高中数学必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题 (23)(含答案解析)

必修二第六章第2节《平面向量的运算》解答题(23)

一、解答题(本大题共30小题，共360.0分)

1.如图，在AABC中，已知48=2,AC=4,A=60°,。为线段BC中点，E为线段AO中点.

⑴求|阿；

(2)求同•正、前•正的值.

2.如图，在扇形。48中，4408=120。，半径O/=OB=2,尸为弧Z8上一点.

(1)若。4_LOP，求可.丽的值；

(2)求可.而的最小值•

3.己知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线y=|x与椭圆C在第一象限内的交点是点

M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2,椭圆C另一个焦点是且丽•丽=:

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线/过点(-1,0),且与椭圆C交于P,。两点，求AFzPQ的内切圆面积的最大值.

4.已知|五|=2,也|=1,向量3与向量6的夹角为g,设向量沆=五+1匕，向量元=t五+26.

(1)求初加的值：

(2)设/(t)=沅•记，求/(/)的表达式；若沆与元的夹角6为锐角，求实数，的取值范围.

5.如下图，团ABC中，。为8c的中点，0为外心，点M满足a+南+元=而.

(1)求证：AM=20D，

(2)若|而+而|=|而|=6,设AO与。M相交于点P,E,尸关于点P对称，且|前|=2,且荏，

方的取值范围.

6.如图，在AOBC1中，点A是8c的中点，点。在线段0B上，且0。=2DB,设殖=五，0B=b

⑴若|矶=2,|3|=3，且五与方的夹角为会求(2五+石)・0一石);

(2)若向量玩与嬴+k反共线，求实数k的值.

7.已知AO/3的顶点坐标为0(0,0),2(2,9),6(6,—3),点尸的横坐标为14,且加=4万点

0是边48上一点，且O0•/户=().

(1)求实数A的值与点P的坐标；

(2)求点0的坐标；

(3)若R为线段0。上的一个动点，试求而.(而+而)的最小值.

8.如图，在ACMB中，点尸为直线AB上的一个动点，且满足荏=：荏，。是。8中点.

(I)若0(0,0),4(1,3),B(|,0),且而=!而，求而的坐标和模？

(H)若AQ与OP的交点为M,又两=t而，求实数f的值.

9.已知丘=(1,2),3=(1,4)，分别确定实数＞1的取值范围，使得:

(1)4与方的夹角为直角；

(2)五与石的夹角为钝角；

(3)方与石的夹角为锐角.

10.在△ABC中，。是BC的中点，AB=2,AC=4,AD=痘.

(1)求448。的面积；

(口)若£为3。上一点，且荏="备；+备)，求；I的值.

11.在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知瓦？.瓦2,cosB=/b=3,

求:

⑴a和c的值;

(2)cos(B-C)的值.

12.如图，在A0AB中，延长8A到C,使AC=BA,在OB上取点。，使

DB=iOB,DC与OA交点、为E,设施=定而=另，用五，石表示向

量反，DC-

13.已知向量之，I满足向=|"=1,且归-同=遮小+”(k>0).

(1)试用k表示％了,并求出3工的最大值及此时:与了的夹角。的值.

(2)当二，取得最大值时，求实数人使之+4了的值最小，并对这一结果做出儿何解释.

14.如图所示，在△ABC中，点。为AB边的中点，点E为BC上靠近点8的三等分点，线段AE与

CD交于点P.

(1)设而=zn荏+n而，求m-n的值；

(2)若48=3,AC=2,Z.BAC=y,求|亨卜

15.回ABC的内角A,B,C的对边分别为“，b,c,已知a=ccosB+[b.

(1)若c=1,求回ABC面积的最大值；

(2)若。为8C边上一点，DB=4,AB=5,且应.访=-12，求AC.

16.已知@=/，|b|=l,五与方夹角为45。.

(1)当社+4方与2方+石相互垂直时，求2的值.

(2)当五+2石与a五+石共线时，求|1+4刃|.

(3)当a+4]与4H+方的夹角为钝角时，求4的取值范围.

A

17.如图所示"ABC是边长为1的正三角形，点匕〃2〃3四等分线段BC

BBP,尸3c

(1)求丽•丽+丽•彳豆的值;

(2)若点。是线段4P3上一点，且而=展屈宿求实数，”的值

18.如图所示，在囿4BCD中，已知为B3,AD2，ABAD12().

