年高三一轮总复习理科数学课时跟踪检测61不等关系与不等式

[课时跟踪检测][基础达标]1．设a，b∈[0，＋∞)，A＝eq\r(a)＋eq\r(b)，B＝eq\r(a＋b)，则A，B的大小关系是()A．A≤B B．A≥BC．A<B D．A>B解析：由题意得，B2－A2＝－2eq\r(ab)≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.答案：B2．已知x，y∈R，且x>y>0，则()A.eq\f(1,x)－eq\f(1,y)>0B．sinx－siny>0C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y<0D．lnx＋lny>0解析：∵x>y>0，∴eq\f(1,x)<eq\f(1,y)，即eq\f(1,x)－eq\f(1,y)<0，故A不正确；当x>y>0时，不能说明sinx>siny，如x＝π，y＝eq\f(π,2)，x>y，但sinπ<sineq\f(π,2)，故B不正确；∵函数y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x在Rz上为减函数，且x>y>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))y<0，故C正确；当x＝1，y＝eq\f(1,2)时，lnx＋lny<0，故D不正确．故选C.答案：C3．若a，b都是实数，则“eq\r(a)－eq\r(b)>0”是“a2－b2>0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：由eq\r(a)－eq\r(b)>0得a>b≥0，则a2>b2⇒a2－b2>0；由a2－b2>0得a2>b2，可得a>b≥0或a<b≤0等，所以“eq\r(a)－eq\r(b)>0”是“a2－b2>0”的充分不必要条件，故选A.答案：A4．(2017届陕西咸阳摸底)若a，b是任意实数，且a>b，则下列不等式成立的是()A．a2>b2B.eq\f(b,a)<1C．lg(a－b)>0D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))a<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b解析：特值法：令a＝－1，b＝－2，则a2<b2，eq\f(b,a)>1，lg(a－b)＝0，可排除A，B，C三项．故选D.答案：D5．(2018届浙江温州质检)设a，b∈R，则“a>1，b>1”是“ab>1”A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：a>1，b>1⇒ab>1，但ab>1，则a>1，b>1不一定成立，如a＝－2，b＝－2时，ab＝4>1.故选A.答案：A6．已知a＝lneq\f(1,3)，b＝sineq\f(1,3)，c＝eq\f(1,3)，则a，b，c的大小关系为()A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a解析：a＝lneq\f(1,3)<0，b＝sineq\f(1,3)>0，因为0<eq\f(1,3)<eq\f(π,2)，且0<x<eq\f(π,2)时，sinx<x，所以b<c，故a<b<c.答案：A7．(2017届武汉二中段考)设a，b∈(－∞，0)，则“a>b”是“a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)”成立的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,a)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－\f(1,b)))＝(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab)))，又1＋eq\f(1,ab)>0，若a>b，则(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab)))>0，所以a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b)成立；反之，若(a－b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,ab)))>0，则a>b成立．故选C.答案：C8．设0<b<a<1，则下列不等式成立的是()A．ab<b2<1B．logeq\f(1,2)b<logeq\f(1,2)a<0C．2b<2aD．a2<ab<1解析：解法一(特殊值法)：取b＝eq\f(1,4)，a＝eq\f(1,2).代入选项知，C正确．解法二(单调性法)：0<b<a⇒b2<ab，A错误；y＝logeq\f(1,2)x在(0，＋∞)上为减函数，∴logeq\f(1,2)b>logeq\f(1,2)a，B错误；a>b>0⇒a2>ab，D错误，故选C.答案：C9．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．解析：∵ab2>a>ab，∴a≠0，当a>0时，b2>1>b，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2>1，,b<1，))解得b<－1；当a<0时，b2<1<b，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b2<1，,b>1，))此式无解．综上可得实数b的取值范围为(－∞，－1)．答案：(－∞，－1)10．若a>b>0，c<d<0，e<0.求证：eq\f(e,a－c2)>eq\f(e,b－d2).证明：∵c<d<0，∴－c>－d>0.又∵a>b>0，∴a－c>b－d>0.∴(a－c)2>(b－d)2>0.∴0<eq\f(1,a－c2)<eq\f(1,b－d2).又∵e<0，∴eq\f(e,a－c2)>eq\f(e,b－d2).[能力提升]1．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，若两人步行速度、跑步速度均相同，则()A．甲先到教室 B．乙先到教室C．两人同时到教室 D．谁先到教室不确定解析：设步行速度与跑步速度分别为v1和v2显然0<v1<v2，总路程为2s，则甲用时为eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)，乙用时为eq\f(4s,v1＋v2)，而eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)－eq\f(4s,v1＋v2)＝eq\f(sv1＋v22－4sv1v2,v1v2v1＋v2)＝eq\f(sv1－v22,v1v2v1＋v2)>0，故eq\f(s,v1)＋eq\f(s,v2)>eq\f(4s,v1＋v2)，故乙先到教室．答案：B2．a，b∈R，a<b和eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同时成立的条件是________．解析：若ab<0，由a<b两边同除以ab得，eq\f(1,b)>eq\f(1,a)，即eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；若ab>0，则eq\f(1,a)>eq\f(1,b).所以a<b和eq\f(1,a)<eq\f(1,b)同时成立的条件是a<0<b.答案：a<0<b3．(2017届盐城一模)若－1<a＋b<3,2<a－b<4，则2a＋3b解析：设2a＋3b＝x(a＋b)＋y(a－b则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝2，,x－y＝3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝－\f(1,2).))又因为－eq\f(5,2)<eq\f(5,2)(a＋b)<eq\f(15,2)，－2<－eq\f(1,2)(a－b)<－1，所以－eq\f(9,2)<eq\f(5,2)(a＋b)－eq\f(1,2)(a－b)<eq\f(13,2).即－eq\f(9,2)<2a＋3b<eq\f(13,2).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,2)，\f(13,2)))4．求不等式x2＋(a－6)x＋9－3a>0在|a|≤1时恒成立的x解：将原不等式整理为形式上是关于a的不等式(x－3)a＋x2－6x＋9>0.令f(a)＝(x－3)a＋x2－6x＋9.因为f(a)>0