新教材同步系列2024春高中数学第七章随机变量及其分布章末检测新人教A版选择性必修第三册

第七章章末检测(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知随机变量X的分布列是X01Peq\f(1,3)m则m＝()A．eq\f(5,6) B．eq\f(2,3)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,6)【答案】B【解析】X听从两点分布，由分布列的性质，得eq\f(1,3)＋m＝1，解得m＝eq\f(2,3).2．设X～B(n，p)，E(X)＝12，D(X)＝4，则n，p的值分别为()A．18，eq\f(1,3) B．36，eq\f(1,3)C．36，eq\f(2,3) D．18，eq\f(2,3)【答案】D【解析】由E(X)＝np＝12，D(X)＝np(1－p)＝4，解得n＝18，p＝eq\f(2,3).3．某同学通过计算机测试的概率为eq\f(1,3)，他连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为()A．eq\f(4,9) B．eq\f(2,9)C．eq\f(4,27) D．eq\f(2,27)【答案】A【解析】连续测试3次，其中恰有1次通过的概率为p＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(4,9).4．若随机变量ξ满意E(1－ξ)＝2，D(1－ξ)＝2，则E(ξ)和D(ξ)的值分别为()A．1，2 B．1，－2C．－1，2 D．－1，－2【答案】C【解析】由E(1－ξ)＝2，D(1－ξ)＝2，得1－E(ξ)＝2，(－1)2D(ξ)＝2，据此可得E(ξ)＝－1，D(ξ)＝2.5．(2024年永州模拟)某市高三学生有30000名，在一次调研测试中，数学成果ξ(单位：分)听从正态分布N(100，σ2)，已知P(80<ξ≤100)＝0.45，若用分层随机抽样的方法取200份试卷对成果进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取()A．5份 B．10份C．15份 D．20份【答案】B【解析】由题意易知P(ξ>100)＝0.5，P(100≤ξ≤120)＝P(80<ξ≤100)＝0.45.∴P(ξ>120)＝P(ξ>100)－P(100<ξ≤120)＝0.05，故应从120分以上的试卷中抽取的试卷的份数为200×0.05＝10.6．(2024年遵义期末)在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列．由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知当发送信号0时，被接收为0和1的概率分别为0.93和0.07；当发送信号1时，被接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的，则接收的信号为1的概率为()A．0.48 B．0.49C．0.51 D．0.52【答案】C【解析】设事务A＝“发送的信号为0”，事务B＝“接收的信号为1”，则P(A)＝P(eq\x\to(A))＝0.5，P(B|A)＝0.07，P(B|eq\x\to(A))＝0.95，由全概率公式，得P(B)＝P(A)P(B|A)＋P(eq\x\to(A))P(B|eq\x\to(A))＝0.5×(0.07＋0.95)＝0.51.7．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁和有4个须要救济的地区，每个医疗小组只去一个地区，设事务A为“4个医疗小组去的地区各不相同”，事务B为“小组甲独自去一个地区”，则P(A|B)＝()A．eq\f(5,9) B．eq\f(4,9)C．eq\f(1,3) D．eq\f(2,9)【答案】D【解析】由题意，P(AB)＝eq\f(Aeq\o\al(4,4),44)＝eq\f(3,32)，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)·33,44)＝eq\f(27,64)，P(A|B)＝eq\f(P(AB),P(B))＝eq\f(2,9).8．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c，其中a，b，c∈(0，1).已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分状况)，则ab的最大值为()A．eq\f(1,48) B．eq\f(1,24)C．eq\f(1,12) D．eq\f(1,6)【答案】D【解析】依据题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝1，,3a＋2b＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2c，,b＝1－3c，))∴ab＝2c(1－3c)＝－6c2＋2c.令f(x)＝－6x2＋2x，这是一个开口向下的抛物线，其顶点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，\f(1,6)))，∴当且仅当c＝eq\f(1,6)时，ab取得最大值eq\f(1,6).二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列说法正确的是()A．P(B|A)≥P(AB) B．P(B|A)＝eq\f(P(B),P(A))是可能的C．0<P(B|A)<1 D．P(A|A)＝0【答案】AB【解析】由条件概率公式P(B|A)＝eq\f(P(AB),P(A))及0≤P(A)≤1，知P(B|A)≥P(AB)，故A正确；当事务A包含事务B时，有P(AB)＝P(B)，此时P(B|A)＝eq\f(P(B),P(A))，故B正确；由于0≤P(B|A)≤1，P(A|A)＝1，故C，D选项错误．故选AB．10．