2024春七年级数学下册专题01平行线的判定与性质压轴题四种模型全攻略含解析新版浙教版

Page1专题01平行线的判定与性质压轴题四种模型全攻略【类型一平行线的判定与性质问题】例1．（云南峨山·七年级期末）如图，∠AGF=∠ABC，∠1+∠2=180°．（1）BF与DE平行吗？请说明理由；（2）若DE垂直于AC，∠AFG=60°，求∠2的度数．【答案】（1）平行，见解析；（2）150°．【解析】【分析】（1）依据同位角相等两直线平行，得到GF//BC，再利用两直线平行，内错角相等，解得∠1＝∠FBC，最终依据同旁内角互补，两直线平行解题即可；（2）由BF//DE，DE垂直于AC，可证得∠AFB＝90°，结合题意，可解得∠1的度数，再由∠1＝∠FBC，两直线平行，同旁内角互补，即可解得∠2的度数．【详解】(1)解：平行．理由：∴∠AGF＝∠ABC∴GF//BC，∴∠1＝∠FBC∵∠1+∠2＝180°∴∠2+∠FBC＝180°，∴BF//DE；(2)∵DE垂直于AC∴∠AED=90°，由（1）知BF//DE∴∠AFB＝90°∵∠AFG＝60°，∴∠1＝30°，由（1）知∠1＝∠FBC∴∠FBC=30°∵BF//DE∴∠2=180°－∠FBC＝180°－30°＝150°.【点睛】本题考查平行线的判定与性质，是重要考点，驾驭相关学问是解题关键.【变式训练1】（广东揭西·八年级期末）如图，已知AC∥FE，∠1＋∠2＝180°(1)求证：∠FAB＝∠BDC；(2)若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数．【答案】(1)见解析(2)50°【解析】【分析】（1）由已知可证得∠2=∠FAC，依据平行线的判定得到FA∥CD，依据平行线的性质即可得到∠FAB=∠BDC；（2）依据角平分线的定义得到∠FAD=2∠FAC，即∠FAD=2∠2，由平行线的性质可求得∠2，再平行线的判定和性质定理求出∠ACB，继而求出∠BCD．(1)证明：∵AC∥EF，∴∠1+∠FAC=180°，又∵∠1+∠2=180°，∴∠FAC=∠2，∴FA∥CD，∴∠FAB=∠BDC；(2)解：∵AC平分∠FAD，∴∠FAC=∠CAD，∠FAD=2∠FAC，由（1）知∠FAC=∠2，∴∠FAD=2∠2，∴∠2=∠FAD，∵∠FAD=80°，∴∠2=×80°=40°，∵EF⊥BE，AC∥EF，∴AC⊥BE，∴∠ACB=90°，∴∠BCD=90°∠2=50°．【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，依据平行线的性质和角平分线的定义求出∠2是解题的关键．【变式训练2】（湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）如图，已知EFAB，∠DEF=∠A．(1)求证：DEAC；(2)若CD平分∠ACB，∠BED=60°，求∠ACD的度数．【答案】(1)见解析(2)30°【解析】【分析】（1）依据EFAB，可得∠BDE=∠DEF，又∠DEF=∠A等量代换可得∠BDE=∠A，进而可得DEAC；（2）依据（1）的结论可得，依据角平分线的定义即可求得∠ACD的度数．(1)∵EFAB，∴∠BDE=∠DEF，又∠DEF=∠A∴∠BDE=∠A，∴DEAC；(2)DEAC，∠BED=60°，CD平分∠ACB，【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的意义，驾驭平行线的性质与判定是解题的关键．【变式训练3】（山东潍坊·八年级期中）如图，MN∥BC，BD⊥DC，∠1=∠2=60°，DC是∠NDE的平分线（1）AB与DE平行吗？请说明理由；（2）试说明∠ABC=∠C；（3）试说明BD是∠ABC的平分线．【答案】（1）AB∥DE，理由见解析，（2）见解析，（3）见解析【解析】【分析】（1）首先依据平行线的性质，两直线平行，内错角相等即可证得∠ABC＝∠1＝60°，进而证明∠ABC＝∠2，依据同位角相等，两直线平行，即可证得；（2）依据平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补求得∠NDE的度数，然后依据角平分线的定义，以及平行线的性质即可求得∠C的度数，从而推断；（3）先求得∠ADB的度数，依据平行求出∠DBC的度数，然后求得∠ABD的度数，即可证得．【详解】解：（1）AB∥DE，理由如下：∵MN∥BC，（已知）∴∠ABC＝∠1＝60°．（两直线平行，内错角相等）又∵∠1＝∠2，（已知）∴∠ABC＝∠2．（等量代换）∴AB∥DE．（同位角相等，两直线平行）；（2）∵MN∥BC，∴∠NDE+∠2＝180°，∴∠NDE＝180°﹣∠2＝180°﹣60°＝120°．∵DC是∠NDE的平分线，∴∠EDC＝∠NDC＝∠NDE＝60°．∵MN∥BC，∴∠C＝∠NDC＝60°．∴∠ABC＝∠C．（3）∠ADC＝180°﹣∠NDC＝180°﹣60°＝120°，∵BD⊥DC，∴∠BDC＝90°．∴∠ADB＝∠ADC﹣∠BDC＝120°﹣90°＝30°．∵MN∥BC，∴∠DBC＝∠ADB＝30°．∵∠ABC＝∠C＝60°．∴∠ABD＝30°∴∠ABD＝∠DBC＝∠ABC．∴BD是∠ABC的平分线．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，垂线的性质，解题关键是娴熟运用平行线的性质与判定进行推理证明和计算．【类型二含一个拐点模型】例2．如图1，已知AB∥CD，直线AB、CD把平面分成①、②、③三个区域（直线AB、CD不属于①、②、③中任何一个区域）．点P是直线AB、CD、AC外一点，联结PA、PC，可得∠PAB、∠PCD、∠APC．(1)如图2，当点P位于第①区域一位置时，请填写∠APC＝∠PAB+∠PCD的理由．解：过点P作PE//AB，因为AB//CD，PE//AB，所以PE//CD（）．因为PE//AB，所以∠APE＝∠PAB（）．同理∠CPE＝∠PCD．因此∠APE+∠CPE＝∠PAB+∠PCD．即∠APC＝∠PAB+∠PCD．(2)在第（1）小题中变更点P的位置，如图3所示，求∠APC+∠PAB+∠PCD等于多少度？为什么？(3)当点P在第②区域时，∠PAB、∠PCD、∠APC有怎样的数量关系？请画出图形，并干脆写出相应的结论．