高中数学《成对数据的统计相关性》教案与分层同步练习

《8.1成对数据的统计相关性》教案

（第一课时变量的相关关系）

课标要求素养要求

1.结合实例，体会两个变量间的相关关

通过对两个变量相关关系的学

系.

习，提升直观想象及数据分析素

2.掌握相关关系的判断，能根据散点图

养.

对线性相关关系进行判断.

【课前预习】

新知探究

A情境引入

俗话说“庄稼一枝花，全靠肥当家”，这说明施肥的多少对粮食的产量影响很

大，那么粮食的产量还受其他因素的影响吗？施肥量和粮食的产量是确定的函

数关系吗？两个变量间的关系除了可能是函数关系外，还可能是其他关系吗？

为了搞清这些问题，我们需要学习本节内容.

问题上述情境中施肥量与粮食产量之间到底具有怎样的关系？

提示上述两变量间确实存在关系，但又不具备确定性，即当自变量取值一定

时，因变量取值带有随机性的两个变量的关系，就称为变量间的相关关系.

A知识梳理

1.相关关系

两个变量间的关系有函数关系，相关关系和不相关关系

两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程

度，这种关系称为相关关系.

2.正相关、负相关

从整体上看，当一个变量的值增加时，另一个变量的相应值也呈现增加的趋

势，我们就称这两个变量正相关；如果一个变量值增加时，另一个变量的相应

值呈现减少的趋势，则称这个两个变量负相关.

3.线性相关

一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条线附

近，我们就称这两个变量线性相关.

一般地，如果两个变量具有相关性，但不是线性相关，那么我们就称这两个变

量非线性相关或曲线相关.

拓展深化

［微判断］

1.统计活动中，分析数据时通常用统计图表计算数据的数据特征.（J）

2.在一定范围内，农作物的产量与施肥量之间的关系是相关关系.（J）

3.对于给定的两个变量的统计数据，都可以作出散点图.（J）

［微训练］

1.（多选题）下列说法正确的是（）

A.任何两个变量都具有相关关系

B.圆的周长与该圆的半径具有相关关系

C.某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系

D.根据散点图可判断两变量是否具有线性相关关系

解析A显然不对，B是函数关系，CD正确.

答案CD

2.对变量x,y有观测数据区，y）（i=l,2,…，10）,得散点图图1；对变

量u,v有观测数据（a,v,）（i=l,2,…，10）,得散点图图2.由这两个散点

B.变量x与y正相关，u与v负相关

C.变量x与y负相关，u与v正相关

D.变量x与y负相关，u与v负相关

解析由这两个散点图可以判断，变量X与y负相关，u与v正相关.

答案C

［微思考］

相关关系与函数关系的区别和联系是什么？

提示相同点：两者均是指两个变量的关系；

不同点：(1)函数关系是一种确定的关系.如匀速直线运动中时间t与路程s的

关系；相关关系是一种非确定的关系.如一块农田的水稻产量与施肥量之间的

关系.事实上，函数关系是两个非随机变量的关系，而相关关系是非随机变量

与随机变量的关系.

(2)函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关

系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关

系，然而学会新词并不能使脚变大，而是涉及第三个因素一一年龄，当儿童长

大一些，他们的阅读能力会提高，而且他们的脚也变大.

【课堂互动】

题型一相关关系的理解

【例1］判断以下两个变量之间是否具有相关关系？

(1)正方形的面积与其周长之间的关系；

(2)父母的身高与子女的身高之间的关系；

⑶学生的学号与身高；

(4)汽车匀速行驶时的路程与时间的关系.

解(1)设正方形的面积为s,周长为c,则s=t),即正方形的面积由其周长

唯一确定，因此二者是函数关系，不是相关关系；

(2)子女身高除了与父母的身高有一定关系外，还与其他因素有关，即子女的身

高并不是由其父母的身高唯一确定的，因此二者之间具有相关关系；

(3)学生的学号与身高之间没有任何关系，不具有相关关系；

⑷若汽车匀速行驶时的速度为v,行驶的路程为s,时间为t,则有s=vt,因

此当速度一定时，路程由时间唯一确定，二者之间具有函数关系，而不是相关

关系.

