2024成都中考数学第一轮专题复习之第三章 微专题 二次函数综合题 类型一~二 教学课件

二次函数综合题微专题

考情及趋势分析成都8年高频点考情及趋势分析考情分析年份题号分值表达式对称轴位置动点情况考查设问20232510y＝ax2＋cy轴M为y轴上一动点(1)求抛物线的函数表达式；(2)已知等腰三角形求点的坐标；(3)探究两直线是否垂直20222510y＝－x2y轴——(1)求直线与抛物线的两交点坐标；(2)探究面积相等；(3)探究直线是否过定点考情分析年份题号分值表达式对称轴位置动点情况考查设问20212812y＝a(x－h)2＋k对称轴在y轴右侧点B为抛物线上一动点(1)求抛物线的函数表达式；(2)已知角度相等求点坐标；(3)探究点C横坐标的取值范围20202812y＝ax2＋bx＋c对称轴在y轴右侧点D为第四象限抛物线上一点(1)求抛物线的函数表达式；(2)求面积比最大值；(3)探究相似三角形存在性问题20192812y＝ax2＋bx＋c对称轴在y轴右侧点P是抛物线上位于对称轴右侧一点(1)求抛物线的函数表达式；(2)结合翻折求点坐标；(3)探究等边三角形存在性问题考情分析年份题号分值表达式对称轴位置动点情况考查设问20182812y＝ax2＋bx＋c对称轴在y轴右侧——(1)求抛物线的函数表达式；(2)已知线段比值，探究面积相等求点坐标；(3)探究x轴上一点的直角问题20172812y＝ax2＋bx＋c对称轴在y轴右侧点P是第一象限抛物线上一点(1)求抛物线的函数表达式；(2)求字母取值范围；(3)探究正方形存在性问题20162812y＝a(x＋1)2－3对称轴在y轴左侧点P位于第二象限(1)求抛物线系数a的值及与x轴交点坐标；(2)探究面积比，求一次函数表达式；(3)探究菱形存在性问题【考情总结】二次函数综合题每年一必考道，近两年均在B卷倒数第二题考查，其中面积问题考查4次，特殊四边形问题各考查2次，等腰三角形问题、角度问题各考查2次，线段问题、相似三角形问题各考查1次．1.近两年第三问均探究与直线有关的问题；2.除2022年外，题干中均给出了含参表达式，且第一问常考查利用待定系数法求出二次函数表达式，给出的表达式通常为一般式；3.近两年二次函数图象的开口方向均向下，对称轴为y轴，其他年份均开口向上且图象的对称轴主要在y轴右侧设置.类型一线段问题(2023.25)一阶

设问突破例

已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(－1，0)，B两点，与y轴交于点C(0，3)，连接BC.(1)如图①，点D是x轴上一点，连接CD，若AD＝CD，求点D的坐标；例题图①【思维教练】设出点D的坐标，线段AD的长可以根据横坐标相减得到，线段CD的长可以根据C，D两点的坐标利用勾股定理得到，然后结合线段相等列方程求解即可．解：(1)设D(d，0)，∵A(－1，0)，C(0，3)，∴AD＝|d＋1|，OC＝3，∴CD＝

＝

.∵AD＝CD，∴|d＋1|＝

，即(d＋1)2＝9＋d2，解得d＝4，∴点D的坐标为(4，0)；例题图①(2)如图②，点E是抛物线对称轴上一动点，连接AE，CE，求AE＋CE的最小值；例题图②【思维教练】根据抛物线的对称性可知关于抛物线对称轴对称的两个点到抛物线对称轴上的任意一点的距离相等，连接BE，可知AE＝BE，从而将问题转化成求BE＋CE的最小值，根据三点共线时线段和最短即可求解．(2)将点A(－1，0)，C(0，3)分别代入y＝－x2＋bx＋c中，得

解得∵C(0，3)，∴OC＝3，OB＝3，∴BC＝

＝3.∵点E在抛物线的对称轴上，∴AE＝BE，∴AE＋CE＝BE＋CE.∵BE＋CE≥BC，∴当B，C，E三点共线时，BE＋CE取得最小值，最小值为BC的长．∴AE＋CE的最小值为3；例题图②∴抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，∴B(3，0).如图，连接BE，(3)如图③，点P是第一象限内抛物线上一点，连接OP交BC于点F.①当

