高中数学《立体几何》大题及答案解析

高中数学《立体几何》大题及答案解析（理）

1.（2009全国卷I）如图，四棱锥S—A3CZ）中，底面ABCD为矩形，S0_L底面ABC。,

AD=y/2,0c=SO=2,点M在侧棱SC上，ZABM=60。

（I）证明：M是侧棱SC的中点；

（II）求二面角S—AM—8的大小。

2.（2009全国卷H）如图,直三棱柱ABC-AIBICI中,AB_LAC,D、E分别为AA|、BiC的中点,

DE_L平面BCC,（I）证明：AB=AC（II）设二面角A-BD-C为60。,求BiC与平面BCD所成

的角的大小

3.（2009浙江卷）如图，OCJ.平面ABC,EBHDC,AC=BC=EB=2DC=2,

ZACB=120°,P,Q分别为的中点.（I）证明：PQ//平面AC。：（II）求A。与平

面ABE所成角的正弦值.

4.(2009北京卷)如图，四棱锥P—A3CD的底面是正方形,

PO_L底面ABC。，点E在棱PB上.(I)求证：平面

AEC±平面PDB；(II)当尸。=CAB且E为PB的中点时,

求AE与平面PDB所成的角的大小.

5.(2009江西卷)如图，在四棱锥尸—A3CD中，底面ABC。是矩形，P4_L平面A8CD,

PA=AD^4,A6=2.以的中点。为球心、3。为直径的球

面交PD于点

(1)求证：平面ABM_L平面PCD；/

(2)求直线PC与平面ABM所成的角；/

(3)求点。到平面的距离./\\

6.(2009四川卷)如图，正方形A8CD所在平面与平面四边形A8EF

所在平面互相垂直，△ABE是等腰直角三角形，

AB=AE,FA=FE,ZAEF=45°(I)求证：平面8CE；

(II)设线段C。、4E的中点分别为P、M,求证：PM〃平面5CE

(III)求二面角尸一一A的大小。

7.(2009湖北卷文)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，SD，平面ABCD,SD=AD=a，点E是

SD上的点，且DE=Xa(0＜；lW1).

(I)求证：对任意的几€(0、1),都有ACLBE:S

(H)若二面角C-AE-D的大小为60°C,求;I的值。/：\\

8.(2009湖南卷)如图3,在正三棱柱ABC-AAG中，A8=4,

A4,=J7,点。是BC的中点，点E在4c上，且DE,4E.

(I)证明：平面J■平面4CC|4；(II)求直线AO

和平面4OE所成角的正弦值。

9.(2009四川卷)如图，正方形A8CO所在平面与平面四边形砂所在平面互相垂直，△ABE

是等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,AAEF=45°

(I)求证：平面BCE；/

(II)设线段C。、AE的中点分别为P、M,讨\

求证：PM//平面BCE\\\\

(III)求二面角F-BO-A的大小。

TT

10.(2009重庆卷文)如题(18)图，在五面体A3CDE尸中，AB//DC,NBAD=—，

2

CD=AD^2,四边形ABEE为平行四边形，/%，平面43。。，FC=3,ED=fi.求：

(I)直线AB到平面E/8的距离；

(II)二面角厂一AD-E的平面角的正切值.

题(18)图

11.如图，四棱锥P-A8CD中，底面ABC。为平行四边形，ND4B=60。，AB^2AD,P£>_L底面

ABCD.

(1)证明：PALBD-,

(2)设PO=A£>,求二面角A—PB—C的余弦值.

12(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形，AB||CD,AC1BD,垂

足为H,

PH是四棱锥的高,E为AD中点

(1)证明：PE1BC

(2)若NAPB=NADB=60°,求直线PA与平面PEH所成角的正弦值

参考答案

1、【解析】(I)解法一：作MN〃S。交C。于N,作NE_LAB交43于E,

连ME、NB,则9_1_面48。。，MELAB,NE=AD=y[i

设.MN=x,则NC=EB=x,

在RT^MEB中，ZMBE=60°/.ME=®0

在RT\MNE中由ME2=NE2+MN2：.3%2=x2+2

解得x=i,从而MN=LSD；.M为侧棱SC的中点M.

2

解法二:过M作CD的平行线.

(II)分析一:利用三垂线定理求解。在新教材中弱化了三垂线定理。这两年高考中求二面角

也基本上不用三垂线定理的方法求作二面角。

过M作〃C。交SO于J,作Sa交A/于”，作HK_LAM交AM于K,则

〃CQ,WL面5AO,面弘0_L面用84,叩_1面4^8,NSKH即为所求二面角的补

角.

