高中数学模拟试题(附答案及解析)

高中数学模拟试题（附答案及解析）

高中数学模拟试题

（附答案及解析）一、选择题（共10小题）

zz-z-1

B.-iC.iD.2i

2.(2014•上海)设f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为（）

A.[-1,2]B.[-1»0]C.[1,2]D.[0,2]

A3R3

A.aD.aC.M3D.&3

T12

D-ABC的体积为()

4.（2014•河南）如图，圆。的半径为1,A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始

边为射线0A,终边为射线0P,过点P做直线

0A的垂线，垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则尸f(x)在

[0,冗]的图象大致为()

5.(2014•包头一模)设函数,则f(x)=sin(2x+

)+cos(2x+)，则(

A.y=f(x)在(0,

L7T)单调递增,

2

其图象关于直

线X」对称

4

B.y=f(x)在(0,

TT

-—)单调递增,

2

其图象关于直

线对称

2

C.y=f(x)在(0,

)

—）单调递减，

2

其图象关于直

线x』对•称

4

D.y=f（x）在（0,

—）单调递减.

2

其图象关于直

线对称

2

6.（2014•太原一模）复数

A.j.B.工c.运D.在

4343

A|=2|F2A|,则cosNAF2Fl=()

A.1B.V3C.2D.3

9.(2014•重庆)已知函数f(x)=

-Sk=24,则k=（）二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）

11.（2014•乌鲁木齐二模）直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若

AB=AC=AA1=2,ZBAC=120°,则此球的表面积等于

12.（2014•湖南）如图所示，正方形ABCD与正方形DEFG的边长分别为a,b（a<

b）,原点0为AD的中点，抛物线y=2px（p>0）经过C,F两点，则=.2的共物复数是

（）

A._3.B.3.c.D.i

甲51

)，且g(x)=f(x)-111*-111在(-1,1］内

A.「铝一（一专一相

（。，寺（。，有

A.8B.7C.6D.5

13.（2014•云南•模）已知圆C过双曲线

线中心的距离是.

14.（2014•上海）设f（x）=

15.（2014•上海）设f（x）=,若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为，若

f（2）=4,则a的取值范围为-=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆

心到双曲

三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）

16.（2014•江西）如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD_L平面ABCD.

（1）求证：AB±PD；

（2）若NBPC=90°,PB=,PC=2,问AB为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求

此时平面BPC与平面DPC

B

夹角的余弦值.

17.(2014•江西模拟)设数列｛an｝的前n项和为Sn,已知al=LSn+l=4an+2

(nGN).

(1)设bn=an+l-2an,证明数列｛bn｝是等比数列；

(2)求数列｛an｝的通项公式.

18.(2014•四川)三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M,N分别为线段

AD,AB的中点，P为线段BC上的点，且MNLNP

帝视困

菁优网(1)证明:P是线段BC的中点;

(2)求二面角A-NP-M的余弦值.

19.(2014•天津)设f(x)=x-ae(aCR),xeR,已知函数y=f(x)有两个零点

xl,x2,且xl<x2.(I)求a的取值范围；(H)证明：随着a的减小而增大；x

(III)证明xl+x2随着a的减小而增大.

20.(2014•陕西)设函数f(x)=lnx+,mSR.

(I)当m=e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值;

(H)讨论函数g(x)=f，(x)-零点的个数；

(III)若对任意b>a>0,

21.(2014•江苏)已知函数f0(x)=

⑴求2f1()+f2(

*<1恒成立，求m的取值范围.(x>0),设fn(x)为fn-1(x)的导数，

neN.*)的值；)+fn()【=都成立.(2)证明：对任意neN,等式|nfn-l(

参考答案与试题解析

-、选择题(共10小题)

z

ZZ-Z-1

A.-21B.C.iD.2i

号点：复数代数形式

的混合运算.

专题：计算题.

分析：求出复数Z的共

施发数，代入表

达式，求解即

可.

