高中数学类比推理

1.设△H3C的三边长分别为4,G△且SC的面积为S,内切圆半径为乙

2S

Y---------

则a+b+c.类比这个结论可知：四面体P-WBC的四个面的面积分别为

内切球的半径为L四面体尸一25。的体积为匕则广=()

V2V

A.S1+S2H-S3H-S4B.Si+S2+S3-Sa

3V钟

C.Si+SZ+SJ+SJD.SI+SZ+SJ+SJ

2.如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为/(i=1,234),

此四边形内任一点P到第，条边的距离记为%(1=1,2,3,4),若

:=今=母=*=%,则九+24+34+4〃4=菅.类比以上性质，体积

为V的三棱锥的第i个面的面积记为S,3=1,2,3,4),此三棱锥内任一点。到

第，个面的距离记为乩(i=l,2,3,4),若9l=*=邑=P1=K,则

1234

%+2"2+3“3+4”4等于()

、2VVc3VcV

A.Bn.C.—D.

K2KK3K

3.由直线与圆相切时，圆心到切点连线与直线垂直，想到平面与球相切时，

球心与切点连线与平面垂直，用的是()

A.归纳推理B.演绎推理C.类比推理D.传递性推理

4.我们知道，在边长为a的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值且a,

2

类比上述结论，在边长为a的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值

()

AV6R#nV3

3434

5.平面几何中的三角形在立体几何中类比的对象是()

A.三棱柱B.三棱台C.三棱锥D.正方体

巧

6.平面凡何中，有边长为。的正三角形内任一点到三边距离之和为定值2—a，

2

类比上述命题，棱长为a的正四面体内任一点到四个面的距离之和为

()

,V4V5八"V6

A.aB.ciC.aD.---ci

3434

7.天文学家经研究认为：“地球和火星在太阳系中各方面比较接近，而地球有

生命，进而认为火星上也有生命存在"，这是什么推理()

A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.反证法

8.由“在平面内三角形的内切圆的圆心到三边的距离相等”联想到“在空间

中内切于三棱锥的球的球心到三棱锥四个面的距离相等”这一推理过程是

()

A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.联想推理

9.下列推理是归纳推理的是()

A.A,B为定点，动点P满足|PA|+1PB1=2a>|AB],则P点的轨迹为椭圆

B.由卬=1,4=3〃-1,求出5,S2,S3猜想出数列的前n项和S”的表达式

C.由圆/=r2的面积乃r2,猜想出椭圆二■+勺=1的面积5=乃出?

a~b2

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇

10.下列正确的是()

A.类比推理是由特殊到一般的推理

B.演绎推理是由特殊到一般的推理

C.归纳推理是由个别到一般的推理

D.合情推理可以作为证明的步骤

11.①由''若a,b,cCR,则(ab)c=a(bc)"类比"若a、b>c为三个向量,

则(a,b)c=a(b•c)”；

②在数列｛aj中，a,—0,a„+i=2a„+2,猜想a“=2"-2；

③在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意

三个面的面积之和大于第四个面的面积”；

上述三个推理中，正确的个数为()

A.0B.1C.2D.3

12.下面几种推理中是懑承推掌的序号为()

A.半径为r圆的面积S="/,则单位圆的面积5=乃；

B.由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电；

C.由平面三角形的性质，推测空间四面体性质；

D.由平面直角坐标系中圆的方程为(无一a)2+(y-与2=产，推测空间直角坐

标系中球的方程为(x—a)2+(y-0)2+(z-c)2=r2.

