高中数学必修三角函数

高中数学必修4三角函数基础达标1

1.与一457。角的终边相同的角的集合是（）.

A.{a|a=457°+k360°,kH}B.{a|a=97°+k360°,左©Z}

C.{a|a=263°+k360。，左©Z}D.{a|a=—263°+k360°,kS}

解析由于一457。=—1X360。-97。=—2><360。+263。，故与一457。角终边相同

角的集合是{a|a=-457。+/360。,左©Z}={砒/=263。+左・360。，左©Z}.答案C

2.若（7=上180。+45。，k《Z,则a是第象限角（）.

A.一或三B.一或二C.二或四D.三或四

解析当k=0时，a=45。为第一象限角，当上=1时，a=225。为第三象限角.

答案A

3.若角a和角夕的终边关于x轴对称，则角a可以用角用表示为（）.

Ak36。。+队kGZ）Bk364。一队k《Z）CA180。+以左©Z）DA180。一伙左©Z）

解析因为角a和角夕的终边关于x轴对称，所以。+夕=/360。（左©Z）,所

以a=Z?360。一伙左GZ）.故选B.答案B

4.若将时钟拨快了10分钟，则分针转过了度.

解析将时钟拨快10分钟，分针按顺时针方向转动，故为负角.分针转过

的角度数是：一36詈0°=—60。.答案一60

5.—1040。角在第象限.

解析:与一1040。角终边相同的角可表示为a=）t-360o+（-l040°）,当k=3时，

a=40°,所以一1040。角与40。角的终边相同，故一1040。角的终边在第一象

限.答案一

6.设集合{a|a=—36。+左•90。,左©Z},N={创一180°<a<180°}，则MnN=

解析对于当左=—1时，a=-126。；当左=0时，a=-36。；当左=1

时,a=54°；当/=2时,a=144。.故〃nN={-126。，-36。，54°,144°}.

答案{一126。，-36°,54°,144°}

7.如图，半径为1的圆的圆心位于坐标原点，点P从点

A（l,0）出发，以逆时针方向等速沿单位圆周旋转，已知

尸在1秒内转过的角度为。（0。<。<180。），经过2秒达到

第三象限，经过14秒后又恰好回到出发点A,求夕

解因为0°<。<180。且k-360°+18O°<20<k-360°+270°^eZ),则必有k=0,于

是90°<6<135°.又146="SGOOSGZ),所以e=]X180°,所以90°<7180°<135。，

721匚匚”“T=,,720°900°

尹<彳，所以〃=4或5,故8=^—或^―.

8.已知角2a的终边在x轴的上方，那么(/是().

A.第一象限角B.第一、二象限角C.第一、三象限角D.第一、四象限角

解析由题意知k-360°<2«<180°+k-360°(keZ),fth1800<ct<90°+k-180°(^

©Z),按照左的奇偶性进行讨论.当k=2n(neZ),n-360°<a<90°+n-360°(H

ez),:.a在第一象限；当左=2〃+l(〃GZ)时，180。+”-360。<.<270。+

”•360。(“©2),在第三象限.故a在第一或第三象限.答案C

9.若角a满足180。*<360。，角5a与a有相同的始边，且又有相同的终边，那

么角ct=.

解析由于5a与a的始边和终边相同，所以这两角的差应是360。的整数倍，

即5a—a=4a=k360°.又180°<a<360°,令左=3,得a=270°.答案270°

10.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线上；(2)终

边落在直线上；(3)终边落在阴影区域内(含边界).

y,B

60°

/A

解(1)终边落在射线上的角的集合为

你0°\一

S={a|a=60°+k360°,左©Z}；Ox

⑵终边落在直线OA上的角的集合为S2={a|a=30°的

+^-180°,左©Z}；

(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3={a|3(r+4•180c>WaW60。

+左•180。，左©Z}

基础训练

1.下列函数中，周期为方的是(

解析T=意芍.答案D

2.下列命题中正确的是（）.

A.y=—'sinx为奇函数B.y=|sinx|既不是奇函数也不是偶函数

C.y=3sinx+l为偶函数D.y=sinx—l为奇函数

解析尸卜inx|是偶函数，y=3sinx+l与丁=5诂》-1都是非奇非偶函数.答案A

3.函数y=2sin2x+2cosx—3的最大值是().