解答：解：Z=1-i,所

以ZZ-Z-1=

(1+i)(1-i)

-1-i-1=-i

故选B

点评：本题是基础题，

考查复数代数

形式的混合运

算，考查计算能

力，常考题型.

2.(2014•上海)设f(x

A.[-1,2]B.[-1,0]C.[I,2]D.[0,2]

)二,若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为(

考点:分段函数的应

用.

专题:函数的性质及

应用.

分析：当aVO时，显

然f（0）不是f

（x）的最小值,

当a一时,解不

等式:a--a-

2<0,得-

问题解

决.

解答：解:当aVO时,

显然f（0）不是

f（x）的最小值,

.a>0时，f（0）

二a~.

由题意得：

aKx411a♦

X

解不等式:a--a

_2<0»得■

l<a<2,

.X)<a<2,

故选：D.

点评：本题考察了分

段函数的问题，

基本不等式的

应用，渗透了分

类讨论思想，是

一道基础题.

A3B.3C.V33D.a3

A,aa

aa

6121212

D-ABC的体积为（

考点:棱柱、棱锥、棱

台的体枳.

专题:计算题.

分析:取AC的中点

O,连接DO,

BO,求出三角

形DOB的面

枳，求出AC的

长，即可求三棱

锥D-ABC的

体积.

解答:解：O是AC中

点，连接DO,

BOAADC,

△ABC都是等腰

直角三角形

DO=B()=^£=

2

------,

2

BD=aZBDO也

是等腰直角三

角形DOJAC,

DOJBODO呼

而ABCDO就

是三棱锥D-

ABC的高

SAABC」LT三

2

棱锥D-ABC

的体积:

故选D.

点评:本题考查棱锥

的体枳，是基础

题.

4.（2014•河南）如图，圆0的半径为1,A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始

边为射线OA,终边为射线0P,过点P做直线0A的垂线，垂足为M,将点M到直线0P的距

离表示为x的函数f（x）,则y=f（x）在［0,n］的图象大致为（）

考点：抽象函数及其

应用.

专题:三角函数的图

像与性质.

分析：在直角三角形

OMP中，求出

OM,注意长度、

距离为正，再根

据立角三角形

的锐角三角函

数的定义即可

得到f（X）的表

达式，然后化

简，分析周期和

最值，结合图象

正确选择.

解答：解：在直角三角

形OMP中，

OP=I.

HOM=x,贝1」

OM=k:osxl»

••点M到直线

OP的距离表示

为X的函数f(x)

=OMIsinxl

=lcosxl*lsinxl=-i|

2

sin2xh

其周期为

最大值

2

为工，最小值为

2

0,

故选C.

点评：本题E要考查

三角函数的图

象与性质,正确

表示函数的表

达式是解题的

关键，同时考查

二倍用公式的

运用.

5.(2014•包头一模)设函数，则f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则(©2010-2014

菁优网)

A.y=f(x)在(0,

—)单调递增.

2

其图象关F直

线、」£对称

4

B.y=f(X)在(0,

TT

单调递增,

2

其图象关于直

线X」对称

2

C.y=f(x)在(0,

7T

单调递减,

2

其图象关于直

线x』对称

4

D.y=f(x)在(0.

—)单调递减,

2

其图象关于直

线X=对称

考点：正弦函数的对

称性：正弦函数

的单调性.

专题：计算题：压轴

题.

分析：利用辅助角公

式(两角和的正

弦函数)化筒函

数f(x)=sin

(2xt")+cos

4

(2xJL),然后

求出对称轴方

程，判断y=f(X)

在(0,—)单

2

调性,即可得到

答案.

解答：解：因为f(x)

=sin(2x+兀)

4

+€OS(2x+",)

4

=V2sin

(2x4-21)

2

=VScos2x.

