2024成都中考数学复习逆袭卷 专题七 图形的变化 (含详细解析)

2024成都中考数学复习逆袭卷专题七图形的变化考点1五种基本尺规作图针对考向1直接尺规作图(针对诊断小卷十三第10题)1.(诊断小卷十三第10题变式练—结合三角形相似)(创新考法·注重过程性学习)如图，已知矩形ABCD及对角线AC.(1)过点B作AC的垂线，垂足为E；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)结合图形猜想△ABE∽△CAD，请将下面的证明过程补充完整．第1题图证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥①________，∠D＝②______°(矩形的对边平行，每个角都是直角)，∴∠BAE＝∠ACD(③__________________________)，(填推理的依据)∵BE⊥AC，∴∠AEB＝90°，∴∠AEB＝∠D，∴△ABE∽△CAD(④__________________________).(填推理的依据)2.(结合作角平分线)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°.(1)作∠BAC的平分线，交BC于点D；(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)(2)在(1)的条件下，若∠BAC＝60°，BD＝2，求AC的长．第2题图针对考向2根据尺规作图痕迹进行判断或计算(针对诊断小卷十三第5题、小卷十四第3题)3.(结合作图痕迹判断中点)已知△ABC，AB≠AC，通过如下尺规作图，能确定点D是BC中点的是()4.(诊断小卷十四第3题变式练—变为结论判断)如图，在△ABC中，∠BAC≠90°，①分别以点B，C为圆心，大于eq\f(1,2)BC长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD；②在AC右侧取一点O，以D为圆心，DO长为半径作弧交AC于点P，Q；③分别以P，Q为圆心，大于eq\f(1,2)PQ长为半径作弧，两弧交于点R，作直线RD交AC于点E，则有以下结论：①BD＝CD；②S△ABD＝S△ADC；③DE⊥AC；④AD＝BD.其中正确的结论的个数为()第4题图A.1个B.2个C.3个D.4个5.(诊断小卷十三第5题变式练—结合坐标系)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B，C在x轴上，且∠ABC＝45°，BC＝4.连接AC，以点C为圆心，CA长为半径画弧交AD于点E，若B(1，0)，则点E的坐标为________．第5题图拓展考向间接尺规作图1.(结合菱形)如图，已知等边△ABC，在平面内求作一点D，连接AD，CD，使四边形ABCD为菱形．(保留作图痕迹，不写作法)第1题图2.(结合三角形周长转化)如图，已知△ABC，请用尺规作图法，在边BC上求作一点D，连接AD，使△ABD的周长等于AB＋BC.(保留作图痕迹，不写作法)第2题图3.(结合角的倍数关系)如图，已知平行四边形ABCD.(1)请用尺规作图法，在AD边上找一点E，使2∠AEB＝∠ABC；(保留作图痕迹，不写作法)(2)在(1)的条件下，连接BE并延长交CD的延长线于点F，求证：DE＝DF.第3题图

考点2无刻度直尺作图针对考向结合网格性质作图(针对诊断小卷十四第10题)1.(诊断小卷十四第10题变式练)如图，在6×10的正方形网格中，小正方形的边长都为1，线段AB的端点均在格点(网格线的交点)上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图(保留作图痕迹).(1)请在图①中以线段AB为斜边作Rt△ABC，点C在格点上(作出一个即可)；(2)请在图②中以AB为边作菱形ABDE，点D，E均在格点上(作出一个即可).第1题图2.(结合三角形网格)如图，在边长为1的小等边三角形构成的网格中，△ABC的顶点都在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中完成作图(保留作图痕迹).(1)如图①，作△ACD，使点D在格点上，且∠ADC＝30°，S△ADC＝2S△ABC；(2)如图②，在AC上作一点E，使得AE＝2CE.第2题图3.(结合圆)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，C在格点上．(1)AB的长为________；(2)以AB为直径的半圆的圆心为O，连接AC，在半圆上有一点P，连接AP，满足∠PAC＝eq\f(1,4)∠ACB.请用无刻度的直尺在如图所示的网格中画出点P，并简要说明点P的位置是如何找到的(不要求证明).第3题图拓展考向结合几何图形性质作图1.(结合平行四边形)如图，在平行四边形ABCD中，点E是边CD的中点．请仅用无刻度的直尺完成下列作图(保留作图痕迹).(1)在图①中，作对角线BD的三等分点M；(2)在图②中，过点E作EF∥BC交AB于点F.第1题图2.(结合正多边形)如图，A，B，C，D，E为正八边形的五个顶点，且DE∥AB，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图(保留作图痕迹).(1)在图①中，过点D作BC的平行线；(2)在图②中，作AE的垂线，使得垂足在AE上(不与点E重合).第2题图3.(结合圆)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC＝BD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图(保留作图痕迹).(1)在图①中，画出直径AB的垂直平分线；(2)在图②中，若BC＝BO，过点C作⊙O的切线．第3题图