法二：利用二面角的定义。在等边三角形A3N中过点3作交A〃于点尸，则

点尸为AM的中点，取SA的中点G,连GF,易证Gb_LAM,则NGEB即为所求二面角.

解法二、分别以DA、DC、DS为x、y、z轴如图建立空间直角坐标系D—xyz,则

A(V2,0,0),5(衣2,0),C(0,0,2),5(0,0,2)。

tZ

(I)设M(0,a,b)(a>0,A>0),则

BA=(0-2,0),=(-42,a-2,b)禹i=(0,a,b-2),

SC=(0,2-2),由题得

cos<BA,BM>=—

,2,即

SM//SC

-2(a-2)1

----_=一

■2•^(a-2)2+b2+22解之个方程组得a=1,》=1即M(0,l,l)

—2a=2(6—2)

所以M是侧棱SC的中点。

法2：设SM=4MC,则M(0,备白演=（"白言）

又AB=(0,2,0),<MB,>=60°

故MB・AB=|MB||A8|cos60",即

3=加（心）、（总八解得后1，

所以M是侧棱SC的中点。

(n)由(I)得A7(0,l,l),M4=(V2-1-1)，又益=(-72,0,2),AB=(0,2,0),

设%=(XI，M，ZI),〃2=(*2，%，马)分别是平面34版、做45的法向量，则

“—►---

n•MA=02•皆。，即[睥ff=o且产一句=0

<{

n{•AS=0nx•AB=01—J2X[+2Z[=O[2J2=0

分别令Xj=x2=V2得©=1,=1,j2=°，？2=2，即

]=(Vi,i,i),1=(衣0,2),

2+0+2R

COS<>=^VT=T

二面角S-AM-B的大小万一arccos必

3

2、解法一：（I）取BC中点F,连接EF,则EFN’BB,从而EF〃DA。

2

连接AF,则ADEF为平行四边形，从而AF//DE。又DEJ_平面BCQ,故AFJ_平面BCQ,从

而AFJ_BC,即AF为BC的垂直平分线，所以AB=AC。

(II)作AG_LBD,垂足为G,连接CG。由三垂线定理知CGLBD,故/AGC为二面角A-BD-C的平

面角。由题设知，ZAGC=60°.

2

设AC=2,则AG=7。又AB=2,BC=2&,故AF=VI。

V3

222

由AB•AD=AG•班)得2AD=.ylAD+2,解得AD=JI。

故AD=AF。又ADJ_AF,所以四边形ADEF为正方形。

因为BC_LAF,BC1AD,AFDAD=A,故BCJ_平面DEF,因此平面BCD_L平面DEF。

连接AE、DF,设AEDDF=H,则EH_LDF,EH_L平面BCD。

连接CH,则/ECH为BC与平面BCD所成的角。

因ADEF为正方形，AD=V2,故EH=1,又EC=』3C=2,

2

所以/ECH=30°,即B£与平面BCD所成的角为30°.

解法二:

(I)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴，建立如图所示

的直角坐标系A一xyzo

设B(1,0,0),C(0,b,0),I)(0,0,c),则用(1,0,2c),E

LJ.

22

T1b

于是DE=(-)—>0),BC=(-1,b,0).由DE_L平面BCG知

22

DE±BC,DEBC=0,求得b=l,所以AB=AC。

(II)设平面BCD的法向量AN=(x,y,z),则AN-BC=0,AN-BD=0.

又辰”(-1,1,0),

t-[-x+y=0

BD=(-1,0,c)，故，.

-x+cz=0

I->।

令x=l,则y=l,z=一，AN=(1,1,—).

cc

又平面ABO的法向量标=(0,1,0)

由二面角A-BO—C为60°知，(丽，尼>60°,

1

故A/V-AC=|A^-|XC|-COS60O,求得c

于是AN=(1,1,V2),西=(1,—1,/)

（丽，函）=60°

所以B,C与平面BCD所成的角为30°

3、（I）证明：连接DP,CQ,在MBE中，P,Q分别是AE,A8的中点，所以PQ〃、BE,

=2

又DCH^BE,所以PQ〃DC,又PQa平面ACD,DCu平面ACD,所以PQ〃平面ACD

-2=

（11）在AABC中，AC=BC=2,AQ=BQ,所以CQ_LA8

而DC_L平面ABC,EB//DC,所以E3_L平面ABC

而EBu平面ABE,所以平面ABE_L平面ABC,所以CQ_L平面ABE

由（I）知四边形DCQP是平行四边形，所以DP〃CQ

所以。P_L平面ABE,所以直线AD在平面ABE内的射影是AP,

所以直线AD与平面ABE所成角是ZDAP

在R/AAP。中，AD=yjAC2+DC2=TF+l7=V5,OP=CQ=2sinNC4Q=l

g、一小.01V5

所以sinND4P==—^=——

AD亚5

4、【解法1】（I）:四边形ABCD是正方形，...ACBD,

PD±底面ABQ9,

.\PD±AC,；.ACJ_平面PDB,

二平面AECJ.平面尸08.