【答案】(1)平行的传递性；两直线平行，内错角相等；(2)360°，理由见解析；(3)∠PCD=∠PAB+∠APC，见解析．【解析】【分析】（1）依据平行线的性质解题；（2）过点P作PE//AB，由两直线平行，同旁内角相等解得∠APE+∠PAB=180°，∠EPC+∠PCD=180°，再依据∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD解题；（3）依据题意，画出图形，再由两直线平行，内错角相等得到∠APE=∠PAB，∠PCD=∠CPE，结合∠CPE=∠APE+∠APC解题．(1)解：因为AB//CD，PE//AB，所以PE//CD(平行的传递性)因为PE//AB，所以∠APE＝∠PAB（两直线平行，内错角相等）．故答案为：平行的传递性；两直线平行，内错角相等；(2)∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，见解析：过点P作PE//AB，所以∠APE+∠PAB=180°，因为PE//CD，所以∠EPC+∠PCD=180°，所以∠APC+∠PAB+∠PCD=∠APE+∠EPC+∠PAB+∠PCD=180°+180°=360°；(3)∠PCD=∠PAB+∠APC，理由如下，当点P在第②区域时，如图，过点P作PE//AB，所以∠APE=∠PAB，因为PE//CD，所以∠PCD=∠CPE因为∠CPE=∠APE+∠APC所以∠PCD=∠PAB+∠APC．【点睛】本题考查平行线的拐角问题、平行线的性质等学问，是重要考点，驾驭相关学问是解题关键．【变式训练1】如图所示，AB∥CD，分别写出下面四个图形中∠A与∠P，∠C的数量关系，请你从所得到的关系中任选一图的结论加以说明．【答案】（1）∠A+∠C＝∠P；（2）∠A+∠P+∠C＝360°；（3）∠A＝∠P+∠C；（4）∠C＝∠P+∠A，证明见解析【解析】【分析】（1）作PE∥AB，利用两直线平行内错角相等证明即可；（2）作PE∥AB，利用两直线平行同旁内角互补证明即可；（3）作PH∥AB，利用两直线平行同旁内角互补证明即可；（4）作PE∥AB，利用两直线平行内错角相等证明即可；【详解】解：（1）∠A+∠C＝∠P；证明如下：如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，∴∠A=∠1，∠C=∠2，∵∠APC=∠1+∠2，∴∠APC=∠A+∠C，即：∠A+∠C＝∠P；（2）∠A+∠P+∠C＝360°；证明如下：如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，∴∠A+∠1=180°，∠C+∠2=180°，∴∠A+∠C+∠1+∠2=360°，∵∠APC=∠1+∠2，∴∠A+∠C+∠APC=360°，即：∠A+∠P+∠C＝360°；（3）∠A＝∠P+∠C；证明如下：如图所示，作PH∥AB，则PH∥CD，∴∠HPA＋∠A＝180°，∴∠HPA＝180°－∠A，∵∠HPA＋∠APC＋∠C＝180°，∴180°－∠A＋∠P＋∠C＝180°，即：∠A＝∠P+∠C；（4）∠C＝∠P+∠A；证明如下：如图所示，作PE∥AB，则PE∥CD，∴∠EPC=∠C，∠EPA=∠A，∵∠APC=∠EPC－∠EPA，∴∠APC=∠C－∠A，即：∠C＝∠P+∠A．【点睛】本题考查平行线的性质运用，理解并娴熟运用平行线的性质，灵敏构造帮助线是解题关键．【变式训练2】感知与填空：如图①，直线AB∥CD．求证：∠B+∠D=∠BED．证明：过点E作直线EF∥CD，∠2=______，（）AB∥CD(已知），EF∥CD_____∥EF，（）∠B=∠1，（）∠1+∠2=∠BED，∠B+∠D=∠BED，（）方法与实践：如图②，直线AB∥CD．若∠D=53°，∠B=22°，则∠E=______度．【答案】∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31．【解析】【分析】过点E作直线EF//CD，由两直线平行，内错角相等得出∠2=∠D；由两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行得出AB//EF；由两直线平行，内错角相等得出∠B=∠1；由∠1+∠2=∠BED，等量代换得出∠B+∠D=∠BED；方法与实践：如图②，由平行的性质可得∠BOD=∠D=53°，然后再依据三角形外角的性质解答即可【详解】解：过点E作直线EF∥CD，∠2=∠D，（两直线平行，内错角相等）AB∥CD(已知），EF∥CDAB//EF，（两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行）∠B=∠1，（两直线平行，内错角相等）∠1+∠2=∠BED，∠B+∠D=∠BED，（等量代换）方法与实践：如图②，∵直线AB∥CD∴∠BOD=∠D=53°∵∠BOD=∠E+∠B∴∠E=∠BOD-∠B=53°-22°=31°．故答案依次为：∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31．【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等学问点；娴熟驾驭平行线的性质是解答本题的关键．【变式训练3】已知直线AB∥CD，P为平面内一点，连接PA、PD．（1）如图1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度数；（2）如图2，推断∠PAB、∠CDP、∠APD之间的数量关系为．（3）如图3，在（2）的条件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度数．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．【解析】【分析】（1）首先过点P作PQ∥AB，则易得AB∥PQ∥CD，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，依据平行线的性质，即可证得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）先证明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的结论即可求解．