新九年级数学时期讲义第1讲一元二次方程-基础班(学生版+解析)

第1讲一元二次方程1一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

要点诠释：

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

【例题精选】例1(2023秋•内乡县期末）方程5x2﹣2＝﹣3x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．5、3、﹣2 B．5、﹣3、﹣2 C．5、3、2 D．5、﹣3、2例2(2023秋•兰州期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x＝ B．ax2+c＝0 C．a2x﹣3x＝x（1﹣x） D．x（x2﹣1）＝0例3(2023秋•襄阳期末）已知x＝1是一元二次方程2x2﹣cx＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣2【随堂练习】1．(2023秋•东台市期末）一元二次方程2x2+5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，5，6 B．5，2，6 C．2，5，﹣6 D．5，2，﹣62．(2023秋•市中区期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x﹣3＝0 B．x2﹣2y＝0 C．＝﹣3 D．x2＝03．(2023秋•淮安区期末）关于x的一元二次方程x2+bx﹣6＝0的一个根为2，则b的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．12直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：

平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

若，则；表示为，有两个不等实数根；

若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

若，则方程无实数根．

②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.

【例题精选】例1(2023•颍州区一模）解方程：（x﹣3）2＝4．例2(2023•宿松县模拟）解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0．【随堂练习】1．(2023秋•青浦区校级月考）解方程：2（3x﹣2）2﹣18＝0．2．(2023秋•浦东新区月考）用直接开平方法解下列方程．（1）x2﹣9＝0．（2）4（x﹣2）2﹣36＝0．3配方法1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

【例题精选】例1(2023•闽侯县模拟）解方程：x2﹣6x﹣8＝0．例2(2023秋•天门期末）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．【随堂练习】1．(2023秋•鼓楼区期末）（用配方法解一元二次方程）：2x2+x﹣1＝0．2．(2023秋•无为县期末）用配方法解方程：4x2+8x+3＝0．3．(2023•包河区校级一模）解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）4公式法1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，当时，.

2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．

①当时，原方程有两个不等的实数根；

②当时，原方程有两个相等的实数根；

③当时，原方程没有实数根.

3.用公式法解一元二次方程的步骤

用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；

②确定a、b、c的值（要注意符号）；

③求出的值；

④若，则利用公式求出原方程的解；

若，则原方程无实根.

【例题精选】例1(2023秋•玉田县期中）一元二次方程ax2+bx+c＝0（c≠0）的求根公式是（）A． B． C． D．例2(2023秋•行唐县期末）解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．【随堂练习】1.(2023秋•宜城市期中）x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+4x+1＝0 B．2x2﹣4x+1＝0 C．2x2﹣4x﹣1＝0 D．2x2+4x﹣1＝02．(2023•福田区校级模拟）解方程：x2﹣x﹣1＝0．5因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【例题精选】例1(2023春•浏阳市期中）计算：选择适当方法解下列方程（1）x2﹣2x﹣3＝0（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x例2(2023秋•罗湖区校级期中）解方程（1）x2+x﹣3＝0（2）（2x+1）2＝3（2x+1）【随堂练习】1．(2023秋•濮阳期末）方程2x（x﹣5）＝6（x﹣5）的根是（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝﹣5，x2＝3 D．x1＝5，x2＝32．(2023秋•耒阳市期末）一元二次方程x（3x+2）＝6（3x+2）的解是（）A．x＝6 B．x＝﹣ C．x1＝6，x2＝﹣ D．x1＝﹣6，x2＝3．(2023•福田区校级模拟）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（）A．x＝2 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝2，x2＝1 D．x＝﹣1综合练习一．选择题（共3小题）1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根为（）A．﹣2 B．0，2 C．0，﹣2 D．22．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（）A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x﹣＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣2＝03．如果关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a满足的条件是（）A．a≠5 B．a≥1 C．a＞1且a≠5 D．a≥1且a≠5二．解答题（共4小题）4．解方程（1）3x2﹣8x+4＝0；（2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）25．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代数式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．6．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若m是方程的一个实数根，求m的值．7．用适当的方法解方程：（1）3x2﹣2x＝0；（2）（x﹣1）2＝4；（3）x2+2x﹣5＝0；（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15第1讲一元二次方程1一元二次方程的定义1．一元二次方程的概念：