(1)求正的模;

(2)若荏=［同，BF=^BC,求存•症的值.

19.如图，设四边形A8C£＞的两条对角线8。，AC的中点分别是点E,F.

B

(1)求证：EF=^DA+^BC；

(2)若AD=5,BC=9,求忸耳的取值范围.

20.已知回ABC在平面直角坐标系X。)，中，其顶点4B,C坐标分别为4(-2,3),8(1,6),C(2cos。,2sin。).

(1)若NBAC=T，且。为第二象限角，求cos。一sin。的值.

(2)若。=|花，且工万XA^(XeR),求|而|的最小值.

21.在SBC中，4(一1,5)6(-2,-1),。(4,7),若。=6己，=k1=/至

(1)求：3a+6-2c-(2)用刃和工表示)；(3)判断三角形的形状.

22.在44BC中,已知5也(4+8)=5E3+5也(4—8).(1)求角4；

(2)若同|=7,AC=20，求|4B+AC卜

23.如图，I2OBC中，A为8c的中点，0D=2DB，CO与。4交于点E.设初=区OB=b.

(1)用方和方表示反，DC；

(2)若方=2次，求实数;I的值.

24.已知向量五=(sinx,1),b=(l,cosx)>xGR,设/Xx)=向量

(1)求函数/(x)的对称轴方程；

(2)若/(9+：)=1,06(0,求f(。一$的值.

25.如图，在ZL4BC中，AB=2,AC=3,/.BAC=60°,而=2晶CE=2EB-

(1)求CO的长；

⑵求48.DE的值•

26.已知五，石，芸是同一平面内的三个向量，其中五=(1,75),石,7为单位向量.(1)若五〃乙求向

量了的坐标；

(2)若五+29与2五-石垂直,求向量五与3所成角的大小.

27.已知F］、尸2分别为椭圆C：捻+'=l(a>b>0)的左、右焦点，点P(-2,-1)为椭圆C上的一

点，且丽*•布=2.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设点。为原点，直线"/0P,且直线/与椭圆C交于4,8两点，求APZIB面积的最大值,

并求此时直线/的方程.

28.如图，在平行四边形ABC。中，点E,凡G分别在边4B,A，BC上,且满足4E="B,4F="。,

BG=3BC,设4B=a，AD=b-

(1)用;，，表示还，EG-,

(2)若EF_LEG,一访.函2a-6'求角A的值.

29.已知五，石的夹角为120。，Jl|a|=4,|K|=2>求：

(l)(a-2b).(a+K);(2)|a+h|.

30.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(l,cosx),B(1+sinx,cosx),C(1+sin2x+

cosx,cosx+2sinx—A/3)>/即.；,一

(1)若A,B,C三点共线，求x；

⑵若D(1+fsinx,cos琢且〃/)=0^00-(2m2+^-\A&\的最小值为g求实数m的值.

»)32

【答案与解析】

1.答案：解：(1)48=2,AC=4,A=60°,

|BC|=^AB2+AC2-2AB-ACcos?l

=J4+16—2x2x4x^=2>/3;

(2)vD为线段BC的中点，

■■■AD=^(AB+AC>),

;而.就=g肉+硝•(7?一硝

="(国『一画2)

=1(42-22)-6,

故而•近的值为6.

・•・E为线段A力的中点，

EB=AB-AE=AB-1AD

2

]

=AB--(AB+AC)

=-AB--AC,

44

EC^AC-AE=AC-^AD

2

=AC-^(AB+AC)

=--AB+-AC,

44

AB-AC=西同cos60。=2x4x1=4,

—,—、/3―>1―A(1—►3—»\

.：EB-EC=^AB--ACy(--AB+-AC)

31—>125—>—>3■—»12

=一宿网+-71B-AC--\AC\

10O10

353

X22X4X42

=-1^6+oI-16A

_5

一4’

故布•记的值为/

解析：本题主要考查了向量的数量积、向量的夹角、向量的模以及向量的加减法，考查余弦定理的

运用，属于中等题.

