易错汇编高中数学易错知识点汇编

高中基础知识归纳

集合与简易逻辑

1.区分集合中元素的形式:

{x|y=/(x)}{y|y=/(x)}{(%,y)ly=/(x)}

函数的定义域函数的值域函数图象上的点集

例1.集合M={[y=X),xc/?},N={y|y=—/+1,xc/?},则A/riN=

例2.集合M={(x,y)|y=xe/?},N={(x,y)|y=—x~+1,xG/?},MCN=

例3.集合M=&a=(l,2)+A(3,4),2e/?},集合N=1,=(2,3)+/l(4,5),2e<1,

则MDN=__________

2.研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性。

例4.已知集合A={x,孙，1g(孙)},集合8={0,|x|,y},且A=3,则x+y=

3.集合的性质：①任何一个集合P都是它本身的子集，记为

②空集是任何集合P的子集，记为0口/\

③空集是任何非空集合P的真子集，记为0uP。

注意：若条件为4工8,在讨论的时候不要遗忘了A=0的情况。

例5.集合A={X|G：2一2》—1=0},如果anR+=0,实数。的取值范围

集合的运算：④(AnB)nc=An(snc).(AUB)UC=AU(BUC)；

Q(AB)=(CVA)(C®、Q(A5)=(QA)(Q3)。

⑤AA5=A=A\JB=BoA^BoCVB^CVA=A^}CuB=0.

⑥对于含有〃个元素的有限集合M,其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数

依次为：2"、2"-1、2"-1、2"-2。

例6.满足条件{1,2}u4口{1,2,3,4,5}的集合A共有个。

4.研究集合之间的关系，当判断不清时，建议通过“再停他”的思想进行研究。

例7.已知M=Wx=2Z+l,ZeN},N={A|X=4攵±l,AeN},则MN。

5.孙集唱卷常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

例8.设函数/(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1在区间［-1,1］上至少存在一个实数C,

使/(c)>0,求实数p的取值范围

6.命题是表达判断的语句。判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题。

①命题的四种形式及其内在联系:

原命题：如果a,那么/?；

逆命题：如果£,那么a；

否命题：如果3,那么方；

逆否命题：如果耳，那么屋

②等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题

甲，既“甲。乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题。

③互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题。

④当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑。

例9.“读a*ii。”是"a手。”的条件。

⑤注意命题“如果a,那么p”的否定与它的否命题的区别：

命题“如果a,那么广”的否定是“如果a,那么万"；否命题是“如果0,那么耳

*例10.“若a和都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是否定是

7.常见结论的否定形式:

原结论是都是一定p或q〃且4大于小于

否定形式不是不都是不一定P且4P或q不大于不小于

对所有X对任何X

原结论至少一个至多一个至少n个至多n个

都成立不成立

一个也至多几—1至少71+1存在某X存在某X

否定形式至少两个

没有个个不成立成立

8.充要条件:

条件结论推导关系判断结果

a=/?a是£的充分条件

aPJ3=>aa是£的必要条件

an0旦Bnae是月的充要条件

在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性：

首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果。

二、不等式

1.基本性质：(注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算)

①且。>c=>a>c；

②推论：i.±c>Z?±c；ii.a>人且c>dn〃+d；

ac>bec>0

(3)a>b^><ac=bc=Oc=0；

ac<bec<0

④推论：i.a>b>O,c>d>O=ac>bd；且。、〃同号=’<—；

ab

ii.a>0>h=>—>0>—；iii.a>b>0,几>0na">b",\[a>\[h；

ab

公,cbh+m

⑤a>h>0,m>0=>—<-------；

aa+m

>0>b

⑥a-b<=0<=>a<=h；

<0[<b

2.解不等式：(解集必须写成集合或区间的形式)

