人教A版高中数学第一册(必修1)课时作业4：第一课时函数的奇偶性

3.2.2奇偶性

第一课时函数的奇偶性

课标要求素养要求

1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概

通过本节内容的学习，让学生结合实例，

念和几何意义.

利用图象抽象出函数性质，提升直观想

2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函

象和逻辑推理素养.

数的图象特征解决一些简单问题.

课前预习知识探究

新知探究

A情境引入

在我们的日常生活中，可以观察到许多对称现象，如图，六角形的雪花晶体、建

筑物和它在水中的倒影……

问题1上述材料中提到的图形对称指的是“整个图形对称”还是“图形的部分”

对称？

提示整个图形对称.

问题2哪个图形是轴对称图形？哪个图形是中心对称图形？

提示①是轴对称图形，②既是轴对称图形，又是中心对称图形.

已口识福1

1.偶函数的定义及图象特征

(1)偶函数的定义：设函数五x)的定义域为I,如果Vx©/,都有一x©/,且外一x)

="),那么函数兀0是偶函数.

(2)偶函数的图象特征：偶函数的图象关于y轴对称.反之，图象关于y轴对称的函

数一定是偶函数.

2.奇函数的定义及图象特征

(1)奇函数的定义：设函数人外的定义域为I,如果Vx©/,都有一x©/,且川一x)

=—f(x),那么函数人X)是奇函数.

(2)奇函数的图象特征：奇函数的图象关于原点对称.反之，图象关于原点对称的函

数一定是奇函数.

拓展深化

『微判断』

1.对于函数y=/(x),若存在x,使五一%)=—兀¥),则函数y=/(x)一定是奇函数.(X)

提示反例：五只二%2,存在x=0,五-0)=—10)=0,但函数人炒二%2不是奇函数.

2.不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(X)

提示函数1力=0,X©R既是奇函数，又是偶函数.

3.奇函数於)的定义域为R,且五一2)=5,则42)=—5.(J)

『微训练』

1.而0=三十=的图象关于对称.

『解析』1%)的定义域为(一8,o)u(o,+°°),

又八―x)=(-X)3+±=-13+J=一艮由,

:小x)为奇函数.・••其图象关于原点对称.

『答案』原点

2.函数人x)是定义在R上的奇函数，当x>0时,/(x)=—x+1,则次-2)=.

『解析』•••当x>0时，Xx)=-x+1,.\/(2)=—2+1=—1.又五x)为定义在R

上的奇函数，.\A—2)=一八2)=1.

『答案』1

『微思考』

1.如果函数汽X)具有奇偶性，那么函数人X)的定义域一定关于原点对称吗？

提示定义域一定关于原点对称.由函数奇偶性的定义知，若X在定义域内，则一

X一定也在定义域内(若一X不在定义域内，则八一X)无意义)，因此，具有奇偶性

的函数的定义域必关于原点对称.

2.若奇函数xx)在x=0处有定义，则汽0)的值是多少？

提示由于函数“¥)是奇函数，则五-x)=一/(x),又函数4r)在x=0处有意义，

于是汽o)=A—o)=一八0)，即肌o)=o,所以#o)=o.

课堂互动题型剖析in

题型一函数奇偶性的判定

角度1一般函数奇偶性的判断

『例1—1』判断下列函数的奇偶性：

(1次无)=2一因；

22

(2求助:出—1+A/1—%；

X

(3Mx)=A­T1.

解(1)函数1X)的定义域为R,关于原点对称，又八一X)=2—I—X|=2—|x|=/(x),

为偶函数.

(2)函数火用的定义域为{—1,1},关于原点对称，且五x)=0,又五一x)=—<x),

火一力=火为，

.\Ax)既是奇函数又是偶函数.

(3)函数兀x)的定义域为{x|xWl},不关于原点对称，

.•次0是非奇非偶函数.

角度2分段函数奇偶性的判定

x+1,x>0,

『例1-2』判断函数五x)=「八的奇偶性.

解Hx)的定义域是(一8,0)u(0,+8),关于原点对称.

当x>0时，一x<0,

八一力=1_(_%)=l+x=/(x)；

当x<0时，一%>0,

^-^)=l+(-x)=l-x=».

综上可知，对于XG(—8,0)U(0,+°°),都有7(—x)=/(x),Hx)为偶函数.

