高中数学必修4教案49

教育精品资料（2）平行向量与共线向量的关系：______________________________________

（3）向量“共线”与儿何中“共线”有何区别：

【合作探究】

第二章平面向量

例1.判断卜.例说法是否正确，若不正确请改正：

2.1向量的概念及表示（1）零向量是唯一没有方向的向量；

（2）平面内的向量单位只有一个；

备课时间：13、5、7主备人：肖崇祎审核：高一数学组

上课时间：13、5、—班级：姓名：（3）方向相反的向量是共线向量，共线向量不定是相反向量；

（4）向量一和B是共线向量,bHc,则―和"是方向相同的向量;

【学习目标】

1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示：掌握向量的模、零（5）相等向量•定是共线向量；

向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量的概念；并会区分平行向量、相

等向量和共线向量；例2.已知。是正六边形48。。£产的中心，在图中标出的向量中:

（1）试找出巴尹共线的向量;

2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别；

（2）确定与不相等的向量；

3.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能

（3）方与与心相等吗？

力。

【学习重难点】

重点：平行向量的概念和向量的儿何表示；

难点：区分平行向量、相等向量和共线向量；

【自主学习】

1.向量的定义：;

2.向量的表示：

（1）图形表示：例3.如图所示的为3x4的方格纸（每个小方格都是边长为1的正方形），试问：起点

和终点都在小方格的顶点处且与I?矍而相等的向量共有儿个？与向量而平行且

（2）字母表示：

模为血的向量共有几个？与向量方的方向相同且模为3立的向量共有多少个？

3.向量的相关概念：

（1）向量的长度（向量的模）：记作：

（2）零向量：，记作：

（3）单位向量：____________________________

（4）平行向量：_________________________

（5）共线向量：____________________________

（6）相等向量与相反向量：

思考：

（1）平面直角坐标系中，起点是原点的单位向量，它们的终点的轨迹是什么图形？

【达标训练】

I.判断下列.是轲确，若不正确请改正：

(1)向量在和丽是共线向量，则4、B、a。四点必在一直线上；

(2)单位向量都相等；

(3)任意一向量与它的相反向量都不想等：

(4)四边形/8CZ)是平行四边形当且仅当方=而：

<5)共线向量，若起点不同，则终点一定不同；

2.平面直角坐标系X。)，中，已知|7万|=2,则/点构成的图形是

3.四边形48C。中，1豆=；皮,|)万|=|8已，则四边形/88的形状是

本节主要学习了什么知识点？还有什么疑惑？

4.设2中6,则与々方向相同的单位向量是

5.若E、尸、M、N分别是四边形NBCD的边ZB、BC、CD、D4的中点。

求证：~EF//NM

遵守交通，文明出行！

2.2.1向量的加法

【课堂小结】备课时间：13、5、7主备人：肖崇祎审核：高一数学组

上课时间：13、、—班级：姓名：二反就是所做的Z+B

【学习目标】

1.掌握向量加法的定义；注意：向量加法的平行四边形法则，只适用于对两个不共线的向量相加，而向量加

2.会用向量加法的三角法则和向量的平行四边形法则作两个向量的和向量;法的三角形法则对于任何两个向量都适用。

3.掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算

【学习重难点】3.向量加法的运算律：

重点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；(1)向量加法的交换律：

难点：向量加法的三角法则、平行四边形则和加法运算律；

【自主学习】(2)向量加法的结合律:

1.向量的和、向量的加法：

已知向量a和B,________________________________________思考：如果平面内有，7个向量依次首尾相接组成一条封闭折线，那么这〃

则向量丽叫做［与B的和，记作：_______________________________条向量的和是什么？

____________________________叫做向量的加法

【合作探究】

例1.如图，空。为正六边形4BCDE尸的把，型i下列向量：

(1)OA+OC(2)'BC+'EF(3)OA+FE

注意：两个向量的和向量还是一个向量;

2.向量加法的几何作法：

(1)二：角形法则的步骤：

①

②

③

风就是所做的Z+B

(2)平行四边形法则的步骤：例2.化㈣下丝色式

①(1)AB+^C+CD+DA+EA(2)AB+MB+BO+OM

②

③

(3)JB+DF+CD+BC+FA(4)AB+CD+(BC+DB)+JC

例3.在长江南岸某处，江水以12.5上加//?的速度向东流，渡船的速度为25hw/〃，渡船要垂

直地渡过长江，其航向应如何确定？

【课堂小结】

本节主要学习了什么知识点？还有什么疑惑？

【达标训练】

1.已知。3，求作：a-\-b

遵守交通，文明出行!