A.11B.1C.—2D.—5

解析由题意，得y—2sin2x+2cosx—3=2(1—cos2x)+2cosx—3=一

2(cosx——1Wcos尤W1,.,.当cosx=1■时，函数有最大值一；.答案

C

4.（2012.宿迁测试）函数y=sinq一J在［0,2汨上的单调递减区间为.

解析函数尸sin停一J=—sin/—：）,由2左兀一畀》一、2左兀+去左©Z解

得2bi—gxW2E+竽，左©Z,所以函数尸si,—J在［0,2兀］上的单调递减

.、一7「八3兀】「7兀八［...「八3兀［「7兀八

区间为［o，yj,2可.答案［o,yj,［甲271

,349

5.（2012.泗洪检测）sin9r,singu,sin不产，从大到小的顺序为

解析:E〈寿〈当〈得<兀，又函数y=sinx在全兀上单调递减，

.3兀.4兀.971田安.371.4兀.971

smgAsnr^-Asm记合泰sm正

6.若女)=2sins(0<o<l)在区间0,占上的最大值是隹则①=.

TT7T<7)717T

解析\-%e0,g,即0W尤W1,且0<①<1,...OWCWXWHW.

••4、n.①兀也也—匹«n_3区安3

•1/(x)max——sin3—V2)>•sin3—0，3一4'即①一口4

7.已知函数_/（x）=logUsinx|.（l）求其定义域和值域；（2）判断其奇偶性；

2

（3）判断其周期性，若是周期函数，求其最小正周期；（4）求其单调区间.

解（l）V|sinx|>0,.'.sin尤WO,'.x^kit,左@Z.

・••函数的定义域为{%|%WE,%£Z}.<0<|sinx|W1,/.log-|sin20,

2

・•・函数的值域为{ylyeO}.

（2）函数的定义域关于原点对称，•.,/（—x）=logl|sin（—x）|=logl|sinx|=«x）,

22

・・・函数"X）是偶函数.

（3）・・7（%+兀）=log1sina+兀）|=log』sinx\=J（x）,

22

J函数五X）是周期函数，且最小正周期是兀

（4）当工£,兀，叁+左兀时，/=|sinx|为增函数；当1£一方+左兀，内i］时，

%=收!1%|为减函数.,・・函数y=108匕为减函数，・・・函数八元）的单调增区间为

2

一胃+防I,%兀），止Z；单调减区间为（%兀，^+kn,故Z.

8.函数y=sin］的定义域为［Q,b］,值域为一1,则〃的最大值和最小

值之和等于（）.

A4兀c8兀…C/

A.g-B•丁C.2兀D.4兀

27r4兀

解析利用函数丁=5111X的图象知（0—O）min=g",（。一。）！侬=亍，故人一。的

最大值与最小值之和等于27r.答案C

9.定义在R上的函数五x）既是偶函数又是周期函数.若五x）的最小正周期是兀，

且当x©0,为时，於）=sinx,则{苧）=____..

解析由7（x）的最小正周期是兀，

知借）=^}=1一§.由於）是偶函数知广§=剧

又当x©0,.时,兀0=sinX..,.£）=sin畀坐.答案坐

（兀、7T3兀

10.已知五X）=-2asin［2x+'京+2a+6,正日，yj,是否存在常数a,6GQ,

使得加0的值域为3—3WyW小一1}?若存在，求出a,6的值；若不存在，

请说明理由.

解当••号W2x+强W圣・\一1Wsin（2x+「）W坐.

443o3V072

假设存在这样的有理数。，b,则

—y13a~\-2a~\-b=-3〃=1,

当a>0时,解得b=小—5（不合题意，舍去）;

2a~V2a~\-—1,

2〃+2〃+~=-3,Cl=-19

当a<0时,解得j7故。，Z?存在，且。

、一y13a~\-2a~\-b=y[3-1,S=L

=­1,b=l.

基础达标3

1.下列函数中，同时满足：①在（0,舒上是增函数，②为奇函数，③以71为最

小正周期的函数是（）.