（II）设ACnBD=0,连接0E,

由（I）知AC_L平面PDB于0,

AZAEO为AE与平面PDB所的角，

AO,E分别为DB、PB的中点，

0E//PD,0E=-PD,又；PD上底面ABCD,

2

；.0E_L底面ABCD,0E1A0,

在Rt^AOE中，0E=-PD=JAB=A0,

22

ZAOE=45°,即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.

【解法2］如图，以D为原点建立空间直角坐标系。-孙z,

设AB=a,PO=/z,

则A（a,0,0）,B（a,a,0）,C（0,a,0）,D（0,0,0）,P（0,0,h）,

（1）AC=（—tz,a,0）,DP=（0,0,A）,DB=a,0）»

ACDP=0,ACDB=0,

；.AC_LDP,AC±DB,；.AC_L平面PDB,

平面AEC,平面FOB.

（II）当尸£>=0AB且E为PB的中点时，P（0,0,缶），E-a,-a,-a

（222J

设ACCIBD=O,连接OE,

由（I）知AC_L平面PDB于O,

ZAEO为AE与平面PDB所的角,

11V2屈=.0,一旦、

EA2a，~2a，--T,I2J

EAEO_V2

：.cosZAEO同同一，

ZAOE=45°,即AE与平面PDB所成的角的大小为45°.

多面体ABCDEF的体积为VE—ABCD+V（；—BCF=2J5

5、解：方法(一)：

(1)证：依题设，M在以BD为直径的球面上，则BMLPD.

因为PA_L平面ABCD,则PALAB,又ABLAD,

所以ABJ_平面PAD,则AB_LPD,因此有PD_L平面ABM,所以平面ABM_L平面PC

D.

(2)设平面ABM与PC交于点N,因为AB〃CD,所以A

B〃平面PCD,则AB〃MN〃CD,

由(1)知，PDJ_平面ABM,则MN是PN在平面ABM上

的射影，

所以NPNM就是PC与平面所成的角，

且/PNM=/PCD

tanZPNM=tanNPCD=—=2y/2

DC

所求角为arctan2JE

(3)因为O是BD的中点，则。点到平面ABM的距离等于D点到平面ABM距离的一半，由

(1)知，PD_L平面ABM于M,则|DM|就是D点到平面ABM距离.

因为在Rt^PAD中，PA=AD=4,PD±AM,所以M为PO中点，DM=2叵,则O点

到平面ABM的距离等于亚。

方法二：

(1)同方法一；

(2)如图所示，建立空间直角坐标系，则4(0,0,0),P(0,0,4),3(2,0,0),C(2,4,0),

0(0,4,0),M(0,2,2),

2x=0

设平面A5M的一个法向量3=(x,y,z),由而,3_L而7可得：＜，令z=-1,

2y+2z=0

PCn2V2

则y=l,即”=(0』,一1).设所求角为a,则sina=

川3

所求角的大小为arcsin2叵

3

(3)设所求距离为〃，由0(1,2,0),4。=(1,2,0),得:h夜

6、【解析】解法一:

因为平面ABEF_L平面ABCD,BCu平面ABCD,BC±AB,平面ABEFC1平面ABCD=AB,

所以BC_L平面ABEF.

所以BC±EF.

因为/ABE为等腰直角三角形，AB=AE,

所以NAEB=45°,

又因为NAEF=45,

所以/FEB=90°,即EF1BE.

因为BCu平面ABCD,BEu平面BCE,

BCnBE=B

所以ER_L平面BCE

.................................6分

(11)取BE的中点N,连结CN,MN,则MNX工AB旦PC

2

PMNC为平行四边形，所以PM〃CN.

CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

，PM〃平面BCE..................................8分

(III)由EAJ_AB,平面ABEF_L平面ABCD,易知EAJL平面ABCD.

作FG±AB,交BA的延长线于G,则FG〃EA.从而FGL平面ABCD,

作GH1BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BDXFH.

ZFIIG为二面角F-BD-A的平面角.