【详解】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，过点P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，则∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如图，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；(3)设PD交AN于O，如图，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由题知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．留意驾驭帮助线的作法，留意驾驭数形结合思想的应用．【类型三含两个或多个拐点模型】例3．如图，AB∥EF，则∠A，∠C，∠D，∠E满足的数量关系是（）A．∠A+∠C+∠D+∠E＝360° B．∠A+∠D＝∠C+∠EC．∠A﹣∠C+∠D+∠E＝180° D．∠E﹣∠C+∠D﹣∠A＝90°【答案】C【解析】【分析】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，依据平行线的性质可得∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，依据AB∥EF可得CG∥DH，依据平行线的性质可得∠CDH＝∠DCG，进而依据角的和差关系即可得答案．【详解】如图，过点C作CG∥AB，过点D作DH∥EF，∴∠A＝∠ACG，∠EDH＝180°﹣∠E，∵AB∥EF，∴CG∥DH，∴∠CDH＝∠DCG，∴∠ACD＝∠ACG+∠CDH＝∠A+∠CDE﹣（180°﹣∠E），∴∠A﹣∠ACD+∠CDE+∠E＝180°．故选：C．【点睛】本题考查了平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补；娴熟驾驭平行线的性质，正确作出帮助线是解题关键．【变式训练1】如图，ABCD，∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，设∠ABE＝α，∠E＝β，∠F＝γ，则α，β，γ的数量关系是（）A．4β﹣α+γ＝360° B．3β﹣α+γ＝360°C．4β﹣α﹣γ＝360° D．3β﹣2α﹣γ＝360°【答案】A【解析】【分析】过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，依据已知条件得出∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，求出AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，依据平行线的性质得出∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，求出α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，再求出答案即可．【详解】解：过E作EN∥AB，过F作FQ∥AB，∵∠ABE＝∠EBF，∠DCE＝∠ECF，∠ABE＝α，∴∠ABF＝3α，∠DCF＝4∠ECD，∵AB∥CD，∴AB∥EN∥CD，AB∥FQ∥CD，∴∠ABE＝∠BEN＝α，∠ECD＝∠CEN，∠ABF+∠BFQ＝180°，∠DCF+∠CFQ＝180°，∴∠ABE+∠ECD＝∠BEN+∠CEN＝∠BEC，∠ABF+∠BFQ+∠CFQ+∠DCF＝180°+180°＝360°，即α+∠ECD＝β，3α+γ+4∠DCE＝360°，∴∠ECD＝β﹣α，∴3α+γ+4（β﹣α）＝360°，即4β﹣α+γ＝360°，故选A．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够娴熟驾驭平行线的性质．【变式训练2】综合与探究问题情境：“公路村村通”的政策让公路修到了山里，蜿蜒的盘山公路连接了山里与外面的世界．数学活动课上，老师把山路抽象成图1所示的样子，并提出了一个问题：如图1，，，，求的度数．小康的解法如下：解：如图1，过点P作．∵，∴（依据1）．∵，∴（依据2）．……(1)①小康的解法中的依据1是指_______________；②依据2是指______________．(2)依据上面小康的解题思路，完成小康剩余的解题过程．(3)聪慧的小明在图1的基础上，将图1变为图2，其中，，，，求的度数．【答案】(1)①假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行；②两直线平行，同旁内角互补(2)(3)【解析】【分析】（1）依据平行线的性质和判定即可的得出答案；（2）过点P作得，依据，得，即知，从而得出答案；（3）过点P作，过点作，从而得出，再依据平行线的性质即可得出答案；(1)解：①假如两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行．②两直线平行，同旁内角互补．(2)解：∵，∴．∵，，∴．(3)解：如图，过点P作，过点作．∵，∴，∴，，．∵，，，∴，∴，∴，∴．【点睛】本题考查平行线的性质与判定，解题的关键是作平行线，利用平行线的性质转化角．【变式训练3】如图①，直线AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上．(1)若∠1=135°，∠2=155°，试猜想∠P=______．(2)在图①中探究∠1，∠P，∠2之间的数量关系，并证明你的结论．(3)将图①变为图②，仍有AB∥CD，若∠1+∠2=325°，∠EPG=75°，求∠PGF的度数．【答案】(1)70°；(2)∠EPF+(∠1+∠2)=360°，理由见解析；(3)∠PGF的度数为140°．【解析】【分析】（1）过点P作PQ∥AB，由平行线的性质得到∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，进一步计算即可求得∠EPF的度数；（2）同（1）法即可求得∠EPF+(∠1+∠2)=360°；（3）过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，由平行线的性质即可求解．