高中数学同步提高课程-必修1 课程讲义

目录

第1讲集合的概念及运算.............................................................-1-

第2讲集合的应用及综合问题.........................................................-2-

第3讲函数的基本概念及表示法.......................................................-4-

第4讲函数的性质...................................................................-6-

第5讲函数性质的应用及综合问题.....................................................-8-

第6讲二次函数.....................................................................-9-

第7讲指数运算与指数函数..........................................................-10-

第8讲对数运算与对数函数..........................................................-12-

第9讲嘉、指、对函数的应用........................................................-14-

第10讲函数图象及函数综合问题......................................................-15-

第11讲函数与方程.................................................................-17-

第12讲函数应用...................................................................-19-

第13讲必修1综合问题选讲.........................................................-21-

讲义参考答案....................................................................-23-

高中数学同步提高课程一必修1课程讲义

第1讲集合的概念及运算

知识引入

你能读懂下面这句话吗？试着不借助符号写清楚同样的意思.

n

Vxe。，3m,neZ,使得x=—，且(加,〃)=1

看下面的问题：

一句话：“我会英语但我不会日语”

则这句话的反面该怎么说呢？答：.

重难点易错点解析

集合的正确书写

(y=x+\

题一：写出方程组jy=3X_]的解集.

下面哪些是可以的？你还能写出什么？

x=1,y=2,x=l且y=2,[,{|VJ,(1,2),{1,2},{(1,2)},

17=2[y=2

[x-i

{-)«,2)},{«叫:“(川'小=2}'{C,刈皿22},

y=x+l

{(x,y)「y=3x-\f，

题二：下列集合表示全体实数组成的集合的是

(1)R；(2){全体实数};(3){X|XGR};(4){实数};(5){R}；(6){y|y=x+l)；

(7){...........,-l,O,b..........}

金题精讲

题一：看一份作业，帮他(她)改改错：

(l){x|y=+y=|2x\}=

(2){%eR|xw1}U{xeR|x。2}=

-1-

6、{xI)?=7-x+l)I3y=|2x|}=

⑦{xG|x*1}U{xe|x*2)=

题二：判断下列叙述是否正确？

｛X|X=1+；D","WN｝=｛0｝或｛1｝

题三：求集合A=｛%|x2—（。+2）x+a+1=0｝中所有元素的和.

题四：u为全集，5、与、S3均为u的非空子集，且5US2US3=。，下面正确的是（）

A.6/n（52u53）=0B.sq（翔邑n应）

c.翔sn川2n口邑=。D.s｝c（^s2u应）

思维拓展

题一：设｛%｝是集合⑵+2,|0Ws<f,且sjeZ｝中所有的数从小到大排成的数列，即

4=3,a2=5,a3=6,a4=9,a5=10,a6=12,....将数列｛*｝各项按照上小下大，左小右

大的原则写成如下的三角形数表：

3

56

91012

（1）写出这个三角形数表的第四行各数；

（2）求。］oo

第2讲集合的应用及综合问题

知识引入

集合作为语言，要能看得懂，能正确地书写.运算法则就是集合这门语言中的语法.

题面：利用集合NZ,R写一个算式，使得结果为0.

-2-

高中数学同步提高课程一必修1课程讲义

在高一的起始阶段，让大家不适应的经常就是——分类讨论

题面：已知{%|以=1}£{)|工2=1},求Q的值.

重难点易错点解析

在三个“二次”上下点儿功夫：二次函数、二次方程、二次不等式

题一：⑴方程2J+x-3=0的解集为；

(2)画函数/(X)=2X2+X—3的图像：

(3)不等式2/+X-3W0的解集是.

题二：集合&|帆？_2》+3=0}中至多•个元素，求实数机的取值范围.

金题精讲

题一：定义：A-8={x|xeA且判断下列算式的正误：

®A-B=B-A②(AU8)-C=(4-C)U(8-C)

③G4nB)-C=(A-C)n(8-C)@A-(B-A)=B-(A-B)

⑤A-(4一B)=8-(3-A)

题二：已知集合A={x|x=4+4x3+%x32},其中4e{0,l,2}/=0,1,2),且%#0.则月中所有

元素之和等于.