X

A.y=tanxB.y=cosxC.y=tan]D.y=|sin%|

解析经验证，选项B、D中所给函数都是偶函数，不符合；选项C中所给

的函数的周期为27r.答案A

2.与函数产tan（2x+狮图象不相交的一条直线是（）.

兀c兀一兀c兀

A.x=2B.x=—2C.x=4D.x=g

解析当x=*,2X+：=3，而3的正切值不存在，所以直线x弋与函数的

图象不相交.故选D.

答案D

3.方程tan（2x+§=/在区间[0，2兀）上的解的个数是（）.

A.5B.4C.3D.2

解析由tan（2x+§=小解得2x+5=W+E（%£Z）,.•・％="/£Z）,又无£

7T3兀

[0,271）,/.x=0,2»兀,g.故选B.答案B

4.若函数尸tan（3aL§（QW0）的最小正周期为会则。=.

解析,>，!3^=2,-'-«=±|.答案±|

5.比较大小：tan222。tan223°.

角星析因为tan222°=tan(180°+42°)=tan42°,tan223°=tan(180°+43°)=tan

43°,而tan42°<tan43°,所以tan222°<tan223°.答案<

6.函数丁=1七斗的奇偶性是______-

/°tanx—1

tanx—10,

{tan%+1即tan%>1或tanx<—

1.解得胃+左兀，一彳十女兀)01+%兀，F+E)(%£Z).二,定义域关于原点对

称，且穴一1)+尢0=0,.,犹元)是奇函数.答案奇函数

7.已知函数y=tan俣一屁|.(1)作此函数在一个周期开区间上的简图；(2)求出此

函数的定义域、周期和单调区间.解(1)列表：

・・・71715・・・

X

~63671

1兀・・・7171・・・

2x-6~404

tan俣—*・・・・・・

-101

描点、连线、画图如图.

从而函数的定义域是xW,兀+2左兀，左©Z1函数的周期是T=，=2兀.

2

711717124

又因为一1+左兀<卧—%<]+尿，左£Z,所以一1兀+2E<x<q兀+2E.

故函数的单调增区间是（一|兀+2E,%+2同，KZ；无减区间.

8.（2012.银川二模）下列关于函数y=tan（x+§的说法正确的是（）.

A.在区间（一会d上单调递增B.最小正周期是兀

C.图象关于点仔，0）成中心对称D.图象关于直线》=聿成轴对称

解析令左兀-3<%+]<左兀+/解得防I—3％<左兀+左©z,显然卜聿，焉不

满足上述关系式，故A错误；易知该函数的最小正周期为兀，故B正确；令

x+1=y,解得尸竽一$代Z,任取左值不能得到x昔故C错误；正切

曲线没有对称轴，因此函数丁=1211口+§的图象也没有对称轴，故D错误.故

选B.答案B

解析..7（x）的图象的相邻两支与所截得线段的长度即为五x）=tan①x的

一个周期，'U，0=4,因此年）=tan（4x]）=tan71=0.答案0

10.已知关于实数x的不等式x-（tan^+1）2JtangT）：

%2_3（tan0+l）x+

2（3tan6+l）W0的解集分别为M,N,且MnN=。，则这样的。存在吗？若

存在，求出。的取值范围.

解假设。存在.由1）：

得2taneW%Wtan2<9+1,.\M={x|2tan0<x^tan20+1}.

*.*x2—3(tan8+l)x+2(3tan8+1)WO,当tan■时，2W尤W3tan8+1.

当tan6<g时，3tan8+1WxW2.,.,MnN=0,

当tan■时，有3tan6+l<2tan0或tan2(9+1<2,

即tan。<一1或一l<tan6<1,<*.|,<tan0<1.(D

当tan时，有2<2tan0或3tan0+l>tan20+1,即tanO>\或0<tanO<3,

1.6»<tan由①②得0<tan。<1,。的取值范围是,，kn+^keZ

基础达标3

L（2012.深圳高一检测）有三个命题：候与知的正弦线相等；鳄与普的正切线

相等；③;与乎的余弦线相等.其中真命题的个数为（）.

A.1B.2C.3D.0

解析根据三角函数线定义可知，耨毯的正弦线相等，碧等的正切线相等,

oo33

言苧的余弦线相反.答案B

2.设。=5111(—1),Z?=cos(—1),c=tan(—1),则有().

