第四章-平面向量、数系的扩充与复数的引入

第四章

DISIZHANG

平面向量、数系的折充与复数的引入

第一节平面向量的概念及线性运算

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1.理解平面向量的有关概念及向量的表示方法.

2.掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义.

3.理解两个向量共线的含义.

4.了解向量线性运算的性质及其几何意义.

/主干知识＞自主排查币:温教材:::自传自纠

♦教材通关♦

1.向量的有关概念

名称定义备注

既有大小又有方向的量;向量的大小叫

向量平面向量是自由向量

做向量的长度（或称模）

零向量长度为0_的向量；其方向是任意的记作0

单位向量长度等于1个单位的向量非零向量。的单位向量为啥

方向相同或相反的非零向量（又叫做共

平行向量0与任一向量平行或共线

线向量）

相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等,不能比较大小

相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量法则（或几运算律

定义

运算何意义）

(1)交换律：

a~\~b=b~\~a；

(2)结合律：

三角形法则

加法求两个向量和的运算(〃+5)+C=

a+(b+c)

平行四边形法则

a—b=a+(—b)

求。与万的相反向量一方的

减法

和的运算叫做。与万的差

三角形法则

⑴|加=|川同;

（2）当力＞0时，觞的方向(2+〃)〃=；

求实数力与向量a的积的运与a的方向相同；当标0劝

数乘

算时，Aa的方向与a的方

向相反;当A=0时，Xa

=0

3.共线向量定理

向量a（“WO）与》共线，当且仅当有唯---个实数九使得b=Ia.

［小题诊断］

1.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O,若赢+废）=应），则4（）

A.1B.2

C.4D.6

2.在△ABC中，AD^2DC,BA^a,BD=b,BC=c,则下列等式成立的是（）

A.c=2b~aB.c=2a——b

c3.1

C.c=呼一5bD.c=^b—^a

3.若向量a与8不相等，则a与8一定（）

A.有不相等的模

B.不共线

C.不可能都是零向量

D.不可能都是单位向量

4.已知a,b是不共线的向量，AB^Xa+b,/=a+〃方，A,〃GR,则A,B,C三点

共线的充分必要条件为（）

A.2+〃=2B.A—〃=1

C.川=一1D.加=1

5.已知口A8CD的对角线AC和8。相交于。，且宓=a,OB=b,则成'=,BC

=（用a,b表示）.

♦易错通关♦

1.对于平行向量易忽视两点：（1）零向量与任一向量平行.（2）表示两平行向量的有向线

段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件.

2.单位向量的定义中只规定了长度没有方向限制.

［小题纠偏］

1.若机〃〃，n//k,则向量机与向量A（）

A.共线B.不共线

C.共线且同向D,不一定共线

2.设a,8都是非零向量，下列四个选项中，一定能使含+条=0成立的是（）

A.a=:2bB.（i//b

C.a——^bD.a±b

考点一平面向量的有关概念自主探究基础送分考点一自主练透

［题组练通］

1.下列说法正确的是（）

A.长度相等的向量叫做相等向量

B.共线向量是在同一条直线上的向量

C.零向量的长度等于0

D.AB//诙就是赢所在的直线平行于无所在的直线

2.（2018•枣庄期末测试）下列命题正确的是（）

A.若⑷=|臼，则a=6B.若⑷>|臼，贝

C.若a=b,则a〃bD.若|a|=0,则a=0

3.给出下列命题:

①若a=5,b—c,则a=c；

②若A,B,C,。是不共线的四点，则赢=比是四边形ABC。为平行四边形的充要条

件；

③a=b的充要条件是⑷=|加且a//b；

其中正确命题的序号是.

向量有关概念的5个关键点

(1)向量：方向、长度.

(2)非零共线向量：方向相同或相反.

(3)单位向量：长度是一个单位长度.

(4)零向量：方向没有限制，长度是0.

(5)相等相量：方向相同且长度相等.