它的对称轴方

程可以是:

TV

的共趣复数是()6.(2014•太原一模)复数

A._3,B.3,c.-iD.i

一后i百i

(2+i)(l+2i)

(l-2i)(l+2i)

考点:复数代数形式

的混合运算.

专题:计算题.

分析：复数的分子、分

一同乘分母的

共匏复数,复数

化简为a+bi(a,

b€R)的形式，

然后求出共辄

复数，即可.

解答：解：复数

2+i

1-21

(2+i.)(1+

(l-2i)(1

=^i,它的共

5

匏复数为:-i.

故选C

点评：本题是基础题，

考查复数代数

形式的混合运

算，共扼复数的

概念，常考题

型.

A.1B.1c.V2D.返

43T

A|=2|F2A|,贝I]cosNAF2Fl=(

号点：双曲线的简单

性质.

专题：圆锥曲线的定

义、性质与方

程.

分析:根据双曲线的

定义，以及余弦

定理建立方程

关系即可得到

结论.

解答：解：•次曲线C

的离心率为2,

2二2，即

a

c=2a.

点A在双曲线

上，

则IF1AI-

IF2Al=2a,

又IF|AI=2IF2AI,

•解得IFiAI=4a,

IF2A匕2a,

IIF|F2l=2c,

则由余弦定理

得

COSZAF2FI=

|AF2

2|AF2I

4整+41-IE

-2X2aX2c

c2-3a24a

2ac

故选：A.

点评:本题工要考自

双曲线的定义

和运算，利用离

心率的定义和

余弦定理是解

决本题的关键，

架杏笠士的H-

a

A.1B.V3C.2D.3

考点:棱柱、棱锥、棱

台的体枳.

专题：计算题：压轴

题.

分析：设出底面边长，

求出正四棱锥

的高，写出体积

表达式，利用求

导求得最大值

时，高的值.

解答：解：设底面边长

为a,则高

h=

以体积

V工％」

33

一

设y=12a4-

工『，则'=48a，

2

-3a',当y取最

值时，y'=48a3

-3a'=0,解得

a=0或a=4时，

体枳最大，

此时

，故选C.

点评:本试题主要考

查椎体的体积,

考查高次函数

的最值问题的

土县山欢

9.（2014•重庆）已知函数f（x）=

,且g(x)=f(x)-mx-mii(-1,1]内

A-(-1-2]UB，(-旦-2]C（勺-2]UD，(-T

44

((0

。寺021°1J

考点:分段函数的应

用.

专题:函数的性质及

应用.

分析：由g(X)=f(x)

-mx-m=O»即

f(x)=m(x+1)»

作出两个函数

的图象，利用数

形结合即可得

到结论.

解答:解：由g(x>=f

(x)-mx-

m=0.即f(x)

=m(x+1)»

分别作出函数f

(x)和y=g(x)

=m(x+l)的图

象如图：

由图象可知f

(I)=1♦g(x)

表示过定点A

(-1,0)的直

线，

当g(x)过(1,

I)时，此

2

时两个函数有

两个交点，此时

满足条件的m

的取值范围是0

2

当g(x)过(0,

-2)时，g(0)

=-2»解得m=

-o必附而不

A=9+4m=0得

m=-2此时直

4

线和f(x)相切,

•,要使函数有两

个零点，

则"—<ni<-2

4

或0<m<-i.

2

点评:本题主要考查

函数零点的应

用，利用数形结

合是解决此类

问题的基本方

法.

A.8B.7C.6D.5

-Sk=24,则k=(

考占.等差数列的前n

项和.

专题：计算题.

分析：先由等差数列

前n项和公式求

得Sk+2,Sk，将

Sk+2~Sk=24转

化为关于k的方

程求解.

解答：解:根据题意：

Sk+2=(k+2)-，

Sk=k2

•$k+2~Sk=24

转化为：

J?

(k+2)-

k-=24

.1=5

故选D

本题主要考查

等差数列的前n

项和公式及其

应用，同时还考

查了方程思想，

属中档题.

