高中数学高考真题

高中数学排列组合经典题型练习题

姓名班级学号一得分

说明：

1、本试卷满分100分，考试时间80分钟

1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写

2、提前5分钟收取答题卡

评卷人得分

一.单选题（每题3分，共30分）

1.将标号为1，2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个盒子

放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（）

A.12种B.16种C.18种D.36种

2.若从1,2,3,…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不

同的取法共有（）

A.60种B.63种C.65种D.66种

3.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且3与4相邻，1与2不相邻的

五位数的个数为（）

A.1120B.48C.24D.12

4.从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没

有重复数字的四位数，其中能被5整除的数有（)

A.360个B.720个C.300个D.240个

5.某校3名艺术生报考三所院校，其中甲、乙两名学生填报不同院校，则填报

结果共有（）

A.18种B.19种C.21种D.24种

6.有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，

那么至少有1个一等品的不同取法有（）

A.1120种B.1136种C.1600种D.2736种

7.一排座位共8个，3人去坐，要求每人的左右两边都有空位置的坐法种数为

（）

A.6种B.24种C.60种D.120种

8.有8人排成一排照相，要求A、B两人不相邻，C,D,E三人互不相邻，则不

同的排法有（）

A.11520B.8640C.5640D.2880

9.有5名毕业生站成一排照相，若甲乙两人之间至多有2人，且甲乙不相邻，

则不同的站法有（）

A.36种B.12种C.60种D.48种

10.有5个不同的红球和2个不同的黑球排成一排，在两端都是红球的排列中,

其中红球甲和黑球乙相邻的排法有（）

A.1440种B.960种C.768种D.720种

评卷人得分

二.填空题（每题3分，共30分）

11.0,1,3,4四个数可组成不同的无重复数字的四位数.

12.已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑

球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为.（结果精确到

0.001）

13.从甲、乙等6名同学中挑选3人参加某公益活动，要求甲、乙至少有1人参

加，不同的挑选方法共有种.

14.山东省某中学，为了满足新课改的需要，要开设9门课程供学生选修，其中

A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，

共有种不同的选修方案.（用数值作答）

15.在由数字1,2,3,4组成的所有没有重复数字的4位数中，大于2314的数

共有个.

16.甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包一项，

丙、丁公司各承包2项，则共有种承包方式.（用数字作答）

17.从7个同学中选出3人参加校代会，其中甲、乙两人至少选一人参加，不同

选法有种.

18.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中五位数为偶数有

个（用数字作答）.

19.从1,3,5中任取2数，从2,4,6中任取2数，一共可以组成个无

重复数字的四位数.

20.三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个

人，则不同的分配方法有种.

评卷人得分

三.简答题(每题10分，共40分)

21.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.

(1)全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；

(2)全体排成一行，男生不能排在一起；

(3)全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；

(4)全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人.

22.对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次

品为止.若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少

种可能？

23.6位同学站在一排照相，按下列要求，各有多少种不同排法?

①甲、乙必须站在排头或排尾

②甲、乙.丙三人相邻

③甲、乙、丙三人互不相邻

④甲不在排头，乙不在排尾

⑤若其中甲不站在左端，也不与乙相邻.

24.7名男生5名女生中选5人，分别求符合下列的选法总数.(以下问题全部

用数字作答)

(1)A,B必须当选；

(2)A,B不全当选；

（3）选取3名男生和2名女生分别担任班长，体育委员等5种不同的工作，但

体育必须有男生来担任，班长必须有女生来担任.

参考答案

评卷人得分

单选题（共—小题）

1.将标号为1,2,3,4,5,6的6个小球放入3个不同的盒子中.若每个盒子

放2个，其中标号为1,2的小球放入同一盒子中，则不同的方法共有（）

A.12种B.16种C.18种D.36种

答案：C

解析：

解：先从3个盒子中选一个放标号为1,2的小球，有3种不同的选法，

再从剩下的4个小球中选两个，放一个盒子有06种放法，

余下放入最后一个盒子，

2

二共有3C4=18

故选C.

2.若从1,2,3,…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为奇数，则不

同的取法共有（）

A.60种B.63种C.65种D.66种

答案：A

解析：

解：由题意知，要得到四个数字的和是奇数，需要分成两种不同的情况，

当取得3个偶数、1个奇数时，有C：C、20种结果，

当取得1个偶数，3个奇数时，有种结果，

4J

，共有20+40=60种结果，

故选A.