(1)解：过点P作PQ∥AB，∴∠1+∠EPQ=180°，∵∠1=135°，∴∠EPQ=180°-∠1=45°，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠2+∠FPQ=180°，∵∠2=155°，∴∠FPQ=180°-∠2=25°，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=70°；故答案为：70°；(2)解：∠EPF+(∠1+∠2)=360°，理由如下：过点P作PQ∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥CD，∴∠1+∠EPQ=180°，∠2+∠FPQ=180°，即∠EPQ=180°-∠1，∠FPQ=180°-∠2，∴∠EPF=∠EPQ+∠FPQ=360°-(∠1+∠2)；即∠EPF+(∠1+∠2)=360°；(3)解：过点P作PQ∥AB，过点G作GH∥AB，∵AB∥CD，∴PQ∥AB∥GH∥CD，∴∠1+∠3=180°，∠4+∠5=180°，∠6+∠2=180°，∴∠1+∠3+∠4+∠5+∠6+∠2=540°，∵∠EPG=75°，∴∠3+∠4=75°，∵∠1+∠2=325°，∴∠5+∠6=540°-(∠1+∠2)-(∠3+∠4)=540°-325°-75°=140°．∴∠PGF的度数为140°．．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，娴熟驾驭平行线的判定与性质，正确作出帮助线是解题的关键．【类型四生活中应用模型】例4.潜望镜中的两面镜子是相互平行放置的，如图1，光线经过镜子反射时，，，那么和有什么关系？为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？先画几何图形，如图2，再写已知未知．如图，，（1）猜想和有什么关系，并进行证明；（2）求证：．【答案】（1），证明见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）依据两面镜子是相互平行放置的可知，再依据平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可干脆证明．（2）结合题意可证明，再由，，即可证明，最终由平行线的判定定理（内错角相等，两直线平行），即可证明．【详解】解：（1）依据题意可知，∴（两直线平行，内错角相等）.（2）∵，∴；∵，，∴，∴（内错角相等，两直线平行）．【点睛】本题考查平行线的判定与性质在生活中的应用．驾驭平行线的性质与判定是解答本题的关键．【变式训练1】（1）若组成和的两条边相互平行，且是的2倍小，求的度数．（2）如图，放置在水平操场上的篮球架的横梁始终平行于与上拉杆形成的，主柱垂直于地面，通过调整和后拉杆的位置来调整篮筐的高度．当时，点H，D，B在同始终线上，求的度数．【答案】（1）15°或115°；（2）120°【解析】【分析】（1）依据∠1，∠2的两边分别平行，所以∠1，∠2相等或互补列出方程求解则得到答案．（2）过D点作DI∥EF，依据两直线平行，同旁内角互补可求∠FDI=35°，依据平角的定义可求∠ADB=30°，依据直角三角形的性质可求∠ABH=60°，再依据两直线平行，同旁内角互补可求∠H．【详解】解：（1）①当∠1=∠2时，∵∠1=2∠2-15°，∴∠1=2∠1-15°，解得∠1=15°；②当∠1+∠2=180°时，∵∠1=2∠2-15°，∴∠2+2∠2-15°=180°，解得∠2=65°，∴∠1=180°-∠2=115°；（2）过D点作DI∥EF，∵∠F=145°，∴∠FDI=35°，∴∠ADB=180°-90°-35°-25°=30°，∴∠ABH=90°-30°=60°．∵GH∥AB，∴∠H=180°-60°=120°．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行线性质定理：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；

两直线平行，内错角相等．【变式训练2】如图，政府规划由西向东修一条公路．从A修至B后为了绕开村庄，改为沿南偏东25°方向修建BC段，在C处又变更方向修建CD段，测得∠BCD＝70°，在D处接着变更方向，朝与动身时相同的方向修至E．（1）补全施工路途示意图，求∠CDE的度数；（2）原支配在AB的延长线上依次修建两个公交站M，N（均在CD右侧），连结DM和MN，求∠CDM与∠DMN的数量关系．【答案】（1）画图见解析，135°；（2）∠DMN-∠CDM=45°【解析】【分析】（1）补全DE∥AB即可，过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，则l∥m，由平行线性质可得到∠CDH=45°，又∠HDE=90°，从而可得∠CDE的度数；（2）设∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，所以∠EDM=180°-x．∠CDM=y=135°-（180°-x）=x-45°，则x-y=45°，从而得∠DMN-∠CDM=45°．【详解】解：（1）补全施工路途如图1所示．过C作l⊥AB的延长线于G，过D作直线m⊥AB的延长线于H，则l∥m，依据平行线的性质可得：∠BCG=25°，∠CDH=∠GCD=70°-∠BCG=70°-25°=45°，又∠HDE=90°，∴∠CDE=∠CDH+∠HDE=45°+90°=135°．（2）如图所示，设∠DMN=x，∠CDM=y，由于DE∥FN，∴∠EDM=180°-∠DMN=180°-x，又∠CDM=y=∠CDE-∠EDM=135°-（180°-x）=x-45°，则x-y=45°，即∠DMN-∠CDM=45°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的帮助线以及得到∠CDF=135°是解题的关键．【变式训练3】试验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射．