规律方法函数关系是一种确定的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量

的关系.函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是

伴随关系.

【训练1】(多选题)下列说法正确的是()

A.闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系

B.同一物体的加速度与作用力是函数关系

C.产品的成本与产量之间的关系是函数关系

D.广告费用与销售量之间的关系是相关关系

解析闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关

系，所以A正确；物体的加速度与作用力的关系是函数关系，B正确；产品的

成本与产量之间是相关关系，C错误；广告费用与销售量之间是相关关系，D正

确.

答案ABD

题型二散点图与相关性

【例2]某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系：

树龄2345678

体积30344060556270

⑴请作出这些数据的散点图；

(2)你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？

解(1)以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图

所示：

斗体积

80

70•

60••

50,

40•

3()•*

20

012345(>789r树龄

(2)由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直

线附近，所以木材的体积与树龄成线性相关关系.

【迁移1】（变条件，变问法）若近似成线性相关关系，请画出一条直线来近

似地表示这种线性相关关系.

解近似拟合直线如图所示：

【迁移2】（变条件，变问法）若该种木材每单位体积的价值是80元，作出木

材的价值与树龄之间关系的散点图.

解木材的价值与树龄之间的关系如表所示：

树龄2345678

体积30344060556270

价值2400272032004800440049605600

以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的价值，可得相应的散点图如图所示:

价值

4(8

4(

)2(

3(

4

2(

6

1(

8

(

树龄

360

规律方法判断两个变量x和y间是否具有线性相关关系，常用的简便方法就

是绘制散点图，如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两

个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.

【训练2】5名学生的数学和物理成绩（单位：分）如下：

ABCDE

成绩

数学成绩8075706560

物理成绩7066686462

判断它们是否具有线性相关关系.

解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，得相应的散点图如图所示.

w分

7()..•

60•*

50-

()^^50~60~70~80~9‘0”芬

由散点图可知，各点分布在一条直线附近，故两者之间具有线性相关关系.

题型三散点图及其应用

【例3]下面是水稻产量与施化肥量的一组观测数据：

施化肥量15202530354045

水稻产量320330360410460470480

⑴将上述数据制成散点图；

(2)你能从散点图中发现施化肥量与水稻产量近似成什么关系吗？水稻产量会一

直随施化肥量的增加而增加吗？

解(1)散点图如下：

水稻产鼠

500..•,

400■,,

300■**

200-

1,，0'施化肥量

1151()152025303540455()

(2)从图中可以发现，当施化肥量由小到大变化时，水稻产量也由小变大，图中

的数据点大致分布在一条直线的附近，因此施化肥量和水稻产量近似成线性相

关关系，但水稻产量只是在一定范围内随着化肥施用量的增加而增加，不会一

直随施化肥量的增加而增加.

规律方法1.画散点图时应注意合理选择单位长度，避免图形过大或偏小，或

者是点的坐标在坐标系中画不准，使图形失真，导致得出错误结论.

2.在这里利用散点图直观感知事物的形态与变化，理解事物间的关联及变化规

律，是数学核心素养直观想象的具体体现.

【训练3】(多选题)某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点

的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是()

海拔高度（单位：千米）

A.沸点与海拔高度呈正相关

B.沸点与气压呈正相关

C.沸点与海拔高度呈负相关

D.沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强

解析由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而

升高，所以沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关；由于两个散点图

中的点都成线性分布，所以沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都很强，故

B,C,D正确，A错误.

答案BCD

【素养达成】

一、素养落地

1.通过本节课的学习，进一步提升直观想象及数据分析素养.

2.判断变量之间有无相关关系，一种简便可行的方法就是绘制散点图.根据散

点图，可以很容易看出两个变量是否具有相关关系，是不是线性相关.

二、素养训练

1.下列每组的两个变量之间具有相关关系的是（）

A.乌鸦叫，灾难到

B.圆心角的大小与半径

C.物体的质量一定，其密度与体积之间的关系

D.儿童的年龄与身高

解析A,B中的两个变量之间没有关系，C中的两个变量之间是函数关系，D

中的两个变量之间是相关关系.