（1）利用余弦定理直接求解即可；

（2）由题意。为线段8c的中点，则同=*荏+前），而•近=与通+近）•（前—荏）=

l（\AC\2-画2）,将4B=2、4C=4代入即可得到前.前的值；由题意化简得到前=|荏-;宿

EC=-^AB+^AC,AB-AC=|^B||^C|cos600=4,利用向量的数量积即可求出而•正的值；

2.答案：解：（1）当CM10P时，

如图所示，

•••AAOB=120°,

•••乙POB=120°-90°=30°,乙OPB=竺匕空=75。，

2

Z.APB=75°+45°=120°,

在APOB中，由余弦定理，得

PB2=OB2+OP2-2OB-OPcos乙POB

=22+22-2X2X2XCOS30°=8-473.

|PF|=V8-4V3=V6-V2>

又|西=&Q=2V2.

■■.'PA-'PB=\FA\-\'PB|cos乙4PB

=2V2x(V6-V2)x(-1)=2-2>/3；

(2)以O为原点，OA所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系,

则4(2,0),

•・・Z,AOB=120°,OB=2,

・•・B(TV5),

设P(2cosa,2sina),其中a6[0,争,

则以■丽=(2—2cosa,-2sina)•(—1—2cosa,遍—2sina)

=—2—2cosa+4cos2a—2V3sina+4sin2a

=-2cosa—2y/3sina+2=—4sin(a+-)4-2,

6

・・,ae[0,y],

・・・a+，E冷由，sin(a+.)E己,1],

.•.当a+*看即a=g时，可.而取得最小值为一2.

解析：本题考查三角函数的最值、余弦定理、向量的数量积、平面向量的坐标运算、同角三角函数

的基本关系、两角和与差的三角函数公式，属于中档题.

(1)利用余弦定理求出P8,禾U用公式西.丽=|雨||而|cos乙4PB，即可求出结果；

(2)建立直角坐标系，设P(2cosa,2s讥a),其中a€[0,争，表示出万•丽=—4s讥(a+》+2,求

出a+g范围，即可求出结果.

O

3.答案：解：(1)设椭圆方程为胃+5=l(a>b>0),

•••点M在直线y=|x上，

且点例在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点尸2«,0)，

.••点M(请)，

由丽.丽=：,丽=(-2c,一•，丽=(0,一丹

—=解得c=1.

44

119_1

市=L解得R7=$

{a2=b2+l52=3

椭圆方程为：杵+”=1；

43

⑵由⑴知&(一1,0),

过点&(一1,0)的直线与椭圆C交于P,。两点，

则△FzPQ的周长为4a=8,

又S&APQ=[•4a•r(r为三角形内切圆半径)，

・•・当△尸22Q的面积最大时，其内切圆面积最大，

设直线/方程为：x=ky-19P(%i，Vi)，

x=ky—1

立M=l，消去X得(4+3/c2)y2-6ky-9=0,

{4十T一

.6k

%+，2=诉

9，

乃九--fc2

{3+4

-SA&PQ=1，l&BI，M-丫21=嗫：三1'

令^/FTT=t,贝1>i>

A“F/Q=双，

令/(t)=3t+/r(t)=3-^,

当te[l,+8)时，f(t)>0,f(t)=3t+5在口,+8)上单调递增，

•C_122

•••、bF/Q=&S,

当t=l时取等号，即当k=0时，A&PQ的面积最大值为3，

结合SAFZPQ=/4a•r=3,得厂的最大值为

••・内切圆面积的最大值为白兀.

16

解析：本题考查了直线与椭圆的综合应用问题，也考查了椭圆的离心率和求椭圆的标准方程的应用

问题，是综合题.

(1)点M在直线y=|x上，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点尸2(c,0),所以M为

(c,|c),化简即可求解；

(2)由(1)知尸式―1,0),过点尸式―1,0)的直线与椭圆C交于P,Q两点,则Z%PQ的周长为4a=8,

再运用直线与椭圆的关系即可求解.

4.答案：解：(1)：同=2,@=1,<乙另>=今

Aa-h=1311b|cos^=1；

(2)m-n=(a+t/?)-(ta+26)

=ta2+2tfe24-(t2+2)a•fa

=4t+2C+产+2=产+6t+2,

:./(t)=t24-6t4-2,

•・•记与五的夹角6为锐角，.,•沅•五>O

即/+6t+2>0,解得t<-3-夕或t>一3+夕，

沅与元共线同向时，设沆=4元，即五+£石=a五+2/19，

.•・［，：；，且4>0,••・解得1=々,

让=2A

实数t的取值范围是{t|t<-3-用或t>一3+迎且t*V2}.