思维拓展

题一：已知集合［7={1,2,…,”eN*.设集合A同时满足下列三个条件：

①AqU;

②若xeA,则2x£A；

③若xeCb,A,则2x仁Cc,A.

(1)当”=4时，一个满足条件的集合A是；(写出一个即可)

(2)当〃=7时，满足条件的集合A的个数为.

第3讲函数的基本概念及表示法

知识引入

什么是函数，函数怎么表示?

看个实验：

南虎81

0.06

46。2加2

夕"2加。,吟

/上

M2

於彳2。、。父

重难点易错点解析

题一:写几个函数，使得它们的自然定义域分别是（-00』、（l,+oo）、［2,3］、（2,3）、（-oo,2）U［3,+oo）、

{1}>S,2)U(2,3)U(3,+8)、

题二：下面这句话对吗？谈谈你对“值域”的理解.

函数/（x）=f+1,（xeR且xw1）的值域为［1,+oo）.

-4-

高中数学同步提高课程一必修1课程讲义

题三：函数y=2x+l,f(x)=2x+1,g(x)=2x+l,=2r+1是同一个函数吗？谈谈对函数符

号的认识，对法则的认识.

题四：判断正误：

若V={x|“X)=0},N={x|g(x)=0},则{x|/(X).g(x)=0}=MUN.

金题精讲

题一：已知函数/(x),g(x)分别由下表给出

X123X123

/(X)131g(x)321

则/[§(!)]的值为；满足f[g(x)]>g"(x)]的x的值是

x-3,x>10

题二：/(幻=，则/(5)=

l/(/(x+5)),x<10

题三：集合R到集合R的映射/(是一个函数)，满足：/(x-l)=2x+5.

请问：这里的法则/是

题四：下面的解答对吗？为什么？

(1))，=3x-4的值域是[一4,5],则它的定义域是[0,3].

(2)y=3/_4的值域是[-4,5],则它的定义域是[-JJ,.

如果不对，怎么改？

题五：(l)/(x+l)的定义域是(-1,+8),则/(x)的定义域是

(2)/(2x+l)的定义域是(-1,田)，则/(3x-4)的定义域是

思维拓展

2,

题一：已知函数y=R)的值域为(0,1],则a=_；b=___.

x+1

-5-

第4讲函数的性质

知识引入

题面：画函数y=的图.

重难点易错点解析

题一：探讨函数匕+g的奇偶性.

题二：证明7是减函数.

15、证明函数/（x）=Ji-x是减函数

Pl-XI-X已°]

1..X,乙三i

7⑴力八

、:X1eY*J]

二.>]—X，

X,>

<jlL）-『1"）：。.

______2曷成山基J/_n_______

5、证明函数/a）=JT7是减函数

硼："3x&if].:r"j1，+2。

+（*|>=A,，+%）•：石,

k~)>k”

IkQ'i-z（屁）：一咪

，（加）-（*«*）'=I-片-1%

-.■1-M

•XW

•、--"D

,•（!<卬广-（-卬）

-6-

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15、证明函数/(x)=Vi二，是减函数

证：比i碱：泯1'、.JMlhe

4⑶)-弋网

=力卜X-J—

4出）

、、'AU以2

7乂2-乂170・

--X・〃”6C一河口

且

金题精讲

题一:证明〃X)=X3是增函数.

题二：-高为H的鱼缸，满缸时水量为V,今不小心将鱼缸底部碰了一个洞，满缸水从洞中流出.

设鱼缸中剩余水的体积为v，剩余水的深度为〃，则丫用人表达的函数u=/(力)的图象可能是()

题三：函数/(x)是奇函数，定义域为R,当x>0时，f(x)=3x+l.求函数f(x)的解析式.

题四:函数/(x)定义域为R,是否存在函数g(x)、h(x),使得f(x)=g(x)+h(x),且g(x)是奇函数、

田外是偶函数.若存在，唯一吗？

思维拓展

-7-

题一：已知函数y=/(x)是偶函数，定义域为R,且/(1)>0>/(2).当x>0时,函数y=/(x)

是减函数.则方程/(%)=0的根的个数可能是个.

