人教版九年级数学上册《圆周长、弧长》教学案

圆周长、版长

素质教育目标

1,复习圆周长公式：理解弧长公式.

2,通过弧长公式的推导，培养学生抽象、理解、概括、归纳能力；通过“弯道”问题的

解决，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，综合运用所学知识分析问题和解决问

题的能力.

3,在弧长公式的推导过程中，渗透从特殊到一般，再由一般到特殊的认知规律.在解决

实际问题的例题教学中，渗透实践的观点、理论联系实际的观点.

教学重点、难点、疑点及解决方法

1.重点：弧长公式.

2.难点：正确理解弧长公式.

3.疑点及解决方法：学生对公式中的“n”一会儿是角的“度数”，一会儿又是“倍数”

有疑惑，解决此问题的关键在于讲清楚1°的弧长.

教法学法和教具

1,教法：引导学生探索研究发现法。

2,学法：学生主动探索研究发现法。

3,教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。

教学步骤

侠梧引入：前一阶段我们学习了圆的有关概念，知道圆上两点之间的部分叫做弧.弧的

度数前面已经学过了，弧应当有长度，弧的长度应如何求呢？

复打梃问：1.已知。0半径为R,。。的周长C是多大？（安排中下生回答：C=2"R）,2.已

知。0的周长是C,。。的半径R等

于多少？（安排中下生回答，R=2）

锦堂撩神.

例一：已知：如图7T55,圆环的外圆周长Cl=250cm,内圆周长C2=150cm,求圆环的宽度

d（精确到1mm）.

引导分析：

1,圆环的宽度与同心圆半径有什么关系？（安排中学生回答，d=Rl-R2）

2,请同学们完成此题，（安排一名学生上黑板做，其余同学在下面做）（d^l5.9cm）

谈话引导：我们知道，把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的

角，因为同圆中相等的圆心角所对弧相等，所以整个圆也被等分成360份，每一份这样的弧

就是1°的弧，大家知道圆的周长是2"R。

想想看1°的弧长应是多少？怎样求？（安排中等生回答：1°的弧长=

禁即1°的弧长=点）那么2。的弧长怎么求？3。的弧长怎么求？

（安排中下生回答）哪位同学回答，n。的圆心角所对的弧长1,应怎么求？

（安排中等生回答：1=黑.）

loU

课堂练习一：（学生计算，然后回答）

1.边长6cm的正三角形，它的内切圆周长是—；它的外接圆的周

长是；（2、后兀cm；4-75兀cm）

2.边长4cm的正方形，它的内切圆周长是―；它的外接圆的周长

是s（4兀cm；4、也兀cm）

3.周长6ncm的。0,其内接正六边形的边长是一；（3cm）

4.已知。0的周长6Jicm,则它的外切正方形的周长是—；（24cm）

-2

5.在半径为1cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长是；（-71）

4

6.在。O中，如果120。的圆心角所对的弧长是可兀cm,则。O

的半径是__（2cm）

7.如果。0的半径3cm,其中一弧长231cm,则这弧所对圆心角度数是—（120°）

以上各题解决起来不太困难，所以应重点照顾中下学生.

课堂练习二：

已知圆的半径R=46.0cm,求18°31'的圆心角所对的弧长1（保留三个有效数字）.

（安排一中下生上黑板做此题，其余同学在下面完成.）

注意强调：

假如上黑板作题的学生把题写成1=1*二?及义46.0正好为本课提

loO

供了分析素材.假如上黑板作题的学生先把18°31'化为18.52。后计

18.52义兀X46.0教师也应提出“1=些霜竺2怎么不行？”

算1=

180loU

的问题让学生们充分展开讨论.在讨论过后首先让先把18°31'化为18.52。后再代入公式

计算的学生谈谈，他是怎么想的，最后由上等生或

教师做归纳总结，弧长公式匚萼其实是l=n・我其中我表示1。

loUloUloU

的弧长，2。弧长则瞟X2,3。弧长则点X3,这其中的2或3不表

loUloU

示度数而是表示1°的倍数，当然n。弧长则应是黑・n,公式中的n表

1OU

示1°的n倍，由于2。是1°的2倍，3°是1°的3倍，n°是1

°的n倍，所以有圆心角n。则邨长公式中就应唾Xn,此时公式中的

loU

倍数n与圆心角的度数n。相对应.而这道题的圆心角是18。31',所以需将31'换算成

度才能得到公式中所需的n.