FA=FE,ZAEF=45°,

ZAEF=90°,ZFAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=-^-,则FG=AF-sinFAG=—

22

,413

在Rt/BGH中，ZGBI1=45°o,BG=AB+AG=1+-=-,

22

GII=BG-sinGBH=--—=—,

224

FG_72

在Rt/FGH中，tanFHG

GH-T

二面角厂一BZ)—A的大小为arctan亚

3

............................................................12分

解法二：因AABE等腰直角三角形，AB^AE,所以AE_LAB

又因为平面ABEFc平面48CO=AB,所以平面ABCD,

所以AELAD

即A。、AB.A£两两垂直；如图建立空间直角坐标系，

(I)设AB=1,则AE=1,5(0,1,0),0(1,0,0),£(0,0,1),C(l,1,0)

•••FA=FE,NAEF=45°,：.ZAFE=90°,

从而F(0,

22

*]1-------••

EF^(0,--,--),5E=(0-1,1),5C=(1,0,0)

于是Z?.族=0+'—工=0,EFBC^O

22

EF±BE,EFLBC

•••BEu平面3CE,BCu平面BCE,BCcBE=B

：.EF±平面BCE

11——■11

(IDM(0,0,-),P(l,-,0),从而尸加=(一1,一二二)

2222

——­—•111111

于是PMEF=(-1,一一,-).(0,一一,一一)=0+-------=0

222244

APMLEF,又平面8CE,直线PM不在平面BCE内,

故PM〃平面3CE

(III)设平面的一个法向量为勺，并设〃[=(x,y,z)

22

x—y=0

n,BD=Q

n,BF=O

取y=1,则x=1,z=3,从而〃]=(1,1,3)

取平面ABOD的一个法向量为%=(0,0,1)

〃i.〃2_3_3jn

COS<〃]、〃2>=

VTI-1-11

%-〃2

3而

故二面角—A的大小为arccos以一

11

7、(I)证发1：连接BD,由底面是正方形可得AC_LBD。

•JSD1平面ABCD,BD是BE在平面ABCD上的射影，

由三垂线定理得AC1BE.

(II)解法1：平面ABCD,CDu平面ABCD,.^.SD1CD.

又底面ABCD是正方形，CD1AD,又SDp|AD=D,CD_L平面SAD。

过点D在平面SAD内做DF1AE于F,连接CF,则CF_1_AE,

故NCFD是二面角C-AE-D的平面角，即NCFD=60°

在RtZkADE中，vAD=«,DE=Aa,AE=«7A2+1。

DFJ

在RtZkCDF中，由cot60°=——=,,，

CD〃+]

2e(0,l],解得/l=j-

8、解：（I）如图所示，由正三棱柱ABC—AAG的性质知A4_L平面48c.

又OEu平面ABC,所以力E_LA4,.而DE_L4E,A41nAlE=4,

所以。EL平面ACGA•又OEu平面ADE,

故平面AOE_L平面ACGA.

（H）解法1:过点A作A尸垂直AE于点F,

连接OR由（I）知，平面4。七，平面4。。14,,

所以4F_L平面ADE,故NADE是直线A。和

平面4。后所成的角。因为。ELACGA，

所以OEL4c.而AABC是边长为4的正三角形，

于是AD=273,AE=4-CE=A--CD=3.

2

又因为AA=J7,所以AE=AE=J.+=J(e)2+32=4,

sinZADF=—=叵

AE4AD8

即直线AO和平面A{DE所成角的正弦值为

8

解法2:如图所示，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系,

则相关各点的坐标分别是A(2,0,0,),A(2,0,J7),D(-l,6,0),E(-1,0,0).

易知(-3,>/3,-V7),DE=(0,-V3,0),AD=(-3,6，0).

设〃=(x,y,z)是平面ADE的一个法向量，则

“ULW

n•DE=73y=0,

<rUUIM厂/-

n-A^D=-3x+\/3y-z=0.

解得x=一也z,y=0.

3

故可取n=(77,0,-3).于是

riuuu

/吧、n-AD-377V21

cos(n,AD)=

|UUM4x2x/3-8

、'\n\-\AD

由此即知，直线AO和平面AOE所成角的正弦值为

8

所以ME与BN不共面，它们是异面直线。•.12分

9、【解析】解法一：

因为平面ABEFJ_平面ABCD,BCu平面ABCD,BC±AB,平面ABEFC1平面ABCD=AB,

所以BC_L平面ABEF.

所以BC±EF.

因为ZABE为等腰直角三角形，AB=AE,

所以NAEB=45°,

又因为NAEF=45,

所以/FEB=90°,即EFJ_BE.