①一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤：

i.分解因式=找到零点；ii.画数轴二标根=>画波浪线；iii.根据不等号，确定解集；

注意点：i.分解因式所得到的每一个因式必须为x的一次式；ii.每个因式中x的系数必须为正。

关键一

②绝对值不等式A去绝对值:

i.W>aox>a或<-a(a>0)；ii.-a<x<a(a〉0)；

iii.\a\>\b\^a2>b\iv.|/(x)|>g(x)(g(x)>0)O/(x)<-g(x^/(x)>g(x)；

v.|/(x)|<g(x)=-g(x)</(x)<g(x)；

借助函数单调性一

③塞、指、对不等式去掉塞、指、对符号=>解不等式：

解对数不等式时，应注意些什么问题？(化成同底、利用单调性、注意同解变形)

④解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键。

而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结：综上所述

⑤对于不等式恒成立问题，常用“函数思想”、“分离变量思想”以及“图象思想”。

例1.已知不等式(。-2)/+2(a-2)x-4<0对一切xeR恒成立，求a的取值范围

3.基本不等式:

①a,bwR,贝22",当且仅当。=人时，等号成立。

a,hER+,则a+bN2j茄，当且仅当a=人时，等号成立。

综上，若则」2+〃之(“+〃/当且仅当a=〃时，等号成立。

2

*②若a,bwR+,则｛立岩之彳之疯21T,当且仅当。=力时，等号成立。

--1--

ab

x>0,当且仅当x=L即x=l时，等号成立

,>2

X

X,%<0,当且仅当x=1,即x=-l时，等号成立

X

例2.已知正数〃、满足。匕=。+人+3,则的取值范围是

91

例3.函数y=4x--——(x>])的最小值为

例4.若x+2y=l,则2*+4’的最小值是

例5.正数x、y满足x+2y=2,则工+工的最小值为___________________

xy

4.不等式的证明：

①比较法：作差-因式分解或配方f与“0”比较大小f

②综合法：由因导果。

③分析法：执果索因；基本步骤：要证即证即证。

④反证法：正难则反。

⑤最值法：Q>/(x)max，则a>/(x)恒成立；a</(x)min，则a</(x)恒成立。

三、函数

1.九个基本函数必须熟练掌握：强调函数图象和性质

正比例函数，反比例函数，一次函数，二次函数，基、指、对函数，三角函数，反三角函数。

2.反函数：当且仅当函数是一一对应函数时才具有反函数。

①求反函数的步骤掌握了吗？

i.解方程，用y表示X；ii.交换X与y,写成反函数的形式；iii.注明反函数的定义域。

②你还记得反函数的四个性质吗？

i.互换性；；ii.对称性；iii.单调一致性；iv.还原性。

例1.函数y=/(x)过点(1,1),则/(4-x)的反函数的图象一定经过点

③若原函数y=/(x)在定义域上单调，则一定存在反函数；但一个函数存在反函数，则此函数

不一定单调。你能写出一个具体的函数吗？

例如：分段函数：=2+1》20或/(6=!等。

、乙/X

—x+1x<0

3.函数的要素：定义域、值域、对应法则

①定义域：

i.给出函数解析式，求函数的定义域(即求使函数解析式有意义的x的范围)

(1)y=[/(x)]。=/(X)HO；(2)y=^^=Q(x)NO；

Q(x)

⑶y=20P(x)=>P(x)VO；09y=k)gp(x)Q(x)nP(x)>0,P(x)Hl,Q(x)>0；

JI

(5)y=tan[P(x)]=>P(x)w攵"+,,左£Z；(6)y=cot[P{x)\=>P(x)wk九,kGZ：

(7)y=arcsin[P(x)]=>—1<P(x)<1；(8)y=arccos[P(x)]=>—1<P(x)<1；

ii.使实际问题有意义的自变量的范围。

Ar

例2.锐角AABC中，3C=1,3=2A,则-----的值等于______,AC的取值范围为_____

cosA

iii.求复合函数的定义域：

若/(X)的定义域为同，则/卜(刈的定义域由不等式aWg(x)4b解出；

若丹g(x)］的定义域为同，贝9⑴的定义域相当于xe辰引时g(x)的值域；

例3.函数f(x)=二*的定义域为______________

'l"g4(x-3)