角度3抽象函数奇偶性的判断

『例1-3』⑴已知函数«x),x©R,若对于任意实数a,Z?都有人。+力=/(<2)

+»,求证：为奇函数；

(2)已知函数f(x),XGR,若对于任意实数X1,X2,都有人为+无2)+y(xi—X2)=2fixx)fixi),

求证：人x)为偶函数；

(3)若函数五X)的定义域为(一/,/)(/>0),证明：兀¥)+五一X)是偶函数，»-/(-%)

是奇函数.

证明(1)令。=0,则五。)=汽0)+五。)，.\/(0)=0.

令。=一羽b=x,则五0)=/(—x)+«x),

又；Ax)定义域为R关于原点对称，.•/x)是奇函数.

(2)令无1=0,X2=X,则於)+>(—x)

=次0求x)①，

令X2=0,X1=X,得火x)+y(x)

=肌0求X)②.

由①一②得五一x)=/(x).又•.了(X)定义域为R关于原点对称，..式X)是偶函数.

(3)・.・尤£(—I,Z),—%£(—I,Z),

可见八一X)的定义域也是(一/,I).

若设网x)=«r)+A一X),

G(x)=»-/-%),

则Hx)与G(x)的定义域也是(一/,I),显然是关于坐标原点对称的.

又只一x)=/(—%)+人乃=/劝，

G(—x)=y(~x)—fix)

=—『兀v)一五一x)』=—G(x),

:.E(x)为偶函数,G(x)为奇函数，即五x)+1—x)是偶函数，1%)—7(一%)是奇函数.

角度4含参函数奇偶性的判断

『例1—4』判断下列函数的奇偶性：

(1)/(X)=X2+-(X7£:0,a©R)；

(2次x)=|x+a]一|%一a](a£R).

解(1)①当a=0时，»=^,对任意x©(—8,0)U(0,+8),五—#=(一%)2

=x2=/x),则函数兀0为偶函数；

②当oWO时，兀0=/+*工N0）,取x=l,得汽1）=1+匿取尤=—1,得五-1）

X

=1-«，则八一D+ya）=2W0,/（-1）-/1）=-2^0,即汽_1）工一火1）,五一

i）wy（i）,则函数五工）既不是奇函数也不是偶函数.

综上所述，当aWO时，函数人x）既不是奇函数也不是偶函数；当。=0时，函数

为偶函数.

（2）函数的定义域为（一8,+8）,关于坐标原点对称.

①当aWO时，K-'尤）=|—x+a|—|—x-a\=|.r—a\—|x+a|=—（|x+tz|一|.x—。|）=—

40，所以函数兀。为奇函数；

②当«=0时,函数兀t）=|x+a|一|x—a|=|x|一国=0,此时函数兀0既是奇函数又

是偶函数.

综上所述，当aWO时，函数五x）为奇函数；当。=0时，函数八》）既是奇函数又是

偶函数.

规律方法判断函数奇偶性的四种方法：

（1）定义法:

定义域关于-__＞（非奇非偶函数）

原点对称？

{/（T）=TU）I奇函数）

f(-X)与/(%)__1-偶函数1]

的关系1-1------------------------

/（T）与/（8）非奇非

、无上述关系、偶函数,

（2）图象法:

{/（*）为奇函数）

{/«）为偶函数）

（3）验证法：求出函数的定义域，当定义域关于原点对称时，利用奇偶性所满足式

f（―Y）

子的等价形式，即判断人的切:一x）是否为0或亍痴一（/（x）W0）是否为±1.

（4）性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性

判断.

『训练1』判断下列函数的奇偶性:

（1次%）=/+必；

(2)/(x)=k+i|+k-i|；

2X2+2X

(3求x)=

x+1

x2,x<0,

(4次%)=1q、

[%3,xNO.

解(1)函数的定义域为R.x)=(—X)3+(—X)5=—(x3+%5)=是

奇函数.

(2求x)的定义域是x)=|—x+l|+|—x—l|=|x—l|+|x+l|=/(x),.•优%)是偶

函数.

(3)函数xx)的定义域是(一8,-1)U(-1,+8),不关于原点对称，.•/>)是非

奇非偶函数.

