新教材同步系列2024春高中数学第七章随机变量及其分布章末检测新人教A版选择性必修第三册_第1页
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第七章章末检测(时间:120分钟,满分:150分)一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知随机变量X的分布列是X01Peq\f(1,3)m则m=()A.eq\f(5,6) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,6)【答案】B【解析】X听从两点分布,由分布列的性质,得eq\f(1,3)+m=1,解得m=eq\f(2,3).2.设X~B(n,p),E(X)=12,D(X)=4,则n,p的值分别为()A.18,eq\f(1,3) B.36,eq\f(1,3)C.36,eq\f(2,3) D.18,eq\f(2,3)【答案】D【解析】由E(X)=np=12,D(X)=np(1-p)=4,解得n=18,p=eq\f(2,3).3.某同学通过计算机测试的概率为eq\f(1,3),他连续测试3次,其中恰有1次通过的概率为()A.eq\f(4,9) B.eq\f(2,9)C.eq\f(4,27) D.eq\f(2,27)【答案】A【解析】连续测试3次,其中恰有1次通过的概率为p=Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,3)))eq\s\up12(2)=eq\f(4,9).4.若随机变量ξ满意E(1-ξ)=2,D(1-ξ)=2,则E(ξ)和D(ξ)的值分别为()A.1,2 B.1,-2C.-1,2 D.-1,-2【答案】C【解析】由E(1-ξ)=2,D(1-ξ)=2,得1-E(ξ)=2,(-1)2D(ξ)=2,据此可得E(ξ)=-1,D(ξ)=2.5.(2024年永州模拟)某市高三学生有30000名,在一次调研测试中,数学成果ξ(单位:分)听从正态分布N(100,σ2),已知P(80<ξ≤100)=0.45,若用分层随机抽样的方法取200份试卷对成果进行分析,则应从120分以上的试卷中抽取()A.5份 B.10份C.15份 D.20份【答案】B【解析】由题意易知P(ξ>100)=0.5,P(100≤ξ≤120)=P(80<ξ≤100)=0.45.∴P(ξ>120)=P(ξ>100)-P(100<ξ≤120)=0.05,故应从120分以上的试卷中抽取的试卷的份数为200×0.05=10.6.(2024年遵义期末)在数字通信中,信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰,发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时,被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07;当发送信号1时,被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的,则接收的信号为1的概率为()A.0.48 B.0.49C.0.51 D.0.52【答案】C【解析】设事务A=“发送的信号为0”,事务B=“接收的信号为1”,则P(A)=P(eq\x\to(A))=0.5,P(B|A)=0.07,P(B|eq\x\to(A))=0.95,由全概率公式,得P(B)=P(A)P(B|A)+P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))=0.5×(0.07+0.95)=0.51.7.现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁和有4个须要救济的地区,每个医疗小组只去一个地区,设事务A为“4个医疗小组去的地区各不相同”,事务B为“小组甲独自去一个地区”,则P(A|B)=()A.eq\f(5,9) B.eq\f(4,9)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,9)【答案】D【解析】由题意,P(AB)=eq\f(Aeq\o\al(4,4),44)=eq\f(3,32),P(B)=eq\f(Ceq\o\al(1,4)·33,44)=eq\f(27,64),P(A|B)=eq\f(P(AB),P(B))=eq\f(2,9).8.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a,得2分的概率为b,不得分的概率为c,其中a,b,c∈(0,1).已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分状况),则ab的最大值为()A.eq\f(1,48) B.eq\f(1,24)C.eq\f(1,12) D.eq\f(1,6)【答案】D【解析】依据题意,得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+b+c=1,,3a+2b=2,))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a=2c,,b=1-3c,))∴ab=2c(1-3c)=-6c2+2c.令f(x)=-6x2+2x,这是一个开口向下的抛物线,其顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6),\f(1,6))),∴当且仅当c=eq\f(1,6)时,ab取得最大值eq\f(1,6).二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.