例4.若函数y=/(x)的定义域为g,2,则函数/(log?x)的定义域为

例5.若函数f(x2+1)的定义域为［-2,1),则函数/(%)的定义域为

②值域：函数的值域(或最值)有哪几种常用解题方法？

i.二次函数型或可化为二次函数型；单调性；而.基本不等式；iv.换元法；v.数形结合;

例6.函数y=2sin2x-3cosx-l的值域为

例7.设x,4,。2,V成等差数列，%，，，%,y成等比数列，则十%)的取值范围是______

22

.9

例8.函数y=sin-9x-\----------的值域为__________

1+sin~x

例9.函数y=-log3(5-x)的值域为

3.函数的基本性质：

①奇偶性：

i.定义判断奇偶性的步骤:

(1)定义域。是否关于原点对称；⑵对于任意xe。，判断了(-x)与/(x)的关系:

若/(-%)=/(x),也即/(一x)-/(x)=0oy=/(x),xe。为偶函数

若/(-%)=-/(%),也即/(—x)+/(x)=0oy=/(x),x^D为奇函数

ii.图象判断奇偶性：函数图象关于原点对称O奇函数；函数图象关于y轴对称。偶函数；

iii.判断函数的奇偶性时，注意到定义域关于原点对称了吗？

iv.如果奇函数y=/(x)在x=0处有定义，则/(0)=0。

v.一个函数既是奇函数又是偶函数，则该函数必为：/(x)=O,xeD(其中定义域。关于原点对称)

vi.如果两个函数都是非零函数(定义域相交非空)，则有：

奇+奇=奇；奇+偶=非奇非偶；偶+偶=>偶；奇X奇=>偶；奇X偶=>奇；偶X偶=>偶。

②单调性：设任意M，/G。，且匹</，则/($)=/(/)0无单调性

f(X,)>/(犬2)O减函数<=><0；/(X,)>/(々)O增函数o/(X。—/(少)>0；

X,-x2X]-X,

在比较/($)与/(X2)大小时，常用“作差法”，比较/(七)一/(>2)与0的大小。

i.奇函数的图象在〉轴两侧的单调性一致；偶函数的图象在y轴两侧的单调性相反。

ii.互为反函数的单调性一致。

iii.增函数+增函数=>增函数；减函数+减函数=减函数。

iv.复合函数单调性由“同增异减”判定。

例10.函数y=log|(-x2+2x)的单调递增区间为

2

Vi.注意函数“单调性”、“奇偶性”的逆用(即如何体现函数的“奇偶性”、“单调性”)

例11.已知奇函数/(x)是定义在(—2,2)上的减函数，若/(〃?—1)+/(2m—1)>0,

求实数”的取值范围

③最大值和最小值：参见函数的值域

当X取芯,々，天的中位数时，函数y=|%一百|+|%一%21+-取最小值

④函数的零点：对于函数y=/(x)(xe。)，如果存在实数C(CG。)，当x=c时，/(c)=0,

那么就把x=c叫做函数丁=/(幻(》€。)的零点。注：零点是数;

用二分法求零点的理论依据是：①函数/(X)在闭区间口,切上连续；②

那么，一定存在ce(a/),使得/(c)=0。(反之，未必)

