高中数学课堂讲义-直线与直线平行

高中数学课堂讲义——直线与直线平行

目录

1.教学大纲....................................................................1

2.知识点一基本事实4................................................................................................................1

3.知识点二等角定理.........................................................1

4.练习........................................................................1

5.探究点一基本事实4的应用.................................................2

6.探究点二等角定理的应用...................................................4

7.课堂作业....................................................................5

8.课时作业（二十六）直线与直线平行...........................................7

1.教学大纲

新课程标准学业水平要求

1.能从教材实例中归纳出基本事实4.（直观想象）

水平一

1.了解基本事实.2.能从实际问题中归纳出等角定理.（逻辑推理）

2了.解等角定理.能利用基本事实4证明空间中的线线平行，会利用等角定

水平二

理证明空间中两角之间的关系逻辑推理）

2.知识点一基本事实4

平行于同一条直线的两条直线壬立.

［点拨］基本事实4表述的性质通常叫做空间平行线的传递性.

3.知识点二等角定理

如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.

［点拨］（1）空间等角定理表明把空间中的一个角平移后角的大小不变.

（2）由空间等角定理可得，如果两条相交直线与另两条相交直线对应平行,

那么这两组直线所成的角相等.

4.练习

1.判断正误（正确的打“J”，错误的打“义”）

（1）分别和两条异面直线平行的两条直线平行.（）

第1页共13页

(2)如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的

锐角(或直角)相等.()

(3)分别平行于两条异面直线的两条直线一定是异面直线.()

(4)如果空间中的两个角相等或互补，那么这两个角的两条边分别对应平

行.()

答案：(1)X(2)V(3)X(4)X

2.两等角的一组对应边平行，则()

A.另一组对应边平行B.另一组对应边不平行

C.另一组对应边不可能垂直D.以上都不对

D[另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直.]

3.已知BC//QR,若NA8C=30°,则NPQH等于()

A.30°B.30°或150°

C.150°D.以上结论都不对

B[NABC的两边与NPQR的两边分别平行，但方向不能确定是否相同，

：.ZPQR=30°或150°.故选B.]

4.已知棱长为a的正方体A8CD-A'B'CD'中，M,N分别为CD,

AO的中点，则MN与4c的位置关系是.

解析：如图所示，MN%AC,

DM

因为所以

答案：平行

5.探究点一基本事实4的应用

例如图，空间四边形A8CO中，E,尸分别是AB,AO边上的中点，G,

第2页共13页

“分别是BC,CD边上的点，且宫=碧4•求证：四边形GH心是梯形・

证明：因为空间四边形A3CD中，E,尸分别是A3,AO边上的中点,

所以£尸〃8。，且EF=gBD,

因为G,H分别是BC,。边上的点,

且说~~HD~2，

所以HG〃BD,且HG=；BD,

所以EF〃HG,且EFWHG,

所以四边形GHFE是梯形.

方法技巧

关于空间中两直线平行的证明

(1)辅助线：常见的辅助线作法是构造三角形中位线，平行四边形的对边.

(2)证明依据：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基

本事实4,几何体中相对的棱、对角线等的平行关系.

［对点训练］

如图，在长方体ABCD-AIBIGDI中，点E,尸分别是棱AB,的中点,

点、Ei,为分别是棱Ai»,CIDI的中点.

求证：EE\//FF\.

证明：连接EF,EiFi,AiCi,AC,由长方体

ABCD-AiBCiOi知，ACAiCi,

第3页共13页

因为点E,尸分别是棱AB,8c的中点，

所以由三角形中位线定理得：EF^AC,

同理EiQ统;AICI,

所以政统臼则四边形E/EEi为平行四边形，故EEi〃FFi.

6.探究点二等角定理的应用

例因《在正方体ABCD-Ai8cIOI中，E,F,G分别为

棱CG,BB\,。。的中点，试证明：/BGC=NFDiE.

证明：因为F为的中点,

1

-5

2BI因为G为DDi的中点,

所以。iG=：DOi.又BB\=DD\,

所以BF〃DiG,BF=D\G.

所以四边形。iGB尸为平行四边形.

所以DiF〃GB,同理。归〃GC

所以N3GC与NF01E的对应边平行且方向相同，

所以出£

方法技巧

空间角相等的证明方法

(1)等角定理法，“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般

是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.

(2)转化法，转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明.

［对点训练］

如图，在三棱柱ABC-4BC1中，M,N,P分别为A4i,BB\,CG的中点.

求证：4MC\N=/APB.

第4页共13页

£

B

证明：因为N,P分别是CCi的中点，

所以BN统GP,所以四边形BPCiN为平行四边形，所以GN〃BP.

同理可证GM〃AP.

又NMCiN与NAPB方向相同，

所以NMGN=NAPB.

7.课堂作业

1.空间中有三条直线AB,BC,CD,且NA8C=N8C0,那么直线A3与

CD的位置关系是（）

A.平行B.异面

C.相交或平行D.平行、异面、相交均有可能

D[由图可知直线A3与CD有相交、平行、异面三种情况，故选D.]

2.如图所示，在三棱锥S-MNP中，E,F,G,"分别是棱

SN,SP,MN,MP的中点，则E/与HG的位置关系是（）

A.平行B.相交

C.异面D.平行或异面

A['：E,尸分别是SN和SP的中点，...EEaPN.同理可证”G〃尸N,...E/7

〃HG故选A.]

3.在正方体中，与ADi平行的面对角线有条.

解析：连接正方体各面上的对角线.

第5页共13页

过点Di和A点的对角线和直线AOi是相交.

A\B,AiCi,C\D,OB分别与ADi是异面直线，夹角为60°,B\C,Ai。和

ADi是垂直的.