下列说法正确的是()A.P(B|A)≥P(AB) B.P(B|A)=eq\f(P(B),P(A))是可能的C.0<P(B|A)<1 D.P(A|A)=0【答案】AB【解析】由条件概率公式P(B|A)=eq\f(P(AB),P(A))及0≤P(A)≤1,知P(B|A)≥P(AB),故A正确;当事务A包含事务B时,有P(AB)=P(B),此时P(B|A)=eq\f(P(B),P(A)),故B正确;由于0≤P(B|A)≤1,P(A|A)=1,故C,D选项错误.故选AB.10.已知离散型随机变量X的分布列如表所示,若E(X)=0,D(X)=1,则()X-1012Pabceq\f(1,12)A.a=eq\f(5,12) B.b=eq\f(1,4)C.c=eq\f(1,4) D.P(X<1)=eq\f(2,3)【答案】ABCD【解析】∵E(X)=0,D(X)=1,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a+b+c+\f(1,12)=1,,-1×a+0×b+1×c+2×\f(1,12)=0,,(-1)2×a+02×b+12×c+22×\f(1,12)=1,))且a,b,c∈[0,1],解得a=eq\f(5,12),b=eq\f(1,4),c=eq\f(1,4),P(X<1)=P(X=-1)+P(X=0)=eq\f(5,12)+eq\f(1,4)=eq\f(2,3).11.某人参与一次测试,在备选的10道题中,他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试,规定至少答对2题才算合格,则下列选项正确的有()A.答对0题和答对3题的概率相同,都为eq\f(1,8)B.答对1题的概率为eq\f(3,8)C.答对2题的概率为eq\f(5,12)D.合格的概率为eq\f(1,2)【答案】CD【解析】设此人答对题目的个数为ξ,则ξ=0,1,2,3,P(ξ=0)=eq\f(Ceq\o\al(0,5)Ceq\o\al(3,5),Ceq\o\al(3,10))=eq\f(1,12),P(ξ=1)=eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,10))=eq\f(5,12),P(ξ=2)=eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,10))=eq\f(5,12),P(ξ=3)=eq\f(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(0,5),Ceq\o\al(3,10))=eq\f(1,12),则答对0题和答对3题的概率相同,都为eq\f(1,12),故A错误;答对1题的概率为eq\f(5,12),故B错误;答对2题的概率为eq\f(5,12),故C正确;合格的概率p=P(ξ=2)+P(ξ=3)=eq\f(5,12)+eq\f(1,12)=eq\f(1,2),故D正确.12.(2024年徐州模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A=a1a2a3a4a5(例如10100),其中A的各位数中ak(k=2,3,4,5)出现0的概率为eq\f(1,3),出现1的概率为eq\f(2,3),记X=a2+a3+a4+a5,则当程序运行一次时()A.X听从二项分布 B.P(X=1)=eq\f(8,81)C.X的均值E(X)=eq\f(8,3) D.X的方差D(X)=eq\f(8,3)【答案】ABC【解析】由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0,1,且每个数位上的数字再填时互不影响,故5位数中后4位的全部结果有5类:①后4个数都出现0,X=0,则P(X=0)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)=eq\f(1,81);②后4个数只出现1个1,X=1,则P(X=1)=Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)=eq\f(8,81);③后4个数出现2个1,X=2,则P(X=2)=Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)=eq\f(24,81);④后4个数出现3个1,X=3,则P(X=3)=Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)·eq\f(1,3)=eq\f(32,81);⑤后4个数都出现1,X=4,则P(X=4)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)=eq\f(16,81),故X~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,\f(2,3))),故A,B正确;∵X~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4,\f(2,3))),∴E(X)=4×eq\f(2,3)=eq\f(8,3),D(X)=4×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)=eq\f(8,9),故C正确,D错误.三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(2024年滨州期中)某地7个贫困村中有3个村是深度贫困,现从中随意选3个村,恰有1个是深度贫困村的概率为________.【答案】eq\f(18,35)【解析】所求概率为eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,7))=eq\f(18,35).14.