部发际到下领的距离分为三等分，即

从发际到眉、眉到鼻尖、鼻尖到下须各分为一等分，各称一停共三停；五眼是指脸型的宽度，

双耳间正面投影的长度为五只眼裂的长度，除眼裂外、内此间距为一眼裂长度、两侧外毗角

到耳部各有一眼裂长度。

3.1.2解比例

♦教学内容：

教科书第41页例3,教材的41页课堂活动第2题及教材第42页练习十一第3〜6

题。

♦教学提示：

例3的内容是解比例。教学时一是引导学生观察分析比例式找出比例中有一个项是

未知项的特点，二是明确求得未知数的值就是解比例；三是让学生根据比例的基本性质

自主解比例，并交流方法。

练习十一第3题中的第（4）题是对比例基本性质的逆向应用，练习时可引导学生根

据比例的基本性质思考。第5题，写比例式时注意，x既可能是比例的内项，也可能是

外项，因此所写出的比例式不只一个，在教学时要注意引导。

♦教学目标：

1.知识与技能：理解什么叫解比例，掌握解比例的方法，会解比例；能够应用解比例知

识，解决生活中的数学问题，培养学生综合运用知识的能力。

2.过程与方法：通过思考、讨论、交流等方式探究解比例的方法，在具体情境中学会运

用解比例解决实际问题。

3.情感、态度、价值观：经历探究解比例的方法的过程，培养学生合作学习习惯；感悟

数学知识的魅力，感受数学就在我们身边；体验成功，增强学好数学信心。

♦重点难点：

教学重点：学会解比例，掌握解比例的方法。

教学难点：解比例的方法的探究过程.

♦教学准备：

教具准备：多媒体课件

学具准备：资料卡

♦教学过程：

(一)新课导入

1.复习准备

(1)什么叫比例?什么叫做比例的基本性质？

(2)用比例的基本性质判断下面哪一组中的两个比可以组成比例？

3：4和0.6：0.810：2和0.1：0.02

学生独立完成后，抽取个别学生的答案在讲台上展示。

(3)填空。

2.4:8=4.8：16-()X()=()X()

2.导入新课

问题：谁能很快说出下面比例中缺少的项各是几？(学生试说)

7：21=8：()1.25：()=2.5：8

在一个比例式中，共有四项，如果已知其中的任何三项，要能很快求出这个比例中的另

外一个未知项，就要用我们今天学的知识一一解比例。

【设计意图：通过复习上节课所学知识，温故知新，为本节课做铺垫。紧接着设置问题，

提出质疑，目的是创设情境，激发学习兴趣，引发学生的数学思考，引入新课。】

(二)探究新知

1.教学例3

像这样知道比例中的任意三项，求另外一个未知项叫做解比例。同学们能用以前学过的

知识求出士3：-1=x：士4中x的值吗？

429

引导学生先独立思考，再组织学生合作交流。交流中既要听取学生的意见，又要注意引

314

导学生从多角度思考解决问题的方法。例如，把比看做除法，那么士：上=x：上就可以转

429

314

化成2+七=x+?,学生就可以运用原来学习解方程的有关知识来解；也可以应用比例的

429

.314..

基本性质，把一：一=x：—转化成12x=34X49来解。

429

小组合作探究，小组内相互交流。

小组汇报。

教师给予肯定性评价：同学们真棒，想出了这么多解决问题的方法。下面请一个同学回

314

答，你把士：L=x：士转化成12x=34X49来解，根据是什么？

429

（预设：根据比例的基本性质。）

【设计意图：探索解比例的方法，培养学生自主探究与讨论交流能力，把学生推到思维

的前沿，让学生自探数学知识，自获数学结论，自由发表见解，自觉积累数学活动经验、建

构新的认知结构，发展学生的数学探究能力，养成良好的学习习惯。】

2.巩固练习

你能根据比例的基本性质，把下面的比例改写成含有未知数的乘法等式来解吗？在黑板

上出示：

3：4=x：2-：-=9：xx：8=12：32

43

学生解答，抽取几个学生的作业在讲台上展示，并集体订正。

【设计意图：学习完例3之后，紧跟着进行一个巩固练习，使学生学到的知识能够得到

及时巩固，加深对知识的理解和掌握。】

3.教学“试一试”

