高一数学新起点教材

目录

第一讲：高中学习方法指引

第二讲：集合间的关系及含参集合问题

第三讲：集合的运算

第四讲：函数的定义和相关概念

第五讲：函数的表示方法

第六讲：求抽象函数定义域、求函数解析式

第七讲：函数的单调性

第八讲：复合函数的值域

第九讲：函数的奇偶性

第十讲：第一章知识梳理和能力整合

第H^一讲：一次函数与二次函数

第十二讲：指数与指数幕的运算

第十三讲：指数函数

第十四讲：对数与对数运算

第十五讲：对数函数及其性质

第十六讲：简单的指数对数函数方程与不等式

第十七讲：方程的根与函数的零点

第十八讲：函数建模

第一讲:高中学习方法指引、集合的概念及表示法

（2课时）

高中数学学习方法指引

一、数学的发展与价值

数学，由粗糙到精准，由常量到变量，由具体到抽象，数

学的每一次进化，都改变了人类认识世界的方式，都深刻的

影响这世界的前进轨迹.

数字CD,MP3,一切声音的数字化，都源自三角函数和傅立

叶变换；

宇宙天体运行的轨迹、海王星的发现，都依循圆锥曲线和微

分方程；

摩天大楼，跨海大桥的建造，都应用这几何和空间向量；手

机中的应用、电脑里的软件，归根结底都是离散数学中的算

法设计；国际化企业的运营、决策，都离不开数理统计、概

率以及博弈论；总之，世间万物，遵从的一一都是“数学原

理”.

二、高中数学的内容转变及学习方法：

高中数学与初中数学相比，有3个方面的转变：知识多！难

度大！题目活！

要更快、更好的适应高中数学的学习要求，有3个学习窍门:

1.重视知识的来龙去脉和“相互推导”；

2

2.重视方法的举一反三和“数学思维”；

3.重视语言能力、运算能力、推理能力、抽象概括能力等各

方面的“能力培养”；

总之，保持一颗“好奇心”，凡事多想“为什么”；彻底钻

研一道题，胜过看懂十道题.

课标要求

1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.

2.能用自然语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的

具体问题.

知识清单

1.元素：把研究称为元素，元素通常用

_______________a,b,c,…表示；

2.集合：把一些元素组合成的总体叫做，集合（简称

为集），集合通常用A,B,C,…表示；

3.元素与集合的关系：如果元素a是集合A中的元素，就说

aA,记作;

如果元素a不是集合A中的元素，就说aA,记作

4.集合中元素的三种属性：

3

5.集合相等：只要构成两个集合的是一样的，就

称这两个集合是相等的.

6.常用数集及其记法：自然数集记作,正整数集记作

,整数集记作,有理数集记作,实数集记

作.

7.集合的表示法：

（1）自然言语法：用文字或言语叙述的形式描述集合的方

法；优点是通俗、易懂；

（2）列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用大括号

“{}”括起来；优点是直观；

（3）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,

如•优点是简洁O

8.集合的分类：按集合元素的多少，可以把集合分为三类：

,和空集（记作6）.

典例探究

一、集合的概念

例1.判断以下每组对象是否能构成一个集合，如果能构成集

合，请判断之后的研究对象是否在该集合内：

（1）所有的手机，iPhone；

（2）中考的全部科目，地理；

（3）地球上的四大洋，印度洋；

4

(4)我国比较大的河流，漓江；

(5)参加2012年伦敦奥运会的年轻运动员，刘英姿(生于

1971年)；

(6)世界上最高的山峰，乔戈里峰；

(7)方程/+i=o的所有实数解，x=-l；

(8)所有小于零的偶数，-10；

(9)不等式x-3>2的解，x=亚;

(10)平面直角坐标系内的第一象限的一些点，(0,1).

二、常用数集的符号

例2.用符号e或e填空：

(1)-3N;(2)3.14Q;(3)1Z;

3-

(4)0___N*;⑸卜科—Q；⑹五R.

三、列举法

例3.用列举法表示下列集合，并指出它是有限集、无限集还是空集

(1)组成中国国旗图像的颜色的集合；

(2)自然数中不大于10的质数集；

(3)非负偶数集；

(4)方程V—2x-3=0的实数解的集合；

(5)方程组：的解的集合；

x-y=0

(6)由@+所确定的实数集合.

5

小结:

例4.判断下列说法是否正确：

(1)｛造纸术，印刷术，火药，印刷术，指南针｝是正确的集合的

表示方法，其中有5个元素；

(2)(1,2)与(2,1)表示坐标系中不同的点，｛1,2｝与｛2,

11表示的是不同的集合；

(3)以集合｛a,b,c｝中的元素作为边长构成的三角形，一定不是等

腰三角形；

(4)被3除余1的集合是一个有限集.