以下性质不是函数的基本性质

⑤周期性：对于函数y=/(x)x&D,如果存在一个非零常数f,使得对于任意xw。时，恒有

/(x+f)=/(x)成立，那么函数y=/(x)xe。叫做周期函数，非零常数f叫做该函数的周期。

i.任意/(x+a)=-/(x),则T=2aii.任意x&D,f[x+a)=Ur，则T=la

iii.任意xe。，/(x+a)=/(x+3,则T=|a-

例12.定义在R上的偶函数/(x)满足/(x+2)=/(x),且在［-3,-2］上是减函数，若a、夕是

锐角三角形的两个内角，则/(sine)与/(cosQ)的大小关系为

*iv.若y=/(x)图像有两条对称轴x=a、x=b(a字b),则y=/(x)必是周期函数，

且一周期为T=2|a—母。

*v.若y=/(x)图像有两个对称中心A(a,0)、B(b,0)(a^b),则y=/(x)是周期函数，

且一周期为T=2|a—4。

*vi.如果函数y=/(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b(a手b),

则函数y=/(x)必是周期函数，且一周期为T=4|a—4。

例13.已知定义在R上的函数/(尤)是以2为周期的奇函数，则方程/苗=0在％£［-2,2］上

至少有个实数根。

©对称性：

i.点(x,y)关于y轴的对称点为(—x,y)；函数y=/(x)关于y轴的对称曲线方程为y=/(—x)。

ii.点(x,y)关于x轴的对称点为(x,—y)；函数y=/(x)关于x轴的对称曲线方程为y=—/(x)。

iii.点(苍力关于原点的对称点为(-x,—y)；函数y=/(%)关于原点的对称曲线方程为y=-/(-幻

iv.两函数y=/(。+月与丁=-x)的图像关于直线x=幺手对称。

V.函数/(X)满足/(a+x)=/0—x),则函数的图象关于直线》=色宇对称。

例14.二次函数/(x)=改2+人不满足/(5-K)=/(X-3),且方程/(x)=x有等根，则/(X)=

/、—3

例15.己知函数/(x)=-x-----,若y=/(x+l)的图像是G，它关于直线y=x对称图像是C,

2x-3

C2关于原点对称的图像为C3，则C3对应的函数解析式是

例16.函数y=x2+x与函数y=g(尤)的图象关于点(一2,3)对称，则g(x)=

Vi.形如丁=”虫(cNO,ad声。c)的图像是双曲线，对称中心是点两条渐近线

cx+d<cc)

分别为X=_4,y=J

cc

例17.已知函数图象G与。2：y(x+a+l)=ax+q2+1关于直线y=%对称，且图象G关于

点(2,-3)对称，则a=

4.函数图象变换:

①平移变换：

i.函数y=/(x)的图象।左加右减»函数y=/(x+a)的图象;

ii.函数y=/(x)的图象一加下减a函数y=/(x)+b的图象;

②伸缩变换：1

沿x轴方向伸缩为原来的点倍

i.函数y=.f(x)的图象函数y=/(bx)的图象：

ii.函数y=/(x)的图象轴方向伸缩为原来的.倍»函数y=h/(x)的图象;

③对称变换：

i.函数y=f(x)的图象，关于丫轴对称a函数y=/(-幻的图象；

ii.函数y=/(x)的图象，关于x轴对称»函数y=—/(x)的图象;

iii.函数y=/(x)的图象=如也%豆A函数y=—/(—x)的图象；

iv.函数y=/(x)的图象，x>°时，图象不变；然后再关于y轴对称»函数y=/(|x|)图象；

V.函数y=/(x)的图象f(x)>°时，图象不变；然后再关于x轴对称»函数丁=[y(x)|图象；

例18.要得到y=lg(3-x)的图像，只需作y=lgx关于轴对称的图像，再向平移3个

单位而得到。

例19.将函数y=〃一+a的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位，所得图象如果与

X+Q

原图象关于直线y=x对称，那么()

(A)。=-1,bwO；(B)。=-1,beR；(C)a=2,Z?wO；(D)Q=O,beR；

5.常见的抽象函数模型:

①正比例函数模型：f(x)=kx,k^Q-----/(x±y)=/(x)±

②幕函数模型：M=x2——/(盯)=/(4/3：卜黑。

③指数函数模型：/(x)=a'-----/(x+y)=/(x)"(y)；A》—引=黑。

④对数函数模型：/(x)=iogt,%—/3)=/(x)+/(y)；=

/(x)+/(y)

