第三章：函数的概念与性质重点题型复习-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学上学期同步讲与练(人教A版2019必修第一册)（解析版）

第三章：函数的概念与性质重点题型复习

重点题型

'至题型精析

题型一函数的概念辨析

［例1］下列关于函数与区间的说法正确的是（）

A.函数定义域必不是空集，但值域可以是空集

B.函数定义域和值域确定后，其对应法则也就确定了

C.数集都能用区间表示

D.函数中一个函数值可以有多个自变量值与之对应

【答案】D

【解析】对于A,函数的定义域和值域均为非空数集，A错误；

对于B,若函数的定义域和值域均为R,

对应法则可以是',也可以是,B错误；

对于C,自然数集无法用区间表示，C错误；

对于D,由函数定义可知，一个函数值可以有多个自变量值与之对应,

D正确.

【变式MJ下列对应关系或关系式中是从A到B的函数的是（）

A.AcR,BqR,x2+y2=1

B.A={-1,0,1},5={1,2},=N+l

C.A=R,8=R,/：x^y=—!—

X—2

D.A=Z,B=Z,F：x7y=，2x-l

【答案】B

【解析】对于A,M+y2=i可化为y=±7f,

显然对任意xeA（x=±l除外），y值不唯一，故不符合函数的定义；

对于B,符合函数的定义；

对于C,当x=2时，对应关系无意义，故不符合函数的定义；

对于D,当*为非正整数时，对应关系无意义，故不符合函数的定义.

故选：B

【变式1-2】已知集合人={0,1,2},8={-1,1,3},下列对应关系中，从A到B的函

数为（）

AJ：xfy=xB./：Xfy=fC./：x—y=2xD./：

x—>y=2x—1

【答案】D

【解析】对A:当x=0,l,2时，对应的丫=犬为0,1,2,所以选项A不能构成函数；

对B：当x=0,l,2时，对应的y=x?为0,1,4,所以选项8不能构成函数；

对C：当x=0,1,2时，对应的y=2x为0,2,4,所以选项C不能构成函数；

对。:当x=0,l,2时，对应的尸2》-1为-1,1,3，所以选项。能构成函数；

故选：D.

【变式1-3］如图所示,下列对应法则，其中是函数的个数为（）

②③④⑤⑥

B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】①②③这三个图所示的对应法则都符合函数的定义,

即A中每一个元素在对应法则下，在B中都有唯一的元素与之对应，

对于④⑤/的每一个元素在B中有2个元素与之对应，，不是A到B的

函数，

对于⑥，A中的元素出、“4在8中没有元素与之对应，，不是A至Ijb的

函数，

综上可知，是函数的个数为3.故选：A.

【变式1-4］下列关系中是函数关系的是()

A.等边三角形的边长和周长关系B.电脑的销售额和利润的关系

C.玉米的产量和施肥量的关系D.日光灯的产量和单位生产成本

关系

【答案】A

【解析】根据函数关系的定义可得，

选项A中，当等边三角形的边长取一定的值时，周长有唯一且确定的

值与其对应，

所以等边三角形的边长和周长符合函数关系；

其他选项中，两个量之间没有明确的对应关系，所以不是函数关系故选：

A

【变式1-5］若函数y=f(x)的定义域”=3-22。2},值域为N={y|0«”2},

则函数y=/(x)的图象可能是()

【答案】B

【解析】A中定义域是⑶-2g0},不是M={x|-2人2},故错误；

C中图象不表示函数关系，因为存在一个x对应两个V,不满足函数定

义；

D中值域不是N={y［(区烂2}.

只有B中的定义域和值域满足题意，且表示函数关系，符合题意.故选：

题型二判断是否为同一个函数

［例2］下列各组函数中，表示同一函数的是()

A.f(x)=¥"(x)=x+lB./(x)=G*,g(x)=(«「

C./(x)=|乩g(x)=V?D.f(x)=Jx+l・Jx-l,g(x)=-1

【答案】C

【解析】A.函数=的定义域为{xlx/1},g(x)=x+l的定义域为R,故

不是同一函数；

B.”耳=在的定义域为R,8(必=(4『的定义域为2,+<»)，故不是同

一函数；

c.不)=|琲g(x)=V7=w的定义域都是R,且解析式相同故是同一函数；

D./(x)=G-Q的定义域为任以训，1的定义域为

{x|x2l或X4-1},

故不是同一函数，故选：C

【变式2-1］下列各组函数中，表示同一函数的是()