小结：

四、描述法

例5.用描述法表示下列集合：

(1)方程/_2x-3=0的实数解的集合；

(2)不等式x-3>2的解的集合；

(3)偶数集；

(4)非负奇数集；

(5)｛1,2｝；

(6)(2,4,6,8)；

6

■I1III6-1-------►

-3-2-10123

(7)

(8)下图阴影部分(含边界)点的集合.

小结：

例6.用列举法表示下列集合，并用符号£或任填空:

(1)A=(x|x2=x}9~1A;

(2)B={X|X2+^-6=O),3B;

(3)C={xe/v|l<X<io},8C;

(4)D=Gz|-2<x<3),1.5__D;

(5)E={x\x-3kez}915E;

(6)F=卜*GN*},2F.

小结：

归纳总结

7

1.熟记集合的三要素，并能运用集合三要素解决相关问题；

2.培养集合的三种表示法的相互翻译能力，并能选择合适的表示法解

决具体问题；

3.初步形成“分类讨论思想”，用分类之后逐个求解的方式，解决一

些比较复杂的问题.

巩固与提升

基础题组

1.用符号”或“走”填空：

(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国A,美国A,

印度A,迪拜A;

(2)8N;(3)0N;(4)-3Z;

⑸拉Q；

2.用适当的方法表示下列集合：

(1)大于10的所有自然数组成的集合；

(2)由24与30的所有公约数组成的集合；

(3)所有除5余4的整数组成的集合.

3.集合{xeN*<5}的另一种表示法是()

A.{0,1,2,3,4}B.{4}3,2,1}

C.{0,1,2,3,4,5}D.{5,4,3,2,1}

4.数集A满足条件：“GA,则一I—eA("l)；若2eA,试求出A中其它

1-a

8

所有元素.

综合题组

1.下列叙述正确的是()

A.所有著名作家可以形成一个集合

B.0与{0}的意义相同

C.集合A=’x=1,〃eN*}是有限集

D.方程/+6x+9=0的解集中只有一个元素

2.方程组］:一、+3=°的解集是()

2x+y+6=0

A.{(-3,0)}B.{-3,0}C.(-3,0)D,{(0,—3))

3.集合人=卜后2+2*+1=0}中只有一个元素，则a的值是()

A.0B.0或1C.1D.无数多个

4.集合A=WeN,且六ez|,用列举法可表示为A=.

5.给出下列集合：

①{(x,"x01,y01,xw2,"-3);

②［匕且u

1［y*-3

③卜挑1)2+(y—J卜k—2)2+(y+3小()}.

9

其中能表示“在直角坐标系xoy平面内，除去点（1,1）,（2,-3）

之外的所有点的集合”的序号为.

第二讲：集合间的关系及含参集合问题

（2课时）

课标要求

1.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；

2.能用图形语言（韦恩图（Venn）,数轴等）表达集合的关系.

知识清单

9.包含关系：对于集合A,B,如果集合A中元素

集合B中的元素，就说明这两个集合有,记作

AqB（或B?A）,读作“A含于B”（或“B包含A”）；

10.子集：如果AqB,那么就说集合A是集合B的;

如果AzB,那么就说集合A不是集合B的.

11.规定：空集是任何集合的;对于任何一个集合A,都有

10

中三A.

12.Venn图：用平面上封闭曲线的内部代表集合；如AqB可以用图表

示.B这^

13.集合相等：如果集合A是集合B的子集（AQB）—

，且集合B是集合A的子集（BcA）,此时，集合A与集合B中的

是一样的，因此。集合A与集合B.

14真子集：如果集合A[B,但存在元素x£B,且x^A（即AWB）,那么

就称集合A是集合B的,记作A噎B,（或B及A）,读作“A真

包含于B”（或“B真包含A"）.

典例探究

一、包含关系、相等关系

例1.判断以下每组的集合之间是否存在包含关系，如果存在，请用

符号之或3表示它们之间的关系：

（1）A:所有智能手机，B：所有的手机；

（2）A={1,2,3）,B={1,2,3,4}；

（3）A={xe7?|x>1},B={xeT?|x>2）；

（4）A={xe7?|x>1},B={xe/?|x<2]；

（5）A:平面直角坐标系中所有第一象限的点，B:平面直角坐标系中

所有x轴正半轴上的点；

小结：

11

例2.用符号口或3表示下列集合的关系：

(1)A:所有的菱形，B:所有的四边形，C:所有的平行四边形;

(2)4=卜苗—l=o},6={—1,1}；

(3)A={xeN*|x是4与10的公倍数},8=上,=204,左eN*}；

(思考：包含关系反映的就是部分和整体之间的关系吗？)

小结：(l)AqB.且BqCnA—C;

⑵AqB,且BqAoAB;

(3)任何一个集合是它本身的,即AA.