⑤三角函数模型：/(x)=tanx-----/(x+>)=

1-向"(>)°

6.三个二次(哪三个二次)的关系以及应用掌握了吗？

①在研究三个二次时，你注意到二次项系数非零了吗？

②如何利用二次函数来研究一元二次方程、一元二次不等式的问题。

③一元二次函数的研究强调数形结合，那么数形结合该从哪些方面去研究？(开口、对称轴、

定义域以及偏移度)

④特别提醒：二次方程o?+法+c=0的两根即为不等式aV+Ar+c〉。(。解集的端点值,

也是二次函数f(x)-ax2+bx+c3H0)图象与x轴交点的横坐标。

7.研究函数问题准备好“数形结合”这个工具了吗？

8.研究函数的性质注意在定义域内进行了吗？

9.解对数函数问题时注意到真数以及底数的限制了吗？

10.指数运算法则：(a>O,b>O,〃zeR,〃GR)

i.a'"-a"=a",+"；ii.("")"=(a"；iii.(a-b)n=an-bn；

11.对数运算法则：

log„M+log(,N=log”(M•N)；1ogM-1ogN=1og号；

a^'h=b.,i°g6=X；log『"='bg,也

"log,am

四、三角

1.三角比的定义你还记得吗？

2.三角公式你记住了吗？①同角三角比的关系：商数关系、倒数关系、平方关系;

②诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

③你能用“小三角形”进行同角三角比的转换吗？

3.三角化简，强调哪两点？①切、割化弦；②化繁为简。

4.三角条件求值你注意到两个关系了吗？(角的关系、名的关系)

例如：a=(a+/3■,2a=(a+p)+(a—力)；22=(a+p)-(a-,)

例1.已知tan(a+/7)=w，tan^/?--J=—,则tan[a+wj=

3

例2.已知a、,为锐角，sina=x,cos^=y,cos(«+/?)=--,则y关于x的

函数关系为

5.在三角中，你知道“1”等于什么吗？

q1=.sin"2a+co2s-a—s2ec-a-t2arra2=csc~a2-coVa=tancot«=tan—万

4

=sin—=cosO..........o

2

八工^八为.21-cos2a三cos2a+1

6.重要公式：①snra=------------；②cos-2a--------------

22

gasina1-cosa④asina+bcosa=JQ?+/??•sin(a+⑶;

21+COS6Zsina

例3.当函数y=2cosx—3sinx取最大值时，tanx=

7.你还记得在弧度制下弧长公式以及扇形的面积公式吗？你注意到了扇形的弧长与周长的

11

区别了吗？弧长公式：l=an周长公式：c=/+2r；面积公式：S=-ar20=—1・八

22

例4.已知扇形AOB的周长是6cvn,该扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积

8.正弦定理、余弦定理的各种表达形式你还记得吗？会用它们解斜三角形吗？

正弦定理：'一=〃一=—^=2R

sinAsinBsinC

余弦定理：a~=h2+c2-2Z?c-cosA；cosA=+C----—；

2bc

面积公式：S=—ab-sinC=-be-sinA=-ca-sinB；

△A222

大边对大角：a>boA>B<=>sinA>sinB；

锐角A4BC中:^a2+b2>c2,则A+B>—nA>——B=>sinA>cosB；

22

钝角A4BC中:若a2+b2<c2,则4+6<工=>A<--B<-=>smA<cosB；

222

直角A46C中:^a2+b2=c2,则A+6=^nA=巳—6nsinA=cosB；

22

例5.在AA8C中,若sinA=—，则cosA=______________^主意几解）

31

则s.A-

在AA6c中，右cosA3-m（注意几解）

*9.三角形与向量综合的有关结论:

-----•,22,,2

①在A46C中，给出。4=OB=OC,=。是A46C的外心；（外心：中垂线的交点）

②在A46C中，给出苏+丽+反=6,=。是AA6C的重心；（重心：三边中线的交点）

③在A46C中，给出O4-Q3=QB-OC=OC-OA,=。是A46C的垂心；（垂心：高的交点）

④在AABC中,nAP所在直线经过A43C的内心;

—.A»,AT

⑤在ZVLBC中,给出AO=--------，=＞等于已知AD是ZVLBC中BC边的中线;

2

例6.。是AABC所在平面内一点，且满足OB-OC=0B+OC—2O4,则根台。的形状为

例7.若。为AABC边BC的中点，A46C所在平面内一点P,满足西+而+丽=6,

AP

设^=2,则；1=

PD

例8.若。是A46C的外心，且苏+无+函=6,则角。=

10.你能迅速画出三角函数（正弦、余弦、正切）的图象吗？你知道三角函数线吗？

能写出它们的单调区间及其取最值时x的集合吗？（别后IkeZ）；

能给出三角函数的对称轴、对称点吗？

H.会用五点法画函数“y=Asin（3x+f）+B”的草图吗？哪五点？

会根据图象求出参数4、3、（P、B的值吗？

12.形如y=Asin（5+°）+8、y=Atan（Ar+。）+8的最小正周期会求吗？有关函数周期的定

义还记得吗？周期函数有何性质？

13.反三角的处理思想是什么？（回归思想：①设、②化、③范围，回到三角范围求解）

14.你能熟练的画出反三角函数：y=arcsinx、y=arccosr、y=arctanx的图象吗？

并结合图象，你能说明反三角函数的性质吗？

15.在三角函数中求一个角时，注意考虑两方面要求：

①先求出某一个三角函数值：②再判定角的范围。

16.三角不等式或三角方程的通解一般式你注明“kwZ”了吗？

17.在用反三角表示直线的倾斜角、两直线的夹角、异面直线所成角、线面角、二面角、向量夹角

时，是否注意到它们的范围？直线的倾斜角：［0,万)；两直线的夹角：0,^；异面直线所成

角：^0,—；线面角：0,—；二面角：［o,万］；向量夹角：万］;

五、数列：

1.数列的本质是什么？(定义在正整数集或其子集上的函数)。

2.等差数列的通项公式与一次函数有什么关系？等比数列的通项公式与指数函数有什么关系？

3.等差数列的求和公式有儿个？等比数列的求和公式应注意什么？

4.设S,是数列｛%｝的前〃项和，则”｛%｝是等差数列”的充要条件是“S“=+其中

公差4=24”。设S“是数列｛%｝的前〃项和，则“｛凡｝是非常数等比数列”的充要条件是

"S“=Aq"-A(AH0)其中公比是q

5.常数列：an=a(〃eN)=>｛/｝是公差d=0的等差数列；

非零常数列既是等差数列,又是等比数列；既是等差数列又是等比数列的数列必为非零常数列

6.若｛4｝是等差数歹(则卜分｝是等比数列(hHO)；若｛%｝是等比数列，则｛log,J©｝是等差数列；

7.对于等差、等比数列，你是否掌握了类比思想？

8.等差数列、等比数列有哪些重要性质？你注意到它们的性质的关键在于下标以及结构特征了吗？

等差数列等比数列

从第二项起，后一项减前一项的差是同从第二项起，后一项与前一项的比是同一非零常数，

一个常数，则该数列为等差数列。则该数列为等比数列。

定

义1.er

an-an_x-d(n>2,nN)1.-^-=q(nN2,nwN*,q手8

an-l

通

a=a(neN")a=(neN*)

项n1n

c3+4)J(〃T),

naq=1

求22]

S"=，_%-a“q.,

和=An2+Bn(〃eN")n

\-q\-q

S]〃=1

通项公式*与前〃项和公式S,,之间的关系：an=

名―S,In"nwN”

1.an-ak=(n-k)-d£N*)1.A=q'i(〃,kwN*)

%

2.2a„+1=an+an+2(neN*)

2.63=«„-4+2(〃eN*,«„+l0)

3.若i+j=k+1=2p,3.若i+j=k+1=2p,

则：•aj=a=(ci)2

则：a.+〃,•=a,+a.=2ankp

性

(6+《)”(a+a_)•n

2n}....