A.a<b<cB.b<a<cC.c<a<bD.a<c<b

解析如图作出角a=—lrad的正弦线、余弦线及正切线，显然6=cos（—l）

=OM>0,c=tan(-l)<tz=sin(—1)<0,即c<a<5.答案C

3.在（0,2兀）内，使sina>cosa成立的a的取值范围为（）.

解析当a的终边在直线y=x上时，直线y=x与单位圆

的交点为

隹，坐），］—乎，一书.此时a4和今r，如图所示.

当aGq,京1）时，恒有

而当a©(0,和(|兀，2兀)时，则有因此选C.答案C

4.角仇0<。<2兀)的正弦线与余弦线的长度相等且符号相同，则e的值为.

JT5

解析由题意知，角。的终边应在第一、三象限的角平分线上.答案4,不

5.若a为锐角，则sina+cosa与1的大小关系是

解析如图所示，sina=MP,cosa=OM,

在RtAOMP中，显然有

即sinct+cosa>l.答案sina+cosot>l

6.使tanct>l成立的角a的取值范围为

TT

解析由于tag和tan学都等于1,利用三角函数的正切线(如图)可知，角a

的终边在图中阴影部分，故角a的取值范围为

|a2防r+将<a<2防或2防i+,<a<2E:+:，左©Zj

兀兀

｛a左兀+w<a<E+],kGZ\

兀兀

｛a4兀+干④(女兀+]，左©Z1

7.利用三角函数线，写出满足下列条件的角a的集合:

(l)sina穿乎;(2)cosaW3;(3)|cosa|>|sina\.

解⑴由图①知：当sin心看时，角a满足的集合为

(2)由图②知：当cosaW/角a满足的集合为

兀3兀I

\aZr.

(3)如图③，作出单位圆.

所以角a满足的集合为1aE—%a<E+：,左©Z

.SJE2TI2TL

8.(2012杭州外国语学校高一检测)设a=siny,^=cosy,c=tany,贝ij().

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

解析如图，在单位圆。中分别作出角，5、于2、子2的正弦线MR,余弦线

。“2、正切线AT.由a1=兀一171知MiPi=M2P2,

一兀兀，

21AT>MP>

又，易知22OM2,

/.cos^7i<sin与<tan与，ftb<a<c.答案D

9.已知集合E={0|cos6»<sin0,0W6<2兀},F={(9|tan/9<sin6},则ECF=.

解析结合正弦线、余弦线，可知.当:时，sin0<tan3；

jr

当。=］时，tan8不存在；当

71571兀

兀时，tan0<sin0；当兀时，sinOWtan。.答案佃不〈6<兀

NHFN

10.求函数y=logsinx(2cos;r+l)的定义域.

解由题意得，要使函数有意义，则须

sinx>0且sinxW1,

如图所示，阴影部分(不含边

2cosx+l>0,

界与y轴)即为所求.

所以所求函数的定义域为

2

2Ali〈/2如+号或2An+£</2加+铲，kGZ

高中数学必修4向量试题基础达标1

1.化简以下各式：①AB+BC+C4；②A3—AC+3D—CD；③。4—OD+AD；

@NQ+QP+MN-MP,结果为零向量的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

解析四个向量化简后均为0.

答案D

―►―>―►―>

2.在平行四边形A3CD中，\AB+AD\=\AB-AD\,则必有（）.

—>—>—>

A.AD=0B.A3=0或AD=0

C.口ABCD是矩形D.口ABCD是正方形

―>—>―>―>―>—>

解析由|A3+AD|=|A3—AD|得|AC|=|D3|,故也BCD为矩形.

答案C

—>—>

3.已知六边形A3CDER是一个正六边形，。是它的中心，其中a=OEb=OA,

—>—>

c=OB,则石尸等于（）.

A.a+bB.b~aC.c~bD.a+c

―►―►

解析由正六边形性质知：EF=OA=b,b=a+c.

答案D

4.如图，在梯形A5CD中，AD//BC,AC与交于。

______D

点，则34—30—04+00+04=.