第5讲函数性质的应用及综合问题

主讲教师：王春辉北京数学高级教师

知识引入

题面：若不等式f+OV+120对于一切工£(0,!)成立，则。的最小值是()

2

A.0B.—2C.---D.-3

2

重难点易错点解析

题一：函数/(1)=/1,

y3-X?-2x

(I)写出函数/(X)的定义域；

(H)求其单调区间.

金题精讲

题一：求函数y=x+?4的值域，并作图.

X

Y~+4rx20

'"，若/(2—/)〉/(“),则实数。的取值范围是()

(4x-x2,x<0

A(-oo,-l)U(2,+oo)B(-1,2)C(-2,1)D(-oo,-2)U(l,+oo)

题三：已知关于x的方程--以+4=0在［1,3］上有实根，则实数。的取值范围是.

题四：已知关于x的方程/一数+4=0的实根在［1,3］上，则实数a的取值范围是.

思维拓展

-8-

高中数学同步提高课程--必修1课程讲义

题一：已知y=/(x)是定义在R上的单调函数，实数占H%,力H—1,«=缶+生邛=上上名，

1+21+2

若"区)一/(》2)|<"(。)—/(0|，则()

(A)彳<0(B)2=0(C)0</1<1(D)A>1

第6讲二次函数

知识引入

题面：阅读短文，回答问题.

在某个十字路口，早十点至下午四点由设定程序实行交通自动管理.在一个时间周期内(从一个

方向的红灯开始亮起，到下一次这个方向红灯亮起为一个周期)，东西方向通过及等待的车辆总数为

m,南北方向通过及等待的车辆总数为〃(加、〃设为常数，〃>〃？).

设在一个时间周期(设为1分钟)内，东西方向绿灯时间为R(O<R<1)分钟，并认为某一方向

在一个时间周期内需要等待的车辆数占总车辆数的比例与这个方向在一个时间周期内红灯时间占总

时间比例相同，并且把每一个等待的车辆等待的时间平均近似为一个时间周期内红灯时间长度的一

半.

我们要解决的问题是：确定适合的R的值，使得在一个时间周期内所有等待的车辆的等待时间

的总和最小.

重难点易错点解析

题一：定义在N上的函数/(乃=/一2区是增函数，则实数k的取值范围是()

(A)k<-(B)攵<0(C)<1(D)k<0

2

金题精讲

题一：求函数丫=，-\一2工+1的值域.

题二：函数/(x)=x2一2ax+l,xe[0,1]的最大值与最小值的差记做g(a),求g(a)的表达式.

题三：关于x的方程/+以+3=0的两根均大于1,求实数a的取值范围.

题四：设b>0,二次函数〉=公2+以+。2—1的图象为下列之一，则。的值为()

-9-

题五：求函数/(x)=2x+Jl-2x的最值.

思维拓展

题一：已知二次函数y=ax2+/>x+c,若a固定(aWO),c固定，b变化，则该抛物线如何运动？

第7讲指数运算与指数函数

主讲教师：王春辉北京数学高级教师

知识引入

指数函数基本性质

指数函数

a>1O<Q<1

y=ax(a>O.aw1)

y

图象V

0u

定义域R

(0,+oo)

值域

过定点

(0,1)

单调性增函数减函数

x>O,y>lx<O,y>1

取值范围V

x<0,0<y<1x>0,0<y<1

-10-

高中数学同步提高课程一必修1课程讲义

1.函数y=优与y=(i)'(a>0,«^1)的图象关于y轴对称；

a

图象特征

2.函数？=优(。〉0,。*1)的图象与直线》=1的交点纵坐标为

底数4.

指数爆炸：一张报纸可以对折多少次?

对折次数报纸页数报纸面积(n?)

01

A®0.21m2

12

-A

2

24

-A

4

38u

8

416

16

………

82561,

——A®0.00081/H2

256

重难点易错点解析

题一：判断方程2、=2x2的根的个数.

金题精讲

题一：若在一个坐标系内画以下函数的图：

y=优4=//,〉=(与,y=(S

ab

题二：画函数y=|2，—l|,y=23一1的图.