二、子集、真子集

例3.用适当的符号(3尸,暮)填空：

(1)a{a};(2){0,1}N;

(3){2,1}__{x\x2-3x+2=0);

(4)0___O；(5)0{0};

(6)(a,b){(a,b)};⑺{0,1}_____{(0,1)};

(8){x|x是奇数}{x|x=4n+l,nez}

小结：

例4.写出集合{1,2,3}的所有子集，并说出其中有几个是真子集,

有几个是非空真子集.

12

变式：已知集合M满足{1,2}[Mq(1,2,3,4,5),写出集合

M.

小结：

四、含参集合问题

例5.(1)已知4={x,<-3},8={x-5},则A_____B;

⑵已知A={x[x<-3},5={x\x<a},若满足AqB,求实数a的取值范围;

⑶已知A=卜|x<-3},B={x\x<a},若满足AUB,求实数a的取值范围；

⑷已知A={x|aWxW2a},B={x|-5<x<2),若满足A〉B,求a的取值范

围；

变式：已知集合卜|-34xW4}?N2/”-l<x<m+l},求实数m的取值范围.

13

小结:

归纳总结：

1.理解包含关系，能从集合的整体角度识别包含关系，也能用元素的

角度说明清楚包含关系；

2.初步形成“数形结合思想”能用Venn图或数轴解决包含关系的相

关问题；

3.巩固和应用“分类讨论思想”解决一些比较复杂的问题.

巩固与提升

基础题组

1.用适当的符号填空：

(1)N—Z;(2)N—Q;(3)R—Z;(4)R—Q;

(5)2N;(6){2}—N;(7)0—A;

(8)已知集合4={乂/一3x+2=0},6={l,2},C={x[x<8,xeN},贝lj

A_BAC{2}____C2C

2.集合S={a也c,d,e},包含{a,b)的S的子集个数共有()

A.2B.3C.5D.8

3.下列论述：(1)空集没有子集；(2)任何集合至少有两个子集；

(3)空集是任何集合的真子集；(4)若中〶A,则AN①，其中正确

14

的个数有()

A.0B.1C.2D.3

4.已知A={x|-3<x<5},B={x|x<«},若满足AqB,则实数a的取值范围

是.

综合题组

1.已知集合A=kk2—2x—3=0},B={x|ax=l}^8：A,则实数a的值构成的

集合是()

A.{-1,0,1)B.{-1,0}C.{-1,->D.{1,0}

333

2.已知集合A={x|O<ax+l45},集合8=卜卜;<彳42卜

(1)若A工B,求实数a的取值范围；

(2)若AeB,求实数a的取值范围；

(3)A、B能否相等？若能，求出a的值；若不能，试说明理由.

3.有三个元素的集合A,B,已知A={2,x,y},B={2x,2,产},且

A=B,求x,y的值。

15

第三讲：集合的运算

(2课时)

课标要求

1.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集

与交集；

2.理解在给定集合中的一个子集的补集的含义，会求给定子集的

补集；

3.能使用韦恩图(Venn)表达集合的运算.

知识清单

15.并集与交集

自然语言由所有属于集合A—集合B由属于集合A___集合B

的元素组成的集合，称为集的所有元素组成的集合，

合A与集合B的________,称为集合A与B的____.

记作AUB,读作“A并B”；记作AAB,读作“A交B”；

符号语言AUB={x|xG4,或B\APlB=卜忖GA,_ELxeB\

图形语言

16

2.全集与补集:

自然语言如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，

那么就称这个集合为_______.;对于一个集合A,由全集

U中_____集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对

于全集U的补集，记作QA,读作“A在U中的补集”，

简称“A的补集”；

符号语言CvA-\x|XGA}

图形语言

L

MA

典例探究

一、并集与交集

例1.求解以下每组的两个集合的并集、交集:

(1)A={1,2,3},B={2,3,4}

(2)A={1,2,3},B={1,3}

(3)A={1,2,3},B={8,9}

(4)A={1,2,3},B={1,2,3}

(5)A={1,2,3),B=中

小结：（1）两个集合的公共元素在这两个集合的并集中只算一个元

17

素，因为集合中的元素要符合性；

(2)当两个集合没有公共元素时一，不能说这两个集合没有交集，而

是它们的交集为；

(3)特别的：AUA=AGA=A;AU(D=A,AG中=①；------―

AqBoAUB=A)

AcB<=>AAB=B

例2.(1)设集合4=卜,2_以_5=0},8=k苗=1},求AUB,AAB；

(2)设集合A=kX一4》一5=0},6=1|办2=1},且AGB=①，求实数a的

取值构成的集合;

(3)设集合A=k|xW2,或x〉7},B={x|3x-728-2x},求AUB,AAB；

(4)设集合A={x|x<2,或x>7},B={x[a<x<2a+l),

若AAB=①，则a的取值范围是.