—>—>―►-►—>

解析BA-BC-0A+0D+DA

―►—>—>—>―>―>―>―>—>

=（BA—BC）-（0A-0D）+DA=CA~DA+DA=CA.

―>

答案CA

―►—>—>—>

5.设平面内有四边形A3CD和点。，。4=°,0B=b,0C=c,0D=d,若a+

c=b+d,则四边形，BCD的形状是.

解析'：a+c=b+d,：.OA+OC=OB+OD,：.OA~OB=OD-OC,：.BA

=CD,四边形A3CD为平行四边形.

答案平行四边形

—>—>—>—>

6.已知。4=a,OB=b,若|。4|=12,|03|=5,且NAO3=90。，则|a—〃尸.

—>—>

解析'：\OA\=12,\0B\=5,ZAOB=90°,

—>—>—>—>

.,.|OA|2+|OB|2=|A5|2,：.\AB\=13.

―►―►―►—>―►

OA=a,OB=b,：.a—b=OA—OB=BA,

：.\a-b\=\BA\=13.

答案13

7.如图，已知。4=a,OB=b,OC=c,OD=d,OE=e,0F=f,试用a,b,

c,d,e,7表示以下向量：

(1)AC；(2)AD；

(3)DF+FE+ED.

解(l)AC=OC-OA=c-a.

(2)AD=AO+OD=-OA+OD=-a+d.

(3)DF+FE+ED=DO+OF+FO+OE+EO+OD=O.

能力提升

8.在边长为1的正三角形ABC中，|A3—的值为（）.

A.1B.2

D.小

解析作菱形A3CD,

―>―►—>―>—>

则\AB-BC\=\AB-AD\=\DB\=y[3.

答案D

9.设平面向量01，。2，的满足”1一曲+的二。，如果平面向量加，厉,岳满

足|瓦|=2周,且e•顺时针旋转30。后与瓦同向,其中，=1,2,3,则加一岳+优

1

解析将以顺时针旋转30。后得a/,贝JaJ—a2'+西'=0.

又...。与端同向，且也|=2罔，...加一岳+岳=0.

答案0

10.如图所示，。为△ABC的外心，”为垂心，求证:

—>—>—>―►

OH=OA+OB+OC.

―>—>

证明作直径3D,连接D4、DC,则。3=—。£>,

DA±AB,AHLBC,CHLAB,CD±BC.

J.CH//DA,AH//DC,

故四边形AHCD是平行四边形.

―►―►

：.AH=DC,

—>—>—>—>—>

又DC=OC-OD=OC+OB,

―►—>—>―►—>—>—>―►

OH=OA+AH=OA+DC=OA+OB+OC.

基础达标2

1.给出下面几种说法：

①相等向量的坐标相同；

②平面上一个向量对应于平面上唯一的坐标；

③一个坐标对应于唯一的一个向量；

④平面上一个点与以原点为始点，该点为终点的向量一一对应.

其中正确说法的个数是（）.

A.1B.2C.3D.4

解析由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无数个相等的向量，故③

错误.

答案c

2.已知向量。4=(3,-2),03=(—5,-1),则向量的坐标是().

A［一务2)B.(4,一］)

C.(-8,1)D.(8,l)

—>—>—>

解析AB=0B-0A=(-5,-1)-(3,-2)=(—8,1),

—A

8,1)=(-4,T).

答案A

―►―►―►

3.在平行四边形A3CD中，AC为一条对角线.若AB=(2,4),AC=(1,3),则3。

等于().

A.(—2,—4)B.(—3,—5)

C.(3,5)D.(2,4)

—>—>—>—>―►—>—>―►―►

解析'：AC=AB+AD,：.AD=AC-AB=(-1,-1).：.BD=AD~AB=(-

3,-5).

答案B

4.a=(4,6),且a=2瓦那么〃的坐标是.

解析,:a=2b,b=^a=^(4,6)=(2,3).

答案(2,3)

―►―►

5.已知M(3,—2),N(—5,-1),MP=^MN,则尸点的坐标为.

―►―►

解析设P(x,y),则由得，(X—3,y+2)=|(—8,1),所以P点

的坐标为(一1,一|；

答案I-1)

-A-A

6.已知AB=(x,y),3的坐标是(一2,1),那么。4的坐标为.