答案D

2.下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（）

A.瑞雪兆丰年B.名师出高徒

C.吸烟有害健康D.喜鹊叫喜

解析瑞雪对农作物有好处，可能使得农作物丰收，所以瑞雪兆丰年具有相关

关系，名师出高徒也具有相关关系，吸烟有害健康也具有相关关系，而喜鹊叫

喜，没有必然的关系，故选D.

答案D

3.观察下列散点图，具有相关关系的是（）

OXOXOXOX

①②③④

A.①②B.①③

C.②④D.②③

解析①是函数关系，④不具有相关关系，②③具有相关关系.

答案D

4.（多选题）对于给定的两个变量的统计数据，下列说法不正确的是（）

A.都可以分析出两个变量之间的关系

B.都可以用一条直线近似地表示两者的关系

C.都可以作出散点图

D.都可以用确定的表达式表示两者的关系

解析给出一组样本数据，不一定能分析出两个变量的关系，更不一定符合线

性相关，不一定用一条直线近似地表示，故A、B不正确；但总可以作出相应的

散点图，C正确；两个变量的统计数据不一定有函数关系，故D不正确.

答案ABD

5.（多选题）下列关系是相关关系的是（）

A.角度和它的余弦值

B.某商场搞促销活动与销售量之间的关系

C.作文水平与课外阅读量之间的关系

D.底面积一定的三棱锥的体积与高之间的关系

解析A,D中两个变量之间的关系是一种确定性关系，而B,C中的两个变量

之间的关系是不确定的，所以它们具有相关关系.故选BC.

答案BC

【课后作业】

基础达标

一、选择题

1.下列语句所表示的事件中的因素不具有相关关系的是（）

A.正方体的棱长与体积

B.读书破万卷，下笔如有神

C.数学成绩与物理成绩

D.光照时间与水稻的单位产量

解析A具有函数关系.

答案A

2.下列说法正确的是（）

A.y=2x?+l中的x,y是具有相关关系的两个变量

B.正四面体的体积与棱长具有相关关系

C.电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系

D.传染病医院感染传染病的医务人员数与医院收治的传染病病人数是具有相关

关系的两个变量

解析A,B均为函数关系，C,D为相关关系.

答案D

3.下列图形中具有相关关系的两个变量是（）

解析A和B符合函数关系，即对x的每一个值，y都有唯一确定的值与之对

应；从C,D散点图来看，D的散点都在某一条直线附近波动，因此两变量具有

相关关系.

答案D

4.（多选题）有下列关系：

①人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系；

②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；

③森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系.

其中，具有相关关系的是（）

A.①B.②

C.③D,均不正确

解析①，③具有相关关系，②具有确定的关系，即函数关系.

答案AC

5.下列说法正确的是（）

A.任何两个变量之间都有相关关系

B.根据身高和体重的相关关系可以确定身高对应的体重值

C.相关关系是一种不确定的关系

D.以上答案都不对

解析变量之间的相关关系是一种不确定的关系，它也能反映变量之间的某种

依赖关系.利用相关关系可以估计某些相关数据，但是不能确定准确的数值.

答案C

二、填空题

6.下列两个变量之间的关系，是函数关系的有（填序号）.

①球的体积和它的半径；

②人的身高和体重；

③底面积为定值的长方体的体积和高；

④城镇居民的消费水平和平均工资.

4

解析球的体积公式为丫=可”d,长方体的体积V=S・h,都是确定的关系，

因此①③中两个变量为函数关系，而②④中的两个变量，不是函数关系而是相

关关系.

答案①③

7.下面是四个散点图中的点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相

关关系的是（填序号）.

解析散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程

度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中点的分布在一条

带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布

在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关

系，故填③.