试卷第2页，总12页

13.由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想：正四面体的内切球

切于四个面（）

A.各正三角形内一点B.各正三角形的某高线上的点

C.各正三角形的中心D.各正三角形外的某点

14.在平面几何中有如下结论：若正三角形A6C的内切圆面积为外接圆

A=1

面积为S2,则§24,推广到空间几何中可以得到类似结论：若正四面体

A-88的内切球体积为匕，外接球体积为匕，则匕（）

J_£J_J_

A.4B.8C.16D.27

15.已知结论：''在正A43C中，中点为。，若A48C内一点G到各边

的距离都相等，则把=2”.若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都

GD

相等的四面体A8CD中，若ABC。的中心为M,四面体内部一点。到四面

An

体各面的距离都相等，则一上=（▲）

0M

A.1B.2C.3D.4

16.现有两个推理：①在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间

中“四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积”；

②由“若数列｛。“｝为等差数列，则有4+＞；・・+/=%+%成

立''类比”若数列｛2｝为等比数列，则有04A••…瓦。7bM2••…%成立”,

则得出的两个结论

A.只有①正确B.只有②正确

C.都正确D.都不正确

17.在平面上，若两个正三角形的边长比为1:2.则它们的面积之比为1:4.类

似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1:2,则它们的体积比为（）

A.1:2B.1:4C.1:6D.1:8

18.下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较合适的是（）

A.三角形B.梯形C.平行四边形D.矩形

19.由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R

的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是（）

A.归纳推理B.类比推理C.演绎推理D.以上都不

是

20.学习合情推理后，甲、乙两位同学各举了一个例子，

甲：由“若三角形周长为/,面积为S,则其内切圆半径二=二二”类比可得“若

I

3V

三棱锥表面积为S,体积为V,则其内切球半径尸=二”；

S

乙：由“若直角三角形两直角边长分别为a、b,则其外接圆半径r=

”类比可得“若三棱锥三条侧棱两两垂直，侧棱长分别为a、b、c,

2

则其外接球半径r='*+"+匚”.这两位同学类比得出的结论()

3

A.两人都对B.甲错、乙对

C.甲对、乙错D.两人都错

21.求“方程3、+4'=5、的解”有如下解题思路：设/*)=(1)*+(1)*，则

/(X)在R上单调递减，且/(2)=1,所以原方程有唯一解x=2.类比上述

解题思路，方程的解为.

X'X

22.已知正三角形内切圆的半径是高的1,把这个结论推广到空间正四面体，

3

类似的结论是——.

23.在等差数列｛«„｝中，若40=°，则有

(〃<19,且〃eN*)成立.类比上述性质，在等比数列也,｝中，若d=1,

则存在的类似等式为.

24.半径为r的圆的面积s(r)=万/，周长。(广)=2»广，若将r看作(0,+

8)上的变量，则(万产)，=2万「①，①式用语言可以叙述为：圆的面积函数的

导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球，若将R看作(0,+?)上的变量，

请写出类比①的等式：.上式用语言可以叙述为

25.已知圆的方程是V+y2=产，则经过圆上一点〃(为，打)的切线方程为

试卷第4页，总12页

=,类比上述性质，可以得到椭圆》+方=1类似的性质为

26.在RtAABC中，若/C=90°,AC=b,BC=a,则AABC的外接圆半径r

将此结论类比到空间有___________

27.设等差数列｛an｝的前n项和为Sn,则S4,S8-S4,SI2-S8,Sl6-5|2成等差

数列.类比以上结论有：设等比数列｛2｝的前n项积为7；,则

刀,,，不成等比数列.

28.在RSABC中,若NC=90。，AC=b,BC=a,斜边AB上的高为h,则有结论

2.2

h2=ab,运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为

2,,2

a+b

a,b,c,且三棱锥的直角顶点到底面的高为h,则有结论：.

29.已知边长分别为a、b、c的三角形ABC面积为S,内切圆0半径为r,连

接OA、OB、0C,则三角形OAB、OBC、OAC的面积分别为、-ar.-br,

222

iiipq

由S=±cr+上w+上初•得尸=一^—,类比得四面体的体积为V,四个面

222a+b+c

的面积分别为S|5S2,S3,S4,则内切球的半径R=

30.已知点A（x,，。为）,8（々,优>）是函数y=优（a>1）的图象上任意不同两点，

依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论

*士3

-->a2成立.运用类比思想方法可知，若点

2

A（X],sinxJ,B（x2，sin*2）是函数y=sinx（xe（O,乃））的图象上任意不同两

点，则类似地有成立.