已知离散型随机变量X的分布列如表所示，若E(X)＝0，D(X)＝1，则()X－1012Pabceq\f(1,12)A．a＝eq\f(5,12) B．b＝eq\f(1,4)C．c＝eq\f(1,4) D．P(X＜1)＝eq\f(2,3)【答案】ABCD【解析】∵E(X)＝0，D(X)＝1，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＋\f(1,12)＝1，,－1×a＋0×b＋1×c＋2×\f(1,12)＝0，,(－1)2×a＋02×b＋12×c＋22×\f(1,12)＝1，))且a，b，c∈[0，1]，解得a＝eq\f(5,12)，b＝eq\f(1,4)，c＝eq\f(1,4)，P(X＜1)＝P(X＝－1)＋P(X＝0)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,4)＝eq\f(2,3).11．某人参与一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道．现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格，则下列选项正确的有()A．答对0题和答对3题的概率相同，都为eq\f(1,8)B．答对1题的概率为eq\f(3,8)C．答对2题的概率为eq\f(5,12)D．合格的概率为eq\f(1,2)【答案】CD【解析】设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，P(ξ＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,5)Ceq\o\al(3,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，P(ξ＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,5)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,5)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(5,12)，P(ξ＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(0,5),Ceq\o\al(3,10))＝eq\f(1,12)，则答对0题和答对3题的概率相同，都为eq\f(1,12)，故A错误；答对1题的概率为eq\f(5,12)，故B错误；答对2题的概率为eq\f(5,12)，故C正确；合格的概率p＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(5,12)＋eq\f(1,12)＝eq\f(1,2)，故D正确．12．(2024年徐州模拟)某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位二进制数A＝a1a2a3a4a5(例如10100)，其中A的各位数中ak(k＝2，3，4，5)出现0的概率为eq\f(1,3)，出现1的概率为eq\f(2,3)，记X＝a2＋a3＋a4＋a5，则当程序运行一次时()A．X听从二项分布 B．P(X＝1)＝eq\f(8,81)C．X的均值E(X)＝eq\f(8,3) D．X的方差D(X)＝eq\f(8,3)【答案】ABC【解析】由二进制数A的特点知每一个数位上的数字只能填0，1，且每个数位上的数字再填时互不影响，故5位数中后4位的全部结果有5类：①后4个数都出现0，X＝0，则P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(1,81)；②后4个数只出现1个1，X＝1，则P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(3)＝eq\f(8,81)；③后4个数出现2个1，X＝2，则P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(2)＝eq\f(24,81)；④后4个数出现3个1，X＝3，则P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(3)·eq\f(1,3)＝eq\f(32,81)；⑤后4个数都出现1，X＝4，则P(X＝4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(4)＝eq\f(16,81)，故X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，故A，B正确；∵X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2,3)))，∴E(X)＝4×eq\f(2,3)＝eq\f(8,3)，D(X)＝4×eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(8,9)，故C正确，D错误．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．(2024年滨州期中)某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中随意选3个村，恰有1个是深度贫困村的概率为________．【答案】eq\f(18,35)【解析】所求概率为eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,7))＝eq\f(18,35).14．已知随机变量X的概率分布列为X123Pp1p2p3且p1，p2，p3成等差数列，则p2＝________，公差d的取值范围是________．