〃22

4.若仁也,自……是公差为女的等差4.若仁,网,&……是公差为左的等差数列，

数列，则：ak,ak2,ak｝....是公差为则：%，4”气…是公比为^的等比数列。

hd的等差数列。

质

5-｛%｝，｛〃,｝分别是公差为4，4的等5.(。,,｝，仇｝分别是公比为名,%的等比数列,a、

差数列，a、£是常数，则：是非零常数，则：

｛a-a„±j3-bn｝是公差为aa,x0b“）是公比为q•%的等比数列；

a-4±/r”2的等差数列。竺%｝是公比为如的等比数列。

6也%

例1.已知｛4｝是等比数列，且｛。〃｝的前〃项和S〃=3"+〃，则〃=

例2.在等比数列｛〃〃｝中，%+々8=124,〃「。7=-512,公比q是整数，则Go=

9.无论是在等差数列还是在等比数列中，共有五个关键量：/、S“、n.d或以

如果己知其中三个量，则可由明及S〃的公式，求出其余两个量（知三求二）;

10.求数列通项公式有哪几种典型类型？

①勺一4|=火〃22,〃€恒或@=的〃22,〃6N）型（定义=等差或等比数列=利用公式）

«„-i

②已知。向-4=/（〃）或4a=8（”）（〃6"）型（累计求和或累计求积）

③已知a“M=pq+q（p*l）型（等式左右两边同时减去工）

.1-P

n=X

④已知和S“，求项明,贝！J：a=P1（是否注意到“〃N2”？）

"[S“-S）-n>2.......

⑤利用迭代、递推的方法

⑥数学归纳法证明（用数学归纳法证明问题的关键是什么？是否具有从特殊到一般的思维模式）

例3.数列｛a,J满足％=1,an-an_K=---——尸，n>2,neN*,则a“=

例4.数列｛a,J满足%=1,a〃=3a〃_]+2,n>2tneN*,则

例5.数列｛a,J满足q=1,疯二一向=两二'-怎，则a，,=

例6.数列｛。“｝满足/a1+（11+....+5^*a”—2〃+5,则cin—

11.求数列｛凡｝的最大、最小项的方法：注意点：由于〃是正整数，注意等号成立。

①函数思想（特别是，利用数列的单调性）；

>0>

②作差比较法：%+]一%......=00%+l=an;