题三：函数/(x)=|(；)'—1|,已知c>〃>a,/(c)>f(a)>f(b),则下面叙述正确的是()

(A)Z?<0(B)a+l>0

-11-

(c)"-l(D)(1r+(ly<2

题四：下面函数是否过定点，若有，写出定点的坐标.

X"

y=2-ax~5+6,(a>O.a1)y=-----------,(aeR,a0)

x+2ar-12

思维拓展

题一：研究下面函数的定义域、值域、奇偶性、单调性——谈数学变形

2V

(l)y=优一。75>0,且4W1)(2)y=-----

2A-110,-10一

(3)y(4)y=

2'+110'+10-x

第8讲对数运算与对数函数

主讲教师：王春辉北京数学高级教师

知识引入

对数函数基本性质

y=iog“xa>10<a<1

yyk

图象

xv

0/Ix0x

定义域(0,+8)

值域R

过定点(1,0)

单调性增函数减函数

x>l,y>0x>l,y<0

«

取值范围0<x<l,y<00<x<l,y>0

1.函数y=log„x与y=log,x的图象关于x轴对称；

图象特征

2.函数y=logax的图象与直线y=1的交点横坐标为底数a.

-12-

高中数学同步提高课程一必修1课程讲义

与y=优关系函数y=log”犬与y=优的图象关于y=x对称

重难点易错点解析

时一人好In2In31n5li

题一：比较二个数一,一,—1的v大小.

235

金题精讲

题一：若a＞b〉l〉c〉d〉0,在一个坐标系内画以下函数的图：

丁=bg〃x,y=log"x,y=log,x,y=log”x

题二：作下面函数(或曲线)图象：

(i)y=|log2(x-l)|：⑵y=4啕6”；(3)|log2x|+|log2)^|=1

题三：函数y=log,(x2-8x+7)的单调递增区间是.

2

题四：下面说法对吗？

(1)“函数/(X)有反函数”的充要条件是“函数/(X)是单调函数”

(2)函数与反函数如果有交点，则交点一定在直线y=x上；

(3)增函数与反函数如果有交点，则交点一定在直线y=x上；

(4)偶函数没有反函数

思维拓展

题一：根据下列方程解的情况回答问题.

方程:2'=log2X无实数解；方程：=logux的近似解为X|=38.2287,x2=1.1118；

(1Yr

方程：ee=log,x(e为常数，近似为2.7183)的解为x=e；

I)/

方程：0.1'=log。/x的近似解为x=0.3990；

方程：0.0「=logoo]x的近似解为$=0.9415,,x2=0.2780,x3=0.0131.

下列叙述正确的是(多选、少选均不得分)

①存在实数。，满足条件1＞。＞0,且使得曲线》=优与y=log“x有且只有两个交点;

-13-

②存在实数。>1,使得曲线y=优与y=k)g“x有且只有三个交点；

③若0>0且a#l,对任意xeR,有标>log〃x,则实数a的取值范围是(V,+8)；

④曲线y=0.01'与y=logosx的不在直线y=x上的交点设为A,B,则直线AB与直线y=x

垂直.

第9讲幕、指、对函数的应用

主讲教师：王春辉北京数学高级教师

知识引入

题面：设225°是加位整数，5刈。是〃位整数，则机+〃的值为.

重难点易错点解析

题一：关于x的方程a-4'-”.2"2+6“_3=0在［0,2］上有实数解，则实数a的取值范围

是.

金题精讲

题一：设log］x9=a,18'=5，用的代数式表达log1845和log3645.

题二：计算：

八、，1,2,3,99,100

(1)1g--+1g—+1g—+•••+1g—+1g

100999821

23499100

(2)l8T^l899-，898'.…18T'18V

1084+2,0853gl6

(3)5^+

题三：点(正,2)在幕函数/*)的图象上，(-2」)在幕函数g(x)的图象上，问当x为何值时，有：(1)

4

f(x)>g(x)；(2)/(x)<g(x)；(3)/(x)=g(x)

题四：函数/(x)=五2-2x+2&f+4的最小值为.

-14-

高中数学同步提高课程--必修1课程讲义

题五：关于x的不等式V-log,.》<0在(0,；)内恒成立，求实数机的取值范围.

