专题2.2复数的四则运算（七个重难点突破）

专题2.2复数的四则运算知识点1复数的加减运算设是任意两个复数运算计算公式加法减法交换律结合律知识点2复数加减法的几何意义（1）复数加法的几何意义.如图,设复数对应的向量分别为,四边形为平行四边形,则与对应的向量是.（2）向量减法的几何意义如图所示,设分别与复数对应,且不共线,则这两个复数的差与向量（即对应.重难点1复数的加减法运算1．已知，则复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】先根据复数的减法运算求出复数，然后求出其在复平面对应的点，从而可求得结果.【详解】因为，所以，所以复数在复平面对应的点为，位于第三象限．故选：C2．复数，其中为实数，若为实数，为纯虚数，则（

）A．6 B． C． D．7【答案】C【分析】利用复数代数形式的加减法，结合实数、纯虚数的定义求解即得.【详解】复数，为实数，则，由为实数，得，解得，又，显然，由为纯虚数，得，解得，所以.故选：C3．在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】利用特殊角的三角函数值，结合复数的运算即可得解.【详解】因为可化为，所以点的坐标为，则，所以，所以．故选：A．4．（多选）已知复平面内的四个点A，B，C，D构成平行四边形，顶点A，B，C对应复数，则点D对应的复数可以是（）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】由复数的几何意义分类讨论即可求解.【详解】分三种情况：①当时，，所以；②当时，，所以；③当时，，所以，所以点D对应的复数为或或.故选：ABD.5．设是虚数单位，若复数满足，则．【答案】【分析】根据题意可得，进而结合模长公式运算求解.【详解】因为，则，所以.故答案为：.6．（1）计算：；（2）设，（，），且，求.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）（2）运用复数加减运算及复数相等求解即可.【详解】（1）原式＝.（2）因为，，，所以，所以，解得，所以.重难点2复数加减运算的几何意义7．若向量分别表示复数，则=（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据复数减法的几何意义求得，再根据模长公式即可求解.【详解】因为，又向量分别表示复数，所以表示复数，所以.故选：B8．在复平面内，O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，且A，B，C三点对应的复数分别为z1，z2，z3，若，则z2=（

）A．1+i B．1－i C．－1+i D．－1－i【答案】C【分析】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.【详解】因为O为原点，四边形OABC是复平面内的平行四边形，又因为，所以由复数加法的几何意义可得，.故选：C.9．复平面上有A、B、C三点，点对应的复数为，对应的复数为，对应的复数为，则点的坐标为．【答案】【分析】根据即，求得点对应的复数，进而即得.【详解】因为对应的复数是，对应的复数为，又，所以对应的复数为，又，所以点对应的复数为，所以点的坐标为．故答案为：．10．在复平面内，已知复数满足，且，求.【答案】【分析】设对应的复数为，对应的复数为，利用向量运算和复数的向量表示可解.【详解】设对应的复数为，对应的复数为，则对应的复数为，对应的复数为，因为，且，所以为等腰直角三角形，且.

作正方形AOBC，如图所示，则对应的复数为，故.重难点3复数模的最值问题11．已知为虚数单位，复数满足，则复数对应的复平面上的点的集合所表示的图形是（

）A．正方形面 B．一条直线 C．圆面 D．圆环面【答案】D【分析】设，根据模的定义求出轨迹方程即可得解.【详解】设，则由可得，即，所以复数对应的点在复平面内表示的图形是圆环面.故选：D.12．已知复数满足，则（为虚数单位）的最大值为．【答案】6【分析】由复数的几何意义求解即可.【详解】设(为实数)，则复数满足的几何意义是以原点为圆心，以1为半径的圆上的点，则表示的几何意义是圆上的点到的距离，根据圆的性质可知，所求最大值为.故答案为：6.13．若复数满足，则（为虚数单位）的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先设复数，(且不同时为0)，根据条件化简求得的关系式，再根据复数模的几何意义求最值.【详解】设，(且不同时为0)，由题意可知，得或，当时，的轨迹是轴（除原点外），此时的几何意义表示复数对应的点和的距离，此时，当时，复数所对应点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图，根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，的最小值是点与的距离.故选：B14．已知复数z满足，则的最小值为（