若被b反射出的光线n与光线m平行，且∠1=38°，则∠2=°，∠3=°．（2）在（1）中，若∠1=55°，则∠3=°；若∠1=40°，则∠3=°．（3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角∠3=°时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．你能说明理由吗？【答案】（1）76°，90°；（2）90°，90°（3）90°．【解析】【分析】（1）依据平面镜反射光线的规律，可得∠1=∠5，∠7=∠6，依据平角的定义可得∠4=104°，依据m∥n，所以∠2=76°，∠5=38°，依据三角形内角和为180°，即可求出答案；（2）结合题（1）可得∠3的度数都是90°；（3）证明m∥n，由∠3=90°，证得∠2与∠4互补即可．【详解】（1）由平面镜反射光线的规律可得：∠1=∠5，∠7=∠6．又∵∠1=38°，∴∠5=38°，∴∠4=180°﹣∠1﹣∠5=104°．∵m∥n，∴∠2=180°﹣∠4=76°，∴∠6=（180°﹣76°）÷2=52°，∴∠3=180°﹣∠6﹣∠5=90°；（2）同（1）可得当∠1=55°和∠1=40°时，∠3的度数都是90°；（3）∵∠3=90°，∴∠6+∠5=90°，又由题意知∠1=∠5，∠7=∠6，∴∠2+∠4=180°﹣（∠7+∠6）+180°﹣（∠1+∠5）=360°﹣2∠5﹣2∠6=360°﹣2（∠5+∠6）=180°．由同旁内角互补，两直线平行，可知：m∥n．故答案为76°，90°，90°，90°90°．【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，本题是数学学问与物理学问的有机结合，充分体现了各学科之间的渗透性．【课后训练】1．（福建·泉州五中七年级期末）如图，直线a、b被直线c所截，下列说法不正确的是（）A．1与5是同位角 B．3与6是同旁内角C．2与4是对顶角 D．5与2是内错角【答案】D【解析】【分析】依据同位角、对顶角、同旁内角以及内错角的定义对各选项作出推断即可．【详解】解：A、∠1与∠5是同位角，故本选项不符合题意；B、∠3与∠6是同旁内角，故本选项不符合题意．C、∠2与∠4是对顶角，故本选项不符合题意；D、∠5与2不是内错角，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】本题主要考查了同位角、对顶角、同旁内角、内错角的定义，解答此题的关键是确定三线八角，可干脆从截线入手．对平面几何中概念的理解，确定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要留意理解它们所包含的意义．2．（江苏·开明中学九年级期末）如图，直线a∥b，直线AB⊥AC，若∠1＝52°，则∠2的度数是（）A．38° B．42° C．48° D．52°【答案】A【解析】【分析】利用直角三角形的性质先求出∠B，再利用平行线的性质求出∠2．【详解】解：∵AB⊥AC，∠1＝52°，∴∠B＝90°﹣∠1＝90°﹣52°＝38°∵a∥b，∴∠2＝∠B＝38°．故选：A．【点睛】本题考查平行线的性质、两直线平行同位角相等，直角三角形两个锐角互余等学问，在基础考点，驾驭相关学问是解题关键．3．（福建·晋江市季延中学七年级期末）如图，和分别为直线与直线和相交所成角．假如，那么添加下列哪个条件后，可判定．（）．A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】通过同位角相等两直线平行进行判定即可.【详解】A.∵，∴∠3=180º-∠2=62º=∠1，∴能判定，此选项正确；B.∵，∴∠3=180º-∠4=52º≠∠1，∴不能判定，此选项错误；C.∵，∴∠3≠∠1，∴不能判定，此选项错误；D.∵，∴∠3=∠28º≠∠1，∴不能判定，此选项错误；故选：A【点睛】此题考查平行线的判定，驾驭同位角相等两直线平行是解答此题的关键.4．（湖南·长沙市开福区青竹湖湘一外国语学校七年级期末）如图，给出下列条件，①∠1=∠2，②∠3=∠4，③ADBE，且∠D=∠B，④ADBE，且∠DCE=∠D，其中能推出ABDC的条件为（）A．①② B．②③ C．③④ D．②③④【答案】B【解析】【分析】依据平行线的判定逐个推断即可．【详解】①∠1=∠2，②∠3=∠4，③ADBE，∠D=∠B，④∠DCE=∠D，能推出ABDC的条件为②③故选B【点睛】本题考查了平行线的性质与判定定理，驾驭平行线的判定定理是解题的关键．二、填空题5．（全国·七年级专题练习）如图所示，直线a，b被c所截，∠1＝30°，∠2:∠3＝1:5，则直线a与b的位置关系是________．【答案】平行【解析】【分析】依据∠2:∠3＝1:5，求出的度数，然后依据同位角相等两直线平行进行解答即可．【详解】解：∵∠2:∠3＝1:5，∴∠2＝30°，∴∠1＝∠2，∴a∥b，故答案为：平行．【点睛】本题考查了角的和差倍分求角度以及平行的判定，依据题意求出∠2＝30°是解本题的关键．6．（上海浦东新·七年级期中）如图，已知AB∥CD，∠ABC＝120°，∠1＝27°，则直线CB和CE的夹角是_____°．【答案】93【解析】【分析】AB∥CD，∠DCB＝∠ABC＝120°，将角度代入∠BCE＝∠DCB-∠1求解即可．【详解】解：∵AB∥CD∴∠DCB＝∠ABC＝120°又∵∠1＝27°∴∠BCE＝∠DCB-∠1=93°故答案为93．【点睛】本题考查了平行线中关于内错角的性质．解题的关键在于娴熟运用两直线平行，内错角相等的性质．7．（山东·济宁市第十五中学八年级阶段练习）如图，已知的面积为16，．现将沿直线向右平移个单位到的位置．当所扫过的面积为32时，那么的值为__________．【答案】4【解析】【分析】作AH⊥BC于H，依据△ABC的面积为16，BC=8，可先求出AH的长，△ABC所扫过的面积为32，即可求出a的值.【详解】解：如图，连接AD，过点A作AH⊥BC交BC于H.∵SΔABC=16,BC=8,即BC⋅AH=×8×AH=16,∴AH=4,∴S梯形ABFD=∴a=4,故答案为4.【点睛】本题考查了图形的平移，灵敏运用图形面积间的关系是解题的关键.8．