31.如图（1）有面积关系：垦也=如,则图（2）有体积关系：上皿

PAPB匕

32.在平面上，我们用一直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角

形，按如图所标边长，由勾股定理有=/+匕2.设想正方形换成正方体，

把截线换成如图截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥

O-LMN,如果用S”S2,§3表示三个侧面面积，$4表示截面面积，那么类

比得到的结论是.

N

33.已知正三角形内切圆的半径r与它的高〃的关系是：r=-h,把这个结论

3

推广到空间正四面体，则正四面体内切球的半径r与正四面体高的关系

是-

34.在平面上，到直线的距离等于定长的点的轨迹是两条平行直线.类比在空

间中：

(1)到定直线的距离等于定长的点的轨迹是;

(2)到已知平面相等的点的轨迹是.

35.现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是。的

正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积

2

恒为幺；类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另

4

一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为—

试卷第6页，总12页

36.若等差数列｛4,｝的首项为6,公差为d,前〃项的和为S.,则数列｛出｝为

n

等差数列，且通项为2•=q+（〃-l＞g.类似地，请完成下列命题：若各项

n2

均为正数的等比数列也,｝的首项为仇，公比为“，前〃项的积为7；,

则.

37.对于问题：“已知关于x的不等式ax?+法+。＞0的解集为（-1,2）,

解关于尤的不等式ax?—"+。＞0"，给出如下一种解法：

解：由+的解集为（T,2）,得a（-x）2+0（-x）+c＞0的解

集为（-2,1）,

即关于x的不等式数2—"+c＞。的解集为（-2,1）

kx+b1

参考上述解法，若关于力的不等式一^+±=±＜0的解集为（-1,--）U

x+ax+c3

（-,1）,则关于X的不等式一竺+竺担＜0的解集为—

2ax+1cx+1

38.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1:4,

类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2,则它们的体积比为

39.已知抛物线有性质：过抛物线的焦点作一直线与抛物线交于A、8两点，

则当与抛物线的对称轴垂直时，A3的长度最短；试将上述命题类比到其

他曲线，写出相应的一个真命题为.

40.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别

叫为直角三棱锥的“直角面和斜面”；过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面

均称为斜面的“中面”.请仿照直角三角形以下性质：（1）斜边的中线长等于

斜边边长的一半；（2）两条直角边边长的平方和等于斜边边长的平方；（3）斜

边与两条直角边所成角的余弦平方和等于1.写出直角三棱锥相应性质（至少

一条）：.

42.通过圆与球的类比，由“半径为R的圆的内接矩形中，以正方形的面积为

最大，最大值为2a.”猜想关于球的相应命题为“半径为R的球内接六面体

中以的体积为最大，最大值为"

43.在平面内，三角形的面积为S,周长为C,则它的内切圆的半径r=二L在

C

空间中，三棱锥的体积为V,表面积为S,利用类比推理的方法，可得三棱锥

的内切球（球面与三棱锥的各个面均相切）的半径R=。

（-）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题,两题都选的只计算第14

题的得分.）

44.已知结论：“正三角形中心到顶点的距离是到对边中点距离的2倍”。若把

该结论推广到空间，则有结论：_________________________________________

45.在等差数列｛%｝中,若为0=°，则有等式

a｝+a2-\---=6+g+（〃＜19,〃eN"）成立，类比上述性

质，在等比数列也,｝中，若d=1,则有等

式.

11、4

--1--2--

46.已知命题“设是正实数，如果4+4=机，则有qa2根用

类比思想推广，”设是正实数，如果4+4+%=，〃，

则。

47.在圆中有结论：如图所示，“48是圆。的直径，直线劭是圆。过4

8的切线，尸是圆。上任意一点，切是过F的切线，则有"=用•加”.类

比到椭圆：“48是椭圆的长轴，直线4C,即是椭圆过4,8的切线，。是椭圆

上任意一点，口是过〃的切线，则有一▲一”

48.在平面几何中，已知“正三角形内一点到三边距离之和是一个定值”，类

比到空间写出你认为合适的结论：..