3.由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字，且3与4相邻，1与2不相邻的

五位数的个数为（）

A.1120B.48C.24D.12

答案：C

解析：

解：先把3和4捆绑在一起，当做一个数，这样，5个数变成立4个数，方法有

种.

再把1和2单独挑出来，其余的2个数排列有A：种方法.

再把1和2插入2个数排列形成的3个空中，方法有A；种.

根据分步计数原理，五位数的个数为A；・A；7；=24种，

故选C.

4.从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没

有重复数字的四位数，其中能被5整除的数有（）

A.360个B.720个C.300个D.240个

答案：C

解析：

解：法一：如果末位为0,则只需再选取2个奇数和1个偶数作前三位，

其方法数有C/C/AM44

如果末位为5,先假设首位可以为0,则共有C3c2A3二180,

再排除首位为0的个数：C3C'Aj=24.

.•.符合要求的四位数共有144+180-24=300.

法二：如果末位为0,同上，共有144个；

如果末位为5,分两种情况：数字中含有0,

且它不作首位：CJCJ2・2・1=48

（因千位、百位、十位的选法依次有2、2、1种）；

数字中不含OC；C"108.

，总计有144+48+108=300.

5.某校3名艺术生报考三所院校，其中甲、乙两名学生填报不同院校，则填报

结果共有（）

A.18种B.19种C.21种D.24种

答案:A

解析：

解：由题意可得，甲的填报结果有3种，乙的填报结果有2种，第三个学生的填

报结果有3种，

再根据分步计数原理，填报结果共有3X2X3=18种，

故选A.

6.有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，

那么至少有1个一等品的不同取法有（）

A.1120种B.1136种C.1600种D.2736种

答案：B

解析：

解：没有一等品的取法有C：=4种，而所有的取法有C；（）=1140种，

故至少有1个一等品的不同取法有1140-4=1136种，

故选B.

7.一排座位共8个，3人去坐，要求每人的左右两边都有空位置的坐法种数为

（）

A.6种B.24种C.60种D.120种

答案：B

解析：

解：根据题意，两端的座位要空着，中间6个座位坐三个人，

再空三个座位，这三个座位之间产生四个空，可以认为是坐后产生的空.

故共有A；=24种，

故选B.

8.有8人排成一排照相，要求A、B两人不相邻，C,D,E三人互不相邻，则不

同的排法有（）

A.11520B.8640C.5640D.2880

答案:A

解析：

解：分三类：第一类：先排没有限制条件的3人（设为F、G、H）,有种，再

用“插空法”排A、B、C,有种，最后用“插空法”排A、B,有A；种，.•.第一

类共有A：・A：・A：=6048种排法.

34/

第二类：先排没有限制条件的3人（设为F、G、H）,有种，再将C,

D,E中选两个捆在一起有A；种捆法，把捆在一起的两人看作一人和另外一人用

“插空法”排在四个空隙中，有A：种排法，然后从D、E中选一个放在捆在一起

的两元素之间有A：种方法，最后一个元素安排在剩余的6个空隙中有A1种方法,

ZO

故第二类共有A•A：・A；・A：•A'=5184种排法.

33426

第三类：先排没有限制条件的3人（设为F、G、H）,有A；种排法，再把

C,D,E三个人“捆绑”在一起有A；种“捆法”，看作一个元素安排在四个空隙

中，有"种放法，然后再把A、B利用“插空法”安排在C,D,E之间的两个空

隙中，有A；种方法，故第三类共有A；・A；・A〉A：=288种方法.

23342

综上所述，符合条件的所有排法共有6048+5184+288=11520种.

故选A.

9.有5名毕业生站成一排照相，若甲乙两人之间至多有2人，且甲乙不相邻，

则不同的站法有（）

A.36种B.12种C.60种D.48种

答案：C

解析：

解：分两种不同情况：

第一种情况是甲、乙两人间恰有两人，不同的站法有：种；

第二种情况是甲、乙两人间恰有一人，不同的站法有：卜;种.

，由分类计数原理知不同的站法有ART/AX33=60（种）.

故选C.