<0<

a”<a

③（4）maxO<（4,）minn+i

a.2%

2

例7.数列｛a“｝的通项公式为an--2n+29〃-3,则｛a“｝的最大项为

例8.｛a“｝的通项公式为---,则｛%｝的最大项为_______________

n~+156

例9.｛&“｝的通项公式为an=X[：+I,则｛%｝的最大项为

12.求数列前〃项和S“有哪几种典型类型？

①通过判断="等差或等比数列”=利用求和公式求解。

②通过判断="等差±等比”型n分组拆项求和。

③通过判断=>"等差x等比”型=错位相减法。

④通项或表达式为分式时，常用裂项相消求和法。

常用裂项方法：——1——=-!-（-!-----!—）（,„>〃）

（k+m）（k+n）m-nk+nk+m

⑤倒序相加法，或倒序相乘法，强调配对思想。

⑥对于数表型问题，找规律，再操作。

⑦对于奇偶项的不同，分类讨论，分别求和。（注意项数、公差、公比的变化）

例10.1H1-------------F.......H---------------------=

1+21+2+31+2+3+・・・〃

例11.函数/（1）=鼻，则/⑴+人2）+/（3）+/⑷+/[；）+/&]+/（£[=

13.你会根据数列项的关系来研究“数列和的最值”以及“数列积的最值”吗？

例12.等差数列｛4｝中，q=25,S9=Sl7,问该数列中多少项和最大？并求此最大值。

例13.若｛%｝是等差数列，首项q>0,“2003+a2004>0，。2003,«2004<。，则使前〃项和S,,>0

成立的最大正整数〃是

14.数列换元应注意哪两个原则？（最小下标原则以及下标一致原则）。

15.极限有哪几种典型类型？分别如何处理？

0@<1

①(c为常数)；②lim—=0(«>0)；③limqn=<1

]imc=cn―kma。n—q=i

不存在\q\>1或g=-l

a

an"+bn+ca.,禽

hm—5-----------=-；(dw0)；©an+bH

〃…dn+en+fdhm———

b

16.极限的运算性质有哪些？

如果：limh=B,贝！J：①lim(6z±b)=A±B；②lim(a-b)=A-B；

H->CCH—>00n〃一><X>MnH—>00nn

③lim答=4(BwO)；④=(lima")”=4&左为有限数；

〃T8bBW-X»W-KC

注：极限的四则运算应满足：项数有限且每一项都有极限

17.limq"=Oo_?(U<1)；若limq"存在，则q满足什么条件？(0<1或q=l)

“一>oo11n-^11

上述q与等比数列的公比有什么区别吗？

18.无穷等比数列的“各项和”就是“所有项和”，也就是数列和的极限。它的前提是等比数列的公

比q满足：|4<1且470,则各项和为S='L。

\-q

*19.存款单利问题：(零存整取储蓄(单利)本利和计算模型)

若每期存入本金p元，每期利率为厂，则〃期后本利和为：S“=p(l+r)+p(l+2r)+……p(l+nr)；

分期付款复利问题：若贷款p元，采用分期等额还贷款，从借款日算起，一期后为第

一次还款日，如此下去，分〃次还清，如果每期利率为r(按复利)，那么每期等额还贷款x元

应满足：x(l+r)z，'+x(l+r)"-2+....+x(l+r)+x=〃(1+r)n；

六、复数

1.你还记得复数是怎样定义的吗？

①虚数单位晨四次一循环产T=i;i4k+2=-1;i4k+3=-i;i4M=1;伏eZ)

注：易知(l+i)2=2i；(1—2z>=—2ik；(1+i产=2-产;(l—i产=(—2)&

②复数的代数形式：形如a+6(a,6eR)的数叫做复数，记为：z=a+bi(a,beR)。

。叫做复数z的实部，记为：Rez=a；

。叫做复数z的虚部，记为：Imz=/?,注意：复数的虚部是一个实数。

注：虚数不能比较大小；能比较大小的复数是实数

则称、为共轨复数，记为：或。

③=a+bi,z2-a-bi(a,beR),z］z2z1=z?,z?=z］

注：实数。的共聊复数就是本身，即工=。（aeR）

Rez=0Z+Z=Oc

④zG/?<^>Imz=O<=>z=zoz2>0；z是纯虚数o<<=>«=z-2<0

Imz。0ZH0

'正整数

整数■0

有理数

⑤数的分类：实数负整数

复数z=a+bi（a,beR）-分数

,无理数

纯虚数：4=0且》=0,即2=阳6=0）

虚数

纯虚数：z=a+8i（a#0且8*0）

2.解复数问题的指导思想是什么？（根据复数相等的充要条件，将复数问题转化为实数问题求解）

设则且。（把复数问题转化为实数问题）

Z|=a+hi,z2=c+di（a,b,c,deR）,zt=z2<^>a=c=d

3.复数的性质有哪些？

①共甄的性质：

i.zf±z2=zt±z2；ii.Z］・Z2=Z|・Z2；iii.(—)==；iv.(z)=z；