北京市首都师范大学附属密云中学2023届高三上学期阶段性练习数学试题及答案

第1页/共1页首都师范大学附属密云中学2022-2023学年度10月月考高三数学试题2022.10一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，则=（）A. B. C. D.2.复数（i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.命题“，”的否定是A.， B.，C.， D.，4.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.5.在中，已知，，，则角的大小为（）A B. C.或 D.或6.设，，，则（）A. B. C. D.7.下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，1）上为增函数的是（）A. B.C. D.8.若，，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.9.已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.10.角以为始边，它的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为，则的值为（）A. B. C. D.11.在长方形中，，为中点，且，则为（）A. B. C. D.12.设是等比数列，且，下列正确结论的个数为（）①数列具有单调性；②数列有最小值为；③前n项和Sn有最小值④前n项和Sn有最大值A.0 B.1 C.2 D.313.底与腰（或腰与底）之比为黄金分割比（）的等腰三角形称为黄金三角形，其中顶角为的黄金三角形被认为是最美的三角形.据此可得的值为（）A. B. C. D.14.将函数图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（）A.为偶函数B.当时，在上有5个零点CD.若在上单调递减，则的最大值为615.已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（）A.3 B.4 C.5 D.6二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分．16.已知向量，，若向量共线，则_____；若向量与向量垂直，则_____.17.生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在这个生物链中，若能使获得10KJ的能量，则需提供的能量为________KJ．18.已知单位向量满足，则值为______.19.若函数的最大值为，则常数的一个取值为_____.20.在菱形中，，且，若，则的值为_________；_________．21.数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值.若，则的峰值为___________；若，且不存在峰值，则实数的取值范围是___________．三、解答题:本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.22.在等差数列中，，前8项和（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前n项和.23.已知函数.（1）求的最小正周期;（2）若对任意有两个不同的解，求实数的取值范围.24.在中，，．（1）求；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：25.已知函数（1）当时，求曲线在点（1，f（1）处曲线的切线方程；（2）求函数的单调区间；（3）设，若对任意，均存在，使得，求a取值范围.首都师范大学附属密云中学2022-2023学年度10月月考高三数学试题2022.10一、选择题：本大题共15小题，每小题4分，共60分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知集合，则=（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用交集的定义运算即得.【详解】∵集合，，∴.故选：C.2.复数（i是虚数单位）在复平面上所对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算化简复数，即可得到对应的坐标.【详解】，所对应点为，故选:A3.命题“，”的否定是A.， B.，C.， D.，【答案】A【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：，，则为，．故选A．【点睛】本题考查全称命题与特称命题的否定关系的应用，考查基本知识．4.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据导数的计算逐一判断即可.【详解】对于A，，故A不正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C不正确；对于D，，故D不正确.故选：B5.在中，已知，，，则角的大小为（）A. B. C.或 D.或【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理理解三角形，根据边角关系，可得答案.【详解】由正弦定理，可得，则，由，则，由，则或.故选：C6.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数单调性及中间值比较大小.【详解】因为在上单调递减，，所以，因，在定义域上单调递增，所以，，故.故选：D7.下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，1）上为增函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性和单调性逐项分析即可.【详解】对于A，，定义域为，非奇非偶，不是奇函数，不满足题意；对于B，，对勾函数，在内单调递减，不满足题意；对于C，由于，是偶函数，不是奇函数，不满足题意；对于D，是奇函数，并且根据正弦函数的性质在单调递增，满足题意；故选：D.8.若，，则下列不等式一定成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】举反例可判断ABD，由不等式的性质可得，可判断C【详解】选项A，令，，不成立，A错误；选项B，令，，不成立，B错误；选项C，由，，可得，故，C正确；选项D，令，，不成立，D错误.故选：C9.已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设出公差，根据单调递增，得到，结合等差数列的性质得到，变形为，解不等式求出答案.【详解】因为为等差数列，设公差为，因为数列单调递增，所以，所以，则，解得：，故选：C10.