22

49.若点6（%,%）在椭圆5+1=1（。＞。＞0）外，过点《作该椭圆的两

ab~

条切线的切点分别为,则切点弦［外所在直线的方程为

22

辫+音=1.那么对于双曲线「―4=］（。＞0/＞（））,类似地，可以得

abab

试卷第8页，总12页

到一个正确的命题为“若点不在双曲线「-5=1(«>Q,b>0)

a'b

上，过点外作该双曲线的两条切线的切点分别为片,吕，则切点弦耳鸟所在直

线的方程为

50.对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等"，在立体几

何中,类比上述命题，可以得到命题:“”这个类比

命题的真假性是

51.将侧棱相互垂直的三棱锥称为“直角三棱锥”，三棱锥的侧面和底面分别

叫直角三棱锥的“直角面和斜面”：过三棱锥顶点及斜面任两边中点的截面均

称为斜面的“中面”.已知直角三角形具有性质：“斜边的中线长等于斜边边

长的一半”.仿照此性质写出直角三棱锥具有的性质：.

52.试通过圆和球的类比，由“半径为R的圆内接矩形中，以正方形的面积最

大，最大值为2肥”，猜测关于球的相应命题

由C

53.下列使用类比推理所得结论正确的序号是

(1)直线。，"c.若allb,bllc,则a〃c.类推出：向量瓦c,若。〃B,M/c

则allc

(2)同一平面内，三条不同的直线a,b,c,若则a〃4类推出：

空间中，三条不同的直线a,。,c,若4_1。,。_1_0,则

(3)任意b>0则a>b.类比出：任意。力€。,4一6>0则。>6

(4)、以点(0,0)为圆心，r为半径的圆的方程是一+丁=/类推出：以点

(0,0,0)为球心，r为半径的球的方程是x2+y2+z2=r2

54.等差数列有如下性质，若数列｛an｝是等差数列，则当

刈=幺+卫+…+2时，数列仍“｝也是等差数列；类比上述性质，相应地

n

｛c〃｝是正项等比数列，当时，数列｛"〃｝也是等比数列。

55.在Rt^ABC中，CAXCB,斜边AB上的高为力,则与=—二+—］：类

h；CA2CB2

比此性质，如图，在四面体P—ABC中，若PA,PB,PC两两垂直，底面ABC上

的高为h,则h与PA,PB,PC有关系式：.

56.若｛2｝是等比数列，祖,〃，〃是互不相等的正整数，则有正确的结论:

(b(b(b

上V.一LY•」Y=1.类比上述性质，相应地，若｛%｝是等差数列，

b

yP)

m,n,p是互不相等的正整数，则有正确的结

论：..

57.我们知道：周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大；周长一定的所有

矩形与圆中，圆的面积最大.将这些结论类比到空间，可以得到的结论

是.

58.在平面直角坐标系中，以点(x0,%)为圆心，r为半径的圆的方程为

222

(x-x0)+(y-y0)=r,类比圆的方程，请写出在空间直角坐标系中以点

P(x0,%,z°)为球心，半径为r的球的方程为.

59.在平面几何里，已知直角三角形ABC中，角C为90,AC=b,BC=a，运用

类比方法探求空间中三棱锥的有关结论：

有三角形的勾股定理，给出空间中三棱锥的有关结论：

若三角形ABC的外接圆的半径为/'=上——,给出空间中三棱锥的有关结

2

论：________

60.己知P(x。,yo)是抛物线y2=2px(p>0)上的一点,过P点的切线方程的斜率可

通过如下方式求得：

在y-2px两边同时求导，得：

2yy'=2p,则y'=2，所以过P的切线的斜率:k=B.

yYo

试卷第10页，总12页

2

y

试用上述方法求出双曲线X2-E=I在P（&,m）处的切线方程为.

APAr

61.在平面几何中，的内角平分线应分4?所成线段的比为生上，

EBBC

把这个结论类比到空间：在三棱锥｛一版中（如图所示），平面〃笫平分二面

角/一切一夕且与用相交于E,则得到的类比的结论是.

62.类比平面几何中“三角形任两边之和大于第三边”，得空间相应的结

论为.

63.已知。是aABC内任意一点，连结AO、BO、CO并延长交对边于A',B',C',

则史+”+色2=这是一道平面几何题其证明常采用，，面积法”.