解析：解析：

本题考查了向量数量积的计算公式和向量数量积的运算，共线向量基本定理，考查了计算能力，属

于基础题

(1)进行数量积的计算即可求出方•石=1;

(2)进行数量积的运算即可求出f(t)=t2+6t+2,根据沅与元的夹角。为锐角即可得出访•元>0,结

合记与针不同向可得出t于或，从而得出，的取值范围.

5.答案：解：(1)由题意得祠=而一面=而+而=2前，

(2)由I明+^I=|前|=6，得I互3+互汽I=I炭—五3|今瓦L万H=0今NB=90°

此时。为AC的中点，M与8重合，P为AABC的重心,

\PO\=1\BO\=1,

I■..♦'''>...♦,­，一'’'——'

所以vAE-CF=(AP+PE)•(CP+PF)

=AP-CP+AP-PF+PE-CP+PE-PF

=\P0\2-\A0\2+PF-(AP-CP)-1=-9+PF-AC

=-9+6cos(PF,AC)e[-15,-3]

解析：本题考查平面向量的线性运算和平面向量的数量积，熟悉向量的三角形法则和数量积公式以

及平面向量的几何意义为关键.

(1)根据条件有利三角形法则可证结果；

⑵由|而+就|=|而|=6,得|市+市|=|配一正|。瓦=06NB=90°此时。为

AC的中点，M与B重合，P为A/IBC的重心，\PO\=l\BO\=1,再将荏.方转化到一9+前•前=

-9+6cos(PF,AC)e[-15,-3]可得结果.

6.答案：解：⑴因为|五|=2,\b\=3,苍与。的夹角为1

所以乞7=|a|.|h|cos-=3V3,

6

所以(2方+石)•@一9)=2片一五•1一片=一1一3V3-

(2)由题图得，OC=OB+BC=OB+2BA=2OA-OB,

‘‘‘，，■♦‘一>2，，>,一,.,一♦C一‘，

DC=DO+OC=--OB+2OA-OB=2OA--OB,

33

因为OA-a>OB=b>所以OC=2a—b，DC=2a—|b,

所以而+kUC=a+k(2Z-|E)=(2k+l)B—|/cb.

若瓦与5X+/c氏共线，则存在实数2，使得庆=4(鼐+k阮),

即2五一6=A[(2/c+l)a-|fcb],

所以(2—2立-4)元=(1—|ka)b,

因为弓与环共线，

4

uA=--

，

解

所以5k-0,5

Ak6-3

一=-

34

所以实数G的值为K

4

解析：本题考查了向量加减法的运算法则、数量积、平面向量的基本定理及平面向量共线的条件，

属于中档题.

(1)根据条件求出万•石，再求(2五+b)-(a-方)即可；

⑵由题图得，0C=20A-0B，DC=20A-|0B,根据平面向量共线的条件可得相关等式，即可

得实数上的值.

7.答案：解：(1)设P(14,y),则加=(14,y),丽=(-8,-3-y)，

由前=4万，得(14,y)=4(—8,—3-y),解得a==-7,

所以点P(14,-7)；

(2)设点Q(a,b),则丽=(a,b)，

又而=(12,-16)，则由丽•存=0,得3a=4b①，

又点Q在边4B上，所以言=善，即3a+b-15=0②，

联立①②，解得a=4,b=3,所以点Q(4,3)；

(3)因为R为线段0Q上的一个动点，

故设R(4t,3t),且04t41,

则而=(-4t,-3t)，瓦？=(2-4t,9-3t)，

~RB=(6-4C.-3-3t).RA+~RB=(8-8t,6-6t).

则同■(RA+RB)=-4t(8-8t)-3t(6-6t)

=50t2_50t(0<t<1),

RO•(而+而)的取值范围为［一日,。］，

故而•(而+而)的的最小值为一号.

解析：本题考查了向量的数量积和平面向量的坐标运算，是中档题.

(1)设P(14,y),由赤=%而，得(14,y)=«-8,-3-m，解出即可；

(2)设点Q(a,b),由丽.都=0，得3a=4b,由点。在边A8上，所以三=二，联立方程解出即

—4Q—6

可；

(3)因为R为线段OQ上的一个动点，故设R(4t,3t),且由向量数量积而•(瓦？+而)=

50t2-50t(0<t<l),即可得出取值范围.