时，求点P的坐标；例题图③【思维教练】根据相似三角形的性质可知相似三角形对应边成比例，过点P作PM∥y轴交CB于点M，从而将

转化成

，根据线段长的比例列出关系式求解即可．M①如图，过点P作PM∥y轴，交BC于点M，设P(t，－t2＋2t＋3).∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的表达式为y＝－x＋3，∴M(t，－t＋3)，∴PM＝－t2＋2t＋3－(－t＋3)＝－t2＋3t.∵PM∥y轴，∴△OCF∽△PMF，∴－t2＋3t＝2，解得t1＝1，t2＝2，∴点P坐标为(1，4)或(2，3)；∴，∴，例题图③M【思维教练】由①可知

，用

表示出

，再利用二次函数的性质即可求解最值．②探究

有最大值吗？若有，求出最大值，若没有，请说明理由；②有最大值．理由如下：由①知

＝

＝－

t2＋t＝－

(t－

)2＋

∵－

＜0，∴

有最大值，最大值是

；例题图③M【思维教练】过点P作PF∥y轴，交BC于点F，根据抛物线的性质可得△OBC是等腰直角三角形，从而得到△FPQ也是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形直角边与斜边的关系，将求PQ的最大值转化成求PF的最大值，设出点P的坐标，从而表示出点F的坐标，进而表示出PF的长，根据二次函数的性质即可求解．(4)如图④，点P是第一象限内抛物线上一点，过点P作PQ⊥BC于点Q，求PQ的最大值及此时点P的坐标；例题图④例题图④F(4)如图，过点P作PF∥y轴，交BC于点F，∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝45°.∵PF∥y轴，∴∠PFQ＝∠OCB＝45°，∴PQ＝

PF，∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的表达式为y＝－x＋3.设P(n，－n2＋2n＋3)，则F(n，－n＋3)，∴PF＝－n2＋2n＋3－(－n＋3)＝－n2＋3n，∴PQ＝

PF＝－

n2＋

n＝－

(n－

)2＋

，∴－

＜0，0<n<3，∴当n＝

时，PQ取得最大值，最大值为

，当n＝

时，－n2＋2n＋3＝

，∴此时点P的坐标为(

，

)；例题图④F(5)若点P为线段OC上的一动点，请求出2AP＋CP的最小值．(5)如解图④，作∠OCH＝30°，过A点作AG⊥CH于G点，AG交OC于点P.∵∠OCH＝30°，∴在Rt△PCG中，2PG＝PC，∴2AP＋PC＝2AP＋2PG＝2(AP＋PG)＝2AG.根据A，P，G三点共线，可知此时2AP＋PC的值最小，最小值为AG的长，∴AG⊥BC时AG最小．例题解图④例题图④∴OP＝AO·tan∠OAP＝

，∴PC＝OC－OP＝3－

，AP＝2OP＝

，∴2AP＋PC＝

＋3－

＝3＋

，即2AP＋CP的最小值为3＋

.∵∠AOP＝∠CGP＝90°，∠APO＝∠CPG，∴∠OAP＝∠GCP＝30°.∵OA＝1，OC＝3，例题解图④类型二面积问题(8年4考：2022.25，2020.28，2018.28，2016.28)方法一：直接公式法适用于三角形的一边在坐标轴上(或平行于坐标轴)，直接运用三角形的面积公式S＝

AB·h求解．满分技法一阶

设问突破方法二：分割法适用于三角形的三边都不在坐标轴上(或都不平行于坐标轴).S△ABC＝S△ABD＋S△CBD＝

BD(AE＋CF)＝

BD|yC－yA|方法三：补全法适用于三角形的三边都不平行于坐标轴(或都不在坐标轴上).S△ABC＝S△ACD－S△ABD－S△BCD方法四：和差法S△BCP＝S△OCP＋S△OBP－S△OBC例

已知抛物线y＝ax2－bx－4与x轴交于A(－1，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C.(1)如图①，点F是抛物线上一点，连接AF，BF，若S△ABF＝15，求点F的坐标；例题图①解：(1)将点A(－1，0)，B(4，0)分别代入y＝ax2－bx－4，得