（安排学生正确完成此题，答案，1Q14.9cm）

课堂练习三：

请同学们再计算一题，已知圆的半径R=10cm,求18°42'的圆心角所对的弧长

（安排学生在练习本上完成，答案，1=黑兀）

loU

例2,弯制管道时，先按中心线计算展直长度，再下料•，试计算图所示管道的展直

长度1（单位：mm,精确到1mm）

引导学生分析

1,哪位同学到前面指出图中所示的管道指的哪部分？（安排举手的同学）

2,哪位同学告诉同学们这管道的展直长度1由图中哪几部分组成？（安排中下生回答）

3,图中的弧所对圆心角等于多少度，它的半经是多少？（安排中下生回答）

4,请大家动笔先计算图中的弧长，（1=5001570mm）

700TOO.

01

0

图7-156

5,请同学们计算管道的展直长度.（l=2930mm）

课堂练习四：

有一段弯道是圆弧形的，道长是12m,弧所对的圆心角是81°,求这段弧的半径R（精确到

0.1m）

练习指导：

1.哪位同学到前面指出图中的弯道？（安排中下生上前）

2,道长12m指的是哪条弧的长12m?（安排中下生上前）

3,L和n已知，如何求R?（安排中下生回答:R=图三）

n乃

4,请同学们计算出R的值，（约8.5m）

总给、犷展（引导学2次忍老灯）

本堂课复习了小学就学会的圆周长公式，在此基础上又学习了弧长公式、哪位同学能回

答圆周长公式.弧长公式？（安排中下生回答：C=2irR,L=P型）

180

布置作业

教材P.168中练习1、2、3；P.179中2,3.

板书设计

7.19回周长、弧长（一）

二、1°的弧长=/2*JIR

360

一、C=2gR,

IOTR

n°的弧长1=—

loU

教后札记：学生对圆的周长和弧长的有关概念和计算方法能够理解，但是，应用较

生，对公式能够理解，但是，由于解题的综合性较强，对公式中的n的意义时常忽落，应用

有难度，解题不周密，要指导学生对公式的应用和计算方法的反思学习。

同周长、孤长（二）

素质教育目标

1,应用圆周长、弧长公式综合圆的有关知识解答问题.

2,通过应用题的教学，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力，培养用数学的意识;

通过应用题的教学培养学生综合运用知识、分析问题、解决问题的能力.

3,通过应用题的教学，向学生渗透理论联系实际的观点.通过实际问题的解决，向学生渗

透矛盾相互转化的观点.

教学重点、难点、疑点及解决方法

1.重点：运用圆周长、弧长公式，综合其它方面的知识解有关的应用题.

2.难点：从实际问题中抽象出数学模型，综合运用其它知识解决问题.

3,疑点：学生对公式中n的理解一会是度数一会是倍数有疑虑，措施是讲清1度弧的含义。

教法学法和教具

1,教法：引导学生探索研究发现法。

2,学法：学生主动探索研究发现法。

3,教具：三角尺、圆规、投影仪（或小黑板）。

教学步骤

篌精引入：上节课我们复习了圆的周长公式，学习了弧长公式，我们说圆的周长公式

与弧长公式应用很广泛，并且跟其它知识联系很密切，今天我们继续学习“7.19圆周长、

弧长”继续研究它的应用.

复打梃问：

1.哪位同学回答圆的周长公式？（安排中下生回答：C=2nR）,

2.如果。。的周长为C,它的半径R,设这个圆的半径增加a,那么它的周长增加多少？（在

学生思考、计算后，安排中等生回答：2na

3,周长为6后的正三角形，他的内切圆的周长是多少？他的外接圆的周长是多少？（在学生

思考，计算后，安排中下生回答：内切圆周长2n,外接圆周长4n）.