8.答案：解：(I)根据题意，Q是OB中点，即。<2=［。8，

又=且4(1,3),B(|,0),

若。(0,0),4(1,3),B(|,0),且而=那,

可知丽=C，0)，ON=(I，1),

NQ=OQ-ON=(1,-1),

且|而|=712+(-l)2=V2,

(〃)因为存荏，

所以加一示=*而一雨)，可以化简为：OP=l0A+l0B,

又而=tOP=t(|O4+i06),

不妨再设戒=4而，即两一函=fi(OQ-OAy

所以丽=(1-©成+4而①，

由。是08的中点，所以的=：而，

即丽=(l-/z)OL4+^OB②，

由①②,可得1—〃=g'2=3,

联立得t=4

解析：(I)根据题意，NQ=OQ-ON，代入可求，然后结合向量模长的坐标表示可求，

(〃)由而=3而，然后结合向量的线性表示可转化为而=|函+：话，再结合丽=1丽=

结合平面向量基本定理可求.

本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用.

9.答案：解：设］与了的夹角为。，向=Vl2+22=遮，面=V1T72-a-b=(1,2)•(1,4)=1+2小

(1)因为；与了的夹角的直角，

所以鼠b=0，

所以1+22=0,

所以

(2)因为:与了的夹角为钝角，

所以cos。<。且cos。H—1,

即；工<o且；与力不反向.

由:工<0得1+22<0,

故4<由之与,共线得;1=2,

故热与片不可能反向.

所以；I的取值范围为(一8,-》.

(3)因为二与了的夹角为锐角，

所以COS0>()且cos。H1,即往工>0且:、W不同向.

由Z•b>0，得4>

由［与b同向得4=2,

所以；I的取值范围为(一1,2)U(2,+8).

解析：本题考查的是向量的夹角以及数量积的运算，属于中档题.

(1)根据两个向量的夹角为直角，即可求出4的值；

(2)根据两个向量的夹角为钝角，得到cosB的范围，继而得到有关；I的不等式,求解即可;

(3)根据两个向量的夹角为锐角，得到cos。的范围，继而得到有关;I的不等式,求解即可.

10.答案：解：(1)由题意，是8c的中点，

AD=^(AB+AC),

■.\AD\2=^(AB+AC)2=^\AB\2+\AC\2+2AB-AC),

B|J^=i(l+4+2AB-^C),解得荏.正=一1.

两前1

/.(x)sZ.DAC=

|函.说|一2

又()<Z.BAC<7T»Z-BAC=—,

«5

•••SZABC=-AC-sim.BAC=|x2x4xy=2^3.

(2)由题意，•.•荏=4(鲁+|鲁)，

•••ABC中/BAC的角平分线，

7T

由(1)可知，^BAE=ACAE=-^BAC=.

由S△工BC=S2ABE+S—CE可得

-AB-AE-sin-+\ACAE-sm-=-AB-AC-sin—,

232323

即更4E+立4E=更，从而4E=g

4223

由荏=2篇+蜀可得:

v()22c

图2=j5i+jB=，(+】+吟AJ,又•.">(),

故a=I，

解析：本题考查平面向量的几何运用，平面向量的夹角，运算，数量积等，考查三角形的面积公式，

属于中档题.

(1)根据。是BC的中点，得到同=)卷+前)，从而得出南•亚=-1，由平面向量的数量积公

式得出,即可计算A4BC的面积；

⑵由荏=2(得+|黑)可知AE为A4BC中心B4C的角平分线，再根据“谢=SA^E+S^CE得出

力E=|,从而可知；l=|.

11.答案：解：(1)由瓦？.能=2，得c•acosB=2,

又cosB=所以ac=6,

由余弦定理，得小+=济+2QCCOS8,

又b=3,所以M+。2=9+2X2=13,

联立得｛3》=®得｛3;叫功

因为a>c,所以a=3,c=2；

(2)在44BC中，sinB=V1—cos2B=Jl—(1=誓，

由正弦定理，得sinC=^sinB=-x—=—,

b339

因为a=b>c,所以。为锐角，

因此cosC=V1—sin2C=J1一=孑

于是cos(B-C)=cosBcosC+sinBsinC竽x华=泰

解析：

本题考查正余弦定理以及相量的数量积，属于中档题.

(1)根据余弦定理结合平面的数量积可求出结果；

(2)根据正弦定理求出C,然后根据同角三角函数关系求出结果.