若AUB=A,则a的取值范围是.

(5)A={(x,y)|y=-4x+6},8={(x,y)|y=5x-3},贝ljAAB=.

小结:

18

二、补集

例3.(1)设11={小是小于9的正整数},A={1,2,3},B={3,4,5,6},

求QB,AC(QB),RACiQB

(2)已知集合A=k|3Wx<7},B=k|2<x<10},求g(AU8),CR(AC\B),

(CRA)AB,An(c*),

小结：

例4.(1)已知全集U二k|x是小于10的正整数},AuU,BuU,

且(C")AB={1,8},AGB={2,3},(5)n旦心)={4,6,9},

求集合A、B.

(2)某班共有26名同学参加了数学、物理两科竞赛，其中两科都获

奖的有8人，数学获奖但物理不获奖的有12人，物理获奖但数学未

获奖的有4人，求数学获奖人数，物理获奖人数以及两科均未获奖的

人数.

19

小结:

归纳总结

1.理解交集，并集，补集运算，能结合Venn图、数轴、坐标系解决

数集、点集的集合运算；

2.巩固和应用“数形结合思想”、“分类讨论思想”，体会数学思想

对于数学应用的作用.

巩固与提升

基础题组

1.⑴A={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则AGB=；

(2)A={等腰三角形},8={直角三角形},贝IJAGB=;

⑶A={x|x>3},8=1<6},贝IJAGB=；

(4)若S={1,2,4,8},A=①，则CSA=.

2.已知U=(2,3,4,5,6,7},M={3,4,5,7}N={2,4,5,6}，则下列正

确的序号有；

①MGN={4,6}②MUN=U

③(QN)UM=U④(C“M)GN=N

3.设A={不大于20的质数},B=k|x=2〃+l,〃eN*},用列举法写出集合

AAB=.

20

4.设全集U=卜k是三角形},A=是锐角三角形},8={x|x是钝角三角形},求

AAB,Cy(AUfi).

5.设集合A=k|2Wx<4},8=卜|3x-7N8-2x},求AUB,AAB.

综合题组

1.集合A-1喙ez},B=<ez|,则AGB=.

2.已知{3,4,m2-3m-l}A{2m,-3}={-3},贝ljm=.

3.在某校高一(5)伴的学生中参加物理课外小组的有20人，参加数

学课外小组的有25人，既参加数学课外小组又参加物理课外小组的

有10人，既未参加物理课外小组又未参加数学课外小组的有15人，

则这个班的学生总人数是()

A.70B.55C.50D.无法确定

4.已知M={1},N={1,2},设A={(x,y)xeeN},B={(x,y)x€N,ywA/},

求AUB,AGB.

5.已知集合A=k|-14x42},B={x|2a<x<a+3},且满足AGBW中，则

实数a的取值范围是.

6.设全集U={2,3,/+2m—3}.A=M+l|,2},QA={5},求m的值.

21

第四讲：函数的定义和相关概念

(2课时)

课标要求

1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域；

2.理解区间的概念和用法.

知识清单

1.函数的近代意义：

设A,B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系九使对于集合

A中的x,在集合B中有的数/(x)和它对应，那么

就称/：AfB为从集合A到集合B的一个,记作y=f(x),xeA.

2.函数的3要素：定义域、值域、对应关系.

3.区间：设a,b是两个实数，而且a〈b,那么规定：

闭区间开区间半开半闭区间

左闭右开区间左开右闭区间

自然语言满足a<x<b的实满足a<x<b的满足a〈x<b的满足a〈x«b的

数集实数集实数集实数集

集合语言

[xa<x<b]{<x<b}{>\a<x<b}[^a<x<b}

区间语言(a,b)

[a,b]

22

图像语言

T-J------->---,1

I1_4-1,0------------->

abababab

涉及“无穷大”的区间:

集合语言(xx>xx>a]{xx</?}{xx€/?)