考点二向量的线性运算自主探究基础送分考点——自主练透

［题组练通］

1.(2018・武汉调研)设M为平行四边形A8C。对角线的交点，O为平行四边形ABC。所

在平面内的任意一点，则应+而+诙+而等于()

A.OMB.2OM

C.3OMD.4OM

2.设。，E,F分别为AABC三边BC,CA,48的中点，则ZM+班+尸C=()

1一1一

B.^DA

1一

C.^DAD.0

3.在△ABC中，P,。分别是边AB,BC上的点，＞AP=1AB,8c若赢=a,AC

=b,则PQ=()

A.ga+g。B.—ga+g。

D.-ga-fb

c5』

4.在△ABC中，ZA=60°,NA的平分线交于点。，若AB=4,5.AD=|AC+/AB

aeR),则A。的长为

用几个基本向量表示某个向量问题的4个步骤

⑴观察各向量的位置；

(2)寻找相应的三角形或多边形；

(3)运用法则找关系；

(4)化简结果.

考点三共线向量定理及其应用多维探究题点多变考点——多角探明

［锁定考向］对共线向量定理的专查主要是应用定理求解参数，…三点共线等问题」归纳

起来常见的命题角度有：

⑴判断囱量共线「⑵证明三点共线」⑶利用一共线求参一数值「…

角度一判断向量共线

1.(2018・咸阳模拟)对于非零向量a,瓦“2a+3Z»=0”是%〃厂成立的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

角度二证明三点共线

2.设两个非零向量a与5不共线，

(1)若AB=a+5,BC—2a+8b,CD=3(a—b),

求证：A,B,。三点共线；

(2)试确定实数k,使ka+b和a+kb同向.

角度三利用共线求参数值

3.已知向量〃，力是两个不共线的向量，若向量加=4a+）与〃=。一劝共线，则实数2

的值为（）

A.—4B.一；

C.1D.4

4.（2018・资阳模拟）设ei与C2是两个不共线的向量，b=3ei+2e2,CB=kei+e2,CD=

3ei—2既2，若A，B,。三点共线，则左的值为（）

94

--

A.-4B.-9

D.-I

C.丁

「/方法技巧/

共线向量定理的3个应用

⑴判断向量共线：对于向量a,b,若存在实数九使。=助，则a与》共线.

（2）证明三点共线：若存在实数九使赢=九元，则A,B,C三点共线.

（3）求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程（组）求参数的值.

［即时应用］

1.设。，E,尸分别是△ABC的三边BC,CA,A8上的点，且虎=2访，CE=2EA,

AF=2FB,则箭）+靛+序与正（）

A.反向平行B.同向平行

C.互相垂直D.既不平行也不垂直

2.已知点O,A,B不在同一条直线上，点P为平面AOB内一点，且2.0P^20A+BA,

则（）

A.点尸在线段AB上

B.点P在线段A8的反向延长线上

C.点P在线段的延长线上

D.点尸不在直线AB上

3.（2018彳药阳模拟）在如图所示的方格纸中，向量a,b,c的起点和终点均在格点（小正

方形顶点）上，若c与xa+y伙x,y为非零实数）共线，贝4的值为

第二节平面向量的基本定理及坐标表示

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1.了解平面向量的基本定理及其意义.

2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.

3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.

4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.

/主干知识＞自主排查乖温教材::：白杳白纠

♦教材通关♦

1.平面向量的基本定理

如果ei，02是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a，有且

只有一对实数九,七,使”=为的十数

其中，不共线的向量ei,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.

2.平面向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量正交分解.

3.平面向量的坐标运算

（1）向量加法、减法、数乘向量及向量的模

设。=（X1，%）,b=（X2,J2），贝1J

a+=（xi+xz，yi+v2），

a~b=（羽-X2，yi—V2），

%a=（Axi，%也），|a|=+握

（2）向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.

②设4（无1,yi）,Bg竺），则43=（无21xi，丫2一W）,

\AB\=\/(电—%1)2+(，2-yi>・

4.平面向量共线的坐标表示

设。=(尤1，yD，b=(x2,y2)>则a〃10尤在2—4丫1=0.

［小题诊断］

1.若向量。=(2,3),8=(—1,2),则a+b的坐标为()

A.(1,5)B.(1,1)

C.(3,1)D.(3,5)

2.(2018•咸阳模拟)下列各组向量中，可以作为基底的是()

A.ei=(0,0),e2=(l,-2)

B.ei=(—1,2),e2=(5,7)

C.ei=(3,5),e2=(6,10)

D.ei=(2,—3),C2=g，-4)

3.如图，在△。43中，尸为线段AB上的一点，OP=xOA+yOB,且丽=2函，则()

人21

A.x=］，y

c12

B.%=§，y=g

-13

c.%=a，y=4

n31

D.『，y=4

4.已知A(—1,-1),B(m,m+2),C(2,5)三点共线，则机的值为()

A.1B.2

C.3D.4

5.在AABC中，点P在BC上，且丽=2瓦?，点。是AC的中点，若丽=(4,3),PQ=

(1,5),则病=.