A.〃x)=x。，g(x)=2B./(x)=^—,g(x)=x+l

C./(%)=>/7^Tx/7+T,g(x)=_］D./(x)=x,g(x)=(4『

【答案】A

【解析】A中，〃x)=x°,g(x)=；定义域都为{xIxxO},

对应关系以及值域相同，故为同一函数；

B中，=,定义域为,g(x)=x+l定义域为R,故不是

X-1

同一函数；

C中，=，定义域为{X|X21},g(x)=ET定义域为3x21

或XW-I},

故不是同一函数；

D中，〃x)=x，定义域为R,8(力=(五『定义域为国》20},故不是同

一函数；

故选：A

【变式2-2］下列各组函数是同一函数的是()

A.f(x)=x.g(x)=(x+l)2B./。)=0与8。)=*^^

C./(x)J与g(x)=4D.f(x)=向3•仄与与g(x)=岳三

XX

【答案】C

【解析】对于A,7(x)=x2,g(x)=(x+l)2,对应关系不同，即不是同一函数，

故A不正确；

对于B，/⑴二匚/二-4/耳定义域为㈠0，。］,g(x)=x>/二=定义域为(-8,0］,

定义域相同，对应关系不同，函数不是同一函数，故B不正确；

对于C,=f=1,定义域为(f0)U(0,+oo),g(x)$=l,定义域为

(-oo,0)U(0,+oo),

定义域、对应关系相同，故为同一函数，故C正确;

对于D,/。)=«7^.&与定义域为［3,+<»),g(x)=J/-9定义域为

(f-3］q［3，+8),

定义域不同，函数不是同一函数，故D不正确；故选：C

【变式2-3］下列各组函数是同一函数的是()

A.y=4^与"了B.y=±与y=x

r+1X

C.y=¥与y=lD.y=J(x-l)2与.V=x-1

【答案】A

【解析】对于A,y=*=x的定义域为R,V=x的定义域为R,

X+1

则两个函数的定义域和对应关系都相同，是同一函数；

对于B,y=J=x的定义域为{x|xx。},丁=》的定义域为R,

则两个函数的定义域不同，不是同一函数；

对于c,尸斗的定义域为{小工0},的定义域为R,

则两个函数的定义域不同，不是同一函数；

对于D,y=J(x-1)2小-1|和y=x-l的对应关系不同,故不是同一函数.

故选：A.

题型三求函数的定义域

【例3】函数“力二反二+3的定义域为()

72

A.{x|x>§且xwl}B.{x|x<］或x>D

22

C.{x|-<x<l}D.{x|xN§且"1}

【答案】D

f3x—2>()o

【解析】由题得*_］为且X".

2

所以函数的定义域为3x2；且XH1}故选：D

【变式3-1】函数），=蒋M+（2x-l）”的定义域为（）

5/3-%

A.FTB.忤+8）c.EM别

>.（，（H别

【答案】c

【解析】要使函数丫=富+（2、-1）'>有意义，

则有]:::，解得》<3且"；，

[NX-1声U乙

所以其定义域为（7，；卜仁，3）.故选：C.

【变式3-2】已知函数〃x+l）的定义域为U，2],则/（-2x+3）的定义域为（）

A.[1,21B.[0i]C.[-U1D.[pl]

【答案】B

【解析】因为函数/（x+l）的定义域为U，2],

所以1MXW2,贝！J24X+1W3,

所以24-2X+343,解得，

所以八-2x+3）的定义域为[0,g],故选：B

【变式3-3]已知函数.v=/（x）的定义域为1-2,3],则函数了=*』的定义域为

x+1

A.[--3]C.[-3,7]

D.[-3,T)5T,7]

【答案】B

【解析】由题意得：-2<2x+l<3,解得：V<x<l,

由x+lwO,解得：x^-l,

故函数的定义域是卜,故选：B.

【变式3-4】函数八）=而五71的定义域为??则实数〃?的取值范围是；）

A.（0,1）B.（-oo,-1]C.[1,+oo）D.（…，

-1）

【答案】B

【解析】〃龙）的定义域是R,则-萩-2X+1Z0恒成立，

即〃苏+2X-140颉立,则优;，解得〃叱！

所以实数，”的取值范围为（—].故选：B.