已知随机变量X的概率分布列为X123Pp1p2p3且p1,p2,p3成等差数列,则p2=________,公差d的取值范围是________.【答案】eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(-\f(1,3),\f(1,3)))【解析】由分布列的性质及等差数列的性质,得p1+p2+p3=3p2=1,p2=eq\f(1,3),又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p1≥0,,p3≥0,))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)-d≥0,,\f(1,3)+d≥0,))得-eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).15.某乡镇有甲、乙两家超市,在某一周内老王去超市购物两次,第一次购物时随机地选择一家超市购物.若第一次去甲超市,则其次次去甲超市的概率为0.4,若第一次去乙超市,则其次次去甲超市的概率为0.6,则老王其次次去甲超市购物的概率为________.【答案】0.5【解析】设A1为“第一次去甲超市购物”,B1为“第一次去乙超市购物”,A2为“其次次去甲超市购物”,则Ω=A1∪B1且A1与B1互斥,得P(A1)=P(B1)=0.5,P(A2|A1)=0.4,P(A2|B1)=0.6.由全概率公式,得P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+P(B1)P(A2|B1)=0.5×0.4+0.5×0.6=0.5.16.一次数学测验由20道选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确的,每个答案选择正确得5分,不作出选择或选错不得分,满分100分,某学生选对任一题的概率为0.6,则此学生在这一次测验中的成果的方差为________.【答案】120【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X,所得的分数(成果)为Y,则Y=5X.由题知X~B(20,0.6),所以D(X)=20×0.6×0.4=4.8,D(Y)=D(5X)=52×D(X)=25×4.8=120,所以该学生在这次测验中的成果的方差为120.四、解答题:本题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)某工厂有4条流水线生产同一种产品,4条流水线的产量分别占总产量的15%,20%,30%,35%,且这4条流水线的不合格品率依次为0.05,0.04,0.03,0.02.现从该厂的产品中任取一件,问抽到合格品的概率为多少?解:设A=“任取一件产品,取到合格品”,Bi=“任取一件产品,恰好抽到第i条流水线的产品”,i=1,2,3.P(A)=eq\i\su(i=1,4,P)(Bi)P(A|Bi)=eq\i\su(i=1,4,P)(Bi)[1-P(eq\x\to(A)|Bi)]=0.15×(1-0.05)+0.20×(1-0.04)+0.30×(1-0.03)+0.35×(1-0.02)=0.15×0.95+0.20×0.96+0.30×0.97+0.35×0.98=0.9685.18.(12分)在1,2,3,…,9这9个自然数中,任取3个数.(1)求这3个数恰有1个偶数的概率;(2)记X为3个数中两数相邻的组数,例如取出的数为1,2,3,则有两组相邻的数1,2和2,3,此时X的值为2,求随机变量X的分布列.解:(1)设Y表示“任取的3个数中偶数的个数”,则Y听从N=9,M=4,n=3的超几何分布,∴P(Y=1)=eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,9))=eq\f(10,21).(2)X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=eq\f(Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,9))=eq\f(5,12),P(X=2)=eq\f(7,Ceq\o\al(3,9))=eq\f(1,12),P(X=1)=1-P(X=0)-P(X=2)=eq\f(1,2).∴X的分布列为X012Peq\f(5,12)eq\f(1,2)eq\f(1,12)19.(12分)在某校实行的数学竞赛中,全体参赛学生的竞赛成果近似地听从正态分布N(70,100).已知成果在90分以上(含90分)的学生有12人.(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人?(2)若成果在80分以上(含80分)为优,试问此次竞赛成果为优的学生约为多少人?附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973.解:(1)设参赛学生的成果为X,因为X~N(70,100),所以μ=70,σ=10.P(X≥90)=P(X≤50)=eq\f(1,2)[1-P(50<X<90)]=eq\f(1,2)[1-P(μ-2σ<X<μ+2σ)]≈eq\f(1,2)×(1-0.9545)≈0.0228,12÷0.0228≈526(人).因此,此次参赛学生的总数约为526人.(2)由P(X≥80)=P(X≤60)=eq\f(1,2)[1-P(60<X<80)]=eq\f(1,2)[1-P(μ-σ<X<μ+σ)]≈eq\f(1,2)×(1-0.6827)≈0.1587,得526×0.1587≈83.因此,此次竞赛成果为优的学生约为83人.20.(12分)出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯的事务是相互独立的,并且概率都是eq\f(1,3).