故只有直线BC\//AD\.

故满足条件的直线只有1条.

答案：1

4.如图，在正方体ABCD-AIBICIDI中,M,Mi分别是棱AD和AQ的中

点.求证：

(1)四边形BBiMiM为平行四边形；

(2)NBMC=NBiM6.

证明：(l)：A8CD-A]BGDi为正方体,

：.AD=AiDi,且AO〃AiDi.

又M,Mi分别为棱AO,AiDi的中点，

：.AM=A\M\且AM//A\M\.

二四边形AMM1A1为平行四边形.

：.MM\=AA\且MM\//AA\.

又A4i=BBi且A4i〃38i,

：.四边形为平行四边形.

(2)由(1)知四边形BBiMiM为平行四边形,

同理可得四边形CCiMiM为平行四边形.

第6页共13页

'•/BMC和NBMiG方向相同,

：.ZBMC=ZB\M\C\.

8.课时作业（二十六）直线与直线平行

（本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！）

［A级基础达标］

1.空间中两个角a,4的两边分别对应平行，且a=60°,则夕为（）

A.60°B.120°

C.30°D.60°或120°

D［由定理可知，4为60°或120°」

2.若NA08=N40i8i,且。A〃OIAI,射线OA与射线014的方向相同,

则下列说法中正确的是（）

A.OB//O\B\,且方向相同

B.。8〃0归1,且方向不同

C.08与。山।不平行

D.08与Oi8i不一定平行

D［如图，当NA08=N40iB,且。4〃04,射线0A与射线。Ai的方

向相同时，。8与031不一定平行.故选D.］

3.如图，在三棱锥P-A8C中，E,F,G,H,I,J分别为线段PB,

PC,AB,BC,C4的中点，则下列说法正确的是（）

A.PH//BGB.IE//CP

第7页共13页

C.FH//GJD.GI//JH

C［如图，因为E,F,G,H,I,J分别为线段以，PB,PC,AB,BC,

C4的中点，

所以尸”〃如，GJ//PA,所以bH〃G7.故C正确.]

4.过直线/外一点可以作/的平行线条数为（）

A.1B.2

C.3D.0或1

A[直线/和/外的一点，设此点为P确定一个平面，在这个平面内过P

与/平行的直线只有一条.]

5.（多选）下列结论中正确的是（）

A.在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行

B.平行于同一条直线的两条直线平行

C.一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交

D.空间中有四条直线a,b,c,d,如果a〃。，c〃d,且。〃4,那么8〃c

BD[A错，可以异面.B正确.C错误，和另一条可以异面.D正确，由

平行线的传递性可知.]

6.如图是正方体的表面展开图，E,F,G,"分别是棱的中点，则Eb与

GH在原正方体中的位置关系为.

解析：将正方体的表面展开图还原构造成正方体如图所示:

第8页共13页

分别取AB,A4i的中点。，P,连接EP,FQ,PQ,AiB,由正方体的结构

特征可得族〃尸。.又因为点Q,P,H,G分别是AB,44i,A\B\,88的中点,

故PQ〃Ai3,HG//A\B,故PQ//HG际以EF//GH.

答案：平行

7.已知E,F,G,”分别是三棱锥A-8c。棱AB,BC,CD,0A的中点,

AC与B。所成角为60°,且AC=8O=2,则EG=.

解析：因为E,F,G,H分别是三棱锥A-8C。棱A3,BC,CD,D4的

中点，

所以£尸为△A3C的中位线，

故EF//AC且EF=gAC,

同理GH为△AC。的中位线，

故GH//AC且GH=；AC,

所以收平行且等于G",所以四边形EFG”是平行四边形且所AC=\,

同理FG〃8。且BD=1,

因为AC与8。所成角为60°,

所以NEFG=60°或120°,

当NEFGuGO。时，EG=1.

当NEFGulZO。时，EG=^/12+12-2X1X1XCOS120°=小.

答案：1或小

8.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：

第9页共13页

①A3〃CM；②。与MN是异面直线;

③MN〃CD.

以上结论中正确的序号为

解析：把正方体平面展开图还原到原来的正方体，如图所示，EF与MN

是异面直线.AB//CM,MNLCD,只有①②正确.

答案：①②

9.如图，正方形ABED,直角梯形EFGD,直角梯形ADGC,AC//DG//

EF且0A=DE=DG,AC=EF,EF=^DG.

求证：B,F,C,G四点共面.

证明：取。G的中点M,连接AM,FM,

因为EF//DG,£F=|DG,

所以EF〃DM,EF=DM.

所以四边形EFMD为平行四边形，所以FM//ED,FM=ED.因为四边形

ABED为正方形,

第10页共13页

所以45〃尸加，AB=FM.

所以四边形为平行四边形，所以

因为AC=EE=3DG,MG=；DG,AC//DG,

所以四边形ACGM为平行四边形，所以AM〃CG.

所以8F〃CG,所以8,F,C,G四点共面.

10.如图，在四棱锥P-A3CO中，底面A8CD是平行四边形，点、M,N分

13

别在AC,PB上,且MC,BNyBP,作出直线MN与确定的平面

与平面必。的交线/,直线/与MN是否平行，如果平行，请给出证明；如果不

平行，请说明理由.

"二、可C

解析：连接8M并延长交A。于E,连接PE,

///f

/t1!

E您.

a--m、、、_y

AB

则E在MN,PB确定的平面内，且£在AO上，所以E在平面孙。上，则

PE即为直线MN与尸8确定的平面与平面而。的交线I.

因为底面ABC。是平行四边形，所以AE〃BC

FMAM

所以△AEMS/XCBM,所以前=方方.

DMCM

因为点M,N分别在AC,P8上，

日13

且MC,BN,BP,

诉I"迪