4,哪位同学回答以下弧长公式？（安排中下生回答

180

5,公式中的n与中心角度数n。有什么联系和区别？（安排中上生回答：公式中的n表示1°

弧长的n倍，它在数值上恰等于中心角的度数的数值.）如果已知条件中中心角的度数不仅

有度还有分，还有秒，要计算此角所对弧长应首先做什么工作，（安排中等生回答：将度、

分、秒转化为度，从而得到公式中所需的n）

6,在半径10cm的。0中，圆心角为32°24错误!未指定书签。’的弧长是多少？（安排中

下生回答）

锦堂探拣：

例-：火车机车上的主动轮直径为1.2米，主动轮每分转400转，火车每小时行几公

里（精确到1公里）？

引导学生分析：

1,哪位同学知道机车轮子转一圈，在轨道上走多远距离？（安排中上学生回答：1.2n米）

你计算的依据是什么？（轮子转一圈，在轨道上的距离就是圆的一个周长.）

2,请同学们计算出这题的结果（约90公里）.

何二：如图，有一圆弧形桥拱，拱的跨度AB=40m,拱形的半径R=29m,求拱形的高和拱

形的弧长（保留4个有效数字.）

哪位同学知道，“有一圆弧形桥拱”这句话给我们解题提供什么信息？（找中上生回答，桥拱

AB

的弧是一个圆的一部分.）图7-158

引导学生分析：

1,“拱上跨度AB=40m”又为我们提供什么信息？（安排中上生回答：AB是桥拱弧所在圆的弦,

其长40m）.

2,“拱形的半径R=29m”又为我们提供什么信息？（安排中下生回答：桥拱弧所在圆的半径

29m）

3,哪位同学能画出解决此实际问题的几何图形？（安排一名上等生上黑板画，其余学生在练

习本上画）

4,在这个图形中，拱形的高是哪条线段.为什么是它？（安排中上生回答：CD,概括弓形高

的定义.）看到这个图，你想到了什么定理？（安排中等生回答：垂经定理.）哪位同学能叙

述一下垂径定理？（安排中等生回答）请同学们研究一下拱高怎么求？（安排中下生回答：先

用勾股定理求出0D,然后用半径减0D即可）.

5,要求拱形弧长，半径已知，还缺少什么条件？（安排中下生回答，少弧所对中心角的度数）

C

0

图7-159

6,中心角NA0B的度数你打算通过什么方法求出来？上生回答：作直角三角形AOD）.请同

学们完成这题，（安排上等生上黑板）

图7-160

例三：如图，两个皮带轮的中心的距离为2.1m,直径分别为0.65m和0.24m.（1）求皮

带长（保留三个有效数字）；（2）如果小轮每分转750转，求大轮每分约转多少转.

引导学生分析：

1,“两个皮带轮的中心的距离为2.1m”，给我们解决此题提供了什么数学信息？（安排中

等生回答：两个圆的圆心距为2.1m）

2,题目中皮带长，在图形中指的是哪几部分的和？（安排中等生回答：流+DC+前+AB）

3,AB、CD与。0卜（DO?具有什么位置关系？AB与CD具有什么数量关系？根据是什么？（安

排中下生回答：AB与CD是OOi与。02的公切线，AB=CD,根据的是两圆外公切线长相等.）

4,前面单元大家已学过了公切线长的求法，哪位同学还记得计算两圆外公切线长的途经？

（安排中上学生回答：构造由圆心距、半径差和切线长的平移线段组成的直角三角形，解这

个三角形即可）

5,请同学们把切线长AB求出来，（安排一名中上生到黑板做）

解：（1）作过切点的半径01A、011）、02B、02C,作02EL01A,垂足为E

RtAEOjOj=C）2E=J。。；-OE

0^=^X0.65=0325

OjE=0,205>=>02E=AB«2.090(m).

AE=O2B=^X0.24=0.12

Q%=21

O1E=O1A-O2B

6,要求前的长度，已具备了什么条件，还缺少什么条件？（安排中下生：已具备了半径

0.325,缺少流所对圆心角的度数），

7,观察图形，你打算通过什么途径求出流所对圆心角al?（安排中上生：a1=360°-2

a,而a可通过解Rt401E02解决）.

8,请同学们求出流的长度.（安排一名中上生到黑板前完成此题）

0E

cosCl^0,0976.-.ZCl=84.4°=>Z<1^360°-2Za

1912X%X0.325

=191.2°=>AMD的长h=1.085(m).

180

9,同样要求就的长度，半经0.12,NB02c怎么求？请同学们观察图形，哪位同学谈谈

看法：(安排上等生回答：ZB02C=2Za=168.8°,因01A〃02B,01D/702C所以NB02c=2

Za）

10,请同学们求出氤的长度，（安排一名中上生到黑板完成）