—>—>—>—>

解析的坐标是(一2,1),.•.03=(—2,1),.•.04=03+34=(—2,1)+(一

x,—y)=(—2—x,l—y).

答案(一2一x,l-y)

7.如图，已知四边形A5CD为平行四边形，。为对角线AC,

3。的交点，AD=(3,7),AB=(-2,1).求03的坐标.AD

―►—>—>

解DB=AB-AD=(-2,1)-(3,7)=(-5,—6),

—►—A

OB=^DB=^(—5,—6)=(^—I，一3；

能力提升

8.已知向量集M={a|a=(l,2)+4(3,4),AeR},N={a\a=(-2,-2)+2(4,5),A

GR},则舷nN等于().

A.{(1,1)}B.{(1,1),(-2,-2)}

C.{(-2,—2)}D.0

解析设a=(x,y),对于M,(x,y)=(l,2)+，3,4),(I,厂2)=13,4),

x_］=3九x—1y—2,

c“・・.-^-=丁.对于N,a，y)=(—2,—2)+〃4,5),(x+2,y

了一2=42,。叶

卜+2=4九.冗+2y+2

+2)=2(4,5),i•*-A~~c-,解传冗二-2,y=~2.

U十2=54,4,

答案C

9.(2012.洛阳高一检测)设m=(a,b),n=(c,d),规定两向量之间的…个运算

为m®n={ac—bd,ad+Z?c),若已知p=(l,2),pBq=(—4,—3),贝！Jq=.

解析设q=(x,y),则由题意可知［；+：：］_：

=—2,

解得x，’所以q=(—2,1).

3=1，

答案(-2,1)

10.已知向量〃=(%,y)与向量o=(y,2y—%)的对应关系用表示.

(1)证明：对任意向量力及常数相，〃，恒有用迎+帅)=淅〃)+研办)成立;

(2)设。=(1,1),6=(1,0),求向量加)及他)的坐标;

(3)求使式c)=(/2,q)(p,q是常数)的向量c的坐标.

(1)证明设。=3,㈤,方=(仇，岳)，

则ma+nb=(jnai-\-nbi，加念+九历)，

:.fijna+nb)=(jna2+nb2lma2+2nb?——ma\—nbi)9m/(a)+限b)

—m(a22a2一)+n(Jb22bz~b\),

=(ma2+〃岳,2加念+2泌2—mai—nbi).

:・f(jna+帅)=mj{d}+nfljb)成立.

(2)解-a)=(l,2Xl—1)=(1,1),

^)=(0,2X0-l)=(0,-1).

(3)解设c=(x,y),

则式c)=(y2y—x)=(p，q),

.・y=p,2y—x=q,

：.x=2p—q,

即向量c=(2,一Q,p).

(数学4必修)第二章平面向量

［基础训练A组］

一、选择题

1.化简AC—CD—45得()

A.ABB.DAC.BCD.0

2.设%,瓦分别是与向的单位向量，则下列结论中正确的是()

A.a0-b0B.%.%=］

C.|<20|+1Z?o|=2D.\aQ+bQ\=2.

3.已知下列命题中：

(1)若keR,且湿7=0,则左=0或b=0,

(2)若。m=0,则a=0或》=0

(3)若不平行的两个非零向量工九满足|同=|方|,则@+B)-Q—B)=0

(4)若£与否平行，则。8=|%|・|加其中真命题的个数是()

A.0B.1C.2D.3

4.下列命题中正确的是()

A.若a・b=O,贝!Ja=O或b=0

B.若a-b=O,则a〃b

C.若2〃13,则a在b上的投影为|a|

D.若@_1_1),则a,b=(a・b『

5.已知平面向量a=(3,1),b-(x,-3),且。_15,则x=()

A.-3B.-1C.1D.3

6.已知向量。=(cose,sin8),向量3=贝！112。一刃|的最大值，

最小值分别是()

A.4A/2,0B.4,4V2C.16,0D.4,0

二、填空题

--►--»]--►

1.若。A=(2,8),05=(—7,2),则145=

2.平面向量。,。中，若a=(4,-3),%=：!,S.a-b=5,则向量。

3.若忖=3,忖=2,且々与Z的夹角为60°,则o

4.把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点

所构成的图形是。

5.已知五=(2,1)与B=(1,2),要使区+@最小，则实数。的值为。

三、解答题

1.如图，ABC。中，E,歹分别是3。,。。的中点，G为交点，若AB=a,AD=b,

试以a,b为基底表示石石、BF、CG.