(2)

~a,

2.已知经物四%ABCD的交点，下歹嗖论毛色的匹_____

(1)7B+CS=JC(2)荏+75=就

(3)石+国片丽(4)~AO+Cd+OB+OD^O

2.2.2向量的减法

3.设点。是&4BC内一点，若方+砺+0心=6,则点。为A4BC的心:备课时间：13、5、7主备人：肖崇祎审核：高一数学组

上课时间：13、、—班级：姓名：一

【学习目标】

4.对于任意的£3,不等式1GH3国—+引&㈤+1加成立吗?请说明理由。1.理解向量减法的概念；

2.会做两个向量的差；

3.会进行向量加、减得混合运算例1.已知向量〃,b,c,d,求作向量：。一b,c-d•,

4.培养学生的辩证思维能力和认识问题的能力

【学习重难点】

重点：三角形法则

难点：三角形法则，向量加、减混合运算

【自主学习】

1.向量的减法：

①£与］的差：若,则向量噎叫做Z与否的差，记为

②向量Z与否的减法：求两个向量差的运算叫做向量的减法：思考：如果2//床怎么做出£一3?

注意：向量的减法是向量加法的逆运算。

2.向量£一石的减法的作图方法：例2.已知。是平行譬形力BCD的对角线的交点，若方=3,而心=2试

作法：①___________________________证明：b+c-a=OA

②___________________________

_®___________________________

则氏4二4-B

3.减去一个向量等于加上这个向量的相反向量

a-b=a-V(一5)本题还可以考虑如下方法：

1.(1)OA=OC+CA=OC+CB^CD

4.关于向量减法需要注意一下几点：(2)c-a=OC-AB=OC-DC=OD=OA+AD

①在用三角形法则做向量减法时，只要记住连接两向量的终点，箭头指向被减向量

即可.2.任意一个非零向量都可以表示为两个不共线的向量和。

②以向量方而为邻边作平行四边形Z8CQ,则两条对角线的向量为例3.化简下列各式

AC=a+b,~BD=b-a,丽=£-B这一结论在以后应用还是非常广泛，应加强(1)~AB-~BC+(BD-jb)

理解；(2)AB+DA+'BD-BC-CA

(3)(AB-DC)-(AC-BD)

③对于任意一点。，AB=OB-OA,简记“终减起”，在解题中经常用到，必须记

住.

【合作探究】【达标训练】

1.在A48。中，ZC=90\AC=BC,下列等式成立的有

(1)\CA-CB\=^CA+CB\

(2)|前-痈=|函-册|【课堂小结】

(3)\CA-BA\=\CB-AB\

(4)向+函2=|而一再2十屈一两2

2.已知四边形的对角线力。与8。相交与。点，且亚=双,而=丽,

求证：四边形是平行四边形。

本节上要学习了什么知识点？还有什么疑惑？

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(编者：尹欣)

2.2.3向量的数乘(1)

3.如图，力BCD是一个梯形，AB//CD,AB=2CD,〃,N分别是的中备课时间：13、5、8主备人：肖崇祎审核：高一数学组

点，已知方=£,同=&试用£3表示后仁和加上课时间：13、、—班级：姓名：

【学习目标】

1.掌握向量数乘的定义，会确定向量数乘后的方向和模；

2.掌握向量数乘的运算律，并会用它进行计算：

3.通过本课的学习，渗透类比思想和化归思想

【学习重难点】

重点：向量的数乘及运算律；

AB

N难点：向量的数乘及运算律；

【自主学习】

1.向量的数乘的定义：

一般地，实数2与向量3的积是一个向量，记作：;它的长度和方向规定如

下：

(1)12a1=121|a|

(2)当/1>0时，；

当;1<0时，；例2.计算

当丸=0时，；(1)(-5)4〃

_____________________________叫做向量的数乘(2)5(a+^)—4(a—b)—3a

2.向量的线性运算定义：(3)2(2a+6b-3c)-3(-3a+第-2c)