AA'DD'「

0A'+OB'+_S^OBC+SAOCA+SAOAB_SAABC=1，

A4'BB'CCS^BCSZMBC^&ABC

请运用类比思想，对于空间中的四面体V—BCD,存在什么类似的结论？并用

体积法证明.

64.把空间平行六面体与平面上的平行四边形类比，试由“平行四边形对边相

等”得出平行六面体的相关性质.

65.如图（1）,在三角形ABC中，ABLAC,若AOJ.BC,则AB2=8Z>BC；

若类比该命题，如图（2）,三棱锥4-8C。中，AO_L面48C,若A点在三角

形8co所在平面内的射影为M,则有什么结论？命题是否是真命题.

图（1）图（2）

66.（本小题12分）类比平面直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性

质的猜想，并证明。

试卷第12页，总12页

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参考答案

1.C

【解析】

试题分析：设内切球的球心为0,所以可将四面体P-A8C分为四个小的三棱锥，即

0-J5co-PJB。-PACZO-PBC,而四个小三棱锥的底面积分别是四面体P-WBC

的四个面的面积，高是内切球的半径，所以

,,11111,、3F

V=7s/+彳s?r+彳s3r+-s4r=-(电+^+^+“)匕二尸=--------------

33333S1+$2+与+“

故选c»

考点：类比推理。

【方法点睛】类比推理是一种重要的推理方法，可以根据已知题目方法推理出所求题目的方

法，甚至直接从形式上推理出答案。本题可以通过三角形面积与内切圆半径的关系的推导方

法，推理出四面体的体积与其内切球的半径的关系。三角形的内切圆的圆心与三个顶点相连

可将三角形分为三个小的三角形，每个小三角形的底边是原三角形的边，高为其内切圆的半

径，运用类比推理，可将四面体的内切球的球心将四面体分为四个小的四面体，每个小四面

体的底面是原四面体的四个面，高为其内切球的半径，从而得解。

2.C

【解析】

3V

试题分析：类比，得”1+2〃2+3”3+4"4=二一；证明如下：连接。与三棱锥的四个顶

K

点，则将原三棱锥分成四个小三棱锥，其体积和为V,即

K+K+匕+匕=v,!(号“|+$”|+$“1+5Y)=\/,又由,=3=3=}=犬，

K

得S\=K,S[=2K,S,=3K,S4=4K,则—(//,+W2+//3+W4)=V,即

3V

2H2+3H3+4H4=乙，故选C.

K

考点：类比推理.

【名师点睛】类比推理的应用一般分类比定义、类比性质和类比方法.

类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；

类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比性问题，求解时要

认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；

类比方法:有一些处理问题的方法具有类比性，可将这种方法类比应用到其他问题的求解中，

注意知识的迁移.

3.C

【解析】

试题分析：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相

同的推理。本题中描述的都是关于相切问题下的性质，因此属于类比推理

考点：类比推理

4.A

【解析】

试题分析：此四棱锥的高为立a]=凡,

丫132J3

答案第1页，总15页

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所以此棱锥的体积为V=/sin60]

3（2）312

棱锥内任意一点到四个面的距离之和为〃，可将此棱锥分成4个同底的小棱锥根据体积相等

3

可得sin601/7=—a,

3（2）12

解得〃故A正确.

3

考点：1棱锥的体积；2类比推理.

5.C

【解析】

试题分析：一般平面几何中的点对应立体几何中的线，线对应平面，所以对应的是三棱锥.

考点：类比推理

6.C

【解析】

试题分析：设任一点。到四个平面ABCABRACRBCD的距离分别为4，。2,13，4，

则正四面体的体积

^A-BCD~%-ABC+V()_ABD+^O-ACD+^O-liCD~§(^MBC'山+MBDX4+&ACDX4+S.CDX%)

正四面体的体积等于V=1XSAX/2=|XSAX(J,+d2+di+dA),所以

dA+d2+d3+d4^h,这样转化为求正四面体的高，求法，如图:

由点A向平面BCD引垂线，垂足为P,连BP,这样在直角三角形ABP内，根据勾股定理:

AP^h^^AB2-BP2=Ja2-\—a\=—a,故选C.