(1)求这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率;(2)求这位司机在途中遇到红灯数X的均值与方差.解:(1)依题意,这位司机在第三个交通岗遇到红灯,在第一、二个交通岗未遇到红灯,所以这位司机遇到红灯前,已经通过了两个交通岗的概率p=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)=eq\f(4,27).(2)X的全部可能取值是0,1,2,3,4,5,6,这位司机经过一个交通岗就是一次试验,有遇到红灯和未遇到红灯两个结果,X=k(k∈N,k≤6)的事务相当于6次独立重复经过交通岗一次的试验,恰有k次遇到红灯的事务,于是得随机变量X~Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6,\f(1,3))),所以E(X)=6×eq\f(1,3)=2,D(X)=6×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,3)))=eq\f(4,3).21.(12分)(2024年湛江模拟)某高三学生小明打算高考后利用暑假的7月和8月勤工俭学,现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择.已知“销售员”工作每日底薪为50元,每日销售的前5件每件嘉奖20元,超过5件的部分每件嘉奖30元.小明通过调查,统计了100名销售员1天的销售记录,其柱状图如图1;“送外卖员”没有底薪,收入与送的单数相关,在一日内:1至20单(含20单)每送一单3元,超过20单且不超过40单的部分每送一单4元,超过40单的部分,每送一单4.5元.小明通过随机调查,统计了100名送外卖员的日送单数,并绘制成频率分布直方图如图2.(1)分别求出“销售员”的日薪y1(单位:元)与销售件数x1的函数关系式、“送外卖员”的日薪y2(单位:元)与所送单数x2的函数关系式;(2)若将频率视为概率,依据统计图,试分别估计“销售员”的日薪X1和“送外卖员”的日薪X2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的均值,分析选择哪种工作比较合适,并说明理由.解:(1)“销售员”的日薪y1(单位:元)与销售件数x1的函数关系式为y1=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20x1+50,x1≤5,x1∈N,,30x1,x1>5,x1∈N,))“送外卖员”的日薪y2(单位:元)与所送单数x2的函数关系式为y2=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2,x2≤20,x2∈N,,4x2-20,20<x2≤40,x2∈N,,4.5x2-40,x2>40,x2∈N.))(2)由柱状图知,日平均销售量满意如下表格:销售量/件34567频率0.050.20.250.40.1所以X1的分布列为X1110130150180210P0.050.20.250.40.1E(X1)=110×0.05+130×0.2+150×0.25+180×0.4+210×0.1=162(元).由频率分布直方图可知,日送单数满意如下表格:单数1030507090频率0.050.250.450.20.05所以X2的分布列为X230100185275365P0.050.250.450.20.05E(X2)=30×0.05+100×0.25+185×0.45+275×0.2+365×0.05=183(元).因为E(X2)>E(X1),所以做“送外卖员”挣的更多,故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适.22.(12分)(2024年唐山模拟)某赛事共有16位选手参与,接受双败淘汰制.双败淘汰制,即一个选手在两轮竞赛中失败才被淘汰出局.各选手抽签后两两交战(结果是“非胜即败”),胜者接着留在胜者组,败者则被编入败者组,在败者组一旦失败即被淘汰,最终由胜者组的获胜者和败者组的获胜者进行决赛.对阵秩序表如图所示:赛前通过抽签确定选手编号为1~16,在胜者组进行第一轮竞赛.每条横线代表一场竞赛,横线下方的记号为失败者的编号代码,而获胜者没有代码,如败者组中的①,②,…,⑧指的是在胜者组第一轮竞赛的失败者,败者组中的A,B,…,G指的是在胜者组其次轮到第四轮竞赛的失败者.(1)本赛事共计多少场竞赛?一位选手最多能进行多少轮竞赛?(干脆写结果)(2)选手甲每轮竞赛胜败都是等可能的,设甲共进行X轮竞赛,求其均值E(X).(3)假设选手乙每轮竞赛的胜率都为t,那么乙有三成把握经败者组进入决赛吗?参考学问:正整数n>1时,eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1-\f(1,n)))eq\s\up12(n)<eq\f(1,e),e为自然对数的底数,e≈2.71828.解:(1)本赛事共计30场竞赛,一位选手最多能进行7轮竞赛.(2)X的全部可能取值为2,3,4,5,6,7.P(X=2)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)=eq\f(1,4),P(X=3)=Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)=eq\f(1,4),P(X=4)=Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)=eq\f(3,16),P(X=5)=Ceq\o\al(1,4)eq\b

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