_9x

出11|不一=一

64

提问：这个比例和前面几个比例有什么不同？（预设：这个比例是分数形式。）

指出它的内项和外项。像这样的分数形式的比例，同学们会用比例的基本性质来解吗？

想一想，怎样解？

学生讨论并解答，完成后，请学生说一说是怎样求出x的值。

解分数形式的比例时要注意什么？

引导学生说出要注意用交叉法找出比例中的两个内项和两个外项。

教师指导学生进行验算，注意书写格式的规范性。

【设计意图：在学习完例3的基础上进行试一试的教学，把解比例的问题从比号形式推

广到分数形式，并引导学生说出要注意用交叉法找出比例中的两个内项和两个外项，使所

学知识更加全面，学生掌握知识更加全面牢固。】

（三）巩固新知

（1）学生独立完成练习十一的第3题和第4题。

（2）讨论完成练习十一的第5题。

教师先引导学生做题，写比例式时注意，x既可能是比例的内项，也可能是外项，因

此所写出的比例式不只一个，在教学时要注意引导。写比例时，我们要按照一定的顺序来写

才能写出所有的比例式，即不重复又不遗漏。

（四）达标反馈

解比例：

35

答案：x=—x=——x=8

264

（五）课堂小结

什么叫解比例？用比例的基本性质解比例的一般方法是什么？

①根据比例的基本性质把比例改写成方程。

②根据以前学过的解方程的方法求解。

这节课你运用了哪些学习的方法？还有哪些问题？

【设计意图：通过学生总结本课所学知识内容，使学生对所学知识条理化、系统化；让

学生在交流中共享，在反思中提升。】

（六）布置作业

1.在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是0.5,另一个内项是（）。

2.在比例3:12=6:24中，如果将第一个比的后项加6,第二个比的前项应（）,比

例才能成立。

3.解比例。

3654

0.4：1.2-x：

x3

4.一种小麦，40千克能磨面粉32千克，照这样计算，7吨小麦能磨面粉多少千克？

答案：1.22.减去2

3.x=—x=—x=2

1210

4.x:7=32：40x=5.6

♦板书设计

解比例

解比例：

9_x

6-4

解：6x=4X9

x=36+6

2

x=—x=6

3

♦教学资料包

(-)教学精彩片段

《解比例》教学片断

新知探究

，一314

1.出示一：一%：一

429

教师：你们能试一试解出x的值吗？(同桌之间互相讨论完成)

全班交流：说一说自己的想法，教师板书解题过程。教师在板书

解题过程的时候强调：

首先解题之前要先写“解”，其次通常把含有未知数的一项写在等号的左边。

教师：上面的这题和解的方程有什么不一样？

学生很容易发现这是一个比例，教师就说出什么叫解比例？并板书课题。

教师：刚才我们是根据什么来解的比例呢？

学生：是根据比例的基本性质。

1.试一试。

解比例：

…5」1g5_3

x248x

(学生独立完成，再汇报结果，最后全班交流)

【设计意图：探索解比例的方法，培养学生自主探究与讨论交流能力，让学生自探数学

知识，自获数学结论，建构新的认知结构，发展学生的数学探究能力。】

(二)数学资源

1.填空题。

(1)在一个比例中，两个内项的积是最小的合数，一个外项是,，另一个外项是(

2

(2)在一个比例里，两个外项互为倒数，其中一个内项是4.5,另一个内项是()o

(3)在一个比例中，两个外项的积是最大的两位数，其中一个内项是33,另一个内项是

(4)在比例3：12=4：16中，如果将第一个比的前项加3,第二个比的后项应()

比例才能成立。

(5)在比例里，两个外项的积与两个内项积的差是()。

2.判断题。

(1)x：16=7：6,求x的值叫做解比例。()

(2)在比例里，两个外项的积与两个内项积的差是0。()

3.解比例。

4.一列火车从甲地开往乙地，5小时行了350千米，照这样计算，共要行9小时。甲乙

两地相距多少千米？

答案:

2

1.(1)8(2)-(3)3(4)减去8(5)0

9

2.(1)J(2)V

3.x=125x=­x=—

53

4.x：9=350：5x=630

资料链接

黄金比例

黄金比例也叫黄金分割，是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部

分与较大部分的比值，其比值约为0.618。这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此

被称为黄金分割。

据说在古希腊，有一天毕达哥拉斯走在街上，在经过铁匠铺前他听到铁匠打铁的声音非

常好听，于是驻足倾听。他发现铁匠打铁节奏很有规律，这个声音的比例被毕达哥拉斯用数

学的方式表达出来。

发展简史

黄金分割最早记录在公元前6世纪，关于黄金分割比例的起源大多认为毕达哥拉斯。来

自毕达哥拉斯学派。公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题,

并建立起比例理论。公元前300年左右欧几里得吸收了欧多克索斯的研究成果，进一步系统

论述了黄金分割，其《几何原本》成为最早的有关黄金分割的论著。

中国也有黄金分割的相关记载，虽然没有古希腊的早，但中国的算法是由中国古代数学家

自己独立创造的，后传入了印度。黄金分割在文艺复兴前后，经过阿拉伯人传入欧洲。经考

证，欧洲的比例算法是源于中国而不是直接从古希腊传入的。

应用实例

黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够

引起人们的美感，被认为是建筑和艺术中最理想的比例。

画家们发现，按0.618:1来设计的比例，画出的画最优美，在达•芬奇的作品《维特鲁

威人》、《蒙娜丽莎》、还有《最后的晚餐》中都运用了黄金分割。而现今的女性，腰身以下

的长度平均只占身高的0.58,因此古希腊的著名雕像断臂维纳斯及太阳神阿波罗都通过故

意延长双腿，使之与身高的比值为0.618。建筑师们对数字0.618特别偏爱，无论是古埃及

的金字塔，还是巴黎的圣母院，或者是近世纪的法国埃菲尔铁塔，希腊雅典的巴特农神庙，

都有黄金分割的足迹。

3.2.1正比例的意义

♦教学内容：

教材第43页例1以及教材第43页试一试、议一议，教材第45页课堂活动第1题以

及教材第46页练习十二1-3题。

♦教学提示：

例1的教学内容主要是概括正比例的意义。教学时要结合实例感受规律，在概括正

比例的意义时应突出三点：一是要结合前面的题材；二是讨论总结时要突出两种相关联

的量之间的变化规律，重视学生对“一种量扩大或缩小若干倍，另一种量也随着扩大或

缩小相同的倍数”这一规律的理解、提炼与总结，以此突出正比例的本质属性；三是注

意沟通讨论图中小朋友说的的联系（因为教材没有完整的揭示正比例的意义）。

第43页上的“议一议”是专门为学生安排的一项集中讨论活动，旨在引导学生从具

体的问题中抽象概括出正比例的意义。揭示正比例的意义后，教师课补充一些数量（速

度一定，路程与时间的关系、单价一定，总价与数量的关系等等），引导学生进行判断，

之后可以引导学生自己例举说明。

教学课堂活动第1题时，可用不同的方式让学生广泛说出自己在生活中发现的正比

例的量，交流时注意引导学生用正比例的意义去分析、判断所说出的量是不是成正比例

的量。

♦教学目标：

L知识与技能：使学生通过具体问题情境认识成正比例的量，理解其意义，并能判断两

种量是否成正比例关系，能找到生活中成正比例的实例，并进行交流。

2.过程与方法：让学生在认识成正比例的量的过程中，初步体会数量之间相依互变的关

系，进一步培养观察能力和发现规律的能力。

3.情感、态度、价值观：让学生在认识成正比例的量的过程中，初步体会数量之间相依

互变的关系，进一步培养观察能力和发现规律的能力。

♦重点难点:

教学重点：认识成正比例的量，理解其意义，并能判断两种量是否成正比例关系。

教学难点：判断两种量是否成正比例关系。

♦教学准备：

教具准备：多媒体课件

学具准备：资料卡

♦教学过程：

（-）新课导入

1.回忆学过的数量关系

我们学过哪些数量关系，同学们记得吗？谁来说说。

预设：学生回答

总价=单价X数量数量=总价+单价单价=总价+数量

路程=速度X时间速度=路程+时间时间=路程+速度

工作总量=工作时间X工作效率工作时间=工作总量+工作效率

【设计意图：温习数量关系，为学困生学习新课做好铺垫。】

2.导入新课

下面是居委会张阿姨负责的小区水费收缴情况，用这个表中的数能写成多少个有意义的

比？哪些比能组成比例？把能组成的比例都写出来。

住户张家赵家

用水量（m3）68

水费（元）2128

在上面的表中，有哪两种量？

在我们平时的生活中，除了这两种量，我们还要遇到哪些数量呢？

这些数量之间藏着不少的知识，今天这节课我们就来研究这些数量间的一些规律和特征。

【设计意图：通过复习生活中常见的数量关系，唤起学生的回忆，让学生对学习内容产生亲

切感，从而引发学生的学习欲望，增强学习积极性。】

（二）探究新知

1.教学例1（出示例1情景图）

在刚才准备题的表格中增加几列数据，变成下表。

住户张家赵家李家周家刘家吴家

用水量（甘）68141097

水费（元）21284935

请同学们观察这张表，先独立思考后再讨论、交流：从这张表中你发现了什么规律？并

根据这种规律帮助张阿姨把表格填写完整。

教师根据学生的回答将表格完善，并作必要的板书。

同学们发现表格中的水费随着用水量的增加也在不断增加,像这样水费随着用水量的变

化而变化，我们就说水费和用水量是相互关联的。

你们还发现哪些规律？

学生在这里主要体会水费除以用水量得到的每吨水单价始终是不变的，教师可根据学生

的回答板书出来，便于其他学生观察：

水费包雪旦=生

=3.5

用水量68

水费除以用水量得到的单价相等也可以说是水费与用水量的比值相等，也就是一个固定

的数。

水费+用水量=每吨水单价（一定）

【设计意图：让学生初步感知数量与总价之间的关系，体会生活中存在着相关联的两种

变化的量，寻找它们之间的变化规律，积累感性经验。】

2.教学“试一试”

我们再来研究一个问题。

出示第43页下面的“试一试

学生先独立完成。

你能用刚才我们研究例1的方法，自己分析这个表格中的数据吗？

教师根据学生的回答归纳如下：

表中的路程和时间是相关联的量，路程随着时间的变化而变化。

时间扩大若干倍，路程也扩大相同的倍数；时间缩小若干倍，路程缩小相同的倍数。

路程与时间的比值是一定的，速度是每时80km,它们之间的关系可以写成：路程土时

间=速度（一定）。

【设计意图：让学生经历、探索正比例的两个相关联的量的规律。】

3.教学“议一议”

我们研究了上面生活中的两个问题，谁能发现它们之间的共同点呢？

引导学生归纳出这两个问题中都有相关联的量，一种量扩大或缩小若干倍，另一种量也

随着扩大或缩小相同的倍数，所以它们的比值始终是一定的。

总结：像上面这样的两种量，叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系。

4.教学课堂活动

请大家说一说生活中还有哪些是成正比例的量。

学生小组内交流。

【设计意图：借助一系列的情境，为学生理解“正比例的意义”提供了丰富的直观背景

和具体案例。采用多种教学方法，让学生体会正比例意义的特征。通过放手让学生说出生活

中的成这个比例的量，使学生再次明确正比例的本质特征。】

（三）巩固新知

完成练习十二的第1题。

让同学们用所学知识判断一下，下面表中的两种量成正比例关系吗？为什么？学生独立

思考，先小组内交流再集体交流。

独立完成练习十二的第2〜3题。

（四）达标反馈

1.下表中的两种量成正比例吗？为什么？

时间（时）0.511.522.5

路程（km）306090120150

2.判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由.

（1）平行四边形的高一定，它的底和面积.

（2）被除数一定，商和除数.

（3）小明的年龄和他的体重.

（4）做一件衬衫的用布量一定，生产这种衬衫的总用布量和件数。

答案：

1.成正比例。因为路程与时间的比值一定。

2.(1)成正比例。(2)不成正比例(3)不成正比例(4)成正比例

(五)课堂小结

这节课你们学到了哪些知识？用了哪些学习方法？还有哪些不懂的问题？

【设计意图：通过让学生回顾本节课都学习到了哪些方面的知识，使学生在大脑中形成

一个知识脉络，通过让学生回想还有那些知识不懂，可以起到查缺补漏的作用。】

(六)布置作业

1.判断题.