题六：=lg(tz'-b'),(a>1>Z?>0)

(1)求这个函数的定义域；

(2)在这个函数图象上是否存在不同的两点，使得两点的连线平行于x轴.

思维拓展

题一：定义在R上的函数〃元=工工.5“=〃3+〃2)+…+〃巴。),〃=2,3,…

4+2nnn

⑴求s“

⑵求证—+—4---F—>2ln(n+1).(参考公式x>ln(l+x))

S]S3Sn+l

第10讲函数图象及函数综合问题

主讲教师：王春辉北京数学高级教师

知识引入

题面：某棵果树前"年的总产量S“与”之间的关系如图所示.从目前记录的结果看•，前m年的年平

均产量最高，机的值为()

(A)5(B)7(C)9(D)ll

S„

OI234567891()IIn

重难点易错点解析

-15-

x

题一：函数y=——(x>2)的反函数的定义域为()

x-2

A.(l,+oo)B.(0,+oo)C.(0,1)D.(1,2)

金题精讲

Y4-1

题一：函数=图象的对称中心为()

X

A.(0,0)B.(0,l)C.(1,0)D.(1,1)

题二：⑴已知/(x)=/n(x-2/n)(x+m+3),g(x)=2'-2.若VxeR,/(x)<0或g(x)<0,

则m的取值范围是.

(2)已知/*)=〃“》-2/〃)(犬+〃?+3),g(x)=2*-2.若同时满足条件：

①Vx€R,/(x)<0或g(x)<0；

②3xe(-oo,-4),/(x)g(x)<0,

则m的取值范围是.

轴对称理论、中心对称理论

函数y=f*)的图象关于直线尤=。对称。

==

函数y=/(x)的图象关于点(/3对称=

。=

(1)-X)=/(I+X)问题：函数/(X)有什么性质？谁是偶函数？

(2)/(1-x)=-/(1+%)问题：函数/*)有什么性质？谁是奇函数？

题三：若定义在R上的函数兀0满足：对任意xgeR有/(xi+x2)=/3)t/(x2)+l,则下列说法一定正确

的是()

(A)f(x)为奇函数(B»(x)为偶函数(C)/(x)+l为奇函数(D»(x)+1为偶函数

思维拓展

题一：已知函数/(X)由下表给出：

X01234

-16-

高中数学同步提高课程一必修1课程讲义

/(X)4%«3%

其中%(%=0,1,2,3,4)等于在an,a},a2,a3,①中k所出现的次数.

则a4=；a()+at+a2+a3=.

第11讲函数与方程

主讲教师：王春辉北京数学高级教师

知识引入

零点的概念

题面：函数y=2*-2x的零点是.

知识概括：

函数的零点

⑴函数零点的定义：对于函数y=/(x)(xw。)，把使成立的实数。叫做函数

y=/(x)(xeD)的零点；

(2)几个等价关系：

①方程/(幻=0有实数根=函数y=/(x)的图象与有交点o函数y=/(x)

有：

②方程/(x)=g(x)的根o函数与的图像交点的横坐标=方程

的根o函数的零点；

(3)函数零点的判定(零点存在性定理)：如果函数y=/(x)在区间口力］上的图象是连续不断的一条

曲线，并且有,那么函数y=f(x)在区间内有零点，即存在ce(a,b),

使得,这个c也就是f(x)=0的根.

二分法

对于在区间口,切上连续不断且的函数y=/"),通过不断地把函数/(x)的零点所

在的区间,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分

法.

-17-

重难点易错点解析

题一：已知函数/(%)=%2+x+Q(Q<0)在区间(0,1)上有零点，

求实数。的取值范围.

金题精讲

题一：已知一次函数/(%)=2/nx+4,若在［-2,0］上存在%。使/(%)=0,

则实数〃z的取值范围是.

