高中数学-平面几何中的向量方法教学设计学情分析教材分析课后反思

人教版高中数学必修四251平面几何中的向量方法

教材分析

本节内容是数学4第二章平面向量第5节平面向量应用举例第1

小节，是在学习了平面向量定义运算数量积的基础上，展示平面向量

在平面几何和物理中的应用.向量作为一种重要的解题方法，渗透于

高中数学的很多章节，它是沟通代数、几何与三角函数的桥梁，特别

是在解决几何问题中的工具作用更为突出.这种数学方法，把几何从

思辨数学化成算法数学，降低了思考问题的难度，推进了几何研究的

发展.本节内容是中学数学知识网络的一个交汇点，因此在中学数学

教材中的地位也越来越重要.本节也为学生以后学习向量在三角函数、

立体几何、复数等章节内容中的应用奠定了基础.

本节的目的是让学生加深对向量的认识，更好地体会向量这个工

具的优越性.对于向量方法，就思路而言，几何中的向量方法完全与几

何中的代数方法一致，不同的只是用“向量和向量运算”来代替”数和数

的运算”.这就是把点、线、面等几何要素直接归结为向量，对这些向量

借助于它们之间的运算进行讨论，然后把这些计算结果翻译成关于点、

线、面的相应结果.代数方法的流程图可以简单地表述为：

则向量方法的流程图可以简单地表述为：

这就是本节给出的用向量方法解决几何问题的“三步曲”,也是本节的

重点.

人教版高中数学必修四251平面几何中的向量方法

学情分析

“授人以鱼，不如授人以渔''，最有价值的知识是关于方法的知识。学

生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教

学效果最重要的因素。在教法学法方面,采用启发式、探讨式的教学

方法，引导学生自主探究，合作交流。教师创造疑问，学生想办法解决疑

问,通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。

2.5平面向量应用举例

2.5.1平面几何中的向量方法

教学设计

教学目标

1.通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的

“三步曲”.

2.明了平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由

向量的线性运算及数量积表示.

3.通过本节学习，让学生深刻理解向量在处理有关平面几何问题中的优越性，活

跃学生的思维,发展学生的创新意识,激发学生的学习积极性,并体会向量在几何

和现实生活中的意义.教学中要求尽量引导学生使用信息技术这个现代化手段.

重点难点

教学重点：用向量方法解决实际问题的基本方法；向量法解决几何问题的“三步

曲”.

教学难点：如何将几何等实际问题化归为向量问题.

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

向量的概念和运算都有着明确的物理背景和几何背景，当向量和平面坐标系

结合后，向量的运算就完全可以转化为代数运算.这就为我们解决物理问题和几

何研究带来了极大的方便.本节专门研究平面几何中的向量方法.

思考：1、前面的向量学习了哪些知识.

定义、运算（加法、减法、数乘、数量积、坐标）、共线向量定理、平面向量基

本定理等。2、用这些知识解决了哪些问题

平行、垂直、夹角、长度

推进新课

探究一（长度问题）

长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？

对角线长度的平方=两邻边的平方和.

平行四边形有类似的数量关系吗？

例1.平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图，

AC=AB+AD,DB=AB-AD,

你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？

分析：不妨设设A3=a,AO=B,

(选择这组基底，其它线段对应向量用它们表示.)

则

AC=a+b,DB—a—b,

涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算口4)丽

解：

=4/46=0+历(£+杨

=a*a+a*b+b*a+b*b(1)

=同+24+印

同理

回『=@-2》+问2.(2)

观察(1),(2)两式的特点，我们发现，(1)+(2)得

|AC|2+1丽卜2(p|2+呼)=2(|AB|2+J而卜

即平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍.

有没有其他的方法证明上述结论？

活动:①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关

系.利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系.指导学生猜想出结论:

平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和.

②教师引导学生探究证明方法，并点拨学生对各种方法分析比较，平行四边形是

学生熟悉的重要的几何图形，在平面几何的学习中，学生得到了它的许多性质，有

些性质的得出比较麻烦，有些性质的得出比较简单.让学生体会研究几何可以采

取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法.

以AB所在直线为x轴,A为坐标原点建立直角坐标系.

设B(a,0),D(b,c),则C(a+b,c).

|AC12=(a+b)2+c2=a2+2ab+b2+c2,

IBD|2=(a-b)2+(-c)2=a2-2ab+b2+c2.

A|AC|2+|BD|2=2a2+2(b2+c2)=2(|AB12+1AD|2).

为解决重点问题所作的铺垫已经完成，向前发展可以说水到渠成.教师充分

让学生对以上各种方法进行分析比较，讨论认清向量方法的优越性，适时引导学

生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤.由于平面几何经常涉及距离

(线段长度)、夹角问题,而平面向量的运算,特别是数量积主要涉及向量的模以及

向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题.解决几何问题时,

先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素.然后通过向量的运算，特别是数

量积来研究点、线段等元素之间的关系.最后再把运算结果“翻译”成几何关系,

得到几何问题的结论.这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，即

(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何

问题转化为向量问题；

(2)通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题；

⑶把运算结果“翻译”成几何关系.

