2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 手拉手模型解决全等、相似问题 练习课件

第四章微专题手拉手模型解决全等、相似问题1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，以AB，AC为一边向Rt△ABC的外侧作等边△ABE，等边△ACD.(1)如图①，连接BD，CE.(ⅰ)求证：△ABD≌△AEC；第1题图图①(1)(i)证明：∵△ABE为等边三角形，∴AB＝AE，∠EAB＝60°.∵△ACD为等边三角形，∴AD＝AC，∠DAC

＝60°，∴∠EAC＝∠DAB.在△ABD和△AEC中，∴△ABD≌△AEC(SAS)；第1题图图①(ⅱ)若BC＝1，求CE的长；第1题图图①(ii)解：∵在Rt△ABC中，∠BAC

＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，AC＝

.∵△ABE为等边三角形，∴AE＝AB＝2，∠EAB＝60°.∵∠BAC

＝30°，∴∠CAE＝30°＋60°＝90°，∴△ACE为直角三角形，∴EC＝

；(2)如图②，连接DE交AB于点F.求

的值．第1题图图②(2)证明：如图，过点E作EG⊥AB于点G.∵AE＝BE，∴AG＝

AB.∵BC＝

AB，∴AG＝BC.在Rt△AEG与Rt△BAC中，∴Rt△AEG≌Rt△BAC(HL)，∴EG＝AC＝AD.又∵∠EGF＝∠DAF＝90°，G∴在△GFE与△AFD中，∴△GFE≌△AFD(AAS)，∴GF＝AF，∴BG＝AG＝2AF，∴BF＝3AF，∴

＝3.第1题图图②G2.(2023黄冈)[问题呈现]△CAB和△CDE都是直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，CB＝mCA，CE＝mCD，连接AD，BE，探究AD，BE的位置关系．【问题探究】(1)如图①，当m＝1时，直接写出AD，BE的位置关系：________．第2题图图①【解法提示】如图，延长BE交AD于点G，∵m＝1，∴AC＝BC，DC＝EC.∵∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠DCA＋∠ACE＝∠ACE＋∠ECB＝90°，∴∠DCA＝∠ECB，∴△DCA≌△ECB，G∴∠DAC＝∠CBE.∵∠CAB＋∠ABG＋∠CBE＝90°，∴∠CAB＋∠ABG＋∠DAC＝90°，即∠AGB＝90°，∴AD⊥BE.解：(1)AD⊥BE；第2题图图①G(2)如图②，当m≠1时，(1)中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．第2题图图②(2)(1)中结论成立．证明：如图，延长BE交AD于点G，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB－∠ACE＝∠DCE－∠ACE，∴∠ACD＝∠BCE.∵CB＝mCA，CE＝mCD，∴

，G∴△DCA∽△ECB，∴∠DAC＝∠CBE.∵∠CAB＋∠ABG＋∠CBE＝90°，∴∠CAB＋∠ABG＋∠DAC＝90°，即∠AGB＝90°，∴AD⊥BE.第2题图图②G【拓展应用】(3)当m＝

，AB＝4，DE＝4时，将△CDE绕点C转，使A，D，E三点恰好在同一直线上，求BE的长．(3)当A，D，E，三点恰好在同一直线上时，分两种情况讨论：①当点D在线段AE上时，如解图③，∵△DCA∽△ECB，∴

.∵DE＝4，∴BE＝

AD＝

(AE－4).第2题解图③∵AD⊥BE，∴∠AEB＝90°，∴AE2＋BE2＝AB2，即AE2＋3(AE－4)2＝112，解得AE＝8或AE＝－2(舍去)，∴BE＝4；第2题解图③第2题解图④②当点D在AE的延长线上时，如解图④，∵△DCA∽△ECB，∴

.∵DE＝4，∴BE＝

AD＝

(4＋AE).∵AD⊥BE，∴∠AEB＝90°，∴AE2＋BE2＝AB2，即AE2＋3(4＋AE)2＝112，解得AE＝