12.答案：解：由题知，A为8c的中点,

.-.OA=^(OB+OC),

又•祝=五,OB=b，°人

.•■OC=2OA-OB=2a-b-,\,

一1一0”

.・.0D=-OB

t&DC=OC-OD=OC-lOB=2a-lb.

解析：本题考查了平面向量的加减法运算以及平面向量的基本定理及其应用，属于基础.

由题可得，4是BC中点，所以有而+而)，结合题中旅=五，OB=b，即可求得屈，再

由向量减法法则结合DB=［OB即下=［方即可得到配.

13.答案：W：(1)•••|«|=|6|=1，\a-kb\=V3\ka+b\，

.'.a2-2ka-b+k2b=3k2a.2+6ka-b+3b,•-l-2ka-b+k2=3k2+6ka-b+3<

一T次，1、fc,1.11

:・a•b=+—).v-4-->2nx-=

k44k，44k42

当且仅当J=2，即k=l时，取等号.

244k

此时，a-b=-^=1xlcos9,Q=120°.

(2)当五­石取得最大值时，石片=一%|五+4石|=J|a+aK|2=Vl+2A-a-K+A2=V1-A+A2-

故当2=拊，|五+篇|的最小值等于小-*=今

这一结果的几何解释：平行四边形O4BC中，04=1,^AOC=120°,当且仅当0C=：时，对角线

OB最短为四.

2

解析：⑴由已知可得五%=—《+》利用基本不等式可得［+222x；=%故五1此

时，

a-b=-l=lxlcose,9=120°.

(2)当五•石取得最大值时，a-b=-l=V1-A+22,故当；1=：时，|方+4乃|的最小值等于冬

这一结果的几何解释：平行四边形OABC中，。4=1,乙40c=120。，当且仅当OC=：时，对角线

OB最短为3.

2

14.答案：解：(1)•••D是A8的中点，E为8c上靠近8的三等分点，;而=[荏，而=]玩，

•••4E与C。相交于点P,

二设而=xAD+(1-x)AC,AP=yAE>

"

•.AP=^AB+(l-x)AC/AP=y(AB+BE),

：.AP=y(AB+|BC)=y(萍+萍)，

x2

2=3y43

।]3=『y=g，

(1…尹

**•AP=-AB4—ACf•',tn—n=—.

555

,>,>>2>4>

(2)CP=AP-AC=^AB-7C,

.―».2/2—►4—A24—>216——•—»16—>2

・・,|CP|=[-AB--AC]=RB--AB-AC-^—AC

416/1\16

=25X39-25X3X2X(-2)+25X27

=等…向=雪.

解析：本题主要考查了平面向量的基本定理、向量的线性运算、向量的模与数量积，属于中档题.

(1)由平面向量基本定理及向量线性运算写出前的两种不同表达，根据相同向量列方程组求得参数值,

进一步求得向量及租-九的值；

(2)先求得向量而，再利用数量积求出|而广，最后求得|方|即可.

15.答案：解:(1)根据a=ccosB+gb及正弦定理，可得sin4=sinCcosB+gsinB,

即sin(84-C)=sinCcosB4-jsinF,

可得sinBcosC+cosBsinC=sinCcosF+[sinB,

vsinBW0,・•・cosC=7,

2

v0<C<7T,C=p

根据余弦定理可得：

c2=a2+62-2abcosC>2ab-ab=ab,

・•・ah<1,当且仅当a=b时等号成立，

.•.m4BC的面积为三absinC<ixlx—=—)

2-224

.•.124BC的面积的最大值为华.

4

⑵由n•BD=一12可得：

—>

AB-BD=5x4xcos(7r—B)=-12，

3

:.cosB=0<8<7T,

・•・sm・BC=4

在团4BC中，利用正弦定理可得当=岑:，

sinFsinC

AC5-

即丁=二？，解得4C=J更.

5I-3

解析：本题主要考查的是正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式以及向量数量积.

(1)根据正弦定理求出角C,再根据余弦定理及基本不等式求出时的最大值，即可确定三角形的面

积的最大值；

(2)首先求出cosB,再求出sinB,再在回ABC中利用正弦定理即可求出AC的长.

16.答案：解：(1)因为五+，方与;3相互垂直，

所以0+高)•(Aa+K)=0

即4弓2+;112+（］+；12）方）=0,

所以，2/l+/l+(l+；l2)=0,

所以万+32+1=0,

所以，，;土些或兀二一.