【答案】eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)，\f(1,3)))【解析】由分布列的性质及等差数列的性质，得p1＋p2＋p3＝3p2＝1，p2＝eq\f(1,3)，又由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p1≥0，,p3≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－d≥0，,\f(1,3)＋d≥0，))得－eq\f(1,3)≤d≤eq\f(1,3).15．某乡镇有甲、乙两家超市，在某一周内老王去超市购物两次，第一次购物时随机地选择一家超市购物．若第一次去甲超市，则其次次去甲超市的概率为0.4，若第一次去乙超市，则其次次去甲超市的概率为0.6，则老王其次次去甲超市购物的概率为________．【答案】0.5【解析】设A1为“第一次去甲超市购物”，B1为“第一次去乙超市购物”，A2为“其次次去甲超市购物”，则Ω＝A1∪B1且A1与B1互斥，得P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.4，P(A2|B1)＝0.6.由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)P(A2|B1)＝0.5×0.4＋0.5×0.6＝0.5.16．一次数学测验由20道选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，每个答案选择正确得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率为0.6，则此学生在这一次测验中的成果的方差为________．【答案】120【解析】设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为X，所得的分数(成果)为Y，则Y＝5X.由题知X～B(20，0.6)，所以D(X)＝20×0.6×0.4＝4.8，D(Y)＝D(5X)＝52×D(X)＝25×4.8＝120，所以该学生在这次测验中的成果的方差为120.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)某工厂有4条流水线生产同一种产品，4条流水线的产量分别占总产量的15%，20%，30%，35%，且这4条流水线的不合格品率依次为0.05，0.04，0.03，0.02.现从该厂的产品中任取一件，问抽到合格品的概率为多少？解：设A＝“任取一件产品，取到合格品”，Bi＝“任取一件产品，恰好抽到第i条流水线的产品”，i＝1，2，3.P(A)＝eq\i\su(i＝1,4,P)(Bi)P(A|Bi)＝eq\i\su(i＝1,4,P)(Bi)[1－P(eq\x\to(A)|Bi)]＝0.15×(1－0.05)＋0.20×(1－0.04)＋0.30×(1－0.03)＋0.35×(1－0.02)＝0.15×0.95＋0.20×0.96＋0.30×0.97＋0.35×0.98＝0.9685.18．(12分)在1，2，3，…，9这9个自然数中，任取3个数．(1)求这3个数恰有1个偶数的概率；(2)记X为3个数中两数相邻的组数，例如取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时X的值为2，求随机变量X的分布列．解：(1)设Y表示“任取的3个数中偶数的个数”，则Y听从N＝9，M＝4，n＝3的超几何分布，∴P(Y＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(10,21).(2)X的可能取值为0，1，2，P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(3,7),Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(5,12)，P(X＝2)＝eq\f(7,Ceq\o\al(3,9))＝eq\f(1,12)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝eq\f(1,2).∴X的分布列为X012Peq\f(5,12)eq\f(1,2)eq\f(1,12)19.(12分)在某校实行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成果近似地听从正态分布N(70，100).已知成果在90分以上(含90分)的学生有12人．(1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？(2)若成果在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成果为优的学生约为多少人？附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X<μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ<X<μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ<X<μ＋3σ)≈0.9973.解：(1)设参赛学生的成果为X，因为X～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10.P(X≥90)＝P(X≤50)＝eq\f(1,2)[1－P(50＜X＜90)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0.9545)≈0.0228，12÷0.0228≈526(人).因此，此次参赛学生的总数约为526人．(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝eq\f(1,2)[1－P(60＜X＜80)]＝eq\f(1,2)[1－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]≈eq\f(1,2)×(1－0.6827)≈0.1587，得526×0.1587≈83.