2r-3

【变式3-5]若函数/"）=/,।的定义域为R,则实数。的取值范围是

7ax4-ax+l

【答案】。4）

【解析】/（X）的定义域是R,则加+以+1>0恒成立，

4=0时，加+办+]=1>0恒成立，

"0时，则4a<0,解得。<"4,

综上,0<a<4.

故答案为:[0，4）.

题型四求函数的解析式

【例4】已知函数“X）是一次函数，且/[/⑺-旬=5恒成立，则/（2）=（）

A.1B.3C.7D.9

【答案】D

【解析】因为函数“X）是一次函数，且.f[f（x）-4x]=5恒成立，

令/(x)-4x=f,蛆]"r)=4x+/,

所以/«)=4，+r=5,解得f=l,

所以/@)=4x+l,/⑵=2x4+l=9,故选：D

【变式4-1】已知二次函数〃x)满足〃2x+l)=4x2-6x+5,求〃x)的解析式；

【答案】f(x)=x2—5x+9

【解析】设二次函数/(x)=a^+bx+c(a，O),

贝f(2x+l)=a(2x+l)2+8(2x+l)+c

=4加+(4a+2Z?)x+(a+b+c)=4%2-6X+5F

故4々=4,4〃+28=-6,a+Z?+c=5,解彳导a=l,b=—5,c=9,

故/(x)=f-5x+9.

【变式4-2]若函数/[g(x)]=6x+3,且g(x)=2x+l,则/(力等于()

A.12x+9B.6x+lC.3D.3x

【答案】D

【解析】令g(x)=2x+l=J则x=-

.-./(Z)=6x^+3=3r,即〃x)=3x故选:D.

【变式4-3】设函数/(l+』=2x+l,则的表达式为()

A.一)B.苦(用)C.E(x.)

D.音(…)

【答案】B

【解析】令"1+4个1),则可得x=/7a।1)

所以")=义+1=/训，所以"Ng)，故选：B

【变式4-4］若对任意实数x,均有/(x)-2/(r)=9x+2,求/(x).

【答案】3x-2.

【解析】利用方程组法求解即可；

/(x)-2/(-x)=9x+2(1)

.\/(-x)-2/(x)=9(-x)+2(2)

由⑴+2x(2)得-3/(x)=-9x+6,

/(x)=3x-2(xe/?).

故答案为：3x-2.

【变式4-5】设函数“X)是R-R的函数，满足对一切xeR,都有

/(x)+V(2-x)=2,贝！J/(x)的解析式为〃x)=.

【答案】1一产1

l,x=1

【解析】由/(x)+V(2-x)=2，得“2-x)+(2-x)"x)=2,

将/(x)和“2-X)看成两个未知数,可解得了(x)=F(*l),

1-X

当x=l时，〃2-1)+(2-1)〃1)=2,解得/(1)=1,

综上,/(x)=jl-x,'

1=1.

.2-,xw1

故答案为：,1-工.

l,x=l

题型五定义法证明函数的单调性

【例5】已知函数/(力=底，判断并证明“力在区间［-2,2］上的单调性.

X+o

【答案】单调递增，证明见解析

【解析】/(X)在区间［-2,2］上单调递增，理由如下：

任取4,&e［-2,2］,且占，

X|-1x?-1_（3-1乂x；+8）-（々-1乂x；+8）_（a-々）（3+*2+8-占々）

/（Xl）-/（^2）=

x；+8x；+8（x；+8）（x；+8）（X；+8）（X；+8）

因为-24%＜々42,

所以…＜。，-4＜%1+%2＜4,-4＜x1x2＜4,

所以玉+七一玉工2＞-8

所以不4-x24-8-x1x2＞0,

所以“百）-〃可＜0,即/（%）＜“吃），

所以函数“X）在区间［-2,2］上单调递增.

【变式5-1】已知函数小）=4口，试判断“X）在区间J收）上的单调性，并证

明你的结论.