22

(2)当五+4石与4Z+3共线时，所以存在A,使五+43=kQ元+方)，

因为落石不共线，所以，g箕L所以，fc=A=±l,

'"=1时，|五+431=Ja24-2a-K+K2=V5;

当2=一1时，|方+「：|=]12—2五•」+石2=2

(3)由条件知，cos45。=所以，a-K=1，

设习+Xb^Xa+另的夹角为。，则。为钝角，

(a+AKXAa+K)

所以，cosO=|a+Ab||Aa+d|"

所以，(a+Ad)(Aa+b)<0.

Aa2+lK2+(l+A2)a-K<0*

所以，2/l+；l+(l+/l2)vo,所以M+34+1vo,

所以，土更<%<*.

22

若。=180。时，祝+a方与;I五十方共线且方向相反，

所以，存在k<0,使苍+4b=k(4万+b)，

因为，a,石不共线，所以，｛:所以，fc=A=-l,

-3-6

所以,<A<心电且；I丰-1.

22

解析：本题考查向量的模、夹角，考查向量垂直的判断与证明、向量共线的充要条件，属于中档题.

(1)根据向量垂直的条件结合同=在，同=1可得关于；I的方程，即可求得；I的值；

(2)根据向量共线的充要条件可得，存在k使五+亦=/4五+方)，即可求得；I,再求|有+高|即可；

(3)设立+2方与2Z+石的夹角为仇则。为钝角，根据cos。<0,可得关于4的不等式，求解即可.

17.答案：解：(1)由题意得丽=：而+；而，AP^=^AB+^AC,

4422

则

m而+相.北=曲(。方+1前)+(。方+1砌•《翔+：配)=9窈，1斌+“的就=-

4444228848

(口)因为点Q是线段4P3上一点，所以设福=4而=\存+机；1正，

__△=工4=3

又南=3双，所以丽=［荏+：荏，故｛12%,解得｛-1,因此所求实数小的值为

mA.=--4

4

1

4,

解析：本题考查了向量的几何意义和向量的数量积的运算，属于中档题.

(I)分别利用向量的几何意义和向量的数量积的运算计算即可.

(n)利用向量的线性运算计算即可.

18.答案：解：(1)在QABCO中，已知4B=3,AD=2,ABAD=120°.

\AC\=\AB+AD\=J(AB+AD)2=J［ABI2+2\ABHADjcos^BAD+|^4D|2>

=^j9+2x3x2x(—-)+4>

=y/7-

(2)由图形得而=南+］而，~DE=^AB-AD,

所以：AF-DE=(AB+^AD)■(^AB-AD),

=-\AB\2--\AB\\AD\cos^BAD--\AD\2,

362

=-x9--x3x2x(--)--x4,

36'2，2

7

=—

2,

解析：本题考查的知识要点：向量的线性运算、数量积，向量的模的运算的应用，主要考查学生的

运算能力和转化能力，属于基础题.

(1)直接利用向量的线性运算、数量积与向量的模求出结果.

(2)利用向量的线性运算和数量积运算求出结果.

19.答案：解：(1)由题意得：EF=ED+DA+AF，EF=EB+BC+CF

.•J2E?=(E0+Dl+A?)4-(E3++C?)=(ES+ES)+(Ap+cT)+(DX+BC?),

・；E,F分别是8D,AC的中点，；.百5+品=6,AF+CF=0.

/.2EF=DA+BC，即时=诃+项

(2)：||丽|一|配|仁|京+阮|<|亦|+|阮|,即Di|^|i^2\E?\<\DA\+B?

由题意得：DA=5,BC=9,••-2<|EF|<7

解析：本题考查平面向量的加减数乘运算以及量的几何运用，属于中档题.

(1)根据题意结合向量的加法运算即可求解；

(2)根据(1)以及量的几何运用可得.方』-|万口|42/E?\<\DA+键,结合线段成都即可求解.

20.答案：解：(1)由已知/84。=看得以ig?,

由”=(-3,-3),C\4=(-2-2cos0,3-2s讥0)，

得^5-CA=6+6cos6-9+6sin9=0.