(1)一个因数不变，积与另一个因数成正比例.()

(2)长方形的长一定，宽和面积成正比例.()

(3)大米的总量一定，吃掉的和剩下的成正比例.()

(4)圆的半径和周长成正比例.()

2.判断下面每题中的两种量是不是成正比例，并说明理由.

(1)圆柱的高一定，体积和底面积。

(2)长方形的长一定，周长和宽。

(3)正方形的边长和面积。

(4)正方形的边长和周长。

3.下表中的x和y成正比例，请把表格补充完整。

1

X322.4

4

1

y63.6

4

答案：

1.(1)V(2)V(3)X(4)V

2.(1)成正比例(2)不成正比例(3)不成正比例(4)成正比例

3.如下表。

X321.82.411

48

11

y643.64.8

24

♦板书设计

正比例的意义

总价：数量=单价（一定）总价和数量成正比例

路程：时间=速度（一定）路程和时间成正比例

“两个量相关联

判断方法：｛变量：（一种量变化，另一种量也随着变化）

、定量：（相对应的两个数的比值一定）

♦教学资料包

（-）教学精彩片段

《正比例的意义》教学片断

探究新知

（课件演示居委会张阿姨收缴水费的情景。同时出示教科书例1下面的表格）

住户张家赵家李家周家刘家吴家

用水量（n?）68141097

水费（元）21284935

从表中看得出，还有哪儿家的水费没有统计出来？你能帮张阿姨把表格填写完整吗？

学生独立完成表格的填写，然后，教师在展示台上展示出学生所填的表格，面向全体进

行评价。

谁来说说你所填出的数是多少？你是怎样想的？

预设：学生：从表格中可以看出，6的3.5倍是21,8的3.5倍是28,14的3.5倍是

49,10的3.5倍是35,由此可以得出9的3.5倍是31.5,7的3.5倍是24.5,所以表格后

面的数可以填31.5和24.5。

学生：我也是这样看的，6吨水的水费是21元，10吨水的水费是35元，水的吨数扩大

几倍，水费也扩大相同的倍数，所以9吨水的水费是31.5元，7吨水的水费是24.5元。

教师：那用水量和水费是怎样一个变化规律呢？请同学们分小组交流交流。

学生分小组讨论，教师参与其中，重点引导学生观察每一家用水量和水费之间的关系。

教师：谁能用自己的话说一说你都发现了什么规律吗？

学生：我发现用水量越大，水费就越多；用水量越小，水费就越小。

学生：还发现水费+用水量=21+6=28+8=49+14=……=3.5,水费和用水量比的比值相

等，都等于3.5。

【设计意图：创设教学情景，尤其是学生普遍所熟悉的收缴水费的情景，激发起学生学

习的欲望。教师注意引导学生对表格的观察，通过观察表格中的数据和呈现的特点，为寻求

知识间的规律提供丰富的材料。让学生经历、探索正比例的两个相关联的量的规律，引导学

生通过自主探索与合作交流的有机结合发现规律和总结规律，体现学生对问题的探索性。】

（二）数学资源

1.填一填。

（1）笔记本单价一定，数量和总价成（）比例。

（2）工作效率一定，工作时间和工作总量成（）比例。

（3）一袋大米的重量一定，吃了的和剩下的（）比例。

2.选择题。

（1）下面各题中的两种相关联的量，成正比例关系的是（）。

A.定期一年的利息和本金B.一段路,每天修的米数和所用的天数C.圆的面积和半径

（2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量（）成比例的量。

A.一定是B.一定不是C.不一定是

3.看表解决问题。在一间布店的柜台上，有一张写着某种花布的米数和总价如下表：

.・・

数量（米）1234567

・・・

总价（元）9.51928.53847.55766.5

（1）表中有（）和（）两种量。

（2）总价和数量正比例吗？为什么？

答案：1.（1）正（2）正（3）不成2.（1）A（2）C

3.（1）总价数量（2）成正比例因为总价与数量的比值一定，都是9.5。

资料链接

易错的比例

圆的面积（S）：半径（r）=nr

上面这个比例是错误的。它不属于正比例。因为（S:r=nr）因为根据上面所说，比值

须是一个不变的量，而比的前项和后项必须是可以变化的量，如果R变化,那比值也会变化，

所以圆的面积与半径不成正比例。

还有一种错误的正比例：圆的面积