答案③

8.某市煤气消耗量与使用煤气户数的历史记录资料如下表所示.

i（年）12345

x（户数：万户）11.21.61.82

y（煤气消耗量：百万立方米）679.81212.1

i（年）678910

x（户数:万户）2.53.244.24.5

y（煤气消耗量：百万立方米）14.5202425.427.5

其散点图如图所示.

W百万立方米

30

25

20

15

10

5

0

246x/万户

从散点图可知，煤气消耗量与使用煤气户数（填“线性相关”或“线

性不相关”）；若两者关系可近似为直线y=6.057x+0.082,则当煤气用户扩

大到5万户时，该市煤气消耗量估计是百万立方米.

解析由散点图发现图中各点在一条直线附近，所以煤气消耗量与使用煤气户

数是线性相关关系.给出近似直线方程，只需将x=5代入即可.此时

6.057X5+0.082=30.367百万立方米.

答案线性相关30.367

三、解答题

9.下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表:

气温(℃)2518121040

杯数183037355054

(1)根据表中的数据画出散点图;

(2)你能从散点图中发现气温与热茶杯数近似成什么关系吗？

解(1)根据表中的数据画出某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的散点

图，如图.

热茶杯数

60

5():

40

3()

20-

10

0-

5101520253。气温/t

(2)从散点图中可以看出气温与卖出的热茶杯数近似地成线性相关关系，且当气

温越高时，所卖出的热茶的杯数就越少.

10.在7块并排的、形状大小相同的试验田上进行施化肥量对水稻产量影响的

试验，得到如下表所示的一组数据(单位：kg)：

施化肥量15202530354045

水稻产量330345365405445450455

(1)画出散点图;

(2)判断它们是否具有线性相关关系.

解(1)以施化肥量为横坐标，其对应的水稻产量为纵坐标，在平面直角坐标系

中描点，得散点图.

水稻产量/kg

50()■

450-

400­

350-

3(H)■

电

01020304050施化肥量/kg

(2)观察散点图，知散点图中的点分布在一条直线附近，则水稻产量与施化肥量

之间具有线性相关关系.

能力提升

11.如图所示，有5组(x,y)的数据，去掉组数据后，剩下的4组

数据的线性相关性最大.

y•

•E(10.12)

D(3J0)

•C(4,5)

.,8(2,4)

A(l,3)

解析显然去掉D组数据后，x,y的线性相关性最大.

答案D

12.有人收集了10年中某城市居民年收入(即此城市所有居民在一年内的收入

的总和)与某种商品的销售额的有关数据：(单位：亿元)

第n年12345678910

年收入32.231.132.935.837.138.039.043.044.646.0

销售额25.030.034.037.039.041.042.044.048.051.0

(1)画出散点图.你能从散点图中发现居民年收入与该种商品销售额之间的近似

关系吗？

(2)如果它们之间近似成线性关系，请画出一条直线来近似表示这种关系.

解(1)散点图如图所示：

从散点图中可以看出年收入与销售额之间的总体趋势成一条直线，也就是说它

们之间是线性相关关系.

⑵所画直线如图所示.

创新猜想

13.(多选题)下列关系中，是相关关系的为()

A.学生的学习态度与学习成绩之间的关系

B.教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系

C.学生的身高与学生的学习成绩之间的关系

D.家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系

解析A中学生的学习态度与学习成绩之间不是因果关系，但具有相关性，是

相关关系；B中教师的教学水平与学生的学习成绩之间的关系是相关关系；CD

都不具备相关关系.

答案AB

14.（多选题）从统计学的角度看，下列关于变量间的关系说法不正确的是

（）

A.人体的脂肪含量与年龄之间没有相关关系

B.汽车的重量和汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程之间有相关关系

C.吸烟量与健康水平之间没有相关关系

D.气温与热饮销售好不好之间没有相关关系

解析从统计学的角度看，在一定年龄段内，人体的脂肪含量与年龄之间有相

关关系，，A错误；汽车的重量和汽车每消耗1L汽油所行驶的平均路程之间

有相关关系，，B正确；吸烟量与健康水平之间有相关关系，，C错误；气温与

热饮销售好不好之间有相关关系，.•小错误.

