2025届广西河池市天峨县九年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2025届广西河池市天峨县九年级数学第一学期期末学业质量监测试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图所示，线段与交于点，下列条件中能判定的是（）A．，，， B．，，，C．，，， D．，，，2．若∽，，，，则的长为()A．4 B．5 C．6 D．73．一个不透明的盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，2个是白球．从该盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是（）A． B． C． D．4．在平面直角坐标系中，点P(2，－3)关于原点对称的点的坐标是()A．(2，3)B．(－2，3)C．(－2，－3)D．(－3，2)5．用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为（）A． B． C． D．6．在一个不透明的盒子里装有个黄色、个蓝色和个红色的小球，它们除颜色外其他都完全相同，将小球摇匀后随机摸出一个球，摸出的小球为红色的概率为（）A． B． C． D．7．⊙O的半径为6cm，点A到圆心O的距离为5cm，那么点A与⊙O的位置关系是（

）A．点A在圆内B．点A在圆上C．点A在圆外D．不能确定8．对于问题：如图1，已知∠AOB，只用直尺和圆规判断∠AOB是否为直角？小意同学的方法如图2：在OA、OB上分别取C、D，以点C为圆心，CD长为半径画弧，交OB的反向延长线于点E，若测量得OE=OD，则∠AOB=90º.则小意同学判断的依据是（）A．等角对等边 B．线段中垂线上的点到线段两段距离相等C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”9．如图,学校的保管室有一架5m长的梯子斜靠在墙上,此时梯子与地面所成的角为45°如果梯子底端O固定不变,顶端靠到对面墙上,此时梯子与地面所成的角为60°,则此保管室的宽度AB为()A．(+1)m B．(+3)m C．()m D．(+1)m10．若反比例函数的图象在每一个信息内的值随的增大而增大，则关于的函数的图象经过（）A．第一、三象限 B．第二、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限11．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC上的点F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是（）A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形12．在中，，则的正切值为（）A． B． C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．一组正方形按如图所示的方式放置，其中顶点在轴上，顶点，，，，，，在轴上，已知正方形的边长为，，则正方形的边长为__________________．14．我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，（如图）题目是：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）如果设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据题意列方程为．15．在△ABC中，∠ABC=30°，AB=，AC=1，则∠ACB的度数为____________.16．反比例函数的图象在一、三象限，函数图象上有两点A(，y1，)、B(5，y2)，则y1与y2，的大小关系是__________17．已知是方程的根，则代数式的值为__________.18．如图，双曲线经过斜边的中点，与直角边交于点．过点作于点，连接，则的面积是__________．三、解答题（共78分）19．（8分）某次数学竞赛共有3道判断题，认为正确的写“”，错误的写“”，小明在做判断题时，每道题都在“”或“”中随机写了一个.（1）小明做对第1题的概率是；（2）求小明这3道题全做对的概率.20．（8分）如图，是等边三角形，顺时针方向旋转后能与重合.（1）旋转中心是___________，旋转角度是___________度，（2）连接，证明：为等边三角形.21．（8分）用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2＋2ab＋a.如：1☆3＝1×32＋2×1×3＋1＝16.(1)求(－2)☆3的值；(2)若＝8，求a的值．22．（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣4，1），C（﹣1，3）．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出C1的坐标；（1）画出△ABC绕C点顺时针旋转90°后得到的△A1B1C1．23．（10分）已知AB∥CD，AD、BC交于点O．AO＝2，DO＝3，CD＝5，求AB的长．24．（10分）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点A，将点A向右平移2个单位长度，得到点B，点B在抛物线上．（1）①直接写出抛物线的对称轴是________；②用含a的代数式表示b；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．点A恰好为整点，若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内（不含边界）恰有1个整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．25．（12分）（1）解方程：x2+4x﹣1＝0（2）计算：cos30°+sin45°26．如图，直线y＝2x与反比例函数y＝(x＞0)的图象交于点A(4，n)，AB⊥x轴，垂足为B．(1)求k的值；(2)点C在AB上，若OC＝AC，求AC的长；(3)点D为x轴正半轴上一点，在(2)的条件下，若S△OCD＝S△ACD，求点D的坐标．