考点3几何体的三视图针对考向1三视图的判断(针对诊断小卷十三第1题、小卷十四第2题)1.(诊断小卷十三第1题变式练)如图是由正六棱柱和球体组合而成的几何体，其主视图是()第1题图2.(诊断小卷十四第2题变式练)如图，是由5个大小相同的小正方体组成的几何体，其左视图是()3.(考查俯视图)如图，是一个“工”型零件的示意图，其俯视图是()针对考向2立体图形的展开与折叠(针对诊断小卷十三第3题)4.(根据展开图还原几何体)如图，是某几何体的表面展开图，则该几何体是()第4题图A.圆柱B.圆锥C.圆台D.球体5.(诊断小卷十三第3题变式练)2022年6月5日10时44分，神舟十四号载人飞船发射成功，探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我们不懈追求的航天梦．如图是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体中，与“强”字所在面相对面上的汉字是()第5题图A.建B.设C.航D.国拓展考向三视图还原几何体1.(还原几何体)从不同方向看某个立体图形得到的平面图形如图所示，则这个立体图形可能是()第1题图A.三棱锥B.三棱柱C.四棱柱D.四棱锥2.(判断小题正方体个数最值)如图，是由若干个相同的小正方体搭成的几何体的俯视图和左视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数至少为________．第2题图

考点4图形的对称及性质的有关计算针对考向1对称图形的识别(针对诊断小卷十三第2题、小卷十四第1题)1.在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是()2.(诊断小卷十三第2题变式练)下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()3.(诊断小卷十四第1题变式练)对称美是我国古人和谐平衡思想的体现，常被运用于建筑、器物、绘画、标识等作品的设计上，使对称之美惊艳了千年的时光．下面四幅图中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是()针对考向2利用轴对称的性质解决最值问题(针对诊断小卷十三第9题、小卷十四第9题)4.(结合三角形)如图，在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝2eq\r(5)，BD是斜边AC上的高线，AE是角平分线，F是直线AE上的动点，连接BF，DF，则|BF－DF|的最大值为________．第4题图5.(结合菱形)如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，BD＝12，E，F分别是BC，BO的中点，P是AC上的动点，则PE＋PF的最小值为________．第5题图6.(诊断小卷十四第9题变式练)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别是AC，AD上的动点，连接DE，EF，当DE＋EF的值最小时，AF的长为________．第6题图7.(诊断小卷十三第9题变式练)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝45°，AB＝6eq\r(2)，点D，E，F分别是AB，BC，AC上的动点，则△DEF周长的最小值为________．第7题图8.(结合正方形)如图，在正方形ABCD中，AB＝4，点E是边CD的中点，P，Q是对角线BD上的动点，且PQ＝eq\r(2)，连接AP，QE，当AP＋QE的值最小时，△QDE的面积为________．第8题图针对考向3图形折叠的有关计算(针对诊断小卷十三第8题、小卷十四第6，11题)9.(诊断小卷十三第8题变式练—结合矩形)如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使得点B落在边AD上的点G处，连接BG.已知AF＝eq\f(1,3)AB，则∠BGF的度数为()A.15°B.20°C.30°D.45°第9题图10.(诊断小卷十四第6题变式练—结合菱形)如图，在菱形ABCD中，AB＝3，∠B＝60°，E，F分别是AB，BC上的点，且BF＝2CF，将菱形ABCD沿EF折叠，点B的对应点B′恰好落在AC上，则AB′的长为________．第10题图11.(结合直角三角形)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，D是AC边上的一个动点，连接BD，将△CBD沿BD折叠，得到△C′BD，当C′D与△ABC的直角边垂直时，CD的长为________．第11题图12.(创新考法·填空双空)如图，点E，F是正方形纸片ABCD边AD上的两点，把正方形纸片沿BE，CF折叠，使点A与点D重合于点O，∠OEF的度数为________；若AB＝2eq\r(3)，则EF的长为________.第12题图13.(诊断小卷十四第11题变式练—结合矩形)如图，在矩形ABCD中，AD＝3AB＝9，点E是AD的三等分点(AE>DE)，将矩形ABCD沿BE折叠，点C，D的对应点分别为C1，D1，BC1与AD交于点F.(1)求证：∠AFB＝2∠FEB；(2)求点C1到AD边的距离．第13题图

考点5图形的平移针对考向图形的平移及其有关计算(针对诊断小卷十三第4题、小卷十四第8题)1.(诊断小卷十三第4题变式练)如图，在平面直角坐标系中，△ABC为直角三角形，∠A＝90°，点B，C分别为x轴，y轴上的点，BC＝5，tan∠ABC＝eq\f(3,4)，将△ABC沿x轴向右平移得到△COE，点F为OE边上的中点，则点F的坐标为()A.(2，eq\f(3,2))B.(eq\f(3,2)，2)C.(3，2)D.(2，3)第1题图2.(结合等腰三角形)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，∠B＝30°，将△ABC沿BC方向平移，得到△DEF，AC交DE的中点于点G，则点C到点F的距离为()第2题图A.eq\r(3)B.2C.2eq\r(3)D.33.(诊断小卷十四第8题变式练—变为正方形)如图，将边长为3cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移eq\r(2)cm，得到正方形EFGH，其中EF，FG分别交AD，CD于点I，J，则四边形IFJD的周长为()第3题图A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm4.