二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）

11.（2014•乌鲁木齐二模）直三棱柱ABC-A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若

AB=AC=AA1=2,ZBAC=120°，则此球的表面积等于

考点：球内接多而体.

专题：计算题：压轴

题.

分析：通过已知体枳

求出底面外接

圆的半径，设此

圆圆心为o;球

心为O，在

RT2BCT中，求

出球的半径，然

后求出球的表

面积.

解答：的：在ZABC中

AB=AC=2,

zBAC=120°,

可得BC二2,.

由正弦定理，可

得AABC外接圆

半径口2,

设此圆圆心为

O',球心为O,

在RTZiOBO,中，

易得球半径

R二

故此球的表面

积为4KR-=20K

故答案为：20K

点评：本题是基础题，

解题思路是：先

乘底而外将制

出球的半径，这

是三棱柱外接

球的常用方法：

本题考查空间

想象能力，计算

能力.

12.（2014•湖南）如图所示，正方形

V2+1

ABCD与正方形DEEG的边长分别为a

，b(a<b),原点0为AD的中点，抛物线y2=2px(p>0)经过C,F两点，则=

(-a)2=2p«-|

b2=2p(-1+b)

考点:直线与圆锥曲

线的关系.

专题:计算题.

分析:可先由图中的

点。抛物线的

位置关系，写出

C,F两点的坐

标，再将坐标代

入抛物线方程

中，消去参数p

后,得到a.b

的关系式,再？

求上的值.

a

解答:解：由题意可得

F（金b）

将C,F两点的

坐标分别代入

抛物线方程

y2=2px中，得

1-&）2二2]

b^-2p匕

>乙

a>0,b>0,p

>0,两式相比

消去P得

简整理得

77

a~+2ab-b^=0>

此式可看作是

关于a的一元二

次方程，由求根

公式得

-2b土标

取

a=（我—1）

从而

故答案为：

V2+1.

点评:本题关键是弄

清两个正方形

9抛物线的位

置关系，这样才

能顺利写出c,

F的坐标，接下

来是消参，得到

1•4、Y-I•<*卜

16

~3

考点：双曲线的简单

性质.

专一题:计算题.

分析:由双曲线的儿

何性质易知圆C

过双曲线同］

支上的顶点和

13.（2014•云南一模）已知圆C过双曲线线中心的距离是

.-=1的一个顶点和一个焦点，且圆心在此双曲线上，则圆心到双曲

焦点，所以圆C

的圆心的横坐

标为4.故圆心

坐标为（4,

土里1）.由此可

3

求出它到双曲

线中心的距离.

解答:钢：由双曲线的

几何性质易知

圆C过双曲线

同一支上的顶

点和焦点，

所以圆c的圆

心的横坐标为

故圆心坐标为

（4.±^1）,

3

.它到中心（0,

0）的距离为

16b

16

3"

故答案为：

3

点评:本题考查双曲

线的性质和应

用，解题时注意

闾的枇乐配心；

考点：分段函数的应

用：真题集萃.

专题：分类讨论；函数

的性质及应用.

分析：可对a进行讨

论，当a>2时,

当a=2时,当a

V2时,将a代

入相对■应的函

数解析式，从而

14.(2014•上海)设f(x)=,若f(2)=4,则a的取值范围为

求出a的范闱.

解答：解：当a>2时,

f(2)=2#4,不

合题意：

当a=2时，f(2)

=22=4,符合题

意：

当a<2时,f(2)

=22=4,符合题

意：

•*a<2,

故答案为：(-

8,2].

点评：本题考察了分

段函数的应用，

渗透了分类讨

论思想，本题是

一道基础题.

15.(2014•上海)设f(x)=,若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为

考点：分段函数的应

用.

专题:函数的性质及

应用.

分析：分别由f(O)=a,

x+1.2,<1^X4--

XX

综合得出a的取

值范围.