VI3J3

答案第2页，总15页

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考点：1.类比推理；2.等体积转化求高.

7.B

【解析】

试题分析：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相

同的推理.

考点：类比推理

8.B

【解析】

试题分析：圆的圆心=三棱锥的球的球心，相同类型，用类比方法.

考点：类比推理.

9.B

【解析】

试题分析：A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求.B选项根据前3个5，S2,S3

的值，猜想出S.的表达式，属于归纳推理，符合要求.C选项由圆Y+yJr?的面积Sumi,

猜想出椭圆一+==1的面积5=万。匕，用的是类比推理，不符合要求.D选项用的是演

a"b~

绎推理，不符合要求.故选B.

考点：归纳推理.

10.C

【解析】

试题分析：对于A,类比推理是从个别到个别的推理，故A错；对于B：演绎推理是由一般到

特殊的推理，故B错；对于C：归纳推理是由个别到一般的推理，是正确的；对于D：合情

推理不可以作为证明的步骤，故D错；因此选C.

考点：推理方法.

11.C

【解析】

试题分析：①显然错误，向量没有结合律；

②根据an+i=2an+2,可构造出a„+[+m=2（%+加），即加=2,可得与比士2=2,该数列

a„+2

是公比为2,首项是4+2=2的等比数列，所以其通项公式为a0+2=2",可得an=2"-2,

正确；

③四面体就是三棱锥,可看作是底面三角形中任取一点,将其向上提而形成的几何体,显然三

个侧面的面积之和大于底面面积.正确.

考点：向量运算定律;利用递推公式构造等比数列求通项公式;空间几何的猜想.类比推理.

12.A

【解析】

试题分析：根据演绎推理的定义，应该是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，

只有A符合从特殊到一般这一特征.

考点：演绎推理的定义.

13.C

答案第3页，总15页

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【解析】

试题分析：四面体的面可以与三角形的边类比，因此三边的中点也就类比成各三角形的中心，

故选C.

考点：类比推理.

14.D

【解析】平面上，若两个正三角形的内切圆与外接圆面积的比为1：4,则它们的半径比为1：

2,类似地，由平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的外

接球的半径比为1：3,则它以体积比为1：27,故选D

15.C

【解析】解：设正四面体ABCD边长为1,易求得AM=—,又0到四面体各面的距离都相

3

等，

所以0为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r,则有r=3V/S表，可求得r即0M=*5,

12

所以AO=AM-OM=­,所以AO0M=3故答案为：3

4

16.C

【解析】因为在平面内“三角形的两边之和大于第三边”类比在空间中“四面体的任意三个

面的面积之和大于第四个面的面积”成立。同理根据等差中项与等比中项性质可知也成立，

选C

17.D

【解析】

试题分析：

由平面图形面积类比立体图形的体积，结合三角形的面积比的方法类比求四面体的体积比即

可解：平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：4,类似地，由

平面图形面积类比立体图形的体积，得出：在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2,

则它们的底面积之比为1：4,对应高之比为1：2,所以体积比为1：8故选D

考点：类比推理

点评：本试题主要是考查了类比推理，类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的

一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去。

18.C

【解析】

试题分析：根据题意，由于平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象，那么最适合的

为平行四边形的运用，故可知答案为C.

考点：类比推理

点评：主要是考查了类比推理的运用，属于基础题。

19.B

【解析】

试题分析：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类

事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.所以，由“半径为R

的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的

答案第4页，总15页

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体积最大”是类比推理。选B。

考点：本题主要考查类比推理。

点评：简单题，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用

一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）.

20.C

【解析】利用等面积与等体积法可推得甲同学类比的结论是正确的；把三条侧棱两两垂直的

三棱锥补成一个长方体，则此三棱锥的外接球半径等于长方体的外接球半径，可求得其半径

r=-..........-,因此，乙同学类比的结论是错误的.