(4次。的定义域为R,

当X<0时，-X>0,八一%)=(一力3=一必，而五x)=f,

...当x<0时不满足八一x)=y(x)，也不满足八一x)=-y(x).故此函数是非奇非偶函数.

题型二奇、偶函数的图象特征

『例2』知函数五x)=金1，令g(x)=/(1).

(1)已知人光)在区间『0,+8)上的图象如图，请据此在该坐标系中补全函数人防

在定义域内的图象，请说明你的作图依据；

(2)求证：“x)+g(x)=l(xWO).

(1)解•./a)=V^,的定义域为R.

又对任意XGR,都有八_力=；211=3上=Ax)，••/>)为偶函数，故人X)

\JiyILJiIJL

的图象关于y轴对称，其图象如图所示,

(2)证明

1+f1+f

••Hx)+gQ)—i+f+i+f一］+『一1,

即於)+g(x)=l(xWO).

规律方法(1)先判断函数的奇偶性；

(2)利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象

关于y轴对称.

『训练2』(1)如图给出了奇函数丁=而0的局部图象，则五一2)的值为()

33

A

-2B「万

11

C，2D.—2

(2)设奇函数五x)的定义域为『一5,5』，当x©『0,5』时，函

数丁=而0的图象如图所示，则使函数值y<0的x的取值集合

为()

A.(2,5)

B.(-5,—2)U(2,5)

C.(-2,0)

D.(-2,0)U(2,5)

3

『解析』⑴奇函数的图象关于原点对称，因此，X-2)=-^2)=-1

⑵因为原函数是奇函数，所以y=/(x)在『一5,5J上的图象

关于坐标原点对称，由y=/(x)在『。，5J上的图象，知它在

『一5,0J上的图象，如图所示，由图象知，使函数值y<0的x的取值集合为(一

2,0)U(2,5).

『答案』(1)B(2)D

题型三利用奇偶性求函数值

『例3』已知函数人功=加+"一2,人2020)=3,贝U1A—2020)=()

A.17B.15

C.-3D.3

『解析』，.^2020)=aX20203+&X2020-2=3,

.，.aX20203+6X2020=5,

:米-2020)=一。X20203—6X2020—2

=—5—2=—7.

『答案』A

规律方法已知五。)求人一。)，判断人为的奇偶性或构造已知奇偶性的函数，利用

奇偶性找出火。)与五一a)的关系即可.

3

『训练3』已知函数八x)是定义在R上的奇函数，且当x>l时，火》)=1—1,则

五一2)=()

51

A..B「］

1

C.OD，2

『解析』因为於)为奇函数，所以五—2)=—，*2)=—住-1)=一

『答案』B

素养达成逐步落实

—■、素养落地

1.通过本节课的学习，重点提升学生的直观想象和逻辑推理素养.

2.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，

有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式五一%)=切>)=/(—x)积x)=

0.八元)=±1。X)力0).

3.(1)若火x)=0且人防的定义域关于原点对称，则Hx)既是奇函数又是偶函数.

(2)/(x)为奇函数=兀¥)的图象关于原点对称，为偶函数=y(x)的图象关于y轴对

称.

二'素养训练

1.下列图象表示的函数具有奇偶性的是()

『解析』选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C,D中

的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中

的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数，故选B.

『答案』B

2次x)是定义在R上的奇函数，且五一3)=2,则下列各点在函数五x)图象上的是

()

A.(—3,-2)B.(3,2)

C.(2,-3)D.(3,-2)

『解析』点(一3,2)关于原点的对称点为(3,-2).

『答案』D

3.已知於),g(x)为定义在R上的奇函数,且」一2)+g(—2)=5,则#2)+g(2)=

『解析』由题意得/(2)+g(2)=一『五一2)+g(—2)』=-5.

『答案』-5

4.已知函数人x)是定义在区间『。一1,2al上的奇函数，则实数。的值为..

『解析』由题意知a—1+2a=0,得a=；.

『答案』|

5.求证：函数兀的图象关于y轴对称.

证明..,函数八。的定义域为(一8,0)U(0,+°°),关于原点对称且五-x)=(—

(，)2=f+q=Ax)，

为偶函数，故其图象关于y轴对称.

课后作业巩固提覆)

基础达标

一、选择题

1.已知而0是定义在R上的偶函数，则人5)+五-5)=()

A.OB.5

C.2/(5)D.»