因此，此次竞赛成果为优的学生约为83人．20．(12分)出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯的事务是相互独立的，并且概率都是eq\f(1,3).(1)求这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率；(2)求这位司机在途中遇到红灯数X的均值与方差．解：(1)依题意，这位司机在第三个交通岗遇到红灯，在第一、二个交通岗未遇到红灯，所以这位司机遇到红灯前，已经通过了两个交通岗的概率p＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))eq\s\up12(2)×eq\f(1,3)＝eq\f(4,27).(2)X的全部可能取值是0，1，2，3，4，5，6，这位司机经过一个交通岗就是一次试验，有遇到红灯和未遇到红灯两个结果，X＝k(k∈N，k≤6)的事务相当于6次独立重复经过交通岗一次的试验，恰有k次遇到红灯的事务，于是得随机变量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,3)))，所以E(X)＝6×eq\f(1,3)＝2，D(X)＝6×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))＝eq\f(4,3).21．(12分)(2024年湛江模拟)某高三学生小明打算高考后利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择．已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件嘉奖20元，超过5件的部分每件嘉奖30元．小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单(含20单)每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40单的部分，每送一单4.5元．小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的日送单数，并绘制成频率分布直方图如图2.(1)分别求出“销售员”的日薪y1(单位：元)与销售件数x1的函数关系式、“送外卖员”的日薪y2(单位：元)与所送单数x2的函数关系式；(2)若将频率视为概率，依据统计图，试分别估计“销售员”的日薪X1和“送外卖员”的日薪X2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的均值，分析选择哪种工作比较合适，并说明理由．解：(1)“销售员”的日薪y1(单位：元)与销售件数x1的函数关系式为y1＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(20x1＋50，x1≤5，x1∈N，,30x1，x1>5，x1∈N，))“送外卖员”的日薪y2(单位：元)与所送单数x2的函数关系式为y2＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x2，x2≤20，x2∈N，,4x2－20，20<x2≤40，x2∈N，,4.5x2－40，x2>40，x2∈N.))(2)由柱状图知，日平均销售量满意如下表格：销售量/件34567频率0.050.20.250.40.1所以X1的分布列为X1110130150180210P0.050.20.250.40.1E(X1)＝110×0.05＋130×0.2＋150×0.25＋180×0.4＋210×0.1＝162(元).由频率分布直方图可知，日送单数满意如下表格：单数1030507090频率0.050.250.450.20.05所以X2的分布列为X230100185275365P0.050.250.450.20.05E(X2)＝30×0.05＋100×0.25＋185×0.45＋275×0.2＋365×0.05＝183(元).因为E(X2)>E(X1)，所以做“送外卖员”挣的更多，故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适．22．(12分)(2024年唐山模拟)某赛事共有16位选手参与，接受双败淘汰制．双败淘汰制，即一个选手在两轮竞赛中失败才被淘汰出局．各选手抽签后两两交战(结果是“非胜即败”)，胜者接着留在胜者组，败者则被编入败者组，在败者组一旦失败即被淘汰，最终由胜者组的获胜者和败者组的获胜者进行决赛．对阵秩序表如图所示：赛前通过抽签确定选手编号为1～16，在胜者组进行第一轮竞赛．每条横线代表一场竞赛，横线下方的记号为失败者的编号代码，而获胜者没有代码，如败者组中的①，②，…，⑧指的是在胜者组第一轮竞赛的失败者，败者组中的A，B，…，G指的是在胜者组其次轮到第四轮竞赛的失败者．(1)本赛事共计多少场竞赛？一位选手最多能进行多少轮竞赛？(干脆写结果)(2)选手甲每轮竞赛胜败都是等可能的，设甲共进行X轮竞赛，求其均值E(X).(3)假设选手乙每轮竞赛的胜率都为t，那么乙有三成把握经败者组进入决赛吗？参考学问：正整数n>1时，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))eq\s\up12(n)<eq\f(1,e)，e为自然对数的底数，e≈2.71828.解：(1)本赛事共计30场竞赛，一位选手最多能进行7轮竞赛．(2)X的全部可能取值为2，3，4，5，6，7.P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(1,4)，P(X＝4)＝Ceq\o\al(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(4)＝eq\f(3,16)，P(X＝5)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b