♦易错通关♦

1.向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向

量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的.

2.若Q=(X1，刀)，b=(X2,yi),则a〃8的充要条件不能表示成言=,，因为孙丁2有

可能等于0,所以应表示为为州一刀2丁1=0.

［小题纠偏］

1.设ei，出是平面内一组基底，若加01+/12«2=0，则21+/12=.

2.(2015・高考江苏卷)已知向量〃=(2,1),6=(1,—2),若ma+nb=(9,—8)(m,n£

R),则加一〃的值为

,核心考点

＞互动探究突破疑难:::通法悟道

考点一平面向量基本定理及应用自主探究基础送分考点——自主练透

［题组练通］

1.在梯形ABCD中，赢=3诙，则诙=()

A.—|AB+|ADB.—|AB+^AD

C^AB-ADD.-|AB+AD

2.直线/与平行四边形ABC。的两边AB,分别交于E,P两点，且交其对角线AC

于点K.若赢=2赢，Ab=3AF,AC=X4k(/ieR),贝1|4=()

A.2B.|C.3D.5

3.如图，已知在△ABC中，。为边BC上靠近8点的三等分点，连接AO,E为线段

A。的中点.若无=机油+嬴，则加+w=()

A.一1B.一2

C-1D1

J42

方法技巧/-------------------------------------

用平面向量基本定理解决问题的一般思路

⑴先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示为向量的形式，再通过向量的运算来

解决.

⑵在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运用平面几

何的一些性质定理.

考点二平面向量的坐标运算互动探究重点保分考点——师生共研

［典例］(1)(2018・广东六校联考)已知4(-3,0),8(0,2),。为坐标原点，点C在NA03

内，10cl=2吸，且/AOC=：,设次=/1a+为Q6R),则%的值为()

A.1B.§

C.^D.1

(2)在平行四边形ABC。中，AC为一条对角线，若施=(2,4),危=(1,3),则前＞=()

A.(—2,—4)B.(—3,—5)

C.(3,5)D.(2,4)

「/方法技巧/

(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线

段两端点的坐标，则应先求向量的坐标.

(2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程(组)来进行求解.

I)

［即时应用］

1.(2018•福州模拟)已知向量。=(2,4),6=(-1,1),则2a+l等于()

A.(5,7)B.(5,9)

C.(3,7)D.(3,9)

2.已知点A(l,3),2(4,-1),则与赢同方向的单位向量是()

A.(|,-1)B.4-|)

3443

C.(一亍5)D.(—亍5)

3.设向量。=(1,-3),6=(—2,4),c=(—1,一2),若表示向量4G,45一2G2(〃一c),d

的有向线段首尾相连能构成四边形，则向量d=()

A.(2,6)B.(-2,6)

C.(2,-6)D.(-2,-6)

考点三平面向量共线的坐标表示变式探究母题变式考点——多练题型

［典例］(2018・文登二中模拟)平面内给定三个向量。=(3,2),方=(-1,2),c=(4,l).

(1)若(a+阮)〃(28—a),求实数公

(2)若d满足(d—c)〃(a+»,且|d-c|=4，求d的坐标.

［变式探究1］

母题条件不变，若a=〃>+〃c.试求九

［变式探究2］

母题条件若变为“若赢=2a+3Z),反：=a+mc.且A、B、C三点共线”，试求九

/方法技巧/

II

平面向量共线的坐标表示问题的常见3种类型及解题策略

(1)利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线，求某些参数的取值时,则利用“若。=(制，

yi),b=(x2,y2),则a〃6的充要条件是龙1>2=必刀”解题比较方便.

⑵利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地，在求与一个已知向量”共线的向量时，可

设所求向量为加QGR),然后结合其他条件列出关于％的方程，求出4的值后代入加即可

得到所求的向量.

(3)三点共线问题.A,B,C三点共线等价于油与公共线.