【答案】增函数，证明见解析

【解析】“X）在区间［1收）上是增函数.证明如下：

设",天41,田），且不＜当，

则/⑷-/（%）=67i-直二I“一々

-1+J%2""I'

因为w［i,+oo）,所以再,北二INO,

又4＜三，所以占-々＜。，且6^与嘉二i不可能同时为0,

所以g+Qi＞o,故〃3）-/仇）＜0,

故“X）在区间口，内）上是增函数.

【变式5-2】证明：函数〃x）=2d」在区间（0,+8）上是增函数.

X

【答案】证明见解析.

【解析】设为，々£（0，+8）,且不＜%,

而/（X）-f（x2）=（2%：--一=（2x：-2石）+；—-

=2（X）-%2）储+中2+%2）+~~~~

|大|3-X?＜X；+%/+芍＞0,---＞0，则（西-W+Xj%2+考）--<-0-

卒2.

所以/6）-/（々）＜0,即/（芭）＜/。2）,

所以函数fM=2/」在区间（0,+8）上是增函数.

X

【变式5-3］已知函数“X）对任意的。，都有/（。+匕）=〃。）+/。）-1,且

当x＞0时，”力1,判断并证明了（力的单调性；

【答案】函数〃x）在R上为增函数；（2），"€（-10.

【解析】设芭，&是R上任意两个不等的实数，且占＜当，则心=々-玉＞0,

八）'=/（工2）-，（玉）=，［（马一玉）+芭］一/（玉）=/（々一天）+/（%）一1一/（玉）=/（©）-1

f

由已知条件当x＞0时，/（力＞1,

所以“以）＞1,即约＞0,

所以函数“X）在R上为增函数；

题型六利用函数的单调性求参数

【例6】若函数小）=疝不在区间内单调递减，则实数”的取值范围是

【答案】［T0）

【解析】由题意知，第一步函数单调递减，由复合函数同增异减可知“＜。，

第二步考虑函数定义域，ax+l＞0在恒成立，

。fa⑴＜0对得,,到一行＜。

故答案为：T«"0.

【变式6-1］若/。）=竺斗在区间（1次）上是增函数，则实数。的取值范围是______

X—1

【答案】«<-'

【解析】函数/（x）W=g）：+Ja+总,

x-1x-1x-1

由复合函数的增减性可知，若g（x）=Wj在（1,3）为增函数,

X—I

「.a+lvOta<-lf

【变式6-2］（多选）函数〃幻=1+（2.-1）工+3在（-2,2）上为单调函数,则实数a

的取值范围可以是（）

A.18，-|］B.1曲C.卜耨D•加

【答案】AD

【解析】二次函数/。）=炉+（2”1口+3图象对称轴为：x=,

因函数/⑴在（-2,2）上为单调函数，于是有：

当函数/⑴在（-2⑵上递减时，-智士2,解得,

当函数/⑶在（-2,2）上递增时，-写4-2,解得心|,

35

所以实数。的取值范围是：。或丘（故选：AD

12c

—X—mx,x>2

【变式6-3］已知函数/。）=对于V%，ww[l,+oo）且％手x?,都有

m,C

---,1<x<2

x

（占-々）"（占）-/（々）］>0,则"，的取值范围为.

【答案】（呜

【解析】由题意可知，/（X）在U，包）上为单调增函数,

117

要使尸-一在口，2）上单调递增,则-%<0,即”。,

X

要使/⑸二去②-如在⑵+⑹上单调递增，则mW2,

同时;x22-2〃?N-gm,解得：m<^,

4

综上可知：0<m<~.

题型七求函数的最值或值域

【例7】求函数产出，（"可的最大值与最小值.

【答案】最大值9,最小值4

【解析】函数kx+：,根据对勾函数的性质可得：

产出在图上单调递减，［2,4］上单调递增.

当乂=2时取到最小值4.

1117

又当”;时,J=-+8=y，当x=4时，"4+1=5

所以当时1取到最大值—1色7，

所以函数y=x+3的最大值?，最小值4

x2

【变式7-1】y=3+x-Q7的值域是（）

A.1-8,（B.（-8,gC.D.|,+℃）

【答案】A

【解析】因为丁=3+x-Jl-2x,

所以1-2壮0,.”<3,又y=3+x-Q7在时单调递增，

所以当时，函数取得最大值为g,所以值域是,故选：A.