区间语言(-8,b)

[a,+8)

图像语言_____1_

==k0

-u

b

a二

3b

典例研究

一、函数的概念

例1.判断下列从集合A到集合B的对应关系是否构成函数:

小结:

例2.判断以下哪些从集合M到N的对应是函数：

(1)M={1,-1,2,-2),N={3,2}，对应法则/：x-y=|x|+l；

(2)M={x|xeZ},A^={y|yeZ},对应法贝,：xfy=*

(3)M=k|x>O,xeR},N={y|yeR},对应法则/:x->y2=2》；

(4)M=R,N={1},对应法则/:x->y=l;

(5)M={(x,y)|xee/?},N=1卜e/?},对应法则/:(x,y)->s=x+y;

(6)M=卜,是三角形},N={y[y>()},对应法则y等于x的面积；

小结:

二：区间

例3.请判断下列数集能否写成区间的形式，如果可以，请写出对应

的区间:

24

(1)A-{x|x<0,xeZ};(2)B={x|-2<x<9,xe/?!;

(3)C={x|-2<x<9,xeg};⑷。={y|y>3};

(5)E={z[z<-3或A2}；(6)/=卜,>1且xw5}.

小结：区间是连续的简单表示方式；当一个集合是由多个间

隔开的连续组成时一，可以把这个集合写成多个区间的并

集.

三、函数的三要素、函数相等

例4.求下列的函数的定义域.

(1)y=—(2)y=7(3)y=

xx-2

__________________7

(4)y=+1(5)y=vx-1Vx+l(6)y=J2x+1+-----

x-2

小结：函数的定义域通常由问题的实际背景确定；如果只给出函数的

解析式，而没有指明它的定义域，那么函数的定义域就是能使这个式

子有一一的自变量的集合.

例5.判断下列各组函数是否为同一函数：

(1)y=x与y=(2)y=凶与y=A/P"

25

⑶>=7?与〉=(五)2(4)y=2"*"与y=2x+1

x

(5)y-Jx+1Jx-l与y-J〉'-1

小结：一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值域；由于值域

是由定义域和对应关系决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并

且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等.

归纳总结

1.理解函数的概念，能判断一个给定的对应关系是否构成函数；

2.熟练掌握区间表示法；

3.能求解函数的定义域，并能根据函数的三要素判断两个函数是否相

等.

巩固与提升

基础题组

1.将下列集合用区间表示:

(1)(x|x=1或2<x<3)(2)卜且工一2>0

2.求下列函数的定义域：

(1)),=尸(2)y=(尤-1•A/1-X

2X2-3X-2

26

(3)3⑷y=­r

1-Jl-x1+-

x

3.下列各组式子是否表示同一函数？

(1)y=|x|,5=(2)y=x,y=(Vx)2(3)y=Jl+x•Jl-x,y=A/1-X2

综合题组

1.下列各组函数表示同一函数的是()

A.y=———^与y=x+1B.y=\l~2x3=x»J-2x

x-l

C.y=x与g(x)=(4)2D.y-x2-2x-l^s-t2-2t—\

2.下表表示y是x的函数，则函数的值域是()

X0<x<55Wx<1010Wx<1515WxW20

y2345

A[2,5]B.NC.(0,20]D.{2,3,4,5}

3.将长为a的铁丝折成矩形，则面积y与一边长x之间的函数关系式

为，定义域为，

第五讲：函数的表示方法

(2课时)

课表要求

1.了解函数的三种表示方法及各自的优点与不足;

27

2.理解分段函数的概念，会作出分段函数的大致图像，并能正确求出

分段函数在某电的函数值；

3.理解映射的概念，了解其与函数的额区别与联系，并能判断某些对

应关系是否是映射；

4.培养数形结合、分类讨论的数学思维方式.

知识清单

一、函数的表示方法

表示函数的方法。常用的有解析法、列表法和图像法三种.

(1)列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系；

优点与不足：.

⑵图像法：就是用图像表示两个变量之间的对应关系；

优点与不足：.

⑶解析法：就是用数学表达式来表示两个变量之间的对应关系，这

个数学表达式就叫做函数的解析表达式，简称解析式.

优点与不足：.

二、分段函数

在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应

法则，这样的函数通常叫做分段函数.

注意：(1)分段函数是一个函数而不是儿个函数；

(2)处理分段函数问题时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间

段，从而选取相应的对应法则；

28

(3)画分段函数图像时，应根据不同的定义域上的不同解析式分别

作出.

三、映射

定义：一般地，设A,B是两个非空集合，如果按某一个确定的对应关

系/.使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的

元素y与之对应，那么就称对应/：A-B为从集合A到集合B的一个

映射.记作/：A—B.