答案ACD

8.1成对数据的统计相关性

（第二课时样本相关系数）

课标要求素养要求

1.结合实例，会通过相关系数比较多组

成对数据的相关性.通过学习样本相关系数，提升数学

2.了解样本相关系数与标准化数据向量抽象及数据分析素养.

夹角的关系.

【课前预习】

新知探究

A情境引入

散点图可以说明变量间有无线性相关关系，但无法量化两个变量之间的相关程

度的大小，更不能精确地说明成对样本数据之间关系的密切程度，那么我们如

何才能寻找到这样一个合适的量来对样本数据的相关程度进行定量分析呢？

问题若样本系数r=0.97,则成对样本数据的相关程度如何？

提示r=0.97,表明成对样本数据正线性相关程度很强.

A知识梳理

1.相关系数r的计算

注意：相关系数是研究变量之间线性相关程度的量

假设两个随机变量的数据分别为(x”y),(x2,y2),(xn,%),对数据作进

一步的“标准化处理”处理，用sx=A/-£(x-x)2,sy=

(yLy)2分别除Xi—x和yLy(i=l,2,•••,n,x和y分别为x”

XLxy「yX2—Xy2-y

Xz，…，X“和y”y2,yn的均值),得

、SxSy,、SxSy

生二，，为简单起见，把上述“标准化”处理后的成对数据分别记为

'SxSy/

(xj,y/)，(X2-yj),…，(x/，y」)，则变量x和变量y的样本相关

系数r的计算公式如下：

/,z

r=~(xiy/+x2，y2'H---Fxnyn)

£(xi—x)(yi—y)

£(xj—x)

2.相关系数r的性质

⑴当rX)时，称成对样本数据亚相关；当r<0时，成对样本数据负相关；当r

=0时，成对样本数据间没有线性相关关系.

（2）样本相关系数r的取值范围为［—1,1］.

当田越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；

当越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越窕.

3.样本相关系数与标准化数据向量夹角的关系

z

r=；x'•y'=；lx'|y|cos0=cos。（其中x'=（xj,x2',…，

xj）,y'=（y/，yz',…，y」），|xz|=|yz\=y/n,e为向量x'和向

量y'的夹角）.

拓展深化

［微判断］

1.回归分析中，若「=±1说明x,y之间具有完全的线性关系.（J）

2.若r=0,则说明成对样本数据间是函数关系.（X）

提示若r=0,则说明成对样本数据间没有线性相关关系.

3.样本相关系数r的范围是rW（—8,+8）.（义）

提示样本相关系数的范围是［—1，1L

［微训练］

1.下面对相关系数r描述正确的是（）

A.r>0表明两个变量负相关

B.r>l表明两个变量正相关

C.r只能大于零

D.|r|越接近于0,两个变量相关关系越弱

解析因r>0表明两个变量正相关，故A错误；又因re［-l,1］,故B,C

错误；两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性

相关性越强，r的绝对值越接近于0,表示两个变量之间几乎不存在线性相

关，故D正确.

答案D

2.（多选题）下面的各图中，散点图与相关系数r符合的是（）

ABCD

解析因为相关系数r的绝对值越接近1,线性相关程度越高，且r>0时正相

关，rVO时负相关，故观察各选项，易知B不符合，A,C,D均符合.故选

ACD.

答案ACD

［微思考］

当r=l或一1时，两个变量的相关性如何？

提示当r=l时，两个变量完全正相关；当r=-l时，两个变量完全负相关.

【课堂互动】

题型一线性相关性的检验

【例1】现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩

x（分）与入学后第一次考试的数学成绩y（分）如下：

学生号12345678910

X12010811710410311010410599108

y84648468696869465771

请问：这10名学生的两次数学成绩是否具有线性相关关系？

-1

解X=77（120+108+-+99+108）=107.8,

一1

y=­(84+64+-+57+71)=68,

10

EX-=1202+1082H------F992+1082=116584,

i=l

10

Sy-=842+642H-----F572+712=47384,

i=l

10

Exiyi=120X84+108X64H-----F99X57+108X71

i=1

=73796.