【变式7-2］函数/。）=三百的值域（）

【答案】D

.2112..八11

【解析】依题意，2x+§-J§m+1)-石=211]

3x+l3A-+13X+1333x4-1

其中y=*,*j的值域为(fo)u(oz),

故函数/a)的值域为卜,mi，+,,故选D.

【变式7-3］若函数〃x）的值域是［白］,则函数％）=小）+前的值域是）

1〃「「〈-

AA♦FWJBn.-101C.5101nD.卜5，5_

【答案】B

【解析】令/（x）=Jy=，+；,则，e［；，3.

当UJ时，y=，+；单调递减，

当问1,3］时，y=f+；单调递增，

又当时，y=|,当r=l时，尸2,当f=3时，y=y,

所以函数尸（X）的值域为［吟］，故选：B.

【变式7-4】已知min{a,b}={：：：：,设/（x）=min{x—2,-Y+4X—2}，则函数小）的

最大值是（）

A.-2B.1C.2D.3

【答案】B

【解析】当x—24—/+4x—2,即xw［0,3］时，/（x）=x-2在xe［0,3］上单调递增，

所以/（X）M=/（3）=3-2=1,

当X-2>—V+4X-2,即xe（9,0）U（3,y）时，

〃犬）=-/+4》_2=-（》-2）2+2在0）上单调递增,在（3,+<»）上单调

递减，

因为〃0)=-2，八3)=1,所以〃x)<〃3)=l;

综上：函数/⑴的最大值为1,故选：B

题型八函数奇偶性的判断

【例8］判断下列函数的奇偶性.

(1)小)=八|；(2)f(x)=(x-l)庐；

AV1-X

—2%,x<—1

(3)小)=>/^7+7^；(4)/(%)=-2,-1<X<I.

2%,x>1

【答案】(1)奇函数；(2)既不是奇函数也不是偶函数

(3)既是奇函数又是偶函数；(4)偶函数

【解析】(।)/(x)的定义域是(一，()2(0,小)，关于原点对称，

又〃­)=(-力匚4=-，3-口=-/。)，所以“X)是奇函数.

—X\X)

(2)因为/(引的定义域为［TI),不关于原点对称，

所以既不是奇函数也不是偶函数.

(3)因为/(x)的定义域为卜石,劣｝,所以/(x)=0,

则〃x)既是奇函数又是偶函数.

(4)方法一(定义法)因为函数〃x)的定义域为R,

所以函数的定义域关于原点对称.

①当x>1时，T<—1,所以=2)x(r)=2x="x);

②当一14x5时，〃力=2;

③当x<T时，-x>l,所以f(-x)=2x(_x)=-2x=.f(x).

综上，可知函数/")为偶函数.

方法二(图象法)作出函数“X)的图象，如图所示，易知函数

为偶函数,

【变式8-1】函数〃力=篇三的图象关于________对称.

【答案】原点

【解析】要使函数有意义，则鼠3…。，得J。叫I，

解得-2C<0或0<x«2,则定义域关于原点对称.

此时|x+3|=x+3,贝！J函数==约

仔十q—JX+JX

••,/(一力=_=_〃x),

二函数f(x)是奇函数，图象关于原点对称

故答案为：原点

［变式8-2］判断/(x)=1x+aI-1x-aI(aeR)的奇偶性.

【答案】当"0时，f(x)既是奇函数，又是偶函数；当"0时，/(X)是奇函数

【解析】因为xeR,所以定义域关于原点对称,

当。=0时,则/(-=lx|-|x|=0,所以f(x)既是奇函数，又是偶函数；

当440时，^^f(-x)=\-x+a\-\-x-a\4x-a\-\x+a\=-f{x}(

所以/⑸是奇函数.

综上所述，当4=0时，/⑴既是奇函数，又是偶函数；当“H0时，/(X)

是奇函数.

・

【变式8-3］设函数，。)=后2，则下列函数中为奇函数的是()

A./(x)+lB./(X+I)c.fW-iD./U-l)

【答案】D

【解析】因为〃x)=后.

选项A：〃X)+1=^7T+1,定义域为(e，-1)5-1，+8)，定义域不对称，

故A错.

77

选项B：/(x+1)^-，定义域为S，-2)U(-2,+8)，定义域不对

X4-14-1X+2

称，故B错.

选项c：/(x)-i=FR-i,定义域为(9,-1)5-1，+8)，定义域不对称，

故C错.