(结论判断)如图，将△ABC向上平移得到△DEF，DE，EF分别与AC相交于点G，H，下列结论：①EG∥AB；②eq\f(FH,EH)＝eq\f(DG,GE)；③∠CHF＝∠ACB；④若点G为DE的中点，则S△GEH＝eq\f(1,4)S阴影．其中正确的是________(填正确结论的序号).第4题图5.(结合平行四边形)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝4，∠B＝60°，过点D作CD的垂线交BC的延长线于点E，将△DCE沿CB方向平移2个单位长度，得到△FGH，FH交CD边于点I，则四边形FGCI的面积为________．第5题图拓展考向与平移有关的网格作图1.(结合菱形)如图，在每个小正方形的边长为1个单位的网格中，菱形ABCD的顶点均在格点(网格线的交点)上．(1)将菱形ABCD先向右平移6个单位，再向上平移4个单位，画出平移后的菱形A1B1C1D1；(2)作菱形A1B1C1D1以直线l为对称轴的对称图形A2B2C2D2.第1题图

考点6图形的旋转针对考向图形的旋转及其有关计算(针对诊断小卷十三第6，11题、小卷十四第5，7题)1.(诊断小卷十四第7题变式练—变为三角形)如图，将△ABC绕点B顺时针旋转，得到△DBE，点A的对应点D恰好落在边BC上，且AB⊥BE，连接CE，则∠DCE的度数为()A.45°B.55.5°C.67.5°D.72.5°第1题图2.(诊断小卷十四第5题变式练—正方形与菱形结合)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点都在坐标轴上，对角线的交点为坐标原点，且点B的坐标为(2，0)，以AD为边构造菱形ADEF，将菱形ADEF与正方形ABCD组成的图形绕点O逆时针旋转90°，若点F的对应点为F1，则点F1的坐标为()第2题图A.(－2，2eq\r(2))B.(－2，－2eq\r(2))C.(2eq\r(2)，－2)D.(－2eq\r(2)，2)3.(诊断小卷十三第6题变式练—变为等腰直角三角形)如图，已知△ABC为等腰直角三角形，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，下列结论中：①BC＝AD，②AC＝CE，③△BDA为等边三角形，④∠CAE－∠BAC＝20°，正确的为()第3题图A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④4.(结合矩形)如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，将矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转得到矩形EBFG，使得点G落在BC的延长线上，CD与BE相交于点H，连接BD，则CH的长为______．第4题图5.(创新考法·填空双空)如图，在正方形ABCD中，AB＝2，现将正方形ABCD绕点A逆时针旋转60°得到正方形AEFG，CD与EF相交于点H，则∠DHE的度数为________，四边形AEHD的面积为________．第5题图6.(诊断小卷十三第11题变式练—变为直角三角形)如图，点O是Rt△ABC的斜边AB的中点，∠C＝90°，∠A＝30°，以点O为旋转中心逆时针旋转△ABC得到△DEF，且BC∥DF，DF交AB于点G.(1)求证：OG＝FG；(2)若EF＝4，求BG的长．第6题图

拓展考向与旋转有关的网格作图1.(结合平移)如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点分别为A(1，1)，B(2，3)，C(4，3).第1题图(1)将△ABC先向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度得到△A1B1C1，点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，画出平移后的△A1B1C1，并写出△A1B1C1的顶点坐标；(2)将△A1B1C1绕点A顺时针旋转90°后得到△A2B2C2，画出旋转后的△A2B2C2，并求出点A1旋转到A2所经过的路径长(结果保留π).

考点7图形的位似针对考向图形的位似及其有关计算(针对诊断小卷十三第7题、小卷十四第4题)1.(诊断小卷十三第7题变式练—结合坐标系)如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心．若A(－2，1)，B(－3，3)，DE＝eq\f(3\r(5),2)，则点D的坐标为()A.(3，－eq\f(3,2))B.(3，eq\f(3,2))C.(eq\f(3,2)，3)D.(－eq\f(3,2)，3)第1题图2.(诊断小卷十四第4题变式练—变为求周长比)如图，四边形ABCD和EFGH是以O为位似中心的位似图形，若OB∶OF＝4∶3，则四边形ABCD和四边形EFGH的周长之比为________．第2题图拓展考向与位似有关的网格作图1.(结合旋转)如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点坐标分别为A(－4，2)，B(－2，2)，C(－2，6).第1题图(1)请画出△ABC绕点M(－1，0)顺时针旋转90°后的图形△A1B1C1；(2)以点M为位似中心，在第三象限内画出将△A1B1C1缩小为原来的eq\f(1,2)的新图形△A2B2C2.参考答案与解析考点1五种基本尺规作图[逆袭必备]五种基本尺规作图1．作一条线段等于已知线段(已知线段a)步骤(1)作射线OP；(2)以点O为圆心，a为半径作弧，交OP于点A，OA即为所求线段作图依据圆上的点到圆心的距离等于半径2.