因为BCu平面ABCD,BEu平面BCE,

BCnBE=B

所以所J_平面BCE6分

(II)取BE的中点N,连结CN,MN,则MN幺-ABXPC

2

PMNC为平行四边形，所以PM〃CN.

CN在平面BCE内，PM不在平面BCE内，

PM〃平面BCE.............................................................................................8分

(III)由EA1AB,平面ABEF_L平面ABCD,易知EA_L平面ABCD.

作FG±AB,交BA的延长线于G,则FG/7EA.从而FGL平面ABCD,

作GH±BD于H,连结FH,则由三垂线定理知BD1FH.

ZFHG为二面角F-BD-A的平面角.

FA=FE,NAEF=45°,/AEF=90",NFAG=45°.

设AB=1,则AE=1,AF=―马，则FG=AF-sinFAG=—

22

13

在Rt/BGH中，ZGBH=45°,BG=AB+AG=1+-=-，

22

3也_逑

GH=BG-sinGBH=-

2T—~T~

FG也

在Rt/FGH中，tanFHG

GH-

二面角F-BD—A的大小为arctan............................................12分

3

解法二：因AABE等腰直角三角形，AB^AE,所以AE_LAB

又因为平面ABEFc平面43co=A3,所以平面ABC。，所以

即A。、AB.AE两两垂直；如图建立空间直角坐标系，

(I)设A8=l,则AE=1,5(0,1,0),£>(1,0,0),E(0,0,D,C(l,l,0)

11

从而F(0,2-2-

----11,---*

EF=(O,--,BE=(O,T,1),BC=(1,0,0)

---------"11---,---•

于是=0+-------=0,EF-BC=0

22

：.EF1BE,EF±BC

:BEu平面BCE,8Cu平面BCE,BCcBE=B

：.EF±平面BCE

I|—►|i

(II)M(0,0,—),P(1,—,0),从而PM=(—1,——,-)

2222

——­―•1I11II

于是PMEF=(-1,,-)-(0,,――)=0+-------=0

222244

APMVEF,又平面8CE,直线PM不在平面3CE内,

故PM〃平面BCE

（III）设平面3OF的一个法向量为/，并设％=（x,y,z）

*—♦31

■—»-----------x-y=0

nx-BD=0

即《31八

----y+—z-()

4•BF-0I2’2

取y=1,则x=1,z-3,从而弭-(1,1,3)

取平面ABOD的一个法向量为%=（0,0,1）

------n,3_3疝

〃|、“>=-=；~=：

COS<2VT1.1-11

-«2

故二面角厂一BD—A的大小为aircos之工

10、解法一：（I）:48||。。,。6^平面£/。。，.・.人8到面E/CD的距离等于点A到面

JT

EFCZ）的距离，过点A作AG,ED于G,因NBAD=—AB〃OC,故CD_LA£>；又：E4_L

2

平面ABC。，由三垂线定理可知，CD1FD,故面E4D,知CD_LAG,所以AG为

所求直线AB到面EFCD的距离。

在用/XABC中，FD7FC2-C，=眄二=#>

由E4,平面ABC。，得E4_LAD,从而在肋AFAD中，E4==1

.-.AG=FAAD=2=2区。即直线AB到平面EFCD的距离为—。

FD也55

TT

(II)由己知，/%_L平面ABC。，得E4J_AD,又由284。=一，知AO_LA5,故A。，

2

平面ABFE

.1.DAA.AE,所以，NE4E为二面角厂一AD-E的平面角，记为"

在Rt/\AED中，AEZEU-AD?=.7—4=百，由aABCD得，FE||84,从而

4y

722+22+Z^=3,解得F(O,O,1)AB//DC,

OCu面EFCD,所以直线AB到面EFCD的距离等于点A到面EFCD的距离。设A点在

平面EFC。上的射影点为G(x，凹，zj,则AG=(x1,y1,zl)因A©•。齐=0且AG•6=0,而

DF=(0,-2,l)

—*—2y.+Z]=0

CO=(-2,0,0),此即《■'1解得西=0①，知G点在yoz面上，故G点在FD上.

|-2%=0

讦||定,存=(—%,一%―4+1)故有｝—Z|+l②联立①，②解得，G(0,|,1)

—,___24—*2石

.•.IAG|为直线AB到面EFCZ)的距离.而AGCO,1,?所以|AG|=^

(II)因四边形45EE为平行四边形，则可设E(%,0,1)(x0<0),ED=(-^2,-1).由

|而|=近得收+