__________________________________________统称为向量的线性运算：

3.向量的数乘的作图：

已知作g=

当4>0时，把3按原来的方向变为原来的；I倍；

注意：(1)向量的数乘与实数的数乘的区别：相同点：这两种运算都满足结合律和

当4<0时，把£按原来的相反方向变为原来的4倍；分配律。不同点：实数的数乘的结果(积)是一个实数，而向量的数乘的结果是一

个向量。

4向.量的数乘满足的运算律：(2)向量的线性运算的结果是一个向量，运算法则与多项式运算类似。

设为任意实数，£范为任意向量，则

(1)结合律例3.已知次,砺是不共线的向量，/二北瓦(/£/?),试用方，。后表示而

(2)分配律

注意：(1)向量本身具有“形”和“数”的双重特点，而在实数与向量的积得运算

过程中，既要考虑模的大小，乂要考虑方向，因此它是数形结合的具体应用，这一

点提示我们研究向量不能脱离它的几何意义；

(2)向量的数乘及运算性质可类比整式的乘法来理解和记忆。

【合作探究】

例1.已知向量求作：

(1)向量一2.5。

(2)2a-3b

b例4已知:A48c中,D为BC的中点,瓦尸为4c的中点,尸相

交于。点，求证：

(1)函+否

3.在平行四边形/BCD中，荏=£,万=B,而=3配,M为8c的中点，用2,5

来表示丽

(2)~AD+BE+CF=O

(3)OA+OB+OC=0

【课堂小结】

本节主要学习了什么知识点？还有什么疑惑？

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2.2.3向量的数乘（2）

【达标训练】

备课时间：13、5、8主备人：肖崇祎审核：高一数学组

1.计算：

上课时间：13、、—班级：姓名：

(1)3(52-35)-2(62+5)

【学习目标】

(2)4(。—3b+5c)—2(—3a—6b+8c)

1.理解并掌握向量的共线定理：

2.能运用向量共线定理证明简单的儿何问题：

3.培养学生的逻辑思维能力

【学习重难点】

重点：向量的共线定理；

难点：向量的共线定理；

【自主学习】

2.已知向量。，万且3(x+q)+2(x-2a)-4(x-。+6)=0,求x

1.向量的线性表示：

若果则称向量刃可以用非零向量Z线性表示；

2向.量共线定理：

思考：向量共线定理中有这个限制条件，若无此条件，会有什么结果？(选做)例3.如图，△。45中，C为直线力3匕一点，AC=2BC,(2^-l),

心丁彳OA+^OB

求i±：OC=-----：——

【合作探究】14-/1

例1.如图，。,上分别是人44。的边力8,4。的中点,

(1)将而用於线性表示;

(2)求证：瓦与瓦共线;

思考：

(1)当几=1时,你能得到什么结论?

(2)上面所证的结论：方表明:起点为。，终点为直线48上一点

C的向量双可以用次，砺表示，那么两个不共线的向量为，丽可以表示平面上

例2_设_2—是¥」F三线的向量，已知

任意一个向量吗？

AB=26+ke2,CB=e]+3e2,CD=2^-e2,若4尻。三点共线，求人的值。

例4.已知向量0=2.-Be2,3=26+3/,其中q,62不共线，向量。=2《-902，

是否存在实数大〃，使得分=几£+〃坂与工共线

空;：艺Q,比里广攵六线收譬，已利

AB=2q-8e2,CB=q+3e2,CD=2et—e2，求证：A,B,D三点共线。

例5.平面直角坐标系中，已知4(3,1),8(-1,3),若点C满足灰5+月无，其中

a#wR,A,B,C三点、共线,求a+/的值；

本节主要学习了什么知识点？还有什么疑惑？

【达标训练】

1.已知向量。=2。［-24，石=-3(电一9),求证：。［为共线向量:

遵守交通，文明出行!