题二：若函数y=/(x)在区间［a,6］上的图象为一条连续不断的曲线，

则下列说法正确的是()

A.若/(a)/S)〉0，不存在实数ce(a,b)使得/(c)=0

B.若/伍)/(。)<0,存在且只存在一个实数ce(a,。)使得/(c)=0

C.若/(a)/(b)〉0,有可能存在实数cc(a,b)使得/(c)=0

D.若/(。)/3)<0,有可能不存在实数ce(凡匕)使得/(c)=0

题三：已知函数/(%)=|/一2%|-a.

(1)若函数/(%)没有零点，则实数a的取值范围是；

(2)若函数/(x)有两个零点，则实数a的取值范围是；

(3)若函数/(光)有三个零点，则实数a的值为；

(4)若函数/(%)有四个零点，则实数Q的取值范围是.

题四：二次函数〉=%2-2。、+。一1有一个零点大于1,一个零点小于1,则实数a的取值范围

是.

题五：若方程%2+(%—2)%+2攵一1=0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间,

求A的取值范围.

x>2,

题六：已知函数若关于x的方程/(x)=k有两个不同的实根，则

(x-1)3,x<2.

实数k的取值范围是.

题七：已知函数/(x)=3Q%2+2bx+c,a+b+c=Q,/(0)>0,/(I)>0,证明：a>0,

并利用二分法证明方程/(%)=0在［0,1］内有两个实根.

-18-

高中数学同步提高课程一必修1课程讲义

思维拓展

fx3/

题一：请证明：方程1+尤+——+——+•••+——=0在〃为偶数时没有实根,

2!3!n\

在n为奇数时有且仅有一个实根.

（注：〃！=1X2X3X…X”.导数公式=

第12讲函数应用

主讲教师：王春辉北京数学高级教师

知识引入

解函数应用问题的步骤（四步八字）

（1）审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型；

（2）建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数

学模型；

（3）求解：求解数学模型，得出数学结论；

（4）还原：将数学问题还原为实际问题的意义.

重难点易错点解析

题一：为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意

卡”与“便民卡”在某市范围内每月（30天）的通话时间x（分）与通话费y（元）的关系分别如图①、②所示.

京元)八以元)

40巳Nf^B(30,35)40-

数0(30,15)

30花

-4(0,29)

-I

-------1~~I-I>>

O2040M分)~O2040*分)

①②

（1）分别求出通话费%，当与通话时间X之间的函数关系式；

（2）请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜？

金题精讲

题-：某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次（由一个分裂成两个）,这种细菌由1个繁殖成4096

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个需经过()

A.12小时B.4小忖C.3小时D.2小时

题二:开始时桶1中有°升水,如果桶1向桶2注水，桶1中剩余的水符合指数衰减曲线丹=a•e-"'

(〃为常数，7为注水时间)，那么桶2中的水就是旷2=Q-如果由桶1向桶2中注水5

a

分钟时，两桶中的水相等，那么经过分钟桶1中的水只有一.

题三：某市居民自来水收费试行“阶梯水价”，标准如下：每户每月用水不超过5吨时，每吨为4.6

元，当用水超过5吨时，超过部分为每吨8元.某月甲、乙两户共交水费63.7元，已知甲、乙两户该

月用水量之比为5:3,则甲户该月应交水费为元.

题四：某医药研究所开发一种新药，据监测，如果成人按规定的剂量服用该药，服药后每毫升血液

中的含药量y("g)与服药后的时间«")之间近似满足如图所示的曲线.其中0A是线段，曲线段

AB是函数y=h/02l,a〉0)的图象.

(1)写出服药后每毫升血液中含药量y关于时间t的函数关系式；

(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于2(4g)时治疗有效，假若某病人第一次服药为早上6:00,

为保持疗效，第二次服药最迟是当天几点钟？

(3)若按(2)中的最迟时间服用第二次药，则第二次服药后再过3/2,该病人每毫升血液中含药量为多

少//g?(精确到o.l/g)

思维拓展

题一：定义“置换”为：｛1,2,……,〃｝到｛1,2,……，心上的映射—3左=1,2,…记

42,…<12•••n、

设f=g=:,定义/og为这样一个置换：

IU，…

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高中数学同步提高课程一必修1课程讲义

/og(A)=/[g(A)]，左=1,2,…，联我们把/og称为/与g的积，记作：fog

’12…,"、

、，，2，...Jn>