『解析』因为次x)是偶函数，所以五—5)=/(5),故人5)+五―5)=才(5).

『答案』C

2.下列函数中既是偶函数又在(0,+8)上是增函数的是()

A.y=x3B,y=|A|+l

C.y=-f+lD.y=2x+1

『解析』排除法.偶函数只有B,C,而函数y=|x|+l在(0,+8)上为增函数,

函数y=—f+i在(0,+8)上为减函数.故选B.

『答案』B

3.若函数/x)满足=1,则五x)的图象的对称轴是()

A.x轴B.y轴

C.直线y=xD.不能确定

『解析』=1今4—x)=『x),兀0为偶函数,...其图象的对称轴为y轴.

『答案』B

4.y(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中不一定正确的是()

A.^-x)+»=0B.^-X)-»=-2/(X)

f(x)

C人为五一x)WOD六二不一=-1

『解析』於)为奇函数,则五一x)=一五外，所以A,B,C均正确.只有/(x)W0

f(x)

时，才有j、=T，D不正确.

f(—X)

『答案』D

5.如果人乃是定义在R上的奇函数，那么下列函数中，一定为偶函数的是()

A.y=%+/x)B.y=xf(x)

C.y=x2+/(x)D.y=%2/(x)

『解析』是奇函数，X)=

令y=g(x).

对于A,g(—x)=—x+j(—x)=-x—fix)=~g(x),

y=x+«c)是奇函数.

对于B,g(-x)=-xj[-x)=xj{x)=g(x),

•••y=切＞)是偶函数.

对于C,g(—x)=(-%)2+/(—%)=%2—fix),

由于g(—x)Wg(x),g(~x)^~g(x),

.••y=f+Ax)既不是奇函数也不是偶函数.

对于D,g(一龙)=(一为次一x)=一寸@)=—g(x),

；•y=Ex)是奇函数.

『答案』B

二、填空题

6.下列函数为偶函数的是(填序号).

①〉二％2。〉。)；②y=(l1)<③y=2；④y=|x|(xWO).

『解析』对于①④，其定义域显然不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；又

fx+1

②中，由J1—X得定义域为『一1,1),不关于原点对称，故②也是非奇非

11—xWO

偶函数；对于③，其定义域为R,且对VxGR都满足火一力=火功=2,故③是偶

函数.

『答案』③

7.设而0是定义在R上的奇函数，当x>0时4x)=f+1,则五-2)+汽0)=,

『解析』,.7(x)为奇函数，且x>0时，TOOuf+l,

.\/(-2)=-/2)=-(4+l)=-5.

又购=0,

.*./-2)+»=-5+0=-5.

『答案』-5

8.已知g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且兀0—gOOuV+f+1,

则人l)+g(l)=.

『解析』在人工)一中，

令X=-1,得八一1)—g(—1)=1,

又八-1)=汽1)，g(T)=-g(D，

•••HD+g⑴=1.

『答案』1

三'解答题

9.判断下列函数的奇偶性.

(1求x)=f—3f；

7i—x2

(2)»=k+2|_2.

解(1说》)=/-3f的定义域是R,关于原点对称.

又找一x)=(一%)4一3(一x)2=x4-3A2—f(x),

・・.Kv)=f—3f是偶函数.

(2)由勺।〜得一IWXVO或OV%W1,

也十2|氏2,

・・小»的定义域为r-i,o)u(o,u,关于原点对称，

•&-小一£J

••加)-|x+2|-2-X-

\11——

又火一元)=_丫=—ZU)，故段)为奇函数.

10.已知小尸加+笈+血老。)是偶函数，求证8⑴=加+东+飙./。)为奇函数.

证明..,«v)=ax2+6x+c(aW0)是偶函数，

即a(—x)2—bx-\-c=a^~\-bx-\-c,.'.b=0,

.'.g(x)=ax3+cx,其定义域为R,

又g(—x)=a(一x)3c(一x)=一(tzx3+ex)=一g(x).

.,.g(x)为奇函数.

能力提升

f+%+12

11.已知函数«¥)=.F+］，若八。)=］，则五一。)=.

『解析』根据题意，加尸小］=1+6?而以冗)=*彳是奇函数；故

24

K—a)