映射与函数的区别与联系：.

典例探究

例1.某种笔记本的单价是5元，买x(xe{1,234,5})个笔记本需要y

元，试用三种表示法表示函数y=/(x).

例2.下表是某高校高一(1)伴三位同学在高一学年度儿次数学测试

的成绩及班级平均分表：

第一次第二次第三次第四次第五次第六次

张伟988791928895

王红907688758680

陈明明686573727582

班平均分88.278.385.480.375.782.6

请你对这三位同学在高一学年度的数学学习情况做一个分析.

29

例3.(1)画出函数y=|x|的图像.

⑵函数"X)在闭区间［-1,2］上的图像如下图所示，则求此函数的解析

式.

变式：作出函数y=|x-5|+|x+3|的图像，并求出其定义域和值域.

例4.某市郊空调公共汽车的票价按下列规定制定：

(1)乘坐汽车5公里以内，票价2元；

(2)5公里以上，每增加5公里，票价增加1元(不足5公里按5

公里计算).

已知两个相邻的公交车站相距约为1公里，如果沿途(包括起点站和

终点站)设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数

解析式，并画出函数的图像.

变式：函数/。)=同的函数值表示不超过X的最大整数，例如

[-3.5]=-4,[2.1]=2,当xe(-2.5,31时,写出的解析式,并做

出函数的图像

例5.已知/(x)=[2：+产：：，。)

2x+l,xG[0,+oo)

(1)求的值；

(2)画出函数的图像.

变式：设函数/。)=卜2+2('"2),贝4/(7)=___________.若〃/)=8,贝IJ

2x(x>2)

%--------------•

例6.以下给出的对应是不是从A到集合B的映射？

(1)集合A={"P是数轴上的点},集合B=R，对应关系f：数轴上的点与它

31

代表的实数对应；

(2)集合A={p|p是平面直角坐标系中的点},B={(x,y)xeR,yeR},对应关系

f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；

(3)集合A=卜卜是三角形},集合6=卜,是圆},对应关系f:每一个三角形

都对应它的内切圆；

(4)集合

A=是新华中学的班级},集合5={x|x是新华中学的学生},对应关系：

每一个班级都对应班里的学生.

变式：设集合A={a,6,c},8={0,l},试问：从A到B的映射共有儿个？并

将它们表示分别出来.

归纳总结:

巩固与提升

基础题组

1.已知/(x)与g(x)分别由下表给出

X1234

f(X)4321

X1234

g(x)3142

32

那么f(g(3))=.

2.某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，

设在途中花的时间为t,离开家里的路程为d,下列图形中，能反映

该同学的行程的是()

4.RtAABC中，AC=3,BA=4,动点P从直角顶点出发沿CB、BA、AC运

动回I到C,设路程PC=x,写出线段AP的长度与x的函数式f(x).

综合题组

1.设集合A={x|0<x<6},8={y\0<y<2},从A到B的对应法则f不是映射

的是().

A.f:xy=—xB.f：xy=—x

2

1

C「.f，:xy=—xD.f:xy=—x

46

(x+1)2,x4—1

6.已知函数/(x)=(2x+2,—若/3)>1,则a的取值范围是()

——l,x>1

、X

33

A.(-8,-2)U+8)B・（-！，！）

222

C.(-,-2)U(-l,l)D.(-2,-1,)U(l,+8)

22

2x,x<-1

7.已知函数/*）=<1,-1<xW1,

-2x,x>l

（1）求/（X）的定义域、值域;

（2）作出这个函数图像.

第六讲：求抽象函数定义域、求函数解析式

（2课时）

课标要求

1.掌握求抽象函数定义域的方法；

2.掌握求函数解析式的方法.

知识清单

一、求抽象函数定义域的方法

1.已知/（X）的定义域，求/[g（x）]的定义域

若/（X）的定义域为aWxKb,则令/[g（x）]中a4g（x）K〃，从中解得X的

34

取值范围为/卜(刈的定义域；

2.已知/夙朗的定义域，求/⑶的定义域

若/［g(x)］的定义域为m，则由mWx4〃确定g(x)的范围即为/(x)

的定义域；

3.已知/［g(x)］的定义域，求加⑹的定义域

可先由/［g(x)］定义域求的/(X)的定义域，再由"X)的定义域求的

了做刈的定义域;

4.由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域

先求出各个函数的定义域，然后再求交集.

二、函数解析式

1.代入法：已知/(x),g(x)的表达式，求复合函数"g(x)］的解析式；

2.换元法：已知复合函数/［g(x)］的表达式时，还可以用换元法求/(X)

的解析式，要注意所换元的定义域的变化.