（北京市海淀区清华附中稻香湖学校七年级期末）一副直角三角板叠放如图所示，现将含30°角的三角板ABC固定不动，把含45°角的三角板ADE绕顶点A顺时针转动，若0°＜∠BAD＜180°，要使两块三角板至少有一组相互平行，则符合要求的∠BAD的值为________．【答案】45°或90°或120°【解析】【分析】分三种状况依据平行线的性质解答即可．【详解】解：如图1，当AE//BC时，则∠BAE+∠ABC=180°，∴∠BAE=180°-90°=90°,∴∠BAD＝90°-45°=45°；如图2，当DE//AB时，∠BAD＝∠D=90°；如图3，当DE//AC时，则∠CAD=∠D=90°，∴∠BAD＝30°+90°=120°；综上所述，满足条件的∠BAD的值为45°或90°或120°．故答案为：45°或90°或120°．【点睛】本题考查了平行线的性质，娴熟驾驭平行线的性质是解答本题的关键．平行线的性质：①两直线平行同位角相等，②两直线平行内错角相等，③两直线平行同旁内角互补．在运用平行线的性质定理时，确定要找准同位角，内错角和同旁内角．三、解答题9．（上海奉贤·七年级期末）如图，已知AE平分∠BAC交BC于点E，AF平分∠CAD交BC的延长线于点F，∠B＝64°，∠EAF＝58°，试推断AD与BC是否平行．解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝（）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝°（等式性质）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝°．∴（）．【答案】2∠2；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行【解析】【分析】由AE平分∠BAC，AF平分∠CAD，利用角平分线的定义可得出∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2，结合∠EAF＝∠1+∠2＝58°可得出∠BAD＝116°，由∠B＝64°，∠BAD＝116°，可得出∠BAD+∠B＝180°，再利用“同旁内角互补，两直线平行”即可得出AD∥BC．【详解】解：∵AE平分∠BAC，AF平分∠CAD（已知），∴∠BAC＝2∠1，∠CAD＝2∠2（角平分线的定义）．又∵∠EAF＝∠1+∠2＝58°，∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝2（∠1+∠2）＝116°（等式性质）．又∵∠B＝64°（已知），∴∠BAD+∠B＝180°．∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）．故答案为：2∠2；角平分线的定义；116；180；AD；BC；同旁内角互补，两直线平行．【点睛】此题考查了角平分线的定义，角的计算，平行线的判定．正确驾驭线段、角、相交线与平行线的学问是解题的关键，还需驾驭推理实力．10．（广东阳山·八年级期末）如图，AB∥DG，∠1+∠2＝180°．（1）试说明：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2＝142°，求∠B的度数．【答案】（1）见解析；（2）∠B＝38°．【解析】【分析】（1）由AB∥DG，得到∠BAD＝∠1，再由∠1+∠2＝180°，得到∠BAD+∠2＝180°，由此即可证明；（2）先求出∠1＝38°，由DG是∠ADC的平分线，得到∠CDG＝∠1＝38°，再由AB∥DG，即可得到∠B＝∠CDG＝38°．【详解】（1）∵AB∥DG，∴∠BAD＝∠1，∵∠1+∠2＝180°，∴∠BAD+∠2＝180°.∵AD∥EF.（2）∵∠1+∠2＝180°且∠2＝142°，∴∠1＝38°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠CDG＝∠1＝38°，∵AB∥DG，∴∠B＝∠CDG＝38°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键．11．问题情景：如图1，AB∥CD，∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，求∠APC的度数．（1）丽丽同学看过图形后马上口答出：∠APC＝85°，请补全她的推理依据．如图2，过点P作PE∥AB，因为AB∥CD，所以PE∥CD．（）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（）因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．问题迁移：（2）如图3，AD∥BC，当点P在A、B两点之间运动时，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β，求∠CPD与∠α、∠β之间有什么数量关系？请说明理由．（3）在（2）的条件下，假如点P在A、B两点外侧运动时（点P与点A、B、O三点不重合），请干脆写出∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系．【答案】（1）平行于同一条直线的两条直线平行（或平行公理推论），两直线平行，同旁内角互补；（2），理由见解析；（3）或【解析】【分析】（1）依据平行线的判定与性质填写即可；（2）过P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，依据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）画出图形（分两种状况①点P在BA的延长线上，②点P在AB的延长线上），依据平行线的性质得出∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【详解】解：（1）如图2，过点P作PE∥AB，因为AB∥CD，所以PE∥CD．（平行于同一条直线的两条直线平行）所以∠A+∠APE＝180°，∠C+∠CPE＝180°．（两直线平行同旁内角互补）因为∠PAB＝140°，∠PCD＝135°，所以∠APE＝40°，∠CPE＝45°，∠APC＝∠APE+∠CPE＝85°．