10.有5个不同的红球和2个不同的黑球排成一排，在两端都是红球的排列中，

其中红球甲和黑球乙相邻的排法有（）

A.1440种B.960种C.768种D.720种

答案：C

解析：

解：假设红球甲恰好在两端，则它和黑球乙可以看成一个整体考虑，先从非甲红

球中选一个放在两端，有种排法，再考虑两端的全排列种，最后再将除了

两个红球和黑球乙以外的4个球的全排列有A：种，故这种情况的排列种类有

A：A：=192

如果红球甲不在两端，则红球甲和黑球乙看成一个整体要考虑内部的排列（即红

球在左还是在右），先从非甲红球中选出两个放在两端排列数为再考虑红球

甲和黑球乙的全排列有种，最后2个红球1个黑球以及红球甲和黑球乙看作

1个整体的四个元素的全排列数为A：,故此种排列种类有A：A；A：=576

所以总的情况一共是768.

故选C.

评卷人得分

二.填空题（共—小题）

11.0,1,3,4四个数可组成不同的无重复数字的四位数.

答案：18

解析：

解：间接法：先对4个数字全排列共A；=24种，

去掉其中。在首位的共A；=6种，

故总共组成的无重复数字的四位数有24-6=18个，

故答案为：18

12.已知口袋里装有同样大小、同样质量的16个小球，其中8个白球、8个黑

球，则从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为.（结果精确到

0.001）

答案：0.381

解析：

解：所有的摸法共有。，=12870种，

10

从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的摸法共有C：・C，=4900种，

OO

故从口袋中任意摸出8个球恰好是4白4黑的概率为《*=需七0.381,

128/。1Zo/

故答案为0.381.

13.从甲、乙等6名同学中挑选3人参加某公益活动，要求甲、乙至少有1人参

加，不同的挑选方法共有种.

答案：16

解析：

解：甲乙二人都没有参加的方法有C：=4利所有的方法有C：=20种，

40

故甲、乙至少有1人参加的挑选方法共有20-4=16种,

故答案为16.

14.山东省某中学，为了满足新课改的需要，要开设9门课程供学生选修，其中

A、B、C三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，

共有种不同的选修方案.（用数值作答）

答案：75

解析：

解：由题意知本题需要分类来解，

第一类，若从A、B、C三门选一门有C3i・C/=60,

第二类，若从其他六门中选4门有C6'=15,

根据分类计数加法得到共有60+15=75种不同的方法.

故答案为：75

15.在由数字1,2,3,4组成的所有没有重复数字的4位数中，大于2314的数

共有个.

答案：15

解析：

解：前2位是23的，只有1个，是2341.

前2位是24的，有2个.

最高位是3或4的，共有2XA；=12个，

综上，大于2314的数共有1+2+12=15个.

故答案为15.

16.甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包一项，

丙、丁公司各承包2项，则共有种承包方式.（用数字作答）

答案：1680

解析：

解；第一步，甲选，从8项工程中任选3项，有爆种选法，

第二步，乙选，从剩下的5项工程中任选1项，有CJ种选法，

第三步，丙选，从剩下的4项工程中任选2项，有C:种选法，

第四步，丁选，从剩下的2项工程中任选2项，有C』种选法

22

共有C8U'C4C2=1680种

故答案为1680

17.从7个同学中选出3人参加校代会，其中甲、乙两人至少选一人参加，不同

选法有种.

答案：25

解析：

解：7个同学中选出3人参加校代会，总的选法有C73二答?二35种

3x2x1

甲、乙两人都不参数的选法有C*学善-10种

3x2x1

故事件“甲、乙中至少有1人参加”包含的基本事件数是35-10=25

故答案为：25

18.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数，则其中五位数为偶数有

个（用数字作答）.

答案：60

解析：

解：若末位是0,则有A：=24个，

若末位是2或4,则先排末位，方法有种，再把0排在第二、或第三、或

第四位上，方法有3种，再把其余的3个数排在剩余的3个位上，方法有A；=6

种.

再根据分步计数原理，求得五位数为偶数有2X3X6=36种.

综上，五位数为偶数有24+36=60个，

故答案为60.

19.从1,3,5中任取2数，从2,4,6中任取2数，一共可以组成____个无

重复数字的四位数.

答案：216

解析：

解：由题意，先取后排，可得＞216个无重复数字的四位数.

JJ4

故答案为：216.

20.三位老师分配到4个贫困村调查义务教育实施情况，若每个村最多去2个

人，则不同的分配方法有种.

答案：60

解析：

解：一个贫困村去一位老师，有A124种；

4

一个村有两个老师，另一个村有一个老师，有C；XA：=36种，

34

，不同的分配方法有60种

故答案为：60.

评卷人得分

三.简答题（共—小题）

21.有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数.