3.配凑法：已知复合函数八g(x)］的表达式，求/(X)的解析式，/［g(x)］的

表达式容易配成g(x)的运算形式时，常用配凑法，但是要注意所求函

数/1)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域.

4.待定系数法：在已知函数解析式的构造时一，可用待定系数法；

5.构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进

行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式.

35

典例探究

例题1.

(1)已知函数/(X)的定义域为[-1,5],求/(3x-5)的定义域；

(2)已知函数/(3-2x)的定义域为[-1,2],求函数/(x)的定义域;

(3)已知y=/(x+l)的定义域为[-2,3],求函数y=/(2x-1)的定义

域；

(4)已知y=/(x)的定义域为[0,2],求函数"x)=/(x+g)-/(x-g)

的定义域；

小结：求函数定义域时，要针对所给函数形式，把握函数定义域的含

义.

例题2.

(1)已知/(%)=--1,g(x)=-V7+i,求/(g(x))；

(2)设/")是一次函数，且/[/(x)]=4x+3,求/(X);

(3)设/(x)满足/(x)-2/d)=x,求/(x).

36

例题3.

设二次函数/(x)满足/(x+2)=/(2-x),且/(x)=0的两实根平方和为

10,图像过点(0,3),求“X)的解析式.

小结：(1)已知函数类型求函数的解析式时常用待定系数法

(2)当作用对象互为相反数，倒数，负倒数时，常用方程组法求函

数的解析式.

例题4.

(1)已知/(x-2)=/+3x+l,求/(x)的解析式；

(2)已知/(X+1)=X2+4(X>0),求/(x)的解析式.

XX

小结：1.已知f(g(x))表达式，求f(X)的表达式常用换元法、

配凑法；

37

2.用换元法时要注意新元范围.

巩固与提升

基础题组

1.若/(x)的定义域为[0,1],则/(x+2)的定义域为()

A.[0,1]B.[2,3]C.[-2,-1]D.无法确定

2.已知函数y=/(x+l)的定义域是[-2,3],则函数〃2x-1)的定义域

为()

A.[0,-]B.[-1,4]C.[-5,5]D.[-3,7]

2一

3.已知/⑴的定义域为[-1,2),则外力的定义域为()

A.[-1,2)B.[-1,1]C.(-2,2)D.[-2,2)

4.设函数/(上H)=x,则/(x)的表达式为()

1+X

A.B.旦C.三D.二

1-xx-1l+xX+1

5.已知函数/(x)=」一，则函数八/(x)]的定义域是()

X+1

A,{x\x1}B.卜,。一2}C.卜,。一1,一2}D.

6.若/(x)是一次函数，/[/(x)]=4x-l,贝I/(x)=.

7.已知函数y=/(x)的定义域为[—1,2],贝IJ函数g(x)=/(x+l)+/(x—l)的

定义域是.

8.已知函数/*)=4》+3*(%)=/，求/[/(x)],/[g(x)],g[/(x)],g[g(x)].

38

综合题组

1.已知/(6+1)=x+24，求/(x+1).

2.函数/(x)满足条件求/(x)的解析式.

3.设函数/(x)的定义域为［0』,则:

(1)函数/G)的定义域为;

(2)函数/(«-2)的定义域为;

4.已知二次函数/(x)当x=2时有最大值16,它的图像截x轴所得的

线段长为8,求解析式y=/(x).

5.如图，用长为1的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若

半圆半径为x,求此框架围成的面积y与x的函数式y=/(x),并写出

D———

它的定义域.

AB

39

6.已知函数/(x)的定义域是(0,1],求g(x)=/(x+a)・/(x-a)(-g<a<0)的

定义域.

第七讲：函数的单调性

（2课时）

课标要求

1.理解函数的单调性及其几何意义；

2.能熟练应用定义判断函数在某区间上的单调性，并能够狠据函数图

像找出函数的单调区间；

3.理解函数的最大（小）值以及其儿何意义，并能求出函数在某区间

上的最值；

4.培养数形结合、分类讨论的数学思维方法.

知识清单

一、函数单调性定义

1.增、减函数定义

40

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I,

如果对于定义域I内的某个区间D上任意两个自变量尤”々，当王

时，都有，那么说f(x)在区间D上是增函数

(increasingfunction);若当王＜々，都有,则f(x)

在区间D上是减函数.

注意：

①函数的单调性是定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性

质；

②必须是对于区间D内的任意两个自变量x„x2.

2.函数的单调性定义

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函

数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)

的单调区间.

