新工科数学基础三 线性代数及Python实现 课件 第1章 行列式

线性代数数学与统计学院教师：行政楼713课程介绍01内容第一章行列式02课程介绍01PART课程介绍理、工、经管专业基础课；考研考点讨论有限维线性空间的理论应用广泛：自然科学，社会科学，工程技术，经济学等学时/学分：32学时/2学分考核：停课闭卷平时30%，考试70%第一章行列式02PART行列式怎么来的？有什么用？求解线性方程组二元一次方程组由消元法，得当时，该方程组有唯一解三元一次方程组三元一次方程组由消元法，得解唯一n元一次方程组二元一次方程组和三元一次方程组的求解寻找规律求解n元方程组

二元一次方程组当时，该方程组有唯一解二阶行列式三元一次方程组三阶行列式n元一次方程组——Gramer法则推广到n阶行列式每一项为不同行不同列的n个元素的乘积每一项的正负号由各元素的位置决定一共有n！项排列与逆序排列：由1,2,…,n组成的不重复的每一种确定次序的排列称为一个n级排列.称123…n为自然排列.n级排列的总数是n!个.逆序：

在n级排列中，若有较大的数排在较小的数前，则称构成一个逆序。在n级排列中逆序的总数称为逆序数，记为。奇排列：逆序数为奇数的称为奇排列偶排列：逆序数为偶数的称为偶排列。对换：

在排列中，将任意两元素对调，其余不动称为对换。将相邻两个元素对换，称为相邻对换。定理1：任一排列经一次对换后其奇偶性改变。相邻对换2m+1次相邻对换每一项为不同行不同列的n个元素的乘积每一项的正负号由对应n级排列的逆序数决定一共有n！项n阶行列式：n阶行列式一共有

个元素n阶行列式可写成n=1时，注意区别绝对值符号若有一行或一列中的元素全为0，则该行列式为0练习行列式的每一项元素的行标是否可以不按照自然排列定理2：n阶行列式：行列式的通项可以为不在同一行同一列的n个元素的乘积。练习练习练习练习解：用树图分析-1133123-1-2-2-1故1130230021011210----=D练习已知

，求的系数.故的系数为－1.是否有方法可以简化行列式的计算？研究行列式具有哪些性质？转置行列式将行列式的行和列交换后得到的行列式称为该行列式的转置行列式

行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2交换行列式的两行（列），行列式变号。推论：若行列式有两行（列）元素相同，则此行列式为零。性质3用数k乘行列式D的一行（列），等于以数k乘行列式D。推论行列式某一行（列）中所有元素的公因子都可提到行列式外面。推论若行列式有两行元素成比例，则此行列式为零。性质4行列式D的一行每一个元素都是两数之和，

则D可以写为两个行列式之和。性质5把行列式一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。行列式性质回顾：n阶行列式：n阶行列式一共有

个元素，n!项，n阶行列式可写成n=1时，注意区别绝对值符号若有一行或一列中的元素全为0，则该行列式为0每一项为不同行不同列的n个元素的乘积定理2：n阶行列式：行列式的通项可以为不在同一行同一列的n个元素的乘积。n元一次方程组回顾例1用克拉默法则求解线性方程组是否有方法可以简化行列式的计算？研究行列式具有哪些性质？转置行列式将行列式的行和列交换后得到的行列式称为该行列式的转置行列式

行列式中行与列具有同等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2交换行列式的两行（列），行列式变号。推论：若行列式有两行（列）元素相同，则此行列式为零。性质3用数k乘行列式D的一行（列），等于以数k乘行列式D。推论行列式某一行（列）中所有元素的公因子都可提到行列式外面。推论若行列式有两行元素成比例，则此行列式为零。性质4行列式D的一行每一个元素都是两数之和，

则D可以写为两个行列式之和。性质5把行列式一行（列）的倍数加到另一行（列），行列式不变。行列式计算按照定义，需要做n!次的乘法运算，计算量很大。实际计算时，一般用性质化简。

定理：n阶行列式等于其任一行的各元素与对应代数余子式的乘积之和。引理

一个n阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即．又从而下面再讨论一般情形.请思考交换多少次可以到第一行第一列？分析当位于第1行第1列时,定理：n阶行列式等于其任一行的各元素与对应代数余子式的乘积之和。性质行列式D的一行每一个元素都是两数之和，

则D可以写为两个行列式之和。推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即练习：P30课后题9

定理（拉普拉斯展开定理）：n阶行列式D中，取定某k个行，则在这k个行中所有k阶子式分别与它的代数余子的乘积之和等于D。说明：在计算行列式时，常常按一行或一列展开。若在行列式D中某些行或列含多个零元，则按这些行或列展开计算行列式更方便此定理称为k个行展开定理。若将行变成列，则行列式按k个列展开。例计算行列式解降阶法，展开法n阶行列式的零元较多时，按行或列展开。化零降阶法说明：某行或列的元素偏大时，可利用性质将他们先变小化零降阶法一般从绝对值最小的整数所在的行或列开始适用于非零元较多的低阶行列式三角形法说明：利用三角行列式的性质若行或列的所有元素之和相等，可提取这个和数，并将某一行或列变成1行列式中行列较多元素相同升阶法加边法，镶边法构造n+1阶行列式，使其与原n阶行列式相等说