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文档简介

函数值域的求解函数值域的求法主要有以下10种方法：观察法：根据各种非负数的特点及函数的图像、性质、简单的计算、推理，评观察能直接得到一些简单的复合函数的值域.配方法：对于形如的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点，结合二次函数的定义域求出函数的值域.几何法：根据所给数学式子的特征，构造适宜的集合模型.均值不等式法.换元法：分为三角换元法与整体换元法，对于形如的值域问题可通过换元将原问题转化为二次型.别离常数法：对某些齐次分式型的函数进行常数化处理，使函数解析式简化而便于分析.判别式法：把函数解析式化为关于的一元二次方程，利用一元二次方程的跟的判别式求值域.一般地，形如或的函数值域问题可运用判别式法〔注意的取值范围须为实数集R〕.单调性法：先确定函数在定义域〔或它的子集〕内的单调性，再求出值域.对于形如或的函数，当时可利用单调性法.有界限法：利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域.因为常出现反解出的表达式的过程，故我们又常称此种方法为“反解有界性法”.〔10〕导数法：先利用导数求出函数的极大值和极小值，再确定最大〔小〕值，从而求出函数的值域.一、观察法例题1求函数的值域.解析：因为，所以函数的值域为.变式1函数的值域是________.二、配方法例题1求函数的值域.解析：.变式1求函数的值域.三、几何法例题1求函数的值域.解析：可以看作一个动点到两个定点和的距离的和，作点关于直线的对称点，连接交于点，此时的长即为PA与PB的长之和的最小值，点到A、B两点的距离之和为，故函数的值域为.变式1求函数的值域.变式2〔2008年重庆，10〕函数的值域是〔〕变式3函数的值域是〔〕四、均值不等式法例题1 ，求函数的值域.解析：令，那么，〔当且仅当，即时取等号〕故函数的值域为.变式1求函数的值域.五、换元法例题1假设函数的值域是，求函数的值域.解析：令，易得在上单调递减，在上单调递增.又，且.故的值域为.变式1求函数的值域.变式2当时，求函数的值域.六、别离常数法例题1求的值域.解析：，因为，.变式1求的值域.变式2求函数的值域.变式3求的值域.七、判别式法例题1求函数的值域.解析：因为恒成立，所以函数的定义域为R，原式可化为，整理得.假设，即，那么；假设，因为，即有，，解得且.综上所述，函数的值域是.八、单调性法例题1求函数的值域.解析：，由，得.故，因此.所以函数的值域为.变式1函数的值域是__________.变式2求函数的值域.九、有界性法例题1求函数的值域.解析：，由，可知，故，因此所求函数的值域为.变式1函数，求函数的值域.变式2函数，假设有，那么的取值范围为〔〕例题2，求函数的值域.解析：令，那么，得， 故，得或.又，那么，故.因此函数的值域为.变式1，求函数的值域.十、导数法例题1求

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