角以为始边，它的终边与单位圆O相交于第四象限点P，且点P的横坐标为，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由勾股定理求出，则【详解】P为第四象限点，故，故.故选：A11.在长方形中，，为中点，且，则为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的数量积可求解.【详解】由于，，所以，解得.故选：C12.设是等比数列，且，下列正确结论的个数为（）①数列具有单调性；②数列有最小值为；③前n项和Sn有最小值④前n项和Sn有最大值A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】由，再结合分类讨论思想可得到数列的性质，从而可判断每一个问题.【详解】由，有.当时，有，解得，此时数列是每一项都是正数的单调递增数列，所以其前n项和Sn没有最大值，故④不正确；当时，有，解得或.当时，数列是摆动数列，不具有单调性，故可知①、②不正确.当，时，，故前n项和Sn无最小值，故可知③不正确.故选：A13.底与腰（或腰与底）之比为黄金分割比（）的等腰三角形称为黄金三角形，其中顶角为的黄金三角形被认为是最美的三角形.据此可得的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】画出图形，设出，利用勾股定理和三角形面积得到，从而求出，结合诱导公式得到的值.【详解】如图所示：，，不妨设，取BC的中点D，连接AD，过点B作BE⊥AC于点E，则，AD⊥BC，由勾股定理得：，则，则，由勾股定理得：，所以，故.故选：B14.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，且，下列说法错误的是（）A.为偶函数B.当时，在上有5个零点C.D.若在上单调递减，则的最大值为6【答案】D【解析】【分析】由得到，，检验A，C选项是否正确;在B选项中，可直接求出函数的各个零点;在D选项中，在单减，需要满足整体范围在余弦减区间内.【详解】，又，故，所以.对选项A:为偶函数，故A正确.对选项B:当时，，零点有共5个，故B正确.对选项C:，故C正确.对选项D:，时，，若在上单调递减，则，故的最大值为5，故D错误.故选:D.15.已知数列的前n项和，若，恒成立，则实数的最大值是（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】C【解析】【分析】先由求出，根据得到，求出的最小值，即可得出结果.【详解】因为数列的前n项和，当时，；当时，满足上式，所以，又，恒成立，所以，恒成立；令，则对任意，显然都成立，所以单调递增，因此，即的最小值为，所以，即实数的最大值是.故选：C【点睛】思路点睛：根据数列不等式恒成立求参数时，一般需要分离参数，构造新数列，根据新数列的通项公式，判断其单调性，求出最值，即可求出参数范围（或最值）.二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分．16.已知向量，，若向量共线，则_____；若向量与向量垂直，则_____.【答案】①.##-0.5②.【解析】【分析】根据向量共线，垂直的坐标公式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为向量，，由向量共线，可得因为,由向量与向量垂直，可得故答案为:，17.生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，在这个生物链中，若能使获得10KJ的能量，则需提供的能量为________KJ．【答案】##10000【解析】【分析】依题意，依次计算需要，，提供的能量，即得解【详解】由题意，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级，若能使获得10KJ的能量，则需要提供的能量，需要提供的能量，需要提供的能量.故答案为：18.已知单位向量满足，则的值为______.【答案】【解析】【分析】由得，求需要平方转化数量积运算.【详解】..故答案:.19.若函数的最大值为，则常数的一个取值为_____.【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】要想能取到最大值为，函数可以利用辅助角公式，故可考虑.【详解】当时，，满足最大值为.故答案为：.20.在菱形中，，且，若，则的值为_________；_________．【答案】①.1②.．【解析】【分析】利用，两边均插入点，得到，整理后，结合平面向量基本定理可解决第一空，利用夹角公式可解决第二空.【详解】根据，可得到，整理可得：，显然不共线，可作为平面的一组基底，又，根据平面向量基本定理，，故；由题意，故是等边三角形，，由，，，，根据夹角公式：.故答案为：；.21.数列中，如果存在，使得“且”成立（其中，），则称为的一个峰值.若，则的峰值为___________；若，且不存在峰值，则实数的取值范围是___________．【答案】①.②.【解析】【分析】令，利用数列的函数特性，可判断函数的单调性及最值问题；若，且不存在峰值，即满足且，其中，，从而结合函数单调性求出实数的取值范围.【详解】解：令开口向下，且对称轴为，但由于，时，，时，，所以对于任意的，都有，所以的峰值为；因为，且不存在峰值，令，因为开口向下，所以数列是满足且，其中，，所以，，即，所以实数的取值范围是.故答案为：；.三、解答题:本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.22.在等差数列中，，前8项和（1）求数列的通项公式；（2）若数列是首项为1，公比为2的等比数列，求的前n项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用基本量表示题干条件，求解，即得解；（2）设，利用等比数列的通项公式可得，故，分组求和即可.【小问1详解】由题意，即解得：因此.【小问2详解】设依题意因此设前n项和为23.已知函数.（1）求的最小正周期;（2）若对任意有两个不同的解，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换得，再求最小正周期即可；（2）根据题意，将问题转化为与有两个不同的交点，进而数形结合求解即可.【小问1详解】解：所以，函数的最小正周期为，【小问2详解】解：由题意可知，方程有两个不同的解，由（1）可知，，当时，，因为方程有两个不同的解，所以，与有两个不同的交点，如图，根据图像可知，实数m的取值范围所以，实数的取值范围为.24.在中，，．（1）求；（2）从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：【答案】（1）；（2）6.【解析】【分析】（1）根据余弦定理即得；（2）选①，根据同角关系式，诱导公式及和角公式可得，然后利用正弦定理及面积公式即得；选②，根据正弦定理及大角对大边可判断存在但不唯一，不合题意；选③，根据正余弦定理结合三角形面积公式即得.【小问1详解】由已知得，在中，，所以；【小问2详解】若选择①