解答：解：当x=O时，

f(0)=a»

由题意得：

X

又

2,

.a<2,

故答案为：(-

°0,2].

点评：本题考察了分

段函数的应用，

基本不等式的

性质，是一道基

础题.

三、解答题（共6小题）（选答题，不自动判卷）

16.（2014•江西）如图，四棱锥P-ABCD中，ABCD为矩形，平面PADJ_平面ABCD.

（1）求证：

AB±PD；

（2）若NBPC=90°,PB=，PC=2,问AB为何值时，四棱锥P-ABCD的体积最大？并求

此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值.

考点:二面角的平面

角及求法.

专题:空间角:空间向

量及应用.

分析:(I)要证

ADJPD,可以证

明ABJlftlPAD,

再利用而而垂

程以及线而垂

直的性质,即可

证明ABJPD.

(2)过P做

POJAD得到

PO砰面

ABCD.作

OMJBC,连接

PM,由边长关

系得到

BC=V6»

AB=x,则Vp

1

ABCDf

J

7sx2-6x4,

故'h2二时，

3

VpABCD取最

大值，建立空间

在华坐标系C-

夹角的余弦值.

解答:解：⑴•在四

棱锥P-ABCD

中，ABCD为矩

形，.'AB屿D,

又•.平而PAD，

平面ABCD,平

|fljPADCF而

ABCD=AD,

.,ABJlfliPAD,

ZABJPD.

(2)过P做

POJAD..VO1

平面ABCD,

作OMJBC,连

接PM

.PMJBC,

•.㈤PC=90",

PB=&,PC=2,

世=找，

PM22V3

PM=—==--------,

y3

BM=^,

3

设AB=x,

A)M=x.PO=

•Vp

ABCD—xxx捉x

D（李,0,

3

o）.c（-

3

五,0）.M（0,

3

鼻）,B（恒

33

匹o）

3

而PBC的法向

盘为n=（0,I,

1）,而DPC的

法向所为IP=（1.

0,-2）

.COS0=

n・卬

In||n）|

-2

5

*17.(2014•江西模拟)设数列｛an｝的前n项和为Sn,已知al=LSn+l=4an+2

(n£N).

⑴设bn=an+l-2an,证明数列｛bn｝是等比数列；

(2)求数列｛an｝的通项公式.

考点:数列递推式：等

比关系的确定.

专题:综合题.

分析:(1)由题设条

件知bj=a2"

2a|=3.由

Sn+l=4an+2和

Sn=4an|+2相

减得an+i=4an~

^an1»即an+[

•2an=2(an-

2an所以

bn=2bni，由此

可知｛加｝是以

b|=3为首项、以

2为公比的等比

数列.

(2)由题设知

_an_3

2^+12n-4

.所以数列

L公差为W的

24

等差数列.由此

能求出数列｛a。｝

的通骑公左一

又bn=an+i-

2%,所以bn=2bn

I,所以｛bn｝是

以bi=3为首项、

以2为公比的等

比数列.(6分)

(2)由⑴可

得bn=an+i-

n

2an=3*2I等

式两边同时除

以2叶1,得

%十1_^n_2

9n+l7n一.

所以数列

是首项为工，公

2

差为2的等差数

4

列.

所以

an1,/1

——\n-1

2n2

>HPan=(3n-1)

•2n2

(nGN*).<13

分)

占用.太!加里•杏物痂I

18.（2014•四川）三棱锥A-BCD及其侧视图、俯视图如图所示，设M,N分别为线段

AD,AB的中点，P为线段BC上的点，且MNLNP.

（1）证明：P是线段BC的中点；

©2010-2014菁优网菁优网（2）求二面角A-NP-M的余弦值.

考点：二面角的平面

用及求法：直线

与平面平行的

判定：用空间向

■求平面间的

夹角.

专题：空间向量及应

用.

分析：（1）用线而垂

直的性质和反

证法推出结论,

（2）先建空间

直角坐标系,再

求平面的法向

量，即可求出二

面角A-NP-

M的余弦值.