［即时应用］

1.已知向量。=(1,m),b=。,—2),且(〃+5)〃方，则m=()

22

A,"3B3

C.-8D.8

2.已知非零向量e”《2，«3，Q=ei+e2+3e3，)=药+«2-24，。=幻一3改+2。3，d=4ei

+602+893,d—aa+/3b+yc,则a,夕，y的值分别为()

A1891c1891

而一~2B・一亍，元，-~2

-1891c1891

「—_—D—

10'2--亍F2

3.(2018•南阳五校联考)已知向量方=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+lf%—2),

若A,B,。三点不能构成三角形，则左=.

考点四平面向量基本定理及坐标运算与最值范围问题

平面向量基本定理及坐标运算常与最值范围创新考查，该类题型命题角度新颖，能力强,

多为选择填空的压轴题.

［典例］(1)(2018・石家庄模拟)A,B,C是圆。上不同的三点，线段C。与线段交于

点。(点。与点。不重合)，若次=%宓+〃而(九〃GR),则4+〃的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,+8)

C.(1,@D.(-1,0)

(2)(2017•高考全国卷川)在矩形A8C。中，AB=1,AD=2,动点尸在以点C为圆心且与

8。相切的圆上.若存=%矗+〃幼，则2+汹的最大值为()

A.3B.2小

C.y［5D.2

/思维升华/

II

解决平面向量基本定理及坐标运算与最值范围的创新问题的2种方法

(1)临界分析法：即充分利用平面向量的几何定义，结合图形，临界分析，多用到共线问题.

(2)坐标法：即数形结合，建立恰当的坐标系后，寻求所求量的目标函数.转化为函数的最

值问题.

［即时应用］

1.在Rt^ABC中，4=90。，点。是边BC上的动点，且|赢|=3,11bl=4,AD=AAB+

//ACa>0,/z>0）,则当“取得最大值时，|命|的值为（）

A.|

B.3

12

C.1D3

2.给定两个长度为1的平面向量。4和。2,它们的夹角为120。.点C在以点0为圆心的

X----X

圆弧AB上移动，若次=入殖+'而，其中心y£R,则x+y的最大值是（）

A.3B.4C.2D.8

第三节平面向量的数量积

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1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.

2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.

3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.

4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.

乙主干知识

►自主排查*温教材:::自杳n纠

♦教材通关♦

1.向量的夹角

定义图示范围共线与垂直

已知两个非零向量a

设。是。与6的夹角，

和"作有4=a,OB=8=0。或1=180。0。〃

则9的取值范围是

b,则NA08就是a与b,0=9O°^a±b

0Y6W180。

b的夹角

2.平面向量的数量积

设两个非零向量a，的夹角为仇则数量.㈤加cos0

定义

叫做。与方的数量积，记作a协

lalcos。叫做向量a在方向上的投影，

投影

而cos/叫做向量方在a方向上的投影

几何数量积ab等于a的长度⑷与b在a的方向上的投影

意义向cose的乘积

3.向量数量积的运算律

(l)ab=ba

(2)Ua)'b=A(ab)=.

(3)(。+b)'C=〃•0++c.

4.平面向量数量积的有关结论

已知非零向量a=（xi,yi）,》=（尤2,y2）,a与b的夹角为“

结论几何表示坐标表示

模\u\

八a山八xix2+yiy2

夹角cos(7=rm

皿I

alb的

。仍=0Xp2+yi，2=0

充要条件

I。♦臼与

|XlX2+yiy2|W

1加1

A/华+病)(若+西

的关系

［小题诊断］

1.已知菱形ABC。的边长为mZABC=60°f则访历=()

B.一也

A.—

3

C.^a2

2.已知向量a,b满足同=1,网=4,且。0=2,则。与》的夹角为（）

c兀

A兀

A6B4

C.1D.1

3.（2018.云南检测）设向量a=（—1,2）,b=（m,V）,如果向量a+25与平行，那么

与b的数量积等于（）

A.B.-2

C.|D:|

4.若向量“与》的夹角为60。，a=(2,0),|a+2例=2小,则血=()

A.小B.1

C.4D.3

5.(2017•高考全国卷UI)已知向量a=(—2,3),b=(3,ni),且a_L5,则/

♦易错通关♦

1.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a0=a-c(aWO)不能得出b=c,两边不能约

去一个向量.