作一个角等于已知角(已知∠α)步骤(1)在∠α上以点O为圆心，以适当长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；(2)作射线O′A；(3)以点O′为圆心，OP长为半径作弧，交O′A于点M；(4)以点M为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点N；(5)过点N作射线O′B，∠AO′B即为所求角作图依据(1)圆上的点到圆心的距离等于半径；(2)两点确定一条直线；(3)三边分别相等的两个三角形全等；(4)全等三角形的对应角相等3.作角的平分线(已知∠AOB)步骤(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；(2)分别以点M，N为圆心，以大于eq\f(1,2)MN长为半径作弧，两弧相交于点P；(3)作射线OP，OP即为所求角的平分线作图依据(1)圆上的点到圆心的距离等于半径；(2)两点确定一条直线；(3)三边分别相等的两个三角形全等；(4)全等三角形的对应角相等4.作线段的垂直平分线(已知线段AB)步骤(1)分别以点A，B为圆心，以大于eq\f(1,2)AB长为半径在AB两侧作弧，两弧分别交于点M，N；(2)作直线MN，MN即为所求线段的垂直平分线作图依据(1)两点确定一条直线；(2)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上5.过一点作已知直线的垂线步骤点在直线上(1)以点O为圆心，任意长为半径在点O两侧作弧，交直线于A，B两点；(2)分别以点A，B为圆心，以大于eq\f(1,2)AB长为半径在直线同侧作弧，交点为M；(3)作直线OM，OM即为所求垂线作图依据(1)等腰三角形“三线合一”；(2)两点确定一条直线步骤点在直线外(1)在直线另一侧取点M；(2)以点P为圆心，PM长为半径画弧，交直线于A，B两点；(3)分别以点A，B为圆心，以大于eq\f(1,2)AB长为半径画弧，交点M的同侧于点N；(4)作直线PN，则直线PN即为所求垂线作图依据(1)到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；(2)两点确定一条直线针对考向1直接尺规作图1.解：(1)如解图，BE即为所求；第1题解图(2)①CD，②90，③两直线平行，内错角相等，④有两个角分别相等的两个三角形相似．2.解：(1)如解图，AD即为所求；第2题解图(2)∵AD为∠BAC的平分线，∠BAC＝60°，∠ABC＝90°，∴∠BAD＝∠CAD＝30°，∠C＝30°，在Rt△ABD中，tan∠BAD＝eq\f(BD,AB)，即AB＝eq\f(BD,tan∠BAD)＝2eq\r(3)，在Rt△ABC中，sinC＝eq\f(AB,AC)，即AC＝eq\f(AB,sinC)＝4eq\r(3).针对考向2根据尺规作图痕迹进行判断或计算3.D【解析】A选项，AD为∠BAC的平分线，∵AB≠AC，∴AD不是△ABC的中线，∴点D不是BC的中点，故A选项错误；B，C选项中，AD⊥BC，∵AB≠AC，∴AD不是△ABC的中线，∴点D不是BC的中点，故B，C选项错误；D选项中，D为BC的垂直平分线与BC的交点，∴点D为BC的中点，故选D.4.C【解析】根据作图步骤①及作图痕迹可判断出，MN为BC的垂直平分线，∴BD＝CD，故①正确；∵△ABD和△ADC等底同高，∴S△ABD＝S△ADC，故②正确；根据作图步骤②③及作图痕迹可知，DE⊥AC，故③正确；∵BD＝CD，∴AD是BC边上的中线，∵∠BAC≠90°，∴AD≠BD，故④错误．综上所述，正确的结论有3个．5.(9－2eq\r(2)，2eq\r(2))【解析】如解图，连接CE，由作图可知CE＝CA，∴△ACE为等腰三角形．分别过点A，C作BC，AD的垂线，垂足分别为点M，N，∴AN＝NE，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴四边形AMCN是矩形，∴MC＝AN＝NE.在Rt△AMB中，∵AB＝BC＝4，∠ABM＝45°，∴AM＝BM＝eq\f(\r(2),2)AB＝eq\f(\r(2),2)×4＝2eq\r(2)，∴点A的坐标为(1＋2eq\r(2)，2eq\r(2))，MC＝4－2eq\r(2)，∴AE＝2AN＝2MC＝8－4eq\r(2).∵点B的坐标为(1，0)，∴点E的坐标为(1＋2eq\r(2)＋8－4eq\r(2)，2eq\r(2))，即E(9－2eq\r(2)，2eq\r(2)).第5题解图拓展考向间接尺规作图1.解：如解图①，点D即为所求．【解法提示】∵△ABC为等边三角形，要使四边形ABCD为菱形，故需作∠DAC＝∠ACB，AD＝AB.如解图①，以点C为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，AC于点E，F，以点A为圆心，CF长为半径画弧交AC于点G，以点G为圆心，EF长为半径画弧交前弧于点H，作射线AH，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交射线AH于点D，连接CD，四边形ABCD即为所求．图①图②第1题解图(一题多解)如解图②，点D即为所求．【解法提示】∵△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝BC，要使四边形ABCD为菱形，故需作AD＝CD＝AB，即AD＝CD＝AC.如解图②，分别以点A，C为圆心，AC长为半径画弧，两弧相交于点D，连接AD，CD，四边形ABCD即为所求．2.解：如解图，点D即为所求．第2题解图3.(1)解：如解图①，点E即为所求；第3题解图①【解法提示】要使2∠AEB＝∠ABC，则∠AEB＝eq\f(1,2)∠ABC，结合平行四边形对边平行的性质，可得到∠AEB＝∠EBC(两直线平行，内错角相等)，故可作∠ABC的平分线，∠ABC的平分线与AD的交点即为点E.作法：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BC，AB于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于eq\f(1,2)MN长为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点P；③作射线BP，BP交AD于点E，点E即为所求．