所以相关系数为r

__________73796-10X107.8X68__________

yl(116584-10X107.82)(47384-10X682)

^0.7506.

由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关关系.

规律方法利用相关系数r判断线性相关关系，需要应用公式计算出r的值，

由于数据较大，需要借助计算器.

[训练1]假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)

有如下统计资料：

X23456

y2.23.85.56.57.0

555

已知£x；=90,£y；=140.78,Exiyi=112.3.

i=li=li=I

⑴求x,y；

(2)对x,y进行线性相关性检验.

,.-2+3+4+5+6

解(l)x=------;------=4.

-2.2+3.8+5.5+6.5+7.0

y=5=5.

5__

(2)ExiYi—5Xy=112.3—5X4X5=12.3,

5—

SX--5X2=90-5X42=10,

5—

5y2=140.78-125=15.78,

i=l

193

所以r=，=0.979.

#10X15.78

所以x与y之间具有很强的线性相关关系.

题型二判断线性相关的强弱

[例2]维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量,

这个指标越高，耐水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在

生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关

系，现安排一批实验，获得如下数据.

甲醛浓

18202224262830

度X

缩醛化

26.8628.3528.7528.8729.7530.0030.36

度(y)

求样本相关系数r并判断它们的相关程度.

解列表如下

22

iXiYiXiYiXiYi

11826.86324721.4596483.48

22028.35400803.7225567

32228.75484826.5625632.5

42428.87576833.4769692.88

52629.75676885.0625773.5

62830.00784900840

73030.36900921.7296910.80

5892.0134

£168202.944144

6900.16

168202.94

=24,

产一T

7

由此可知，甲醛浓度与缩醛化度之间有很强的正线性相关关系.

规律方法当相关系数m越接近1时，两个变量的相关关系越强，当相关系数

旧越接近0时，两个变量的相关关系越弱.

【训练2】以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的

数据.

房屋大小x/m211511080135105

销售价格y/万

24.821.618.429.222

元

(1)画出数据的散点图；

(2)求相关系数r,并作出评价.

解⑴图略.

⑵列表如下：

2

iX1YiXiYiXiYi

111524.813225615.042852

211021.612100466.562376

38018.46400338.561472

413529.218225852.643942

510522110254842310

2

£5451166097512952

756.8

x=—=109,y=—=23.2,

55

5

SXiYi-Sxy

—i=]

Ex--5x2-^Eyj—5y2

_________12952-5X109X23.2_______

-^/60975-5X109^2756.8-5X23.22

308

—―/:r-^0.96,

570X^/65.6

由此可知，新房屋的销售价格和房屋的大小之间有很强的正线性相关关系.

【素养达成】

一、素养落地

1.通过本节课的学习，进一步提升数学抽象及数据分析素养.

2.判断变量之间的线性相关关系，一般用散点图，但在作图中，由于存在误

差，有时很难判断这些点是否分布在一条直线的附近，从而就很难判断两个变

量之间是否具有线性相关关系，此时就可利用线性相关系数来判断.

3.|r|越接近1,它们的散点图越接近一条直线，两个变量之间的相关关系越

强.

二、素养训练

1.两个变量之间的相关程度越低，则其线性相关系数的数值（）

A.越小B.越接近1

C.越接近0D.越接近一1

解析由相关系数的性质知选C.

答案C

2.给定y与x的一组样本数据，求得相关系数r=-0.690,则（）

A.y与x线性不相关B.y与x正线性相关

C.y与x负线性相关D.以上都不对

解析因为r=-0.690<0,所以y与x负线性相关.

答案C

3.（多选题）下列说法正确的是（）

A.变量间的关系是非确定性关系，因此因变量不能由自变量唯一确定

B.线性相关系数可以是正的或负的

C.如果r=±l,说明x与y之间完全线性相关

D.线性相关系数rW（—l,1）

解析•••相关系数|r|Wl,

•"D错误.

答案ABC

4.某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据:

X681012

y2356

已知记忆力x和判断力y是线性相关的，求相关系数r.

