新人教版高中数学选择性必修第一册第一章空间直角坐标系的构建策略培优练习题

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空间直角坐标系的构建策略

利用空间向量的方法解决立体几何中空间元素的位置关系、空间角、空间距

离等问题，关键是依托图形建立适当的空间直角坐标系，将直线的方向向量、平

面的法向量用坐标表示，通过向量运算完成.如何建立空间直角坐标系，写出点

的坐标是前提，下面主要介绍空间直角坐标系建系的几种策略.

策略一利用共顶点且互相垂直的三条棱

瘠近如图所示，在直三棱柱A8C4BC1中，AB±AC,

AB=AC=2,AAi=4,点。是8C的中点.

(1)求异面直线43与CQ所成角的余弦值；

(2)求平面ADC\与平面ABA\夹角的正弦值.

【解】

(1)以点A为原点，AB,AC,A4i所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空

间直角坐标系Axyz,

则A(0,0,0),3(2,0,0),C(0,2,0),Ai(0,0,4),0(1,1,0),Ci(0,

2,4),

所以府=(2,0,-4),GD=(1,-1,-4),

“、，/f府京3®

所以cos〈A18x,,

\A?B\\GD\

又异面直线所成角的范围是(0,I,

所以异面直线A18与C1£)所成角的余弦值为殳得乌

(2)AC=(0,2,0)是平面ABAi的一个法向量.

设平面ADC\的法向量为〃=(x,y,z),

因为Ab=(i,i,o),Aci=(o,2,4),

/rAQ=x+y=0,x=2z,

所以J.即j_

n-AC\=2y+4z=Q,^=~2z>

取〃=(2,—2,1).

设平面ADC\与平面AB4的夹角为仇

则cos0=|cos(AC,〃〉|=I"。/=段,所以sin8=W，

|AC||n|

所以平面ADC\与平面ABA\夹角的正弦值为当

策略二利用面面垂直关系

加州2](2021・新高考I卷改编)如图，在三棱锥

A-8CZ)中，平面A3。，平面BCD,AB=AD,0为BD的

中点.

(1)证明：OA1CD；

(2)若△0C。是边长为1的等边三角形，点E在棱AO上，DE=2EA,且二

面角E-BC-D的大小为45°,求0A.

【解】(1)因为AB=A£>,。为8。的中点，所以。4_LBO,

又平面4?。，平面BCO,且平面ABDA平面8C£>=3DA0u平面A8D,所

以AO,平面BCD,

又COu平面BCD,所以AOLCD

(2)如图所示，以。为坐标原点，OB,。4所在直线分

别为x,z轴，在平面BCD内，以过点。且与8。垂直的

直线为y轴建立空间直角坐标系.

因为△OCO是边长为1的正三角形，

且。为B。的中点，

所以OC=03=00=1.

所以8(1,0,0),D(-l,0,0),

2>坐,°)•

设A(0,0,a),a>0,因为。E=2E4,所以~y°>金•

由题意可知平面5c。的一个法向量为〃=(0,0,1).

设平面BCE的法向量为/%=(%,y,z),

因为求=(_,,坐,0),施=(_*0,y),

cf3VI

TW-BC=0,_?X+2)=0，

所以《一即｛,9

\<mBE=0,一§元+拳=o,

令x=l,则产小,z=(,所以加=(1,小，|

因为二面角E-BC-D的大小为45°,

2

innay[2

所以cos45°==I=2，

得a=1,即Q4=1.

策略三利用线面垂直关系

函13］如图，在四棱锥PABCD中，出_L底面ABC。，

AD//BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=^,M为线段A。上一

点，AM=2MD,N为PC的中点.求直线AN与平面PMN所

成角的正弦值.

【解】取BC的中点E,连接AE.

由AB=AC得AE_L3C,

从而AELAD,

AE^y/AB2-BE1;,/人"一倍)=小.所以AE,AD,AP两两垂直,

以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系

Axyz.

由题意知，A(0,0,0),尸(0,0,4),

坐,1,2),

M(0,2,0),C辟,2,0),

PM=(0,2,-4),

前=惇，1,-2)，俞=停，1'2).

[n-PM=0,(2y—4z=0,

设〃=(x,y,z)为平面PMN的法向量，则j_即

[〃-PN=0,[2x+y_2z=0,

可取〃=(0,2,1).

于是|cos5,京〉|=国=^.

\n\m心

设A7V与平面PMN所成的角为0,

则sin,

所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为缓.

策略四利用底面的高及中心

314］如图，在正四棱锥S-A8C。中，43=2,SA=3,

P为侧棱SO上的点.若平面R1C,求平面巩C与平面

D4C夹角的余弦值.

【解】如图，连接80,交AC于点。，连接SO,

由题意，知S。，平面ABC。，ACLBD,

所以OS,OB,0C两两垂直.

以0为坐标原点，OB,OC,OS的方向分别为x

轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.

因为AB=2,SA=3,所以5。=巾.

由题意得5（0,0,币）,0（一也，0,0）,

所以西=（72,0,小）.

因为SO_L平面PAC,

所以平面玄。的一个法向量为丞=（啦，0,巾）.

又平面D4C的一个法向量为旃=（0,0,巾）,

/,k笈DSOS

所以cos<DS,OS>=__7_—亚

|网。S|3X市'

所以平面B4C与平面DAC夹角的余弦值为£.

。尝试训练

1.如图，在直三棱柱ABC-4B1G中，CA=CB=\,ZBCA

=90°,棱A4i=2,M,N分别为48”4A的中点.

（1）求8N的长；

⑵求84与CB夹角的余弦值；

(3)求证：航是平面GMN的一个法向量.

解：(1)如图所示，以C为坐标原点，以C4,CB,CCi

所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Cxyz,

依题意得3(0,1,0),Ml,0,1),

所以I前(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=

小，

所以线段BN的长为小.

(2)依题意得4(1,0,2),C(0,0,0),3(0,1,2),

所以丽i=(l,-1,2),CBi=(0,1,2),

所以房1•而i=1X0+(-1)X1+2X2=3.

又1|=#,|吊i|=下,

d、，号\BArCBi

所以cos/(.B/TAt\,CBi〉~=I。.

|fiAi||CBi|

(3)证明：依题意得4(1,0,2),Ci(0,0,2),

Bi(0,1,2),N(l,0,1),8(0,1,0).

所以M；,I，2),

C?M=[^,I，0),GN=(1,0,—1),

的=(1,-1,1),

所以施•雨=；X1+；X(-1)+1XO=O,

aW-B^=lXl+0X(-l)+(-l)Xl=0,

所以反，前，GN±BN,

又CiMnCiN=Ci,

C\M,GNU平面C\MN,

所以涿U_平面C\MN,

所以雨是平面CiMN的一个法向量.

2.如图，在四棱锥P-A8CO中，侧面氏。，底面ABC。，PA=PD=y{i,

底面ABCD为直角梯形，其中BC//AD,AB±AD,AD=2AB=2BC=2,O为

A£＞的中点.

(1)求证：POJ_平面ABCD；

(2)求异面直线P3与CO所成的角的余弦值;

⑶求点A到平面PCD的距离.

解：(1)证明：在△出。中，M=PD,。为AO的中点，所以PO_LAD

又因为侧面PADS.底面ABC。，平面出0rl平面ABCD=AD,POu平面%O,

所以平面ABCD.

(2)连接OC.由题意知OCLOO.以。为原点，分别以近，而，物的方

向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

如图，则4(0,-1,0),B(l,-1,0),C(l,0,0),0(0,

1,0),P(0,0,1