(一题多解)结合角平分线和平行线的性质可得出AE＝AB，故可通过作AE＝AB作出点E.作法：如解图②，以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点E，点E即为所求．第3题解图②(2)证明：如解图①，∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠FED＝∠CBE(两直线平行，同位角相等)，∠F＝∠ABE(两直线平行，内错角相等)，∵BE为∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠CBE，∴∠FED＝∠F，∴DE＝DF(等角对等边).考点2无刻度直尺作图针对考向结合网格性质作图1.解：(1)如解图①②，Rt△ABC即为所求(作出一种即可)；图①图②第1题解图【解法提示】由小正方形的边长均为1，可知AB＝5，要使∠ACB＝90°，结合网格性质及勾股定理可知，两直角边长分别为eq\r(5)和2eq\r(5)时，点C在格点上，∴点C的位置如解图①②所示，连接AC，BC，△ABC即为所求．(2)如解图③，菱形ABDE即为所求(作法不唯一).第1题解图③【解法提示】根据菱形的对角线互相垂直且平分，可在解图①的基础上，将点C看作菱形对角线的交点，如解图③，延长BC至点E，使CE＝BC，易得AB＝5，∴将点E向右平移5个单位长度得到点D，连接AE，BD，DE，则四边形ABDE即为所求．(一题多解)因为菱形的邻边相等，AB＝5，由勾股定理可知两直角边长可以为3，4，故可以确定点E，根据菱形的对边平行且相等可知ED＝5，因此确定点D的位置，连接AE，ED，DB，得到菱形ABDE，如解图④⑤.图④图⑤第1题解图2.解：(1)如解图①，△ACD即为所求；第2题解图①【解法提示】根据网格的性质可知∠ABC＝90°，AC＝2BC，∴∠ACB＝60°，在BC的延长线上构造CD＝AC，则∠ADC＝30°，此时S△ADC＝2S△ABC，故△ACD即为所求．(2)如解图②，点E即为所求(作法不唯一).第2题解图②【解法提示】要使AE＝2CE，则可考虑将AC转化为三角形的一条中线，利用三角形的中线交点将中线分为2∶1的两段作图．如解图②，取格点F，使得BC＝CF，且F在BC的延长线上，连接AF，则AC为△ABF的中线，取格点M，N，连接MN交AB于点P，则点P为AB的中点，连接FP交AC于点E，此时AE＝2CE.3.解：(1)eq\r(37)；【解法提示】根据勾股定理可得AB＝eq\r(37).(2)如解图，点P即为所求．作法：取格点M，N，连接MN交网格线于点K，连接KO，KO交半圆于点P，连接AP.第3题解图【解法提示】由∠ACB＝90°可知，点C在半圆上，由∠PAC＝eq\f(1,4)∠ACB可得∠PAC＝22.5°，故所对的圆周角为22.5°，所以所对的圆心角为45°.取格点M，N，连接MN交网格线于点K，点K为小正方形边长的中点，连接CK，取格点E，F，根据网格的性质可得，KE＝OF，∠CEK＝∠CFO＝90°，CE＝CF，得证△CEK≌△CFO(SAS)，根据全等三角形的性质可得CK＝CO，∠ECK＝∠FCO，所以∠OCK＝∠FCE＝90°，连接KO，KO交半圆于点P，所以△OCK是等腰直角三角形，∠COP＝45°，连接AP，则∠PAC＝eq\f(1,2)∠COP＝22.5°，即∠PAC＝eq\f(1,4)∠ACB.拓展考向结合几何图形性质作图1.解：(1)如解图①，点M即为所求(作法不唯一)；【解法提示】连接AE交BD于点M，由平行四边形的性质可得AB∥DC，AB＝DC，∵点E是边CD的中点，∴CD∶DE＝AB∶DE＝2∶1，由AB∥DE可得△ABM∽△EDM，∴BM∶DM＝AB∶ED＝2∶1，∴点M为BD的三等分点．图①图②第1题解图(2)如解图②，EF即为所求．【解法提示】连接AC交BD于点O，作直线EO，交AB于点F，则EF即为所求．2.解：(1)如解图①，DG即为所求；【解法提示】如解图①，连接AC，BE交于点F，连接DF并延长交AB于点G，则DG即为所求．图①图②第2题解图(2)如解图②，MN即为所求．【解法提示】如解图②，连接AC，BE交于点F，延长AB，DC交于点M，连接MF并延长交AE于点N，则MN即为所求．3.解：(1)如解图①，OP即为所求(作法不唯一)；【解法提示】如解图①，连接DO并延长交⊙O于点K，连接AC，BK交于点P，连接OP，则OP即为所求．图①图②第3题解图(2)如解图②，CG即为所求．【解法提示】如解图②，连接AD，连接CO并延长交AD于点F，连接CD交AB于点E，连接FE并延长交DB的延长线于点G，连接CG，则CG即为所求．考点3几何体的三视图针对考向1三视图的判断1.D2.A3.C针对考向2立体图形的展开与折叠4.B5.A【解析】根据题图可知，“航”“天”“国”“设”所在的面均与“强”字所在的面相邻，∴与“强”字所在面相对面上的汉字是“建”．拓展考向三视图还原几何体1.B2.5【解析】根据俯视图可知该几何体最底下一层有4个小正方体，根据左视图可知该几何体共有两层，且第二层从前往后第一排无小正方体，第二排小正方体的个数是1或2或3个，故搭成这个几何体的小正方体的个数至少为4＋1＝5个．考点4图形的对称及性质的有关计算针对考向1对称图形的识别1.D2.D3.C针对考向2利用轴对称的性质解决最值问题[逆袭必备]常见利用轴对称的性质解决的最值问题(1)异侧线段和的最小值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．解题思路：根据两点之间线段最短可知，PA＋PB的最小值即为线段AB的长．(2)同侧线段和的最小值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的值最小．解题思路：将同侧两定点转化为异侧问题，同“(1)异侧线段和的最小值问题”即可解决．(注：也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l交于点P，点P即为所求)(3)三角形周长最小值问题问题：点P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小．