2

21.-1或1

【解析】

试题分析：设/（6=丁+*_（++：）函数的增区间为（-00,0）（0,+oo）且

/（-1）=0,/（1）=0,所以方程x3+x=-^+-的解为-1或1

XX

考点：方程与函数的互相转化

22.正四面体内切球的半径是高的工

4

【解析】

试题分析：类比推理是根据两个或两类对象有部分属性相同，从而推出它们的其他属性也相

同的推理。本题中正三角形内切圆类比到空间为正四面体内切球，因此类似的结论为正四面

体内切球的半径是高的1

4

考点：类比推理

23.bxb2■•-bn=bxb2•--bxl_n（n<17,且〃wN*）

【解析】

试题分析：等差是加，等比就是乘，由已知，当19-〃〉〃时，〃<10右边-左边等于

«„+1+an+2+....+«|9_„=（19-2n）aw=0,所以原式成立，当,210时，左边-右边等于

%0-"+%「"+•••+%=（2〃-19Mo=。，所以原式成立当为等比数列时，猜想

4）2…a=4匕2…仇7-"（〃<17，且〃GN*），当17—时，〃<9时，右边/左边

=bn+ibn+2…仇7_〃=1等式成立，当17—〃<〃时，即〃29时，右边/左边

=仇8fbi9f…-b“=b『"=11等式成立。

考点：1.类比推理；2.等差数列的性质；3.等比数列的性质.

24.（1万R3），=4万R2,球的体积函数的导数等于球的表面积函数

【解析】

答案第5页，总15页

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试题分析：根据导数的计算公式知：（：4乃Ra》=4〃R,2,用语言叙述为球的体积函数的导数

等于球的表面积函数.

考点：类比推理

22

25.经过椭圆「+2=1上一点P（%,先）的切线方程为岑+*=1

a-b-ab-

【解析】圆的性质中，经过圆上一点〃（面,％）的切线方程就是将圆的方程中的一个％与y

22

分别用M（玉），为）的横坐标与纵坐标替换.故可得椭圆3+斗=1类似的性质为：过椭圆

22

5+与=1上一点P5,%）的切线方程为岑+誓=1.

a'b'a"b'

26.在三棱锥A—BCD中，若AB、AC、AD两两互相垂直，且AB=a,AC=b,AD=c,则此三

序+:2+c2

棱锥的外接球半径R=AF—~~-

【解析】

试题分析：根据类比推理的特点，平面中的直角三角形应类比空间中三十个侧面两垂直的三

棱锥；平面中三角形的外接圆类比空间中三棱锥的外接球，于是答案应填：在三棱锥A—BCD

中，若AB、AC、AD两两互相垂直，且AB=a,AC=b,AD=c,则此三棱锥的外接球半径R

la2+b2+c2

一q2

考点：合情推理.

o7（

【解析】

试题分析：当数列是等差数列时54,58-54，&2-58，耳6-52成立，所以由类比推理可得：

当数列是等差数列时应为“Q.

考点：类比推理.

a2b2+b2c2+c2a

【解析】

试题分析：

如图，设PA、PB、PC为三棱锥的三条两两互相垂直的侧棱,

答案第6页，总15页

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三棱锥P-ABC的高为PD=h,

连接AD交BC于E,

：PA、PB、PC两两互相垂直，

平面PBC,PEu平面PBC,

APAlPE,PA1BC,

AAE1BC,PE±BC

八「

b2c2PA2PE?〃2+C-

PE2h2=PD2

b2+c2PA2+PE2

b'+c~

a2b2c2

a2b-+b2c2+c2a-

考点：类比推理.

S]+S,+S3+S4

【解析】

试题分析：设球心为0,分别连结四个顶点与球心0,将四面体分割成底面面积分别为

S1,S2，S3，S4高为R的三棱锥，其体积分别为:^S2R,h3R,1S47?,由

11113V

V=—SiR+—S,R+—S、R+7R得,R=-----------------------

1234

3333S,+S,+S3+S4

考点：类比推理

30.2也殳<sin土土强

22

【解析】

试题分析：由于函数y=a*(a>l)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位

答案第7页，总15页

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ax'+淖忙”

于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论^_—