解答：解：（1）由三棱

锥A-BCD及

其侧视图、俯视

图可知,在三棱

锥A-BCD中：

平面ABD呼而

CBD,

AB=AD=BD=C

D=CB=2

设O为BD的中

点，连接OA,

OC

F是OAJBD,

OCJBD所以

㈤BC=600矛

盾，所以P为线

段BC的中点

(2)以O为坐

标原点,OB,

OC.OA分别为

x,y,z轴建立

空间直角坐标

系，

则A(O,O,/5),

M(-A,O,

2

o,亚）,p（X

22

退,o）

2

于是

—♦J1

AN乙-0，

前Co,喙

乙

MN二(1,0,(

设¥而ANP和

平面NPM的法

向量分别为

［而，n=0

由4

,PN♦n二0

则

x2=0

，设Z2=l，则

n=(0,1,1)

cos<in，n>

—w->

二ID・n二

|m||n|

2,

V5-V25

所以二面角A-

NP-M的余弦

值手

点评:本题考许线线

的位置关系，考

查二面角知识

的应用，解题的

关键是掌握用

向量的方法求

二面角大小的

步骤，属于中档

xl9.(2014•天津)设f(x)=x-ae(aeR),xeR,已知函数y=f(x)有两个零点

xl,x2,且xl<x2.

(I)求a的取值范围；

(11

号点：利用导数研究

函数的单调性：

函数零点的判

定定理.

专题：综合题：导数的

综合应用.

分析：(I)对f(X)

求导,讨论广

(X)的正负以

)证明：随着a的减小而增大；

(III)证明xl+x2随着a的减小而增大.

及对应f（X）的

单调性,得出函

数y=f（x）仃两

个零点的等价

条件，从而求出

a的取值范围:

（【D由f（x）

设g（X）=---,

eX

判定g（x）的单

调性即得证：

（II）由于

X,

xi=ae1，

x-)=at贝ljxi

"X|=lnx2-

«2/

lnxi=ln--->令

X1

盘=3整理得到

X1

xj+x2=

(t+l)let

t-1，

令h(x)

二(x41)Inx

Y

上是增函数,不

合题意；

②>0时，由f'

(x)=0,得x=

-Ina,,与x变化

时，f(x)、f

(x)的变化情

况如下表：

1(x)

f(X)

・f(X)的单调增

区间是(-8,

-Ina),减区间

是(Tna,+—)：

•,函数y=f(x)

有两个零点等

价于如下条件

同时成立：

(i)f(-Ina)

>0,(ii)存在

S|€(~-

Ina),满足f(sj)

<0,(iii)存在

S2G(-Ina,

+(-*),满足f(S2)

<0：

由f(-lna)>0,

即-Ina-1>0.

解得OVaVe

(ID证明：由f

(x)=x-

aex=O>得a=',

x

e

设g(x)=-^-»

x

e

由g'(x)

1-X

=——，得g(x)

X

e

在(-B,I)上

单调递增，在

(1,上单

调递减.

并且，当XG(-

0)时，g(x)

<0,当XE(0,

+8)时，g(X)

>0.

xi、X2满足a=g

(xi)»a=g(x?)»

aG(0.eI)及

g(x)的单调性,

可得xi6(0.1).

x2E(1»+**»)：

对于任意的ar

a?E(0,e1)>

设ai>a2，g

(Xi)=g(X2)

=药，其中0<X1

VTIV"Yr.

的减小而增大;

(in证明：

改i=agX,i,

x2=ae2，

.lnx]=lna+X],

Inx2=lna+X2：

.X2-xj=lnx2"

Xn

Inxi=ln---,设

X1

Xn

—^=t,则t>l,

X1

=

x2tlnx]

xI-x2=lnt

,解得

„XT=-t-i-n--t-,

-t-1

.X|+X2=

(t+L)Int

・

t