通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

要点诠释：

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：

使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

【例题精选】例1(2023秋•内乡县期末）方程5x2﹣2＝﹣3x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．5、3、﹣2 B．5、﹣3、﹣2 C．5、3、2 D．5、﹣3、2分析：直接利用一元二次方程中各部分的名称分析得出答案．【解答】解：5x2﹣2＝﹣3x整理得：5x2+3x﹣2＝0，则二次项系数、一次项系数、常数项分别是：5、3、﹣2．故选：A．【点评】此题主要考查了一元二次方程的一般形式，正确认识各部分是解题关键．例2(2023秋•兰州期末）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x＝ B．ax2+c＝0 C．a2x﹣3x＝x（1﹣x） D．x（x2﹣1）＝0分析：根据一元二次方程的定义逐个判断即可．【解答】解：A、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；B、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；C、是关于x的一元二次方程，故本选项符合题意；D、不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的的定义的内容是解此题的关键，注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫一元二次方程．例3(2023秋•襄阳期末）已知x＝1是一元二次方程2x2﹣cx＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣2分析：将x＝1代入方程可得关于c的方程，解之可得．【解答】解：将x＝1代入方程2x2﹣cx＝0，得：2﹣c＝0，解得c＝2，故选：B．【点评】本题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．【随堂练习】1．(2023秋•东台市期末）一元二次方程2x2+5x＝6的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．2，5，6 B．5，2，6 C．2，5，﹣6 D．5，2，﹣6【解答】解：方程整理得：2x2+5x﹣6＝0，则方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是2，5，﹣6，故选：C．2．(2023秋•市中区期末）下列方程中，是一元二次方程的是（）A．2x﹣3＝0 B．x2﹣2y＝0 C．＝﹣3 D．x2＝0【解答】解：A、是一元一次方程，故A不合题意；B、是二元二次方程，故B不合题意；C、是分式方程，故C不合题意；D、是一元二次方程，故D符合题意．故选：D．3．(2023秋•淮安区期末）关于x的一元二次方程x2+bx﹣6＝0的一个根为2，则b的值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【解答】解：把x＝2代入方程x2+bx﹣6＝0得4+2b﹣6＝0，解得b＝1．故选：D．2直接开平方法1．直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：

平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

若，则；表示为，有两个不等实数根；

若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

若，则方程无实数根．

②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是

.

【例题精选】例1(2023•颍州区一模）解方程：（x﹣3）2＝4．分析：根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：∵（x﹣3）2＝4，∴x﹣3＝±2，∴x＝5或x＝1；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．例2(2023•宿松县模拟）解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0．分析：根据直接开方法即可求出答案．【解答】解：∵4（2x﹣1）2﹣36＝0，∴（2x﹣1）2＝9，∴2x﹣1＝±3，∴x＝2或﹣1【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【随堂练习】1．(2023秋•青浦区校级月考）解方程：2（3x﹣2）2﹣18＝0．【解答】解：∵2（3x﹣2）2﹣18＝0，∴（3x﹣2）2＝9，∴3x﹣2＝±3，∴x＝或x＝2．(2023秋•浦东新区月考）用直接开平方法解下列方程．（1）x2﹣9＝0．（2）4（x﹣2）2﹣36＝0．【解答】解：（1）∵x2﹣9＝0，∴x2＝9，∴x＝±3．（2）∵4（x﹣2）2﹣36＝0，∴（x﹣2）2＝9，∴x＝5或x＝﹣1．3配方法1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：

将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.

【例题精选】例1(2023•闽侯县模拟）解方程：x2﹣6x﹣8＝0．分析：利用配方法得到（x﹣3）2＝17，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：x2‒6x＝8，x2‒6x+9＝17，（x﹣3）2＝17，x﹣3＝±，所以x1＝3+，x2＝3﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．例2(2023秋•天门期末）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．分析：先利用配方法得到（x﹣1）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：x2﹣2x＝5，x2﹣2x+1＝6，（x﹣1）2＝6，x﹣1＝±，所以x1＝1+，x2＝1﹣．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．【随堂练习】1．(2023秋•鼓楼区期末）（用配方法解一元二次方程）：2x2+x﹣1＝0．【解答】解：∵2x2+x﹣1＝0，∴x2+x+＝，∴（x+）2＝，∴x＝﹣1或；2．(2023秋•无为县期末）用配方法解方程：4x2+8x+3＝0．【解答】解：∵4x2+8x+3＝0，∴x2+2x＝，∴（x+1）2＝，∴x＝或x＝；3．(2023•包河区校级一模）解方程：x2﹣4x﹣5＝0（用配方法）【解答】解：方程变形得：x2﹣4x＝5，即x2﹣4x+4＝9，变形得：（x﹣2）2＝9，开方得：x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，解得：x1＝5，x2＝﹣1．4公式法1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，当时，.

2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．

①当时，原方程有两个不等的实数根；

②当时，原方程有两个相等的实数根；

③当时，原方程没有实数根.

3.用公式法解一元二次方程的步骤

用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；

②确定a、b、c的值（要注意符号）；

③求出的值；

④若，则利用公式求出原方程的解；

若，则原方程无实根.