（1）全体排成一行，其中甲只能在中间或者两边位置；

（2）全体排成一行，男生不能排在一起；

（3）全体排成一行，其中甲、乙、丙三人从左至右的顺序不变；

（4）全体排成一行，甲、乙两人中间必须有3人.

答案：

解：（1）利用元素分析法，甲为特殊元素，先安排甲左、右、中共三个位置可供

甲选择.有工种，其余6人全排列，有种.由乘法原理得A"=2160种；

30JO

（2）插空法.先排女生，然后在空位中插入男生，共有A；A：=1440种.

（3）定序排列.第一步，设固定甲、乙、丙从左至右顺序的排列总数为N,

第二步，对甲、乙、丙进行全排列，则为七个人的全排列，因此A；=NXA；,

.•.N='=840种.

耳

（4）从除甲、乙以外的5人中选3人排在甲、乙中间的排法有种，甲、乙和

其余2人排成一排且甲、乙相邻的排法有4，；，最后再把选出的3人的排列插

到甲、乙之间即可，共有A；A：A；=720种.

22.对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次

品为止.若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少

种可能？

答案：

解：第5次必测出一次品，余下3件在前4次被测出，从4件中确定最后一件品

有CJ种方法;

前4次中应有1正品、3次品，有Ce'C；种，

前4次测试中的顺序有A；种，

由分步计数原理得这样的测试方法有C；（CJC；）A：=576种可能.

23.6位同学站在一排照相，按下列要求，各有多少种不同排法?

①甲、乙必须站在排头或排尾

②甲、乙.丙三人相邻

③甲、乙、丙三人互不相邻

④甲不在排头，乙不在排尾

⑤若其中甲不站在左端，也不与乙相邻.

答案：

解：①甲、乙必须站在排头或排尾，则有A）：=48种不同排法；

42

②甲、乙、丙三人相邻，则有A，：=144种不同排法；

③甲、乙、丙三人互不相邻，则有A；A：=144种不同排法；

④甲不在排头，乙不在排尾，则有A、2A：+A：=264种不同排法；

⑤6个人站成一排，有种，甲在左端的有A;种，甲和乙相邻的有种，甲

既在左端也和乙相邻的有A：,

所以甲不在左端也不和乙相邻，则不同的排法共有A)；+A；=384种.

0jJZ4

24.7名男生5名女生中选5人，分别求符合下列的选法总数.(以下问题全部

用数字作答)

(1)A,B必须当选；

(2)A,B不全当选；

(3)选取3名男生和2名女生分别担任班长，体育委员等5种不同的工作，但

体育必须有男生来担任，班长必须有女生来担任.

答案：

解：(1)根据题意，先选出A、B,再从其它10个人中再选3人即可，共有的选

3

法种数为Cl0=120种,

(2)根据题意，按A、B的选取情况进行分类：

①，A、B全不选的方法数为CK>252种，

②，A、B中选1人的方法数为C2coi=420,

共有选法252+420=672种；

(3)先选取3名男生和2名女生C『C一种情况，再根据体育必须有男生来担任,

班长必须有女生来担任，有CJCJ种情况，用分步计数原理可得到所有方法总数

为：C73c52c3CKJ12600种.

排列练习

一、选择题

1、将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有()

A、81B、64C、12D、14

2、nWN且n<55,则乘积(55-n)(56-n).......(69-n)等于()

A、磷;B、暇*C、%

3、用1,2,3,4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数()

A、64B、60C、24D、256

4、3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是

()

A、2160B、120C、240D、720

5、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，

并且合唱节目不能相邻，则不同排法的种数是()

A、53欧B、鸟5片C、玲D、我琉

6、5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有()

A、8B、4gC、8-舄2^D、鸟片3+舄馅馅3

7、用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数

有()

A、24B、36C、46D、60

8、某班委会五人分工，分别担任正、副班长，学习委员，劳动委员，体育委员，

其中甲不能担任正班长，乙不能担任学习委员，则不同的分工方案的种数是()