2.两个向量的夹角为锐角，则有ab>Q,反之不成立；两个向量的夹角为钝角，则有

ab<0,反之不成立.

3.a-Z>=0不能推出a=0或Z>=0,因为a5=0时，有可能a_L方.

4.在用⑷=而求向量的模时，一定要把求出的,再进行开方.

［小题纠偏］

1.给出下列说法：

①向量b在向量a方向上的投影是向量；

②若。5>0,则a和入的夹角为锐角，若<0,则a和6的夹角为钝角；

③(ab)c=a(bc)；

④若ab=3则a=Q或6=0.

其中正确的说法有个.

2.(2016•高考北京卷)已知向量a=(l,3),方=(小，1),则a与分夹角的大小为

核心考点►互动探究突破疑难:::通法悟道

考点一平面向量的数量积的计算

［题组练通］

1.若向量⑷=2sin15。，1=4s向75°,a与早的夹角为30。,则a0等于()

A.小B当C.2V5D.1

2.在菱形ABC。中，对角线AC=4,E为CZ)的中点，则矗.n=()

A.8B.10

C.12D.14

3.如图，BC,是半径为1的圆0的两条直径，BF=2FO,^FD-FE

31

--

-4-4

A.cB.

8D.4

--

-9-9

7/方法技巧，

解决平面向量数量积问题的常用方法

技巧解读适合题型

利用定义式a-b=\a\-\b\cos9求解.适用于平面图形中的向

定义定义式的特点是具有强烈的几何含义，需要明量数量积的有关计算问

法确两个向量的模及夹角，夹角的求解一般通过

题.

具体的图形可确定.

利用坐标式a,利=制彳2+>1>2解题.

适用于已知相应向量的

坐标坐标式的特点是具有明显的代数特征，解题时

坐标求解数量积的有关

法需要引入直角坐标系，明确向量的坐标进行求

计算问题

解，即向量问题“坐标化”.

求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向适用于直接求解不易，

转化

量数量积的运算律或相关公式进行化简，然后而转化为其他向量的数

法

进行计算.量积的有关计算问题

考点二平面向量数量积的应用

［锁定考向］平面向量的夹角与模的问题是高考中的常考内容，题型多为选择题、填空

题,…筵度适生一,…属史档题「归纳起来常见的命题探究鱼度有一:…

⑴平面向量的模.（2）平面向量的夹角.（3）平面向量的垂直.

角度一平面向量的模

1.（2017•高考全国卷I）已知向量a"的夹角为60。，⑷=2,|例=1,则|“+2例=.

2.（2018・泰安模拟）已知平面向量a,满足他|=1,且。与入一a的夹角为120°,则a

的模的取值范围为.

方法技巧/-----------------------------------

（1）求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：

①或⑷=yj

®\a±b\=y］（〃土方y=7。2±2〃・J+吩.

③若。=(x,y),则⑷=A/X2+V2.

(2)与模有关的最值或范围问题要注意抓住模的几何意义及数形结合思想的应用.

角度二平面向量的夹角

3.向量a,〜满足|a+臼=2小⑷，且(a—b>a=O,则a,5的夹角的余弦值为()

A.0B<egD当

4.已知a=(l,2),Z>=(l,l),且a与a+肪的夹角为锐角，则实数力的取值范围为.

b方法技巧/

向量夹角问题的2个注意点

(1)切记向量夹角的范围是［0,TI］.

(2)非零向量a与分夹角为锐角㈡a•历>0且。与b不共线；非零向量。与分夹角为钝角台“仍<0

且a与6不共线.

角度三平面向量的垂直

5.(2017・高考全国卷I)已知向量。=(一1,2),b=(mfl).若向量a+8与〃垂直，则相

6.若平面四边形A8CD满足疝+无=0,(AB-AD)-AC=0,则该四边形一定是()

A.直角梯形B.矩形

C.菱形D.正方形

方法技巧/

两向量垂直的应用：两非零向量a,b,a±b^ab=0^\a-b\=\a+b\.