2.已知向量a与b的夹角为60,|b|=4,(a+2)).(a—36)=—72,求向量a的模。

TT->

3.已知点3(2,-1),且原点。分AB的比为-3,又6=(1,3),求b在AB上的投影。

4.已知a=(1,2),5=(—3,2),当：为何值时,

(1)左a+b与a-3Z?垂直？

(2)左a+各与a-3g平行？平行时它们是同向还是反向？

(数学4必修)第二章平面向量［综合训练B组］

一、选择题

1.下列命题中正确的是()

A.OA—OB=ABB.AB+BA=O

C.0-AB—0D.AB+BC+CD=AD

2.设点A(2,0),3(4,2),若点P在直线A8上，且A5=2AP,

则点P的坐标为()

A.(3,1)B.(1,-1)

C.(3,1)或(1,—1)D.无数多个

3.若平面向量B与向量Z=(l,—2)的夹角是18O7,且I印=3•，则|=()

A.(-3,6)B.(3,-6)C.(6,-3)D.(-6,3)

4.向量〃=(2,3),/?=(-1,2),若ma+b与〃一2人平行，则相等于

A.—2B.2C.—D.----

22

5.若。/是非零向量且满足(。―25)(b-2a)Lb，则。与人的夹角是()

31-

6.设〃=(2，sina),b=(coscr,-),且a〃b,则锐角。为()

A.30°B.60°C.75°D.45°

二、填空题

1.若|a|=l,|〃|=2,c=a+Z?,且。_1〃，则向量。与人的夹角为

―>—>—>—>—>—>—>

2.已知向量〃=(1,2),b=(-2,3)，c=(4,1),若用〃和匕表示c,贝!Ic=

3•若忖=1,忖=2,a与%的夹角为60°,若(3〃+5Z?)J_(加〃一5),则切的值为

4.若菱形A3CD的边长为2,贝“A3—C3+C“=。

5.若7=(2,3),^=(-4,7),则：在力上的投影为o

三、解答题

1.求与向量a=(l,2),b=(2,1)夹角相等的单位向量c的坐标.

2.试证明：平行四边形对角线的平方和等于它各边的平方和.

3.设非零向量。，"c,d,满足d=(〃c)b—(aZ?)c,求证：a±d

4.已知a=(cosa,sina),b=(cos/?,sinp),其中0＜。＜/〈万.

⑴求证：a+b与。一人互相垂直;

（2）若总+N与0%b的长度相等，求/?-a的值（左为非零的常数）.

（数学4必修）第二章平面向量

［提高训练C组］

一、选择题

1.若三点A（2,3）,3（3,a）,C（4,Q共线，则有（）

A.a=3^b——5B.a—Z?+l=0C.2a—b=3D.a—2b=0

2.设0＜夕＜2不，已知两个向量=（cos£,sing）,

丽=（2+sin6,2—cos。），则向量月至长度的最大值是（）

A.V2B.V3C.3V2D.2V3

3.下列命题正确的是（）

A,单位向量都相等

B.若"于是共线向量，分与七是共线向量，则;与［是共线向量（）

C.|a+b\=|a—b\,则a»=0

D.若£与％是单位向量，则%•d=1

4.已知a为均为单位向量，它们的夹角为60°,那么,+3,=（）

A.V7B.V10C.V13D.4

5.已知向量a,b满足何=1,恸=4,且。力=2,则。与b的夹角为

6.若平面向量Z与向量4=(2,1)平行，且|川=26，则|=()

A.(42)B.(T,—2)C.(6,-3)D.(4,2)或(-4,—2)

二、填空题

1.已知向量a=(cosO,sin，)，向量。=则Ra-可的最大值是.

2.若4(1,2),8(2,3),C(-2,5),试判断则4ABC的形状.