）A．1 B．3 C． D．【答案】A【分析】设复数在复平面内对应的点为，由复数的几何意义可知点的轨迹为，则问题转化为上的动点到定点距离的最小值，从而即可求解．【详解】设复数在复平面内对应的点为，因为复数满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，所以在复平面内点的轨迹为，又表示点到点的距离，所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，当为时，到定点的距离最小，最小值为1，所以的最小值为1，故选：A．15．设是复数且，则的最小值为.【答案】/【分析】根据复数模的几何意义，结合图象，即可求解.【详解】根据复数模的几何意义可知，表示复平面内以为圆心，1为半径的圆，而表示复数到原点的距离，由图可知，.故答案为：.知识点3复数的乘除运算设是任意两个复数运算计算公式乘法除法交换律结合律乘法对加法的分配律重难点4复数的乘除运算16．已知复数的共轭复数是，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先由，得到，利用复数的除法运算法则求出，进而求出复数即可.【详解】由于，得，则，故选：A.17．若复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用复数的模公式及复数除法法则即可得解.【详解】因为，所以由，得.故选：B.18．若复数满足，则（

）A．3 B．2 C． D．1【答案】C【分析】先求出复数的代数形式，再根据复数的除法运算及复数的模的计算公式即可得解.【详解】由，得，所以，所以，所以.故选：C.19．设，若复数在复平面内对应的点位于虚轴上，则.【答案】【分析】由复数的乘法运算结合复数的几何意义求解即可.【详解】，复数在复平面内对应的点为，所以，解得：.故答案为：.20．若复数，则．【答案】【分析】根据复数的除法运算以及模长公式即可求解.【详解】,,故答案为：21．计算：(1)；(2).【答案】(1)0(2)【分析】利用复数代数形式的四则运算化简求值.【详解】（1）.（2）.重难点5复数的乘方运算22．若复数，则（

）A． B． C． D．0【答案】D【分析】根据题意结合复数的乘法运算求解.【详解】由题意可得：，，所以.故选：D.23．计算（i为虚数单位）的值为.【答案】【分析】利用复数的四则运算法则求解即可.【详解】由于，则.故答案为：24．已知为虚数单位，复数满足，则（

）A． B．1 C． D．【答案】B【分析】根据复数的运算性质即可求解.【详解】由题意，，可得，则.故选：B25．已知复数满足，则（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】C【分析】由复数乘除法以及复数模的运算公式即可求解.【详解】由题意，所以.故选：C.26．复数的虚部为（

）A． B．2 C． D．1【答案】B【分析】根据复数的乘方和除法运算即可.【详解】由，所以虚部为2.故选：B.27．已知集合，则的元素个数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的四则运算求出复数z，得出复数的周期性，即可判断集合中的元素个数.【详解】当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，，可知以上四种情况循环，故集合，的元素个数为3.故选：C重难点6共轭复数的应用28．若复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据复数的模及除法运算求出复数，进而得到，从而求解.【详解】由，得，所以，即的虚部为故选：D．29．复数满足，则（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】首先待定结合复数相等求得，结合模长公式即可求解.【详解】由题意不妨设，所以，所以，解得，所以.故选：C.30．若复数满足，则可以为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】借助复数的性质设，结合题意计算即可得.【详解】设，则，故有，即有，选项中只有A选项符合要求，故A正确，B、C、D选项不符合要求，故B、C、D错误.故选：A.31．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据复数的概念及运算法则即可求解.【详解】设，则，因为，所以，所以，解得所以.故选：C.32．（多选）已知为复数，下列结论正确的有（

）A．B．C．若，则D．若，则或【答案】ABD【分析】设出复数的代数形式，结合共轭复数的意义计算判断ABD；举例说明判断C.【详解】设复数，对于A，，A正确；对于B，，，，，B正确；对于C，取，满足，而，C错误；对于D，由，得，即，则，即，因此或，即或，D正确.故选：ABD33．已知，为的共轭复数，若，求.【答案】或【分析】设（，），代入方程，结合复数相等求解即可.【详解】设（，），则（，），由题意得，即，则，解得或，所以或.重难点7复数范围内方程的解34．设复数是关于的方程的一个根，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】将代入方程结合复数的乘法运算即可得解.【详解】将代入方程得：，得，即.故选：D.35．已知复数，是方程的两个虚数根，则（

）A．0 B． C．2 D．4【答案】C【分析】直接由求根公式求出两个虚根，再由复数减法运算、模的运算即可求解.【详解】∵复数，是方程的两个虚数根，∴，为，∴．故选：C.36．已知复数（是虚数单位）是关于x的实系数方程在复数范围内的一个根，则.【答案】0【分析】根据在复数范围内，实系数方程的两个根是互为共轭复数的，结合韦达定理得可得答案.【详解】因为在复数范围内，实系数方程的两个根是互为共轭复数的，所以实系数方程在复数范围内的另一个根是，结合韦达定理得，解得，所以.故答案为：0.37．方程在复数范围内的解为.【答案】【分析】根据虚数单位的性质，结合