77

选项D：/(x-l)=——,定义域为(F,O)U(O,+8),

X—1~rIX

定义域对称，为奇函数.故D正确.故选：D.

【变式8-4］设“X)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是()

A.是奇函数B./(X)|/(T)|是奇函数

C.人力-/(-X)是奇函数D.f(x)+〃T)是奇函数

【答案】C

【解析】A选项:设尸(x)=/(x)/(-x),F(-x)=/(-x)/(x)=F(x),

则x)为偶函数，A错误；

B选项：设G(x)=f(x)|〃-x)|,则G(-x)=〃-x)|/(x)|,G⑺与G(-x)关

系不定，

即不确定/(x)|f(r)|的奇偶性，B错误；

C选项：设M(X)=C(X)T(T),则M(T)=〃T)-〃X)=-M(X),

则/(力-/(-x)为奇函数，C正确；

D选项：设N(X)="X)+”T),则N(T)"(-X)+“X)=N(X),

则〃x)+/(r)为偶函数,D错误.故选:C.

题型九利用函数的奇偶性求值或求参

【例9】若函数〃X)=x3-加+以在国,2+口上为奇函数，则”+6=.

【答案】-J

【解析】因为函数/(幻=--瓜2+如在［342+0上为奇函数，

所以3a+2+a=0，得a=-g,

又/(r)=—/(x),BP(-x)3-b(-x)2-1(-x)=+te2+|x,即26/=0恒成

立，

所以b=0,所以。+匕=-；.

故答案为：4-

【变式9-1］若函数〃x)=3+；),-a)为奇函数，则”()

A.71B.2［C.3-D.1

234

【答案】B

【解析】根据题意得〃-力=(3+2］(--。)=(-3》+；)(》+。),

-5x5x

因为函数因x)=°x+；?x-")为奇函数,

所以〃-x)=_/(x),即㈠x+?(.+a)=_(3x+?(i),整理得：

JXJX

(6(i-4)x=0,

2

所以&-4=0,解彳导。=:.故选：B

【变式9-2］已知函数/(x)=(af/+2x2-1是偶函数，则”

【答案】1

【解析】函数/(x)=(。-1)丁+2/一1是偶函数，

贝11/(一1)=/(1),即一(。一1)+2—1=。一1+2—1,解之得.=1

经检验符合题意.

故答案为：1

【变式9-3］已知函数/(x)是定义在R上的奇函数，当》>。时，〃x)=x(x+D,

那么/(T)等于()

A.-2B.-1C.0D.2

【答案】A

【解析】因为犬>0时，/(x)=x(x+D,可得〃l)=lx2=2,

又因为函数/(x)是定义在R上的奇函数，可得/(-1)=-〃1)=-2.故选：

A.

【变式9-4】设〃x)是定义域为(-2,2)的奇函数，当0〃<2时，/(x)=—^+2x+w

(加为常数)，则/(-)=()

A--23B,-3Cc,2UD,—2

【答案】c

【解析】因为是定义域为(-2,2)的奇函数，

所以“0)=0,因为当04x<2时,"x)=\+2x+〃？,

x—Z.

所以〃。)=-；+"，=0,解得“=；/

所以当04x<2时，f(x)=l^+2x+；,

X—ZZ

所以6T)=_/0)=_(T+2+卜］故选：C.

【变式9-5］设函数“x)=g?匚在区间［-2,2］上的最大值为例，最小值为N,

则(M+N-lL的值为.

【答案】1

【解析】由题意知，小)=?詈+1(xe［-2,2］),

设g(x)=^^,贝1」八幻=8。)+1,

X+1

因为8(-》)=长三=招("，所以g(x)为奇函数,

g(x)在区间［-2,2］上的最大值与最小值的和为0,

故〃+N=2,所以(M+N-DMEZ-I)2022：1.

题型十利用函数的奇偶性求解析式

【例1。】设“X)为奇函数，且当'NO时J(x)=x2+x则当x<0时,/W=()

A.x2+xB.-x2+xC.x2-xD.-x2-x

【答案】B

【解析】设X<0,则T>0,所以”-X)=x2-X,

又/(x)为奇函数，所以“X)=-/(-X)=-(x2-X)=-x2+x,

所以当x<0时，"x)=r2+x.故选：B.