旷c

4

2.5-

2

例4图2.5-2oABCD中，点E、F分别是AD、DC边的中点,BE、BF分别与AC

交1R,T两点，你能发现AR、RT、TC之间的关系吗？

相动：为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中

AR、?氏PC之间的相等关系,教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形,测量AR、

RT、TC的长度，让学生发现AR=RT=TC,拖动平行四边形的顶点，动态观察发

现,AR=RT=TC这个规律不变，因此猜想AR=RT=TC.事实上，由于R、T是对角线AC

上的两点,要判断AR、RT、TC之间的关系，只需分别判断AR、RT、TC与AC的关

系即可.又因为AR、RT、TC、AC共线，所以只需判断而、标区与北之间的关

系即可.探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得

到结论.第一步,建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素,将

平面几何问题转化为向量问题;第二步，通过向量运算,研究几何元素之间的关系;

第三步，把运算结果“翻译”成几何关系:AR=RT=TC.

解:如图

设AB=a,AD=b,AR=r,AT=t,则AC=a+b.

由于AR与AC共线,所以我们设r=n(a+b),neR.

—*..I

又因为旗==a--b,

2

砺与砺共线，

―►―►1

所以我们设ER=mEB=m(a-—b).

2

因为族=族+而，

所以r=—b+m(a~—b).

22

因此n(a+b)=—b+m(a-b),

2

即(n-m)a+(n+生-)b=:0.

2

由于向量a、b不共线，要使上式为0,必须

n-m=O,

<m-\八

nH--------=0.

I2

解得n=m=-.

3

—,,I，

所以AR—-AC,

3

»1.

同理TC=±AC.

3

—•1——•

于是RT=—AC.

3

所以AR=RT=TC.

点评:教材中本例重在说明是如何利用向量的办法找出这个相等关系的，因此在

书写时可简化一些程序.指导学生在今后的训练中，不必列出三个步骤.

探究二（角度问题）

例3.若正方形OABC的边长为1,点D、E分别为AB、BC的中点，试求

cosZDOE.

卡埼

分析：建立坐标系，利用向量的坐标运算求夹角.

解：以0为坐标原点，以OA、0C所在的直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标

系，

cosZPOE="

网网

历=(1,2),砺=(」)

22lx—+—xl

=22二4A.

让x近5

22

建立适当的坐标系，利用向量运算的坐标形式，可使解题思路明确，过程简洁.

课堂练习

B

图9

已知AC为。0的一条直径，ZABC是圆周角.

求证：NABC=90°.

证明：

设AO=a,OB=b,

则AB=a+b,OC=a,BC=a-b,|a|=|b|.

因为AB,BC=(a+b)•(a-b)=|a|2-1b12=0,

所以诟，记.

由此，得NABC=90°.

点评:充分利用圆的特性，设出向量.

课堂小结

1.由学生归纳总结本节学习的数学知识有哪些:平行四边形向量加、减法的几何

模型，用向量方法解决平面几何问题的步骤,即“三步曲”.特别是这“三步曲”，

要提醒学生理解领悟它的实质，达到熟练掌握的程度.

2.本节都学习了哪些数学方法：向量法，向量法与几何法、解析法的比较，将平面

几何问题转化为向量问题的化归的思想方法,深切体会向量的工具性这一特点.

3、用向量方法解决平面几何问题(长度、夹角、垂直等)

①选取恰当的基底,用来表示待研究的向量

②建立平面直角坐标系进行坐标运算。

作业

课本习题2.5A组1、2,

人教版高中数学必修四251平面几何中的向量方法

学情分析

“授人以鱼,不如授人以渔“，最有价值的知识是关于方法的知识。学

生作为教学活动的主题，在学习过程中的参与状态和参与度是影响教

学效果最重要的因素。在教法学法方面,采用启发式、探讨式的教学

方法，引导学生自主探究，合作交流。教师创造疑问，学生想办法解决疑

问,通过教师的启发点拨，学生以自己的努力找到了解决问题的方法。

人教版高中数学必修四251平面几何中的向量方法

评测练习

双基达标（限时20分钟）

1.在△ABC中，若D、E分别是A3、AC的中点，则（）.

—►-►

A.BD=CE

—►—►

8.8。与。后共线

C.BE=BC

D.DE与BC共线

解析如图，可知OE〃故DE与共线.

答案D

2.在四边形ABCO中，AB=-CD,ACBD=0,则四边形为（）.