解列表如下

2

iXiYiXiy；XiYi

16236412

28364924

31051002550

41261443672

£361634474158

36-16

x=a=9，y=7=4,

4

福广…y

158-4X9X4

・・r=~/~I=099

4一^344-4X81^/74-4X16'

£y：—4y2

i=l

【课后作业】

基础达标

一、选择题

1.已知某产品产量与产品单位成本之间的线性相关系数为-0.97,这说明二者

之间存在着（）

A.高度相关B.中度相关

C.弱度相关D.极弱相关

解析由|一0.971比较接近1知选A.

答案A

2.关于两个变量x,y与其线性相关系数r,有下列说法：

①若r>0,则x增大时，y也相应增大；

②若Ir|越趋近于1,则x与y的线性相关程度越强；

③若r=l或r=-l,则x与y的关系完全对应（有函数关系），在散点图上各

个散点均在一条直线上.

其中正确的有（）

A.①②B.②③

C.①③D.①②③

解析根据相关系数的定义，变量之间的相关关系可利用相关系数r进行判

断：

当r为正数时，表示变量x,y正相关；

当r为负数时，表示两个变量x,y负相关；

|r|越接近于1,相关程度越强；

E越接近于0,相关程度越弱.故可知①②③正确.

答案D

3.甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量进行线性相关试验，并分别求

得相关系数r如表：

甲乙内J-

r0.820.780.690.85

则这四位同学的试验结果能体现出A,B两变量有更强的线性相关性的是（）

A.甲B.乙

C.丙D.T

解析由相关系数的意义可知，相关系数的绝对值越接近于1,相关性越强，

结合题意可知，丁的线性相关性最强，故选D.

答案D

4.对于相关系数r,下列结论正确的个数为（）

①rd［—1,-0.75］时，两变量负相关很强

②r£［0.75,1］时，两变量正相关很强

③r£（—O75,-0.3］或［0.3,0.75）时,两变量相关性一般

@r=0.1时，两变量相关性很弱

A.1B.2

C.3D.4

解析由相关系数的性质可知4个结论都正确.

答案D

5.对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是相关系

数，且已知：

①n=7,r=0.9533；②n=15,r=0.3012；

③n=17,r=0.4991；④n=13,r=0.9950.

则变量y和x线性相关程度最高的两组是（）

A.①②B.①④

C.②④D.③④

解析相关系数r的绝对值越接近于1,变量x,y的线性相关程度越高.

答案B

二、填空题

6.已知某个样本点中的变量x,y线性相关，相关系数r>0,平移坐标系，则

在以（；，；）为坐标原点的坐标系下的散点图中，大多数的点都落在第

象限.

解析因为r>0,

所以大多数的点都落在第一、三象限.

答案一、三

2

7.若已知Z,（y「y/是工（XLX）"的4倍，.士（x：—x）（%—y）是Z（xi-x）

的1.5倍，则相关系数r的值为.

£(xj-x)(yi—y)

解析由r=

£(xi—x)X(yi-y)

3

答案z

8.部门所属的10个工业企业生产性固定资产价值x与工业增加值y资料如下

表（单位：百万元）：

工业增

15172528303637424045

加值

根据上表资料计算的相关系数为—

3+3+5+6+6+7+8+9+9+10

解析X77=6.6.

15+17+25+28+30+36+37+42+40+45

y=------------------77------------------=31.5.

10--

£(Xj—x)(y；—y)

i=1

.,.r=---/=0.9918.

/10-,10-,

A/S(Xj—x)"£(y,­y)'

\li=li=l

答案0.9918

三、解答题

9.5个学生的数学和物理成绩如表：

ABCDE

数学8075706560

物理7066686462

试用散点图和相关系数r判断它们是否有线性相关关系，若有，是正相关还是

负相关？

解散点图法：涉及两个变量：数学成绩与物理成绩，可以以数学成绩为自变

量，考察因变量物理成绩的变化趋势.以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成

绩，可得相应的散点图.

,物理成绩

70'•.••

60-*

50-

。5060708（），）.1数学成绩

由散点图可见，两者之间具有线性相关关系且是正相关.