••・sind+cosO=

2

••・14-2sinQcosd='=>2sin0cos6=—|,{cosQ—sin0)2=1-2sinOcos0—1,

又。为第二象限角，

/.cosO<0,sinQ>0,

・•・cosd—sinQ=——;

2

(2)由。=不知C点坐标是C(0,-2),

由而=AAB=(3尢32)，CD=CA+AD=2,32+5)，

得|加|=J(3C—21+(34+5/="8»+18/1+29=J18Q+|)2+y.

当;l=—1时，|而|取最小值字

解析：本题考查了三角函数的化简求值，考查了向量的模，涉及同角三角函数基本关系式、向量的

垂直与运用，是中档题.

⑴由已知=得瓦51刀，由瓦5,G5的坐标求出瓦的值，再利用同角三角函数基本关

系即可求出cos。-sin。的值；

(2)由。=某知C点坐标是C(0,-2),由而=%屈=(3432)，CD=CA+AD=Q3A-2,3A+5)-

结合二次函数的性质，可得|而|的最小值.

21.答案：解:(1)va=BC=(6,8)>b-AC-(5,2),c=AB=(—1,-6)>>

3a+b-2c=3(6,8)+(5,2)-2(-1,-6)=(25,38)；

(2)令五=41+西,则：(6,8)=4(5,2)+〃(-1,-6),

•••(6,8)=(5A-n，2A-64)，

[6=52-/z,U=1

“(8=2；1-6〃—加=-/

Aa=h­c;

(3)•••AB=(-1,-6).AC=(5,2)，

.••荏•而=-1x5+(-6)X2=-17<0，

A/.BAC>p

••.△ABC是钝角三角形.

解析：本题主要考查了向量的加法、减法、数乘运算，向量的坐标运算及向量的数量积，考查了推

理能力与计算能力，属于中档题.

(1)先求出向量区武7的坐标，再利用向量的坐标运算得答案；

(2)令五=高+西,则求出九〃即可；

(3)求出荏.而<0,则可判断三角形的形状.

22.答案:解：(1)原式可化为：sinB=sin(/+8)-sin(4-8)

=sinAcosB+cosAsinB—sinAcosB+cosAsinB=2cos/sinB,

vBG(0,7r),:.sinB>0,

.1

**•cosA——,

2

TT

又/•••4=7

(2)由余弦定理，得I就|2=|四|2+|而|2一2|四||彳？|.cos4

■■■\BC\=7,AB-AC=\AB\\AC\-cos4=20)

.•.画2+।殖2=8%

•••|荏+码2=|荏|2+|殖2+2而\前=89+40=129，

\AB+AC\=V129

解析：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，平面向量的数量积运算法则，以及向量模的计算，

熟练掌握公式及法则是解本题的关键.

(1)将己知等式移项变形并利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后根据sinB不为0,得出cos4的

值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出4的度数；

(2)利用余弦定理列出关系式|就『=\AB\2+\AC\2-2\AB\-\AC\-cos4，将已知条件利用平面

向量的数量积运算法则化简后代入求出|而『+|而『的值，把所求式子平方并利用完全平方公式展

开，将各自的值代入开方即可求出值.

23.答案：解：(1)点A是线段8c的中点，

•.OA=^(OB+OC),

即1=/石+元)，

解得元=23一加

因此况=前+沅=-|OB+OC

2—»—一.q—

=--b^-2a-b=2a--b

33f

(2)VC,E,。三点共线，

・,・存在实数m使得灰=mOC+(1-m)OD

T-2一

=m(2a—6)+(1-m)--Z?

.2-57nT*

=2nnra+b,

3

又OE=AOA=Aa，

2m=A

m=0,

3

解得"

解析：本题主要考查用基底表示向量，考查向量共线的表示，考查了推理能力和计算能力，属于中

档题.

(1)由于点C与点B关于点A对称，可得万？耳+元)，解得元=2行一月即可得出玩=而+

0C;

(2)由C,E,。三点共线，根据向量共线定理存在实数，"使得症=m小+(l-m)彷，另一方面

OE=XOA=Aa，即可得出结果.

24.答案：解：(1)向量方=(sinx,1),b=(l,cosx).xeR,

设/(x)=a-b

—sinx+cosx=V2sin(x+^),

由x+f=/OT+m，k6Z,

42

得％=fc/r+7,kGZ,

4

即函数f(x)的对称轴方程为X=/OT+%kGZ;

(2)/(0+》=争。6(0,小

得夜sin(0+：+：)=?'

得COS。=I，

所以sin。=11—~，

7