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】根据平行线分线段成比例的推论：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边，逐项判断即可得答案.【详解】A.∵∴不能判定，故本选项不符合题意；B.无法判断，则不能判定，故本选项不符合题意；C.∵，，，∴∴故本选项符合题意；D.∵∴不能判定，故本选项不符合题意；故选C.【点睛】本题考查平行线分线段成比例的推论，熟练掌握此推论判定平行是解题的关键.2、C【分析】利用相似三角形的性质，列出比例式即可解决问题.【详解】解：∵△ABC∽△DEF，，，，∴，∴，∴EF=6.故选C.【点睛】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的对应边成比例，属于中考基础题．3、B【解析】试题解析：∵盒子中装有6个大小相同的乒乓球，其中4个是黄球，∴摸到黄球的概率是故选B．考点：概率公式．4、B【解析】根据“平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）”解答．【详解】根据中心对称的性质，得点P（2，-3）关于原点对称的点的坐标是（-2，3）．故选B．【点睛】关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆．5、B【解析】试题分析：，，．故选B．考点：解一元二次方程-配方法．6、D【分析】让红球的个数除以球的总个数即为所求的概率.【详解】解：∵盒子中一共有3+2+4=9个球，红色的球有4个∴摸出的小球为红色的概率为故选D【点睛】此题主要考查了概率的定义：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=.7、A【解析】∵⊙O的半径为6cm，点A到圆心O的距离为5cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故答案为：A．8、B【分析】由垂直平分线的判定定理，即可得到答案．【详解】解：根据题意，∵CD=CE，OE=OD，∴AO是线段DE的垂直平分线，∴∠AOB=90°；则小意同学判断的依据是：线段中垂线上的点到线段两段距离相等；故选：B．【点睛】本题考查了垂直平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定定理进行判断．9、A【分析】根据锐角三角函数分别求出OB和OA，即可求出AB.【详解】解：如下图所示，OD=OC=5m，∠DOB=60°，∠COA=45°，在Rt△OBD中，OB=OD·cos∠DOB=m在Rt△OAC中，OA=OC·cos∠COA=m∴AB=OA+OB=(+1)m故选：A.【点睛】此题考查的是解直角三角形，掌握用锐角三角函数解直角三角形是解决此题的关键.10、D【分析】通过反比例函数的性质可得出m的取值范围，然后根据一次函数的性质可确定一次函数图象经过的象限．【详解】解：∵反比例函数的图象在每一个信息内的值随的增大而增大∴∴∴∴关于的函数的图象不经过第三象限．故选：D．【点睛】本题考查的知识点是反比例函数的性质、一次函数的图象与系数的关系、一次函数的性质，掌握以上知识点是解此题的关键．11、A【解析】∵将长方形纸片折叠，A落在BC上的F处，∴BA=BF，∵折痕为BE，沿EF剪下，∴四边形ABFE为矩形，∴四边形ABEF为正方形．故用的判定定理是；邻边相等的矩形是正方形．故选A．12、B【解析】根据锐角三角函数的定义求出即可．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=3，∴∠B的正切值为=，故选B.【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】由正方形的边长为，，，得D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，根据三角函数的定义和正方形的性质，即可得到答案．【详解】∵正方形的边长为，，，∴D1E1=B2E2，D2E3=B3E4，∠D1C1E1=∠C2B2E2=∠C3B3E4=30°，∴D1E1=C1D1=，B2C2==，同理可得：B3C3=，以此类推：正方形的边长为：，∴正方形的边长为：．故答案是：．【点睛】本题主要考查正方形的性质和三角函数的定义综合，掌握用三角函数的定义解直角三角形，是解题的关键．14、（x+1）；.【解析】试题分析：设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为（x+1）尺，根据题意列方程为.故答案为（x+1），.考点：由实际问题抽象出一元二次方程；勾股定理的应用．15、60°或120°.【分析】作AD⊥BC于D，先在Rt△ABD中求出AD的长，解直角三角形求出∠ACD，即可求出答案．【详解】如图，作AD⊥BC于D，如图1,在Rt△ABD中,∠ABC=30°，AB=，AC=1，∴AD=AB=，在Rt△ACD中，sinC=，∴∠C=60°，即∠ACB=60°，同理如图2,同理可得∠ACD=60°，∴∠ACB=120°.故答案为60°或120°.【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是根据题意分情况作出图形求解.16、【分析】根据反比例函数的性质，双曲线的两支分别位于第一、第三象限时k>0，在每一象限内y随x的增大而减小，可得答案．【详解】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，∴，∴在每一象限内y随x的增大而减小，∵，∴；故答案为：.【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数（k≠0），当k>0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小．17、1【分析】把代入已知方程，并求得，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可．【详解】解：把代入，得，解得，所以．故答案是：1．【点睛】本题考查一元二次方程的解以及代数式求值，注意解题时运用整体代入思想．18、1【分析】先证明△OED∽△OAB，得出相似比=，再根据反比例函数中k的几何意义得出S△AOC=S△DOE=×2=1，从而可得出△AOB的面积，最后由S△OBC=S△AOB-S△AOC可得出结果．【详解】解：∵∠OAB=90°，DE⊥OA，