（相关系数r法）列表：

22

iXiYiXiYiXiYi

18070640049005600

27566562543564950

37068490046244760

46564422540964160

56062360038443720

£350330247502182023190

5

EXiYi-Sxy

i=:123190-23100……

••I-——U・y/U.

\(5-、(5、4250X40

Zx^—5x2Zy；—5y2

li=lJli=l/

两变量具有相关关系且正相关.

10.某火锅店为了了解营业额y(百元)与气温x(℃)之间的关系，随机统计并制

作了某6天当天营业额与当天气温的对比表.

气温/℃261813104-1

营业额/百

202434385064

元

画出散点图并判断营业额与气温之间是否具有线性相关关系.

解画出散点图如图所示.

>,营业额/百元

5(1

10

3()

20

10气温/七

5101520253()*

一1

xq(26+18+13+10+4-1)=11.7,

-1

y=-(20+24+34+38+50+64)=38.3,

6

Xx,y,=26X20+18X24+13X34+10X38+4X50-1X64=1910,

6

£Xi=262+182+132+102+42+（-l）2=l286,

i=l

6

Zy-=202+242+342+382+502+642=10172,

i=l

6——

£XiYi—6y

i=1X

由r=-J$一/6一’可得「仁一0-98.

A/.2[X；-nx\J.EJ；—6y二

由于旧的值较接近1,所以x与y具有很强的线性相关关系.

能力提升

11.为考察两个变量x,y的相关性，搜集数据如下表，则两个变量的线性相关

程度（）

X510152025

y103105110111114

A.很强B.很弱

C.无相关D.不确定

55555

解析EXi=75,垃y=543,Ex：二1375,txy=8285,ty-=

i=li=li=li=li=l

59051,x=15,y=108.6,

5——

XXiYi—5xy

________i=l________________

广5y2

8285-5X15X108.6

yfl375-5X152xm9051-5X108.62

分0.9826,故相关程度很强.

答案A

12.下图是我国2012年至2018年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线

图.

Ifi'

srl.8(

gl

.64(

wl爵

的

.2(

后.0(

到.8(

妙

汪：年份代码1〜7分别对应年份2012~2018.

由折线图看出，y与t有线性相关关系，请用相关系数加以说明.

附注：

77^^7「

参考数据：工y：=9.32,.£t,=40.17,A/(-y)2=0.55,J7

i=[i=]yi\li—1yi

-2.646.

n

£(ti—t)(yj—y)

i=l

参考公式：相关系数r=

n-nn

£(ti-t)2E(y-y)2

i=1i=1

解由折线图中数据和附注中参考数据得

7_7

t=4,X(tj—t)=28,£(y「y)2=0.55.

i=li=l

77-7

t.(tj—t)(y,—y)=tElt£y

i=1i=1i=1

=40.17-4X9.32=2.89,

2.89

r弋--------------------g099

0.55X2X2.646

因为y与t的相关系数近似为0.99,所以y与t的线性相关程度相当高.

创新猜想

13.（多选题）对于线性相关系数r,以下说法错误的是（）

A.r只能是正值，不能为负值

B.|r|wi,且|r|越接近于1,相关程度越大；相反则越小

C.|r|wi,且|r|越接近于1,相关程度越小；相反则越大

D.r<0时表示两个变量无相关

解析由相关系数的性质知B正确，其余均错误.

答案ACD

《8.1成对数据的统计相关性》分层同步练习

【基础达标练】

1.在下列散点图中，变量x,y不具有相关关系的是()

ABCD

画由相关关系的定义,如果散点大部分分布在一条曲线附近,那么就说这两个

变量具有相关关系,可知选项D的散点没有这一特征,不具有相关关系.故选D.

答案D

2.为了研究某种细菌在特定环境下，随时间变化的繁殖情况,得到如下实验数据,

并分析可得经验回归方程为y=0.85x-0.25.由以上信息，得到下表中c的值为

()

天数X/天34567

繁殖个数y/千个2.5344.