解得∴抛物线的函数表达式为y＝x2－3x－4.如图，过点F作FN⊥x轴于点N.∵F是抛物线上一点，∴设F(n，n2－3n－4)，则N(n，0)，∴FN＝|n2－3n－4|，∴S△ABF＝

AB·FN＝

×5×|n2－3n－4|＝15，∴|n2－3n－4|＝6，当n2－3n－4＝6时，解得n＝－2或n＝5，∴F(－2，6)或(5，6)；当n2－3n－4＝－6时，解得n＝1或n＝2，∴F(1，－6)或(2，－6).综上所述，点F的坐标为(－2，6)或(5，6)或(1，－6)或(2，－6)；例题图①∟N(2)如图②，若点P是抛物线上一动点，连接AC，PC，PB，则当点P的横坐标为1时，求四边形ACPB的面积；例题图②∟E(2)如图，连接BC，过点P向x轴作垂线，交直线BC于点E.∵抛物线的函数表达式为y＝x2－3x－4，A(－1，0)，B(4，0)，∴AB＝5，令x＝0，得y＝－4，∴C(0，－4)，设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，将点B，C坐标代入得，

解得例题图②∟E∴直线BC的表达式为y＝x－4.∵点P的横坐标为1，∴P(1，－6)，E(1，－3)，∴PE＝3，∴S四边形ACPB＝S△ABC＋S△PBC＝

AB·OC＋

OB·PE＝

×5×4＋

×4×3＝16；(3)如图③，点G是第四象限内抛物线上一点，点G的横坐标为m，连接AC，AG，BC，BG，AG与BC交于点H，若△BHG与△AHC的面积差为1，求m的值；例题图③(3)∵点G是第四象限内抛物线上的一点，设G(m，m2－3m－4)，0＜m＜4.∵A(－1，0)，B(4，0)，∴AB＝5，∵S△BHG＝S△ABG－S△ABH，S△AHC＝S△ABC－S△ABH，△BHG与△AHC的面积差为1，①当S△BHG－S△AHC＝1时，S△BHG－S△AHC＝S△ABG－S△ABH－S△ABC＋S△ABH＝S△ABG－S△ABC＝1，∴×5×(－m2＋3m＋4)－

×5×4＝1，解得m＝

或m＝

；②当S△AHC－S△BHG＝1时，S△AHC－S△BHG＝S△ABC－S△ABH－S△ABG＋S△ABH＝S△ABC－S△ABG＝1，∴×5×4－

×5×(－m2＋3m＋4)＝1，解得m＝

或m＝

(不合题意，舍去).例题图③综上所述，m的值为

或

或

；例题图③【思维教练】求两动点的三角形面积最值，根据CQ∥BP，转化成一个动点的三角形面积最值，即S△PBQ＝S△PBC.根据面积的分割法以及二次函数求最值方法，求S△PBC面积最值即可．(4)如图④，点P为第四象限内抛物线上一点，连接PB，过点C作CQ∥BP交x轴于点Q，连接PQ，求△PBQ面积的最大值及此时点P的坐标；例题图④(4)如图，连接BC，PC，过点P作PT∥y轴交BC于点T.T∵CQ∥BP，由(2)知C(0，－4)，∴OB＝OC＝4，直线BC的表达式为y＝x－4.设点P的横坐标为m，则P(m，m2－3m－4)，T(m，m－4)，0＜m＜4.∴TP＝m－4－(m2－3m－4)＝－m2＋4m，∴S△BCP＝

TP·(xB－xC)＝

(－m2＋4m)×4＝－2(m－2)2＋8，∵－2＜0，0<m<4，∴当m＝2时，S△BCP有最大值，最大值为8.例题图④T∵当m＝2时，m2－3m－4＝－6，∴P(2，－6).综上所述，△PBQ面积的最大值为8，此时点P的坐标为(2，－6)；例题图④T【思维教练】由PQ⊥BC，PF⊥x轴，易证△PEQ∽△BEF，由，

将面积比转化成

，进而求线段之间的关系，由题易知∠OBC＝45°，可表示出BE＝

EF，进而表示出PE与EF关系即可求解．(5)如图⑤，点P是第四象限内抛物线上一点，过点P作PF⊥x轴交BC于点