I______________________________________________J

［题组练通］

1.(2018•江西八校联考)已知两个非零向量a,6满足a・(a—Z»)=0,且21al=|臼，则〈a,

b)=()

A.30°B.60°

C.120°D.150°

2.（2018・长沙模拟）若同一平面内向量a,b,c两两所成的角相等，且⑷=1,忸|=1,|c|

=3,则|a+）+c|等于（）

A.2B.5

C.2或5D.小或小

考点三平面向量数量积的最值问题

平面向量的数量积常与最值范围问题相结合创新考点.该类题目能力要求较高难度大.有

一定的综合性.

［典例］在等腰梯形A8CD中，已知AB=2,BC=1,N4BC=60。.动点E和

F分别在线段BC和DC上，且前1=4正，DF=^jDC,则嬴的最小值为.

方法技巧/

求解平面向量数量积最值问题的2个策略

L图形化策略

所谓图形化策略，是指解决向量问题时，利用图形语言翻译已知条件和所求结论，借助图形

思考解决问题.图形化策略体现了数形结合思想，同时，化归与转化思想和函数与方程思想

也深蕴其中.

利用图形化的策略方法，各种数量关系在图形中非常明了，能起到事半功倍的作用.如果没

有图形的帮助，要用代数化策略，这样即使是坐标化处理，也可能陷入“僵局”.

2.代数化策略

所谓代数化策略，是指解决向量问题时，利用代数语言翻译已知条件和所求结论，借助

代数运算解决所面临的问题.代数化策略体现了化归与转化思想和函数与方程思想.通过平

面向量基本定理演变而来的代数运算和坐标化的代数运算，是解决向量问题的一般方法.

［即时应用］

1.（2017•高考全国卷II）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点,

则丽•（布+而的最小值是（）

A.-2B.-

4

C.一弓D.—1

2.AABC是直角边等于4的等腰直角三角形，。是斜边BC的中点，布=颉+加元，

向量就的终点M在△AC。的内部（不含边界），则赢•施的取值范围是.

第四节复数

高考

1.理解复数的基本概念.

2.理解复数相等的充要条件.

3.了解复数的代数表示法及其几何意义.

4.会进行复数代数形式的四则运算.

5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

主干知识

♦教材通关♦

1.复数的有关概念

(1)复数的概念：

形如a+6i(a,6dR)的数叫复数，其中°,b分别是它的实部和虚部.若6=0,贝!Ja+

历为实数；若6W0,则a+历为虚数；若a=0且6W0,则a+历为纯虚数.

(2)复数相等：a+bi=c+di^a=cJIb=d(a,b,c,dGR).

(3)共轨复数：a+历与c+di共辗<=>a=c,b=—d(a,b,c,dGR).

(4)复数的模：

向量OZ的模r叫做复数2=。+历(°,66对的模,记作团或|0:+历|,即|z|=|a+万|=年层十户

2.复数的几何意义

一,一对应

(1)复数z=a+b?------------复平面内的点Z(a,b)(a,bGR).

.—•—•对应f

(2)复数z=〃+Z?i(a,/?eR)-----------■平面向量OZ.

3.复数的运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则

设zi=a+bi,Z2=c+di(〃，b,c,d£R),则

①加法：zi+Z2=(。+bi)+(c+di)—(a+c)+(Z?+tZ)i；

②减法：zi-Z2=(〃+bi)-(c+di)—(a-c)+(7?-诙；

③乘法：zi・Z2=(a+bi)•(c+di)=(a。-faZ)+(ad+Z?c)i；

小也、$zi〃+为(a+历)(c—di)ac+bdbc-ad

④除法：三=口="+力"_力)=^^+^^9+7)0).

⑵复数加法的运算定律

复数的加法满足交换律、结合律，即对任何Z1，Z2，Z3^C,有Zi+z2=Z2+zi，(Zl+z2)

+Z3=Z1+(Z2+Z3).

［小题诊断］

1.(2017•高考全国卷ll)(l+i)(2+i)=()

A.1-iB.l+3i

C.3+iD.3+3i

2.已知a,4>GR,i是虚数单位，若a—i与2+历互为共朝复数，则(a+bi)2=()

A.3+4iB.5+4i

C.3-4iD.5-4i

3.(2018.西安质检)已知复数z=9T(i为虚数单位)，则z的虚部为()

A.-1B.0

C.1D.i

4.已知i为虚数单位，则复数z=(—1—2i)i在复平面内对应的点位于(