A.平行四边形B.矩形

C.等腰梯形D.菱形

解析'：AB=-CD,即AB=OC,

：.AB^DC,

：.四边形ABCD是平行四边形.

又ACBD=0,

：.AC±BD,

即ACLBO,.•.□ABC。是菱形.

答案D

3若物体在共点力Fi=(lg2,1g2),正2=(lg5,1g2)的作用下产生位移s=(21g5,1),

则共点力对物体所做的功卬为().

A.1g2B.1g5C.1D.2

解析W=(Fi+F2)-s=(lg2+lg5,21g2)-(21g5,1)=(1,21g2).(21g5,l)=21g5+21g

2=2,故选D.

答案D

4.在平面直角坐标系中，正方形OABC的对角线。8cl____号，1)

的两端点分别为。(0,0)，8(1,1)，则ABAC=_______.I________

O|Ax

解析由已知得A(I,O),c(o,i),

/MB=(0,l),AC=(-1,1),

-A-A

：.ABAC=1.

答案1

5.一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60m,若牵绳与行进方向夹角为30。，纤

夫的拉力为50N.则纤夫对船所做的功为.

解析所做的功W=60X50Xcos30°=150(h/3J.

答案150MJ

—►-►

6.已知点A(l,0),直线/：y=2x—6,点R是直线/上的一点，若RA=2AP,求

点P的轨迹方程.

解设尸(x,y),R(x\,yi),则

—►—►

凡4=(1—xi,—yi),AP=(x—1,y)；

-A-A

由/M=2AP得(1-xi,—yi)=2(x—l,y),

xi=-2x+3

即，

VI=一

代入直线/的方程得y=2x.

所以，点尸的轨迹方程为y=2x.

综合提高（限时25分钟）

7.已知在△ABC中，AB=a,AC=b,且a仍<0,则△ABC的形状为（）.

A.钝角三角形B.直角三角形

C.锐角三角形D.等腰直角三角形

解析Vfl-/>=|a||Z,|cosZBAC<Q,/.cosZBAC<0,

：.90°<ZBAC<lS0°,故△ABC是钝角三角形.

答案A

8.点。是三角形ABC所在平面内的一点，满足。4.OB=OBOC=OCOA,则点

。是△48。的（）.

A.三个内角的角平分线的交点

B.三条边的垂直平分线的交点

C.三条中线的交点

D.三条高的交点

解析'：OAOB=OBOC,

(QA-OC・08=0.

:.O8C4=0.

/.OB_LAC同理OC±AB,

二0为垂心.

答案D

9.一个重20N的物体从倾斜角30。，斜面长1m的光滑斜面顶端下滑到底端,

则重力做的功是.

解析由力的正交分解知识可知沿斜面下滑的分力大小

|F|=1x20N=10N,

W=|F|-|s|=10J.

或由斜面高为2m,W=|G|-/i=20x1J=10J.

答案10J

10.已知作用于原点的两个力为=(3,4),g=(2,-5),现增加一个力F,使这

三个力晶，Fi,b的合力为0,则尸=.

解析VFI+F2+F=0,：.F=-Fi-F2=(-3,-4)+(-2,5)=(-5,l).

答案(-5,1)

11.(2012•宁波高一检测)已知RtZ\ABCZC=90°,设AC=m,BC=n,

⑴若。为斜边4?的中点，求证：CD=1AB；

(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交8C于凡求Af的长(用力、〃表示).

解以C为坐标原点，以边CB、C4所在的直线分别为x轴、y轴建立坐标系,

如图，A(0,m)，8(〃,0).

,,,nm\

为AB的中点，...。仁，yj,

CD=1/4+加2,A8=#/+“2,

—1―r1

CD=2AB'即CD=^AB.

(2)•••E为CO的中点,

AF=(x,—m),

\"A.E、=共线,：.AF=XAE,

即x=?即《事，0).•'>=|yln2+9m2.

12.(创新拓展)如图所示，用两根分别长5啦m

和10m的绳子将100N的物体吊在水平屋顶AB上,

平衡后G点距屋顶的距离恰好为5m,求A处受力的大小.

解由已知条件可知AG与铅直方向成45。角，与铅直方向成60。角，设A处

所受的力为凡，B处所受的力为历,，

・《|F„|cos45°=|n|cos30°,

,*l|Ffl|sin45°+|F/)|sin30。=100,

解得I凡|=15味一5M,故A处受力的大小为(15瓶

人教版高中数学必修四251平面几何中的向量方法

效果分析

本节课学生学习用向量方法解决平面几何问题的步骤，即“三步

曲”.特别是这“三步曲”，学生能理解领悟它的实质，达到熟练掌握

并能分析解决相关问题。学生能利用向量的几何法简捷地解决了平面

几何问题.将平面几何问题转化为向量问题的化归的思想方法，深切

体会向量的工具性这一特点.

人教版高中数学必修四2