解题思路：同(2)将同侧问题转化为异侧问题，即假设点N为“定点”，此时选择作定点P关于OA的对称点，将PM＋MN可转化为异侧线段和问题，假设点M为“定点”，同理，将PN＋MN转化为异侧线段和问题，则△PMN的周长即可转化为顺次相连的三条线段之和，根据两点之间线段最短即可解决问题．(4)同侧线段差的最大值问题问题：两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：根据三角形的两边之差小于第三边可知，当P，A，B三点共线时，|PA－PB|的值最大，即为线段AB的长．(5)异侧线段差的最大值问题问题：两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．解题思路：将异侧两定点转化为同侧问题，同“(4)同侧线段差的最大值问题”即可解决．(注：也可作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长交直线l于点P)(6)造桥选址问题问题：直线a∥b，且a，b之间的距离为h，定点A位于直线a上方，定点B位于直线b下方，在直线b上找一点M，过点M作MN⊥直线b于点M，交直线a于点N，连接AN，BM，使AN＋MN＋BM的值最小．解题思路：根据题意可知MN＝h，要求AN＋MN＋BM的最小值，即求AN＋BM的最小值，构造平行四边形AA′MN，利用平行四边形的性质将AN转化为A′M，则问题转化为异侧两定点问题，同“(1)异侧线段和的最小值问题”即可解决．4.eq\r(5)－1【解析】如解图，作点D关于AE的对称点D′，∵AE是∠BAC的平分线，∴点D′在AB上，且AD′＝AD，连接D′F，D′F＝DF，∴|BF－DF|＝|BF－D′F|≤BD′(三角形中两边之差小于第三边)，当B，D′，F三点共线时，|BF－DF|＝|BF－D′F|＝BD′，即|BF－DF|的最大值为BD′的长．在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝2eq\r(5)，由勾股定理可得AB＝eq\r(AC2－BC2)＝eq\r(5)，∴cos∠BAC＝eq\f(AB,AC)＝eq\f(\r(5),5)，∵BD⊥AC，∴cos∠BAD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(5),5)，即eq\f(AD,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)，∴AD＝1，∴AD′＝AD＝1，∴BD′＝AB－AD′＝eq\r(5)－1，∴|BF－DF|的最大值为eq\r(5)－1.第4题解图5.2eq\r(13)【解析】根据题意可知点E，F为两个定点，点P是AC上的动点，考虑利用轴对称的性质，将线段进行转化．如解图，连接EF，作点E关于AC的对称点E′，∵菱形的对角线平分一组对角，∴点E′在边CD上，且点E′是CD的中点，连接PE′，∴PE′＝PE(对称轴是对应点连线的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等)，∴PE＋PF＝PE′＋PF，连接E′F交AC于点P′，∴PE＋PF＝PE′＋PF≥E′F，当点P与点P′重合时，PE＋PF＝PE′＋PF＝E′F，即PE＋PF的最小值为E′F的长．∵四边形ABCD是边长为10的菱形，BD＝12，∴BC＝10，AC⊥BD，BO＝DO＝6，在Rt△BOC中，CO＝eq\r(BC2－BO2)＝8，∵点E，F分别是BC，BO的中点，∴EF＝eq\f(1,2)CO＝4，EF∥CO，∴∠EFB＝∠COB＝90°，∵点E，E′分别是BC，CD的中点，∴EE′＝eq\f(1,2)BD＝6，EE′∥BD，∴∠E′EF＝∠EFB＝90°，在Rt△E′EF中，E′F＝eq\r(E′E2＋EF2)＝eq\r(62＋42)＝2eq\r(13)，∴PE＋PF的最小值为2eq\r(13).第5题解图6.eq\f(28,25)【解析】点D为定点，点E，F分别为AC，AD上的动点，看到DE＋EF的最小值，考虑用轴对称的性质将线段进行转化．如解图，作点D关于AC的对称点D′，连接DD′，DD′与AC的交点为O，则DD′⊥AC，DO＝D′O，连接D′E，则D′E＝DE，连接D′F，∴DE＋EF＝D′E＋EF≥D′F(三角形中两边之和大于第三边)，过点D′作D′F′⊥AD于点F′，交AC于点E′，∴D′F≥D′F′(垂线段最短)，∴当点F与点F′重合，点E与点E′重合时，DE＋EF＝D′E＋EF＝D′F＝D′F′，即DE＋EF的最小值为D′F′的长，∴DE＋EF的值最小时，AF的长即为AF′的长．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，在Rt△ADC中，由勾股定理可得AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝5，∵S△ACD＝eq\f(1,2)AD·CD＝eq\f(1,2)AC·DO，∴4×3＝5DO，∴DO＝eq\f(12,5)，∴DD′＝2DO＝eq\f(24,5)，∵DD′⊥AC，D′F′⊥AD，∴∠D′F′D＝∠AOD＝90°，又∵∠D′DF′＝∠ADO(公共角)，∴△D′DF′∽△ADO，∴eq\f(D′D,AD)＝eq\f(DF′,DO)，即eq\f(\f(24,5),4)＝eq\f(DF′,\f(12,5))，∴DF′＝eq\f(72,25)，∴AF′＝AD－DF′＝4－eq\f(72,25)＝eq\f(28,25)，∴当DE＋EF的值最小时，AF的长为eq\f(28,25).第6题解图7.6eq\r(3)【解析】看到周长最小值，考虑作轴对称转化线段．如解图①，分别作点F关于AB，BC的对称点F′，F″，连接DF′，EF″，则DF＝DF′，EF＝EF″，∴DE＋DF＋EF＝DE＋DF′＋EF″≥F′F″，当F′，D，E，F″四点共线时，DE＋DF＋EF＝DE＋DF′＋EF″＝F′F″，∴要求DE＋DF＋EF的最小值，即求F′F″长的最小值．