二、函数的最大(小)值

最大值：设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：

(1)对于任意的xe/,都有"X)4例；

(2)存在丁w仕使得y(xo)=Af.

那么，称M是函数y=f(x)的最大值(maximumvalue);

最小值：设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：

(3)对于任意的xe/,都有/*经例;

(4)存在使得/Qo)=M.

那么，称M是函数y=f(x)的最小值(minimumvalue).

4]

典例探究

例题1:如图是定义在闭区间［-5,5］上的函数y=/(x)的图像，根据图

像说出y=/(x)的单调区间，及在每一单调区间上，y=是增函数

还是减函数.

思考：做出函数/(》)='的图像，并判断其单调性.

X

变式：指出下列函数的单调区间及单调性.

x+2,x>1

⑴/(x)=W(2)/(x)=<

一3x+6,x«1

小结：可通过做出函数图像来找函数的单调区间.

42

例题2.证明函数〃x）=3x+2在R上是增函数.

变式：证明函数>7+，在（1,+8）上为增函数.

X

小结：判断函数的单调性的方法步骤

利用定义证明函数/（X）在给定区间D上的单调性的一般步骤：

①任取益,尤2eD,KX]<x2；

②作差/&）-/卜）；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（判断差/日）-/&）的正负;）

⑤下结论（即指出函数法f（X）在给定区间D上的单调性）.

即时应用：

1.函数Ax”一一2x的单调增区间是（）

A.B.[l,+oo）C.RD.不存在

2.函数y=的单调性是.

3.函数〃x）=|x-2|的单调递增区间是,单调递减区间是

43

例题3:如图为函数)=/(0》4-4,7］的图像，指出它的最大值、最小

例题4：求出下列函数的最小值：

(1)y=x2-2x;(2)f(x)=—,xG[1,3]

x

44

变式：

1.求y=3在区间［3,6］上的最大值和最小值.

x-2

2.求函数丁=/—2犬-3在区间［-2,2］的最大、最小值.

小结：

1.求函数最大（小）值的常用方法：配方法、图像法、单调法；

2.函数最大（小）值与单调性的连续；

①若/（X陶。力止单调递增,财“ax=/（^VWmin=M；

②若小闲凡b止单调递减,贝犷（Hax=/⑹小心=W）・

即时应用：

1.函数/（x）=2x--的最大值是（）.

A.-lB.0C.1D.2

2.已知函数/⑴的图像关于y轴对称，且在区间（-8,0）±,当x=T

时，/（x）有最小值3,则在区间（0,+oo）上，当x=,/（x）有

最—值为.

45

巩固与提升

基础题组

1.设函数/（x）=（2"l）x+6是R上的减函数，则有（）

A.a>-B.a<-C.a>—D.a<—

2222

2.函数y=|x+l|+2的最小值是（）

A.OB.-lC.2D.3

3.在区间（-oo,0）上为增函数的是（）

9

A.y=-2xB.y=—C.y=IxlD.y=-x2

x

4.若函数/（x）在区间（a,b）上为增函数，在区间（b,c）上也是增

函数，则函数/⑴在区间（a,c）±（）

A.必是增函数B.必是减函数

C.是增函数或是减函数D.无法确定增减性

5.函数丁=--+1,%€［-1,2］的最大值为,最小值为

综合题组

6.如果函数4）=/+2（”1卜+2在区间（-8,4］上是减少的，那么实数a

的取值范围是（）

A.a<-3B.a>-3C..a<5D.a>5

7.定义在R上的函数/（x）对任意两个不相等实数a,b,总有

巡二迎〉0成立，则必有（）

a-b

A.函数/（x）是先增加后减少B.函数/（x）是先减少后增加

C./（X）在R上是增函数D./（X）在R上是减函数

46

8.已知y=/(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且

则a的取值范围是.

9.已知函数)，=2/+以+(?在(-00,-'1)上是减函数，在-+oo)上是增函

数，且两个零点不々满足归-即=2,则二次函数的解析式是

第八讲：复合函数的值域

(2课时)

课标要求

1.掌握将复合函数转化成基本函数形式，从而求出值域的方法；

2.培养数形结合的数学思想方式.

知识清单

一、在函数y=/(x)中，与自变量x的值对应的值，叫做函数值，函

数值的集合叫做值域；

二、函数的最值：

设函数y=/(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：

(1)对于任意实数XG/,都有/'(x"M⑵存在使得/'(X0)=M,那么

我们成实数M是函数的最小值；

设函数y=/(x)的定义域为I,如果存在实数M满足：

47

(2)对于任意实数xe/,都用'(x)