2.3.1平面向量基本原理

2.设装［是两个不共线的向量，£=2H=+若£石是共线向量，求k备课时间：13、5、8主备人：肖崇祎审核：高一数学组

上课时间：、、—班级：姓名：

的值。13

【学习目标】

1.了解平面向量的基本定理及其意义；

2.掌握三点(或三点以上)的共线的证明方法：

3.提高学生分析问题、解决问题的能力。

【学习重难点】

重点：向量的基本定理；

难点：向量的基本定理；

【预习指导】

1、平面向量的基本定理

2.、基底:

【课堂小结】

思考：

(1)向量作为基底必须具备什么条件？

(2)一个平面的基底唯•吗？

答：⑴_________________________________________________________

(2)

3、向量的分解、向量的正交分解：

•个平面向量用组基底［,［表示成3=4［+4］的形式，我们称它为向量的例3：如图，在平行四边形ABCD中，点M在AB的延长线上，且BM=-AB,

2

分解，当3,以互相垂直时，就称为向量的正交分解。点N在BC上，且BN=』BC,用向量法证明：M、N、D三点共线。

3

4、点共线的证明方法：__________________________________________

【典例选讲】

例1：如图：平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于••点M,M=),而=b

【达标训练】

1、若1是平面内所有向量的一组基底，则卜.面的四组向量中不能作为一组基底

的()

A、6一2e2和.+2e2

B、＜与3.

C、2,+3e2和~4修一6e2

例2：设,，e2是平面的一组基底，如果AB=3e］—2e2,BC=4。+e2,D、弓+.与修

CD=8^—9^,求证：A、B、D三点共线。2、若1是平面内所有向量的一组基底，那么下列结论成立的是()

A、若实数4，%使4勺+402=0，则4=4=。

B、空间任意向量都可以表示为3=41+4［，4，4wR

C、A,ex+22e2,4，刃wR不•定表示平面内一个向量

D、对于这一平面内的任一向量a，使〃=4勺十4内的实数对4，4有无数对

3、若a=一勺+3e2,h=4el+2e2,c=-3e,+12e2,写出用4c的形

式表示a

2.3.2向量的坐标表示（1）

【课堂小结】备课时间：13、5、9主备人：肖崇祎审核：高一数学组

上课时间：13、、—班级：姓名：

【学习目标】

1、能正确的用坐标来表示向量；

2、能区分向量的坐标与点的坐标的不同；

3、掌握平面向量的直角坐标运算；

4、提高分析问题的能力。

【学习重难点】

重点：向量的坐标表示；

难点：向量的坐标表示；

本节主要学习了什么知识点？还有什么疑惑？

【自主学习】

1、一般地，对于向量a,当它的起点移至时，其终点的坐标（x,y）称为向

量）的（直角）坐标，记作°

2、有向线段AB的端点坐标为力（再,必），8（七,乃），则向量凝的坐标为

遵守交通，文明出行!

3、若a=(X[j])，b=(x29y2)

a+b=

a—b—___________________________

【合作探究】5、已知边长为2的正三角形ABC,顶点A在坐标原点，AB边在x轴上，点C在

例1：如图，已知0是坐标原点，点A在第一象限，=4退，=60°,求第一象限，D为AC的中点，分别求AB,AC,BC,BD的坐标。

向量。4的坐标。

【课堂小结】

本节主要学习了什么知识点？还有什么疑惑？

遵守交通，文明出行！

2.3.2向量的坐标表示(2)

例2：已知A(T,3),B(1,-3),C(4,l),D(3,4),求向量OA,OB、AO,CD的备课时间：13、5、9主备人：肖崇祎审核：高一数学组

坐标。上课时间：13、、—班级：姓名：

【学习目标】

例3：平面上三点A(-2,1),B(-1,3),C(3,4)，求D点坐标，使A,B,C,D这四1、进一步掌握向量的坐标表示；

个点构成平行四边形的四个顶点。2、理解向量平行坐标表示的推导过程；

3、提高运用向量的坐标表示解决问题的能力。

【自主学习】

1、向量平行的线性表示是________________________________

2、向量平行的坐标表示是：设。=(七,乂)，b=(x2,_y2)(a6),如果a〃3，那

么，反之也成立。

(选讲)例4：已知P1(再，必),P2(x2,y2),P是直线PF?上一点，且3、已知A,B,C,O四点满足条件：aOA+/3OB=OC,当。+4=1,则能