高中数学：常用逻辑用语

常用逻辑用语

一、知识框架

1.命题定义：用语言、符号或式子表达的、可以判断正误的陈述语句，叫做命题。其中，判断

为真的即为真命题，为假的即为假命题。

2.命题的判断以及命题真假的判断

(1)命题的判断：①判断该语句是否是陈述句；②能否判断真假。

(2)命题真假的判断：首先，分清条件与结论，其次，再判断命题真假。

3.一般地，用p和q分别表示原命题的条件和结论，用rP和rq表示P与q的否定，即如下:

命题表述形式

原命题若P则q

逆命题若q则P

否命题若rp则rq

逆否命题若「q则rp

(四种命题的关系)

4.充分条件和必要条件

(1)充分条件：

如果A成立，那么B成立，则条件A是B成立的充分条件。

(2)必要条件：

如果A成立，那么B成立，这时B是A的必然结果，则条件B是A成立的必要条件。

(3)充要条件：

如果A既是B成立的充分条件，又是B成立的必要条件，则A是B成立的充要条件，与此

同时，B也一定是A成立的重要条件，所以此时，A、B互为充要条件。

【注意】充分条件与必要条件是完全等价的，是同一逻辑关系“A=>B”的不同表达方法。

5.逻辑联结词

(1)不含逻辑联结词的命题是简单命题，由简单命题和逻辑联结词“或”“且”“非”构成的命

题是复合命题，它们有以下几种形式：p或q(pVq);p且q(pAq);非p"p)。

(2)逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解

在集合中学习的“并集”“交集”“补集”与逻辑联结词中的“或”“且”“非”关系十分密切。

6.量词与命题

(1)全称量词和存在量词表示

量词名称常见量词表示符号

全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等V

存在量词存在一个、至少有一个、某个、有些、某些等3

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(2)全称命题与特称命题

命题全称命题特称命题“加£MP(X())”

短语“存在一个”“至少有一个”

短语“对所有的”“对任意一个”等，

等，在逻辑中通常叫做存在量词，用

定义在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“V”

符号“m”表示。含有存在量词的命

表示。含有全称量词的命题叫做全称命题

题，叫做特称命题

存在性命题就是陈述某集合中

全称命题就是陈述某集合所有元素

实质有(存在)一些元素具有某种性质的

都具有某种性质的命题

命题

①所有的XeM,p(x)成立；①存在玉)£用,使〃(而)成立；

②对一切成立；②至少有一个与£”,使〃(%)成立；

表述方

③对每一个xep(x)成立；③对有些而£昧使〃(•％)成立；

法

④任选一个xeM,p(x)成立；④对某个不)£加,使成立；

⑤凡xeM,p(x)成立。⑤有一个殉£用,使〃(%)成立。

7.命题的否定：其与否命题不是同一概念，否命题与原命题无真假关系

(1)含一个量词的命题(全称命题与

命题命题的否定

特称命题)的否定

全称命题的否定为特称命题VxeM,p(x)3x0eM,-ip(xo)

特称命题的否定为全称命题

3x0eM,p(x0)VxGMl,—/?(x)

(2)复合命题的否定

①Jp"的否定是“p”；

②“p\/q”的否定是“rpArq”；

③“pAq”的否定是“rpV-q”

二、高考常见题型及解题方法

1.命题类题型考法与思路

(1)命题及命题真假的判断方法

①一般地，陈述句、反义疑问句是命题，而感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，含有变量

的语句叫开语句，不能判断真假的开语句也不是命题；

②判断命题是否为真，也可先写出命题，分清条件和结论，然后直接判断；也可从其与逆否

命题等价角度判断；

(2)判断四种命题之间的关系时，要注意分清命题的条件和结论，再比较p、q之间的关系；

(3)当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时，必须保留大前提；对于有并列条件组成的

命题时，要将其中一个(或n个)作为大前提。

(4)一些词语及其否定如下表所示：

至少有至多有至少有至多有

词语是都是都不是等于大于小于

一个一个n个n个

至少一一个都至少有至多有至少有

否定不是不都是不等于不大于不小于

个是没有两个n-1个n+1个

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2.命题四种形式判断的考法与解法

(1)命题判断法

①设”若P,则q”为原命题，那么:

原命题为真原命题为假

逆命题为真P为q的充要条件必要不充分条件

逆命题为假充分不必要条件既不充分也不必要条件

②命题判断(定义法)

a.分清条件与结论(p与q)；b.找推式：即判断p=〉q及q=>p的真假；c.下结论：根据上表。

(2)集合判断法

从集合的观点看，建立命题p,q相应的集合p：A={x|p(x)成立},q：B={x|q(x)成立}那么:

①若B则p是q的充分条件；若AGB,则p是q的充分不必要条件；

②若BqA则p是q的必要条件；若BCA,则p是q的必要不充分条件；

③若且8=即人=8,则p是q的充要条件。

(3)充分必要条件的判断应注意问题的设问方式

①“A是B的充分不必要条件”是指：A=>B且Br>A；

②“A的充分不必要条件是B”是指：B=>A且AW>B；

3.复合命题真假的判断

Pqp八q-p

真真

真假

假真

假假

4.全(特)称命题真假的判断及其应用

命题名称真假判断方法1判断方法2

真所有对象命题真否定为假

全称命题

假存在一个对象命题假否定为真

真存在一个对象命题真否定为假

特称命题

假所有对象命题假否定为真

5.全称命题与特称命题的否定形式、真假判断及求参数范围

三、针对训练

1.给出以下四个命题：①“若x+y=O,则x,y互为相反数''的逆命题；②“全等三角形的

面积相等”的否命题；③''若［4-1,则x2+x+q=0有实根”的逆否命题；④“不等边三角形的三

内角相等”的逆否命题。其中真命题是()

A.①②B.②③C.①

③D.③④

2.直线y=辰+1的倾斜角为钝角的一个必要非充分条件是()

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A.k<0B.k<-lC.k<

1D.k>-2

3.给出4个命题：①若X2_3X+2=0,贝(|X=1或X=2；②若-24X<3,则々+21乂-3)40；③若

x=y=O,则/+/=0；④若x,)，eN+,x+y是奇数，则x,y中一个是奇数，一个是偶数。那么()

A.①的逆命题为真B.②的否命题为真

C.③的逆否命题为假D.④的逆命

题为假

4,“AABC中，若/C=90°,则/A、/B都是锐角”的否命题为()

A.ZXABC中，若NCW90°,则NA、/B都不是锐角

B.Z\ABC中，若NC#90°,则NA、/B不都是锐角

C.AABC中，若NCH90°,则NA、NB都不一定是锐角

D.以上都不对

5.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是''甲降落在指定范围”，q是“乙

降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()

A."p)V(-q)B.pV"q)C."p)A"q)D.pVq

6.已知a>0,则x0满足关于x的方程ax二b的充要条件是()

12121212

A.G/?,—ax~-bx>-ax^~-bx^B.3xGR,-ax-<—ax^一人与

12121212

C.VxG/?,—ax-bx>-^ax^-bx()D.VxG/?,—«%-bx<-^ax()"-bx()

7.命题“对任意xWR,都有/NO”的否定为()

A.对任意xGR,都有一<0B.不存在xGR,都有rVO

C.存在x°CR,使得X°2N0D.存在X°GR,使得X02<0

8.设XGZ,集合A是奇数集，集合B是偶数集。若命题〃：VxeA,2xeB,则()

A.—p:VxeA,2x^BB.f:A,2x史3C.D.A,2xw8

j>x-l

9.设p:(x-l)2+(y-l)2W2,(x,ywR)；q>>>l-x,(x,yG7?),则p是q的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

10.命题p:|x+2]>2,命题—>1,则r7是r成立的()

A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

11.给定两个命题p,q,p：若x+y<4或xyW4,则xW2或yW2；q：有一个偶数是质数，则“pW

为命题(填“真”或"假”)。

12.已知命题p：方程f+2奴+1=0有两个大于-1的实数根，命题q：关于x的不等式

以2—以+1>。的解集为R。若“pvq”与“2”都是真命题，则实数a的取值范围：o

13.已知命题:Vxw一〃之o,命题：三元oe凡沏？+2。而+2—々=0,若命题是真

命题，求实数a的取值范围o

14.已知命题〃:“龙£/?3“£凡4"-2"+1+〃7=0"，且命题r?是假命题，则实数m的取值范围

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为o

15.若xe[-2,2],不等式—+ox+3Na恒成立，求a得取值范围。

四、高考真题训练

1.已知命题p:X/xcR,2"v3工；命题q:大£R,/=]_4-2,则下列命题中为真命题的是（）

A.p/\qB.-p/\qC.p八fD.—p/\—q

2.不等式组卜+'，21的解集记为D.有下面四个命题：

[x-2y<4

Pi:V（x,D,x+2y>-2；p2:O,x+2y22；

p3:V（x,y）eD,x+2y<3;以：Jx,y）eO,x+2y4-1.其中真命题的是（）

A,P2，P3B.PT，P2c.PI»4D.P"3

3.函数/（x）在x=Xo处导数存在，若p:,[Go）=。应"=冗0是/（x）的极值点，则（）

A.p是q的充分必要条件

B.p是q的充分条件，但不是q的必要条件

C.p是q的必要条件，但不是q的充分条件

D.p既不是q的充分条件