【例题精选】例1(2023秋•玉田县期中）一元二次方程ax2+bx+c＝0（c≠0）的求根公式是（）A． B． C． D．分析：根据求根公式即可求出答案．【解答】解：一元二次方程的求根公式为x＝，故选：A．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．例2(2023秋•行唐县期末）解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．分析：（1）根据配方法即可求出答案；（2）根据因式分解法即可求出答案；【解答】解：（1）∵2x2﹣6x﹣1＝0，∴x2﹣3x＝，∴（x﹣）2＝，∴x＝；（2）∵2y（y+2）﹣y＝2，∴2y（y+2）﹣y﹣2＝0，∴（y+2）（2y﹣1）＝0，∴y＝﹣2或y＝；【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．【随堂练习】1.(2023秋•宜城市期中）x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+4x+1＝0 B．2x2﹣4x+1＝0 C．2x2﹣4x﹣1＝0 D．2x2+4x﹣1＝0【解答】解：解一元二次方程的公式为x＝．所以a＝2，b＝4，c＝1．所以方程为2x2+4x+1＝0故选：A．2．(2023•福田区校级模拟）解方程：x2﹣x﹣1＝0．【解答】解：∵x2﹣x﹣1＝0，∴x2﹣2x﹣2＝0，∴x2﹣2x+1＝3，∴（x﹣1）2＝3，∴x＝1±；5因式分解法1.用因式分解法解一元二次方程的步骤

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.【例题精选】例1(2023春•浏阳市期中）计算：选择适当方法解下列方程（1）x2﹣2x﹣3＝0（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x分析：（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用因式分解法求解可得．【解答】解：（1）∵x2﹣2x﹣3＝0，∴（x﹣3）（x+1）＝0，则x﹣3＝0或x+1＝0，解得x＝3或x＝﹣1；（2）3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x+2）＝0，x﹣1＝0或3x+2＝0，所以x1＝1，x2＝﹣．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．例2(2023秋•罗湖区校级期中）解方程（1）x2+x﹣3＝0（2）（2x+1）2＝3（2x+1）分析：（1）先写出a，b，c的值，再计算△，然后用公式法求解即可；（2）先将原方程右边的移到左边，然后利用因式分解法进行分解即可．【解答】解：（1）∵x2+x﹣3＝0∴a＝1，b＝1，c＝﹣3∴△＝b2﹣4ac＝1﹣4×1×（﹣3）＝1+12＝13＞0∴x＝＝∴x1＝，x2＝．（2）∵（2x+1）2＝3（2x+1）∴（2x+1）2﹣3（2x+1）＝0∴（2x+1）（2x+1﹣3）＝0∴（2x+1）（2x﹣2）＝0∴2x+1＝0或2x﹣2＝0∴x1＝﹣，x2＝1．【点评】本题考查了利用公式法和因式分解法解一元二次方程，属于基本计算能力的考查，难度不大．【随堂练习】1．(2023秋•濮阳期末）方程2x（x﹣5）＝6（x﹣5）的根是（）A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝﹣5，x2＝3 D．x1＝5，x2＝3【解答】解：∵2x（x﹣5）﹣6（x﹣5）＝0，∴（x﹣5）（2x﹣6）＝0，则x﹣5＝0或2x﹣6＝0，解得x＝5或x＝3，故选：D．2．(2023秋•耒阳市期末）一元二次方程x（3x+2）＝6（3x+2）的解是（）A．x＝6 B．x＝﹣ C．x1＝6，x2＝﹣ D．x1＝﹣6，x2＝【解答】解：∵x（3x+2）＝6（3x+2），∴（x﹣6）（3x+2）＝0，∴x＝6或x＝，故选：C．3．(2023•福田区校级模拟）一元二次方程x（x﹣2）＝x﹣2的根是（）A．x＝2 B．x1＝0，x2＝2 C．x1＝2，x2＝1 D．x＝﹣1【解答】解：∵x（x﹣2）＝x﹣2，∴x（x﹣2）﹣（x﹣2）＝0，∴（x﹣2）（x﹣1）＝0，∴x＝2或x＝1，故选：C．综合练习一．选择题（共3小题）1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根为（）A．﹣2 B．0，2 C．0，﹣2 D．2【解答】解：﹣x（x﹣2）＝0，﹣x＝0或x﹣2＝0，所以x1＝0，x2＝2．故选：B．2．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（）A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x﹣＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣2＝0【解答】解：A．方程x2+2x+1＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；B．方程x2﹣x﹣＝0的两根之和为2，符合题意；C．方程﹣x2﹣2x+3＝0的两根之和为﹣2，不符合题意；D．方程x2﹣2＝0的两根之和为0，不符合题意；故选：B．3．如果关于x的方程（a﹣5）x2﹣4