连接BF，BF′，BF″，由对称性可得BF＝BF′＝BF″，∠F′BD＝∠FBD，∠F″BE＝∠FBE，∴∠F′BD＋∠FBD＋∠F″BE＋∠FBE＝2∠FBD＋2∠FBE＝2(∠FBD＋∠FBE)＝2∠ABC＝120°，∴△F′BF″是顶角为120°的等腰三角形，∴∠BF′F″＝∠BF″F′＝30°.在等腰△F′BF″中构造直角三角形，利用锐角三角函数求解F′F″，△F′BF″的图形抽离出来如解图②，在等腰△F′BF″中，过点B作BH⊥F′F″于点H，∴F′H＝F″H，在Rt△F′BH中，F′H＝BF′·cos∠BF′F″＝BF′·cos30°＝eq\f(\r(3),2)BF′，∴F′F″＝2F′H＝eq\r(3)BF′＝eq\r(3)BF，∴当BF最短时，F′F″最短，在解图①中，过点B作BM⊥AC于点M，此时BM的长即为BF长的最小值(垂线段最短)，在Rt△ABM中，BM＝AB·sin∠BAC＝6eq\r(2)·sin45°＝6eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝6，∴BF长的最小值为6，此时F′F″的长取得最小值6eq\r(3)，即DE＋DF＋EF取得最小值6eq\r(3)，∴△DEF周长的最小值为6eq\r(3).(本题也可分别作点E关于AB，AC的对称点转化线段解题，思路同作点F的对称点)第7题解图8.1【解析】如解图，过点A作AA′∥BD，且AA′＝PQ，连接A′Q，A′E，A′E交AD于点M，交BD于点Q′，∴四边形APQA′是平行四边形(有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)，∴A′Q＝AP，∴AP＋QE＝A′Q＋QE≥A′E(三角形中两边之和大于第三边)，当点Q与点Q′重合时，AP＋QE＝A′Q＋QE＝A′E，即AP＋QE的最小值为A′E的长，∴当AP＋QE的值最小时，△QDE的面积即为△Q′DE的面积．过点A′作A′N⊥AD于点N，∴∠A′NM＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADC＝90°，∠ADB＝∠CDB＝45°，AB＝AD＝CD＝4，∴∠A′NM＝∠ADC，∵AA′∥BD，∴∠A′AN＝∠ADB＝45°，∴△A′AN是等腰直角三角形，∵AA′＝PQ＝eq\r(2)，∴AN＝A′N＝AA′·cos45°＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝1，∴ND＝AD－AN＝4－1＝3，∵点E是CD的中点，∴DE＝eq\f(1,2)CD＝2，设MN＝x，则DM＝3－x，∵∠A′NM＝∠EDM，∠A′MN＝∠EMD(对顶角)，∴△A′NM∽△EDM，∴eq\f(A′N,ED)＝eq\f(MN,MD)，即eq\f(1,2)＝eq\f(x,3－x)，解得x＝1，∴DM＝3－x＝2，∴DE＝DM，∵∠EDM＝90°，∴△EDM是等腰直角三角形，∵∠ADB＝∠CDB＝45°，∴点Q′是ME的中点(等腰三角形三线合一)，∴S△Q′DE＝eq\f(1,2)S△MDE＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)DM·DE＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×2×2＝1，∴当AP＋QE的值最小时，△QDE的面积为1.第8题解图针对考向3图形折叠的有关计算9.C【解析】由折叠可知，FB＝FG.∵AF＝eq\f(1,3)AB，∴AF＝eq\f(1,2)FB，∴AF＝eq\f(1,2)FG，∠GBF＝∠FGB.∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝90°，∴∠AGF＝30°(30°角所对的直角边等于斜边的一半)，∴∠AFG＝60°，∴∠BFG＝120°，∴∠BGF＝(180°－120°)÷2＝30°.10.eq\f(5－\r(13),2)【解析】如解图，过点F作FG⊥AC于点G，由折叠的性质，得B′F＝BF，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝3，又∵∠B＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AC＝AB＝3，∠ACB＝60°，∴∠GFC＝30°，∵BF＝2CF，∴CF＝1，BF＝2，∴CG＝eq\f(1,2)，FG＝eq\f(\r(3),2)，设B′G＝x，则(eq\f(\r(3),2))2＋x2＝22，解得x＝eq\f(\r(13),2)(负值已舍去)，即B′G＝eq\f(\r(13),2)，∴AB′＝AC－B′G－CG＝eq\f(5－\r(13),2).第10题解图11.2或4【解析】折叠中的动点问题常结合题设条件确定出满足条件的情况，画出图形既而求值.由折叠的性质得∠C′DB＝∠CDB，∠C′＝∠C，BC′＝BC＝4.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，由勾股定理，得AC＝5，如解图①，当C′D⊥BC时，延长C′D交BC于点E，则∠C′EB＝∠ABC＝90°，又∵∠C′＝∠C，∴△C′BE∽△CAB，∴eq\f(C′B,CA)＝eq\f(BE,AB)，即eq\f(4,5)＝eq\f(BE,3)，解得BE＝eq\f(12,5)，∴CE＝BC－BE＝4－eq\f(12,5)＝eq\f(8,5)，在Rt△CDE和Rt△CAB中，cosC＝eq\f(CE,CD)＝eq\f(BC,AC)，∴eq\f(\f(8,5),CD)＝eq\f(4,5)，解得CD＝2；如解图②，当C′D⊥AB时，则∠C′EB＝∠ABC＝90°，∴C′D∥BC，∴∠C′DB＝∠DBC，∵∠C′DB＝∠CDB，∴∠DBC＝∠CDB，∴CD＝BC＝4.综上所述，CD的长为2或4.第11题解图12.30°；12－6eq\r(3)【解析】由折叠的性质可知OB＝AB，OC＝CD，AE＝OE，OF＝DF，∠BOE＝∠A，∠COF＝∠D.∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD，∴∠BOE＝∠COF＝90°，OB＝OC＝BC，∴△OBC为等边三角形，∴∠OBC＝60°，∴∠ABE＝eq\f(1,2)(90°－∠OBC)＝15°，∴∠OEB＝∠AEB＝180°－∠A－∠ABE＝75°，∴∠OEF＝180°－∠OEB－∠AEB＝30°，同理，∠OFE＝30°，∴OE＝OF，如解图，过点O作OG⊥EF于点G，延长GO交BC于点H，∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，∵OG⊥AD，∴OH⊥BC，∵△OBC是等边三角形，∴BH＝CH(等边三角形三线合一)，∵AB＝2eq\r(3)，∴BH＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3)，∴在Rt△BOH中，OH＝eq\r(OB2－BH2)＝eq\r(（2\r(3)）2－（\r(3)）2)＝3，∵∠A＝∠AGH＝∠GHB＝90°，∴四边形ABHG是矩形，∴GH＝AB＝2eq\r(3)，∴OG＝GH－OH＝2eq\r(3)－3，在Rt△EGO中，∠GEO＝30°，∴EG＝eq\f(OG,tan30°)＝eq\f(2\r(3)－3,\f(\r(3),3))＝6－3eq\r(3)，∵OE＝OF，OG⊥EF，∴EG＝FG(等腰三角形三线合一)，∴EF＝2EG＝12－6eq\r(3).第12题解图13.(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠CBE＝∠FEB.由折叠的性质可知∠CBE＝∠FBE，∴∠FBE＝∠FEB，∴∠AFB＝∠FBE＋∠FEB＝2∠FEB；(2)解：如解图，过点C1作AD的平行线，交BA的延长线于点G.第13题解图∵AD＝3AB＝9，∴AB＝3.∵点E是AD的三等分点，AE>DE，∴AE＝6.由(1)可知，∠FBE＝∠FEB，∴FB＝FE，设BF＝EF＝x，∴AF＝AE－EF＝6－x.在Rt△ABF中，BF2＝AB2＋AF2，即x2＝32＋(6－x)2，解得x＝eq\f(15,4)，即BF＝eq\f(15,4)，∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝9，由折叠的性质可知BC1＝BC＝9.∵C1G∥AD，∴△BAF∽△BGC1，∴eq\f(BA,BG)＝eq\f(BF,BC1)，∴eq\f(3,BG)＝eq\f(\f(15,4),9)，解得BG＝eq\f(36,5)，∴AG＝BG－AB＝eq\f(21,5)，即点C1到AD边的距离为eq\f(21,5).考点5图形的平移[逆袭必备]平移的性质：1．平移前后，对应线段平行(或共线)且相等，对应角相等；2．对应点所连线段平行(或共线)且相等；3．平移前、后的图形全等．针对考向图形的平移及其有关计算1.B2.C3.C4.①②③【解析】根据平移前后，对应线段平行(或共线)且相等可知，DE∥AB，DF∥AC，EF∥BC，∴EG∥AB，结论①正确；∵DF∥AC，∴eq\f(FH,EH)＝eq\f(DG,GE)(两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例)，结论②正确；∵EF∥BC，∴∠CHF＝∠ACB(两直线平行，内错角相等)，结论③正确；若点G为DE的中点，则GH为△DEF的中位线，∴S△GEH＝eq\f(1,4)S△DEF，∵△ABC≌△DEF，∴S△ABC＝S△DEF，∴S△GEH＝eq\f(1,3)S阴影，结论④错误.5.eq\f(3\r(3),2)【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴CD＝AB＝2，CD∥AB，∴∠DCE＝∠B＝60°(两直线平行，同位角相等)，∵CD⊥DE，∴∠E＝90°－∠DCE＝30°，∴在Rt△DCE中，CE＝2CD＝4，DE＝eq\r(CE2－CD2)＝2eq\r(3)，∵△DCE沿CB方向平移2个单位长度得到△FGH，∴CG＝2，GH＝CE＝4(平移前后，对应线段相等)，FG∥CD(平移前后，对应线段平行)，△DCE≌△FGH(平移前后的三角形全等)，∵FG∥CD，CG＝CH，∴FI＝HI＝eq\f(1,2)DE＝eq\r(3)，CI＝eq\f(1,2)FG＝eq\f(1,2)CD＝1，∴S△CHI＝eq\f(1,2)CI·HI＝eq\f(1,2)×1×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，∵△DCE≌△FGH，∴S△FGH＝S△DCE＝eq\f(1,2)CD·DE＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，∴S四边形FGCI＝S△FGH－S△CHI＝eq\f(3\r(3),2).拓展考向与平移有关的网格作图1.解：(1)如解图，菱形A1B1C1D1即为所求；(2)如解图，菱形A2B2C2D2即为所求．第1题解图考点6图形的旋转[逆袭必备]旋转的性质：1．对应点到旋转中心的距离相等；2．对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；3．旋转前、后的图形全等；4．旋转180°，对应点关于旋转点中心对称．针对考向图形的旋转及其有关计算1.C2.B【解析】∵B(2，0)，四边形ABCD为正方形，∴OB＝OD＝OA＝2，∴AD＝eq\r(2)OA＝2eq\r(2)，∵四边形ADEF是菱形，∴AF＝AD＝2eq\r(2)，∴F(－2eq\r(2)，2)，如解图，连接OF，过点O作OF1⊥OF，且OF1＝OF，过点F1作F1G⊥y轴于点G，则Rt△OAF≌Rt△F1GO，∴F1G＝OA＝2，OG＝AF＝2eq\r(2)，∴点F1的坐标为(－2，－2eq\r(2)).第2题解图3.A【解析】∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，∴∠BAD＝60°，∠CAE＝60°(一组对应点与旋转中心所连的角叫旋转角，图形上任意一点的旋转角均相等)，△ABC≌△ADE(旋转前、后的图形全等)，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