高中数学：导数中的数学思想

高中数学：导数中的数学思想

数形结合思想

数形结合是利用“数”和“形”的相互转化来解决数学问题的思想方

法.它为代数问题和几何问题的相互转化架起了桥梁，数形结合重在结

合，它们完美的结合，往往能起到事半功倍的效果.

例、已知函数32,当xe(0,1)时取得极大值，当

b-2

xeQ2)时取得极小值，求点(a,与对应的区域的面积以及二T的取值范

围.

分析：利用极值的有关知识判断导函数方程的根的范围，再由导函数的图

象与相应二次方程的根的关系得到关于出力的线性不等关系，点(内刃所

b-2

对应的区域.第(2)问利用斜率求出二T的取值范围.

解：函数，㈤的导数为，S)=/+ax+23,当xe(0,1)时取得极大值，当

xeQ2)时取得极小值，则方程V+ax+26=0有两个根，一个根在区间

(QD内，另一个根在区间(1,2)内.

由二次函数/(»=/+"+2占的图象与方程x2+ax+2b=0的根的分布之间

,/((0)>0,仅>0,

</\1)<0,=<0+28+1<0,

的关系可以得到l/'Q)>ft[a+b+2>0.

口。3平面内满足约束条件的点(。，与所对应的区域为(不包括边

界，其中点

&-31),5(-10),。(-2,0)如右图所示).

△可少的面积为义血=(4为点上到Oa轴的距离)

b-26-2

点CQ2)与点(a,与连线的斜率为显然二山，即

整体代换思想

我们在思考问题的时侯，如果能根据题目中的结构特点，把问题中貌似独

立，但实质上又相互联系的量看成一个整体，从而在宏观上寻求解决问题

的途径，这种思想称之为整体思想.整体思想主要有整体代换、整体求

值、整体变形、整体构造等.

例、已知—+苏+cx+d是定义在R上的函数，其图象交x轴于

因B，C三点.若点B的坐标为(2,0),且了。)在~L0］和［4,习上有相同的

单调性，在［02］和［4,5］上有相反的单调性.

(1)求。的值；

(2)在函数了⑸的图象上是否存在一点做(％%),使得了。)在点般的

切线斜率为比？

(3)求M3的取值范围.

解：(1);了㈤在［一则和［02］上有相反的单调性,

.•.x=0是/⑴的一个极值点.

故/(工)=0,即3ax?+2占x+c=0有一个解为五=0,

c=0.

(2)因为了⑴交x轴于点3(2,0),所以弘+4占+々=0,即d=-4@+2a).

令/(工)=0,得3ax2+2bx=0,

2b

...演x-一uA,=~~3~a.

因为了㈤在［。2］和［4,5］上有相反的单调性，

假设存在点河(如此)，使得了。)在点河的切线斜率为劭.

则/'(%)=比，

即3ax；+2bx0-%=0.

A=(2b)2-4x%x(一％)=482+36ab=Aabf—+9

b

而a,A<0.

故不存在点做（6此）,使得了㈤在点M的切线斜率为先.

（3）由题意，设/（*）=。/+分2+6+々的函数图象交x轴于点工的坐标为

（a。）、点C的坐标为（40）.

则/（x）=^（x-a）（x-2）（x-0=a[^一（2+）+jff）x2+（2a+2#+o^x-2矽],

a+fi=---Z

a

b--a（2+a+jS）f<d

比较系数得id=-2a效.得用一一五.

所以Mb=\a~网=J(a+附-4邮

凡=3.故34|阂《4道

本题的第（2）、（3）两问都用到了整体代换的思想，避免了求。，小的

值，大大简化了运算.运用整体思想解题是不是很巧妙？

分类讨论思想

分类讨论是中学数学的一种解题思想，对某一问题进行正确地分类讨论要

有一种全局的观点，注意在分类时要不重不漏.

例1、已知aeR,求/（x）='e⑻的单调区间.

解：函数/㈤的导数/（x）=（2x+a/）*

（1）当a=0时，若x<0,则/'（力<。；若x>0,则/‘5）>0.

则”X）在（一8,0）内为减函数,在+8）内为增函数.

2

2x+ax'>0=x<一—

（2）当a>0时，由々或x>0,

(-8，二〕

则在I4或(。+8)内为增函数,在Ia'J内为减函数.

2

2x+以/>0=0<x<--

(3)当a<0时，由

则“X)在-j内为增函数，在(-8,0)和(-Z'+sj内为减函数.

从该例的解答中可以看出必须熟练掌握一些初等函数的导数，理解给定区

间上/5)函数为增函数，/0)4°函数为减函数.但要确定尸(X)的

符号，须对参数进行分类讨论.

例2、已知/(x)=ln(l+x)-x,g(x)=xlnx.

(1)求函数/(x)的最大值.

0<g(a)+g0)--a)ln2

(2)设0<a<5,证明:

解：(1)了⑶的定义域是(一1+8),则/⑶=不

当时•，/V)>0；

当x>0时，/V)<0.

又，(0)=0,则当且仅当x=0时、/⑴取最大值0.

⑵因即…设力g3)+g(x)2(誓)

=lnx—ln言

则L12〃2

当0<x〈a时，F'(x)<。,

因此尸(“)在(。。)内为减函数；

当x>a时，尸3>0,

因此F(x)在(a,+8)内为增函数.

从而当x=a时、尸(x)有极小值F3).

又因尸(a)=0,b>a,

所以矶>0,即。"⑷+幽闻竽)

设G(x)=尸(*)—(x—a)ln2,

QUG'(x)=lnx_ln2=lnx-ln(a+x)

当x>0时，G(x)<0,G⑶在(Q