∴DE∥AB，∴△OED∽△OAB，

∵D为OB的中点D，，∴．∵双曲线的解析式是y=，

∴S△AOC=S△DOE=×2=1，

∴S△AOB=4S△DOE=4，

∴S△OBC=S△AOB-S△AOC=1，

故答案为：1．【点睛】主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为|k|，是经常考查的一个知识点．三、解答题（共78分）19、（1）；（2）【分析】（1）根据概率公式求概率即可；（2）写出小明做这3道题，所有可能出现的等可能的结果，然后根据概率公式求概率即可．【详解】解：（1）∵第一题可以写A或B，共2种结果，其中作对的可能只有1种，∴小明做对第1题的概率是1÷2=故答案为；（2）小明做这3道题，所有可能出现的结果有：，，，，，，，，共有8种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“这3道题全做对”（记为事件）的结果只有1种，∴小明这3道题全做对的概率为1÷8=．【点睛】此题考查的是求概率问题，掌握概率公式是解决此题的关键．20、（1）B，60；（2）见解析【分析】（1）根据三角形三个顶点中没有变动的点就是旋转中心来判断，再根据旋转的性质判断出旋转的角度即可；（2）先根据旋转的性质得出和即可证明.【详解】解：（1）旋转中心是，旋转角度是度；（2）证明：是等边三角形，，旋转角是；，又，是等边三角形．【点睛】本题主要考察正三角形的判定及性质、图形的旋转性质，熟练掌握性质是关键.21、(1)－32；(2)a＝1.【解析】分析：（1）原式利用题中的新定义化简，计算即可得到结果；（2）已知等式利用题中的新定义化简，即可求出a的值．详解：（1）（-2）☆3=-2×32+2×（-2）×3+（-2）=-32；（2）==8a+8=8，解得：a=1．点睛：此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22、（1）见解析，（1，3）；（1）见解析【分析】（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（1）分别作出点A、B绕C点顺时针旋转90°后得到的对应点，再首尾顺次连接即可得．【详解】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，C1的坐标为（1，3）；（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．【点睛】本题主要考查作图-旋转变换和轴对称变换，解题的关键是掌握旋转变换和轴对称变换的定义与性质，并据此得出变换后的对应点．23、．【分析】根据已知条件证明△AOB∽△DOC，再根据相似三角形的对应边成比例的性质列出等式，从而求得AB的长．【详解】∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C，∴△AOB∽△DOC，∴，即，∴AB＝．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定及性质，掌握有两角对应相等的两个三角形相似及相似三角形的三边对应成比例是关键．24、（1）①直线x＝1；②b＝－1a；（1）－1≤a＜－1或1＜a≤1．【分析】(1)①根据抛物线的对称性可以直接得出其对称轴；②利用对称轴公式进一步求解即可；（1）分两种情况：①，②，据此依次讨论即可．【详解】解：（1）①∵当x=0时，y=c，∴点A坐标为（0，c），∵点A向右平移1个单位长度，得到点B，∴点B（1，c），∵点B在抛物线上，∴抛物线的对称轴是：直线x=1；故答案为：直线x=1；②∵抛物线的对称轴是直线：x=1，∴，即；（1）①如图，若，因为点A（0，c），B（1，c）都是整点，且指定区域内恰有一个整点，因此这个整点D的坐标必为（1，c－1），但是从运算层面如何保证“恰有一个”呢，与抛物线的顶点C（1，c－a）做位置与数量关系上的比较，必须考虑到紧邻点D的另一个整点E（1，c－1）不在指定区域内，所以可列出不等式组：，解得：；②如图，若，同理可得：，解得：；综上所述，符合题意的a的取值范围是－1≤a<－1或1<a≤1．【点睛】本题主要考查了抛