故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；两直线平行，同旁内角互补；（2）∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如图3所示，过P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β；（3）当P在BA延长线时，如图4所示：过P作PE∥AD交CD于E，同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠β-∠α；当P在AB延长线时，如图5所示：同（2）可知：∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，∴∠CPD=∠α-∠β．综上所述，∠CPD与∠α、∠β之间的数量关系为：∠CPD=∠β-∠α或∠CPD=∠α-∠β．【点睛】本题考查了平行线的性质和判定定理，正确作出帮助线是解答此题的关键．12．已知AB∥CD，点E在AB上，点F在DC上，点G为射线EF上一点．【基础问题】如图1，试说明：∠AGD＝∠A＋∠D．（完成图中的填空部分）．证明：过点G作直线MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD（）∵MN∥AB，∴∠A＝（）（）∵MN∥CD，∴∠D＝（）∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．【类比探究】如图2，当点G在线段EF延长线上时，干脆写出∠AGD、∠A、∠D三者之间的数量关系．【应用拓展】如图3，AH平分∠GAB，DH交AH于点H，且∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠H＝32°，干脆写出∠DGA的度数．【答案】基础问题：平行于同一条直线的两条直线平行；∠AGM；两直线平行，内错角相等；∠DGM，两直线平行，内错角相等；类比探究：∠AGD＝∠A-∠D；应用拓展：42°．【解析】【分析】基础问题：由MN∥AB，可得∠A＝∠AGM，由MN∥CD，可得∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D；类比探究：如图所示，过点G作直线MN∥AB，同理可得∠A＝∠AGM，∠D＝∠DGM，则∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．应用拓展：如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，由MN∥AB，PQ∥AB，得到∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，由MN∥CD，PQ∥CD，得到∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，再由∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，可得∠GDH=44°，∠DHP=22°，则∠CDG=66°，∠AHP=54°，∠DGM=66°，∠BAH=54°，再由AH平分∠BAG，即可得到∠AGM=108°，则∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．【详解】解：基础问题：过点G作直线MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线平行），∵MN∥AB，∴∠A＝∠AGM（两直线平行，内错角相等），∵MN∥CD，∴∠D＝∠DGM（两直线平行，内错角相等），∴∠AGD＝∠AGM＋∠DGM＝∠A＋∠D．故答案为：平行于同一条直线的两条直线平行；∠AGM；两直线平行，内错角相等；∠DGM，两直线平行，内错角相等；类比探究：如图所示，过点G作直线MN∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD，∵MN∥AB，∴∠A＝∠AGM，∵MN∥CD，∴∠D＝∠DGM，∴∠AGD＝∠AGM-∠DGM＝∠A-∠D．应用拓展：如图所示，过点G作直线MN∥AB，过点H作直线PQ∥AB，又∵AB∥CD，∴MN∥CD，PQ∥CD∵MN∥AB，PQ∥AB，∴∠BAG＝∠AGM，∠BAH=∠AHP，∵MN∥CD，PQ∥CD，∴∠CDG＝∠DGM，∠CDH=∠DHP，∵∠GDH＝2∠HDC，∠HDC＝22°，∠AHD＝32°，∴∠GDH=44°，∠DHP=22°，∴∠CDG=66°，∠AHP=54°，∴∠DGM=66°，∠BAH=54°，∵AH平分∠BAG，∴∠BAG=2∠BAH=108°，∴∠AGM=108°，∴∠AGD=∠AGM-∠DGM=42°．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，平行公理，解题的关键在于能够娴熟驾驭平行线的性质．13．如图，，点E为两直线之间的一点(1)如图1，若，，则____________；(2)如图2，试说明，；(3)①如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，推断与的数量关系，并说明理由；②如图4，若设，，，请干脆用含、的代数式表示的度数．【答案】(1)(2)见解析(3)①，理由见解析；②【解析】【分析】（1）如图①，过点E作EFAB．利用平行线的性质即可解决问题；（2）如图②中，作EGAB，利用平行线的性质即可解决问题；（3）结合（1）、（2）的结论，进行等量代换即可求解．(1)解：过E点作EFAB，∵ABCD，∴EFCD，∵ABCD，∴∠BAE＝∠1，∵EFCD，∴∠2＝∠DCE，∴∠BAE＋∠DCE＝∠AEC．∵，，∴(2)过E点作ABEG．∵ABCD，∴EGCD，∵ABCD，∴∠BAE＋∠AEG＝180°，∵EGCD，∴∠CEG＋∠DCE＝180°，∴∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°．(3)①由（1）知，∵FA为∠BAE平分线，CF为平分线，∴，∴，即，由（2）知∠BAE＋∠AEC＋∠DCE＝360°，∴，②由①知，∵，，，∴即，∴，∵，∴．