A、川+4'耳@8、氏或+区同+同C、w-2^D、E

二、填空题

、4565若33则

1(1)(4P8+2P8)+(P8-P9)X0!=(2)R2n=10Pn,

n=___________

2、从a、b、c、d这四个不同元素的排列中，取出三个不同元素的排列为

3、4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法

4、有一角的人民币3张，5角的人民币1张，1元的人民币4张，用这些人民币

可以组成

种不同币值。

三、解答题

1、用0,1,2,3,4,5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，

（1）在下列情况，各有多少个？

①奇数②能被5整除③能被15整除④比35142小⑤比50000小且不是5

的倍数

2、7个人排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法？

（1）甲排头

（2）甲不排头，也不排尾

（3）甲、乙、丙三人必须在一起

（4）甲、乙之间有且只有两人

（5）甲、乙、丙三人两两不相邻

（6）甲在乙的左边（不一定相邻）

（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序

（8）甲不排头，乙不排当中

3、从2,3,4,7,9这五个数字任取3个，组成没有重复数字的三位数

（1）这样的三位数一共有多少个？

（2）所有这些三位数的个位上的数字之和是多少？

（3）所有这些三位数的和是多少？

排列与组合练习（1）

一、填空题

1、若£3=6C：,则n的值为（）

A、6B、7C、8D、9

2、某班有30名男生，20名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组，其中

男、女学生均不少于2人的选法为（）

A、C^o--C*20C>—C'C；。一C京D、+C4

3、空间有10个点，其中5点在同一平面上，其余没有4点共面，则10个点可

以确定不同平面的个数是O

A、206B、205C、H1D、110

4、6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是()

A、以C；B、虫等C、6^D、Cl

5、由5个1,2个2排成含7项的数列，则构成不同的数列的个数是()

A、21B、25C、32D、42

6、设R、P2…，P2。是方程才°=1的20个复根在复平面上所对应的点,以这些点

为顶点的直角三角形的个数为O

A、360B、180C、90D、45

7、若璘4＜篇？＜若■】伏已切，则k的取值范围是()

A、[5,11]B、[4,11]C＞[4,12]D、4,15]

8、口袋里有4个不同的红球，6个不同的白球，每次取出4个球，取出一个线球记2分，

取出一个白球记1分，则使总分不小于5分的取球方法种数是()

A、+C；C；+C；C；B、2C：+C；C、C：-C；D、

二、填空题

1、计算：(1)C；+C；+C；+C：+C；+C[+C：产(2)C犷+噫*

2、把7个相同的小球放到10个不同的盒子中，每个盒子中放球不超1个，则有

种不同放法。

3、在/AOB的边OA上有5个点，边OB上有6个点，加上。点共12个点，以这12个

点为顶

点的三角形有个。

4、以1,2,3,9这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有种

不同取法。

三、解答题

1[7

1、ti知二界，求

备10仃

2、(1)以正方体的顶点为顶点的三棱锥有多少个？

(2)以正方体的顶点为顶点的四棱锥有多少个？

(3)以正方体的顶点为顶点的棱锥有多少个？

3、集合A中有7个元素，集合B中有10个元素，集合ACB中有4个元素，集合C满足

(1)C有3个元素；(2)CCAUB；(3)CCB#。，CHA#。，求这样的集合C的个

数。

4、在1,2,3,……30个数中，每次取两两不等的三个数，使它们的和为3的倍数，共

有多少种不同的取法？

排列与组合练习题(2)

一、选择题：

1、将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有()

A.81B.64C.12D.14

2、n£N且n<55,则乘积(55-n)(56—n)...(69—n)等于()

A.沱B.魄C.啜吸

3、用1,2,3,4四个数字可以组成数字不重复的自然数的个数()

A.64B.60C.24D.256

4、3张不同的电影票全部分给10个人，每人至多一张，则有不同分法的种数是()

A.2160B.120C.240D.720

5、要排一张有5个独唱和3个合唱的节目表，如果合唱节目不能排在第一个，并且合唱节

目不能相邻，则不同排法的种数是()

A.彦彦B.X*.芍8D.我玲

6、5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有()

A.名3B.4年.P；舄铝3+弓百,3

7、用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数有()

A.24B.36C.46D.60

8、某班委会五人分工，分别担任正、副班长，学习委员，劳动委员，体育委员，其中甲不

能担任正班长，乙不能担任学习委员，则不同的分工方案的种数是()

A.才+§£'WB.+舄，鸟+gc.当5-2片D.P：-P八氏

二、填空题

4565

9、(1)(4P8+2PH)4-(PS-P9)X0!=(2)若P/=10P：,则n=

10、从A.B.C.D这四个不同元素的排列中，取出三个不同元素的排列为

11、4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法。

12、有一角的人民币3张，5角的人民币1张，1元的人民币4张，用这些人民币可以组成

种不同币值。

三、解答题

13、用0,1,2,3,4,5这六个数字，组成没有重复数字的五位数，

(1)在下列情况，各有多少个？

①奇数，②能被5整除，③能被15整除，④比35142小，⑤比50000