3.若a=(2,-2),则与a垂直的单位向量的坐标为。

4.若向量加=2,|“一。=2,贝!)|很+口=o

5.平面向量a,另中，已知a=(4,—3),卜卜1,且aZ?=5,则向量6=。

三、解答题

1.已知a,b,c是三个向量，试判断下列各命题的真假.

(1)若Q・Z?=Q・C且贝!|b=c

(2)向量。在b的方向上的投影是一模等于同cos8(。是a与b的夹角)，方向与a在｝

相同或相反的一个向量.

2.证明：对于任意的a,dc,deR,恒有不等式(ac+bdf

3.平面向量。=(g,-1)乃=(工,也)，若存在不同时为0的实数上和f，使

x=a+(t2-3')b,y=-ka+tb,S.x±y,试求函数关系式上=/(?)。

4.如图，在直角△ABC中，已知3C=a,若长为2。的线段PQ以点A为中点，问而与近

的夹角。取何值时而•质的值最大？并求出这个最大值。

数学4(必修)第二章平面向量［基础训练A组」

一、选择题

l.DAD-BD-AB=AD+DB-AB=AB-AB=O

2.C因为是单位向量，|4|=1,|为|=1

3.C(1)是对的；(2)仅得a_Lb；(3)(a+b)-(a-b)=a2-b2=|«|2-|/?|=0

(4)平行时分0°和180°两种，«Z?=|a|-|/?|cos6*=±U|&|

4.D若AB=DC,则A5C。四点构成平行四边形;卜+.＜同+忖

若。〃b,则。在b上的投影为时或-同，平行时分0°和180°两种

a_LZ?=aZj=0,(。3)2=0

5.C3x+1x(—3)=0,%=1

6.D2a—b=(2cos夕一代,2sin0+I),\2a-b\=7(2cos0-A/3)2+(2sin0+1)2

=+4sifli—百~IZoj+88争:,最大值为4,最小值为0

二、填空题

1.(-3,-2)AB=OB-O/9,Y

,43.Il_,ab“,.,.j1/43

2.(二,一二)kz=5,ccxstzb---；―r=方向相同，b=—a=(—j—

5511同网555

3.布卜―zjW(a-&4%2ab+2d=922:§义不

4.圆以共同的始点为圆心，以单位1为半径的圆

5.|«+^|=y/(a+tb)2=y/a2+2tab+fb2=A/5?2+8Z+5,当f=—1•时即可

三、解答题

1.解：DE=AE-AD=AB+BE-AD=a+-b-b=a-］-b

22

BF—AF—AB—AD+DF—AB—bH—a—a—b—u

22

G是△CB。的重心，CG=!G4=—1AC=—1(。+6)

333

2.解：(a+2))，3ZJ)=a?—a匕一6Z?2=—72

|«|2-|«||/?|cos60°-6|Z2|2=-72,|«|2-2|fl|-24=0,

(同—4)(同+2)=0,同=4

A0

3.解：设A(匹y),——=—3,得AO=—303,即(―％—y)=—3(2,—l),x=6,y=—3

OB

得A(6^二，A3=(—4,2|)4|8「，网=

1'11\AB\10

4.解：ka+b=k(l,2)+(—3,2)=(一一3,2k+2)

a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4)

(1)(左a+b)_L(a—3Z?),

得(左a+b)(a—3b)=10(左一3)—4(2k+2)=2左一38=0,左=19

(2)(ka+b)//(a-3b),得一4(Z—3)=10(2Z+2),左=—；

此时左a+6=(-g,g)=-g(10,-4),所以方向相反。

数学4(必修)第二章平面向量［综合训练B组］

一、选择题

1.D起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，OA-OB=BA-,

AB,54是一对相反向量，它们的和应该为零向量，AB+BA=O

2.C设P(x,y),由|叫=叫得AB=2AP,或AB=—2AP,

AB=(2,2),AP=(x-2,y),即(2,2)=2(x-2,y),x=3,y=1,P(3,l)；

(2,2)=-2(x-2,y),x=l,y=-l,P(l,-1)

3.A设5=履=(左2左)/<0,而|川=3后，则疯7=3括，左=—3,0=(—3,6)

4.Dm研■b=^2ni3(1,2)饱2施;

a~2b=(2,3)-(-2,4)=(4,-1),则—2〃z+1=12m+8,m=-1