【点睛】本题考查平行线的性质，解题的关键是学会添加帮助线构造平行线解决问题，属于中考常考题型．14．如图，AB//CD，定点E，F分别在直线AB，CD上，在平行线AB，CD之间有一动点P，且满足0°＜∠EPF＜180°，QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD．在探究∠EPF与∠EQF之间的数量关系时，我们须要对点P的位置进行分类探讨：（1）如图1，当P点在EF的右侧时，若∠EPF＝110°，则∠EQF＝；猜想∠EPF与∠EQF的数量关系，请干脆写出结果；（2）如图2，当P点在EF的左侧时，探究∠EPF与∠EQF的数量关系，请说明理由；（3）若∠BEQ与∠DFQ的角平分线交于点Q1，∠BEQ1与∠DFQ1的角平分线交于点Q2，∠BEQ2与∠DFQ2的角平分线交于点Q3；…以此类推，则∠EPF与∠EQ2024F满足怎样的数量关系？【答案】（1）55°；∠EPF＝2∠EQF；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°，理由见解析；（3）∠EPF+22024•∠EQ2024F＝360°或∠EPF＝22024∠EQ2024F【解析】【分析】（1）过P作PM//AB，过Q作QN//AB，依据平行线的性质和角平分线的定义便可解决问题；（2）如图2，过P作PM//AB，过Q作QN//AB，依据平行线的性质和角平分线的定义便可2∠EQF+∠EPF＝360°；（3）分两种状况探讨，依据（1）中的解题方法得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP），∠Q2＝（∠BEP+∠DFP），∠（α+β）…由此得出规律∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP），再由（2）的结论2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝∠EQF，便可计算出∠EPF+2n+1•∠EQnF的结果，从而得出结论．【详解】解：（1）过P作PM//AB，过Q作QN//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF＝110°，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝×110°＝55°；猜想：∠EPF与∠EQF的数量关系为∠EPF＝2∠EQF．理由如下：∵AB//CD，∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，∴∠BEP＝∠MPE，∠DFP＝∠MPF，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，∴∠BEP+∠DFP＝∠MPE+∠MPF＝∠EPF，∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴2（∠BEQ+∠DFQ）＝∠BEP+∠DFP＝∠EPF，即∠EPF＝2∠EQF；故答案为：55°；（2）2∠EQF+∠EPF＝360°．理由如下：如图2，过P作PM//AB，过Q作QN//AB，∵AB//CD，∴AB//CD//PM，AB//CD//QN，∴∠BEP+∠MPE＝180°，∠DFP+∠MPF＝180°，∠BEQ＝∠NQE，∠DFQ＝∠FQN，∴∠BEP+∠DFP+∠MPE+∠MPF＝360°，即∠BEP+∠DFP+∠EPF＝360°，∠EQF∠BEQ+∠DFQ＝∠NQE+∠NQF＝∠EQF，∵QE，QF分别平分∠PEB和∠PFD，∴∠BEQ+∠DFQ＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，即∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，∴2∠EQF+∠EPF＝360°；（3）当点P在EF的左侧，依据（1）的方法可得∠Q1＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，∠Q2＝（∠BEP+∠DFP）＝∠EQF，…则∠Qn＝（）n（∠BEP+∠DFP）＝（）n∠EQF，∵2∠EQF+∠EPF＝360°，∠BEP+∠DFP＝2∠EQF，∴∠EPF+2n+1•∠EQnF＝360°．当点P在EF的右侧，同理可求∠EPF＝2n+1∠EQnF．综上，∠EPF+22024•∠EQ2024F＝360°或∠EPF＝22024∠EQ2024F．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，解题的关键在于能够娴熟驾驭相关学问进行求解．15．如图，已知AB∥CD．（1）如图1所示，∠1+∠2＝；（2）如图2所示，∠1+∠2+∠3＝；并写出求解过程．（3）如图3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如图4所示，摸索究∠1+∠2+∠3+∠4+⋯+∠n＝．【答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n-1）×180°【解析】【分析】（1）由两直线平行，同旁内角互补，可得答案；（2）过点E作AB的平行线，转化成两个图1，同理可得答案；（3）过点E，点F分别作AB的平行线，转化成3个图1，可得答案；（4）由（2）（3）类比可得答案．【详解】解：（1）如图1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）．故答案为：180°；（2）如图2，过点E作AB的平行线EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如图3，过点E，点F分别作AB的平行线，类比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案为：540°；（4）如图4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n-1）×180°，故答案为：（n-1）×180°．【点睛】此题考查了平行线的