【变式10-1】函数/(X)为偶函数，当彳€(。，问时，/(X)=2X2-7X，则当X«9,0)

时，/(》)=()

A./(X)=-2X2+7XB./(X)=-2X2-7XC./(x)=2x2-7x

D./(X)=2X2+7X

【答案】D

【解析】设xe(y，0),贝U—xw(O,M),贝(J/(-X)=2(-X)2-7(-X)=2/+7X,

因为函数为偶函数，

则当xw(FO)时，〃x)=〃-x)=2x-7x故选：D.

2

【变式10-2］已知〃x)是定义在R上的奇函数，且当X20时lf^=x+ax+a+},

则当x<0时，”》)=()

A.x2-xB.x2+xC.-x2+xD.-x2-x

【答案】D

【解析】因为〃x)是定义在R上的奇函数，所以"0)=0,

即〃0)=a+l=0,解得q=-i,

当xNO时，/(%)=x2-x,当x<0时，-x>0,

贝11/(-X)=(-X)2+X=x2+X,

因为/W是奇函数，

所以“x)=-〃-力=-/-》.故选：D.

【变式10-3］若定义在R上的偶函数“X)和奇函数g(x)满足/(x)+g(x)=e'(e

为无理数，e=2.71828…)，贝！］g(x)=()

A.e'-e-B*(e'+ey)c.；(e-e,)D彳.-r)

【答案】D

【解析】由〃x)+g(x)=e,可得/(-x)+g(-»=铲，

根据/3与8(》)的奇偶性可得/(司+8(-力=/(力一(力=b，

故-g(x)-(x)+g(x)］=b-e*.

整理得-2g(x)=eT-e',即g(x)=；(e-ef).故选：D.

题型十一利用单调性奇偶性解不等式

【例11］定义在［-2,2］上的偶函数/(x)在区间［0,2］上单调递减若八1一间间，

则实数机的取值范围是()

Am<--Btn>—CD—<m<2

222,2

【答案】C

【解析】；是偶函数,

•■-/W=/(-x)=/(W),

故/(1-m)</(m)可变形为/(|1-4</(H),

•••/（X）在区间［0,2］上单调递减，

-2<1-/H<2-1</n<3

故,-2<m<2=><-2<m<2^>-］<m<g.故选：C.

【变式11-1】若偶函数“X)在似+⑹上单调递减，且/⑴=0,则不等式

/(丁-3x+3)20的解集是_________.

【答案】[1，2]

【解析】因为偶函数“X)在[0,+动上单调递减，所以/(X)在(y,o)上单调递增，

又〃1)=0,所以1)=〃1)=。，所以当-I。。时〃6对,

则不等式/任-3»3)20等价于_14£_3X+341,解得1W2,

所以原不等式的解集为口，2].

故答案为：[,2]

【变式11-2】函数/(X)是定义在㈠』)上的奇函数目单调递减，若

〃2_4)+/(4_42)<0,则〃的取值范围是()

A.(75,3)B.(-8,石)52,+oo)C.(G,2)D.(-3,2)

【答案】c

【解析】函数/㈤是定义在(T，l)上的奇函数且单调递减，

/(2-a)+/(4-a2)<0可化为f(2-a)<f(a2-4)

-1<2-a<1

则一,解之得G<"2故选：C

2-。>/-4

【变式11-3】奇函数/(x+2)是定义在(-3,-1)上的减函数，若/(祖_1)+“3-2〃?)<0,

则实数用的取值范围为.

【答案】(1，2)

【解析】由题意知，函数〃x+2)的定义域为(-3,-1),

所以函数f(x)的定义域为(Tl),

f_]<机_]<1

所以解得

又奇函数〃x+2)是(T-1)上的减函数，

所以."x)是㈠」)上的奇函数，且在(T1)上单调递减.

由〃川—1)+〃3—2间<(),得〃加一1)<—/(3-2向，

所以/(〃1)</(2加-3),

所以“一1>2〃?一3,解得加<2.综上,\<m<2.

故答案为：(L2).

【变式11-4】已知函数/(X)是定义在R上的偶函数若“产闫0收)目占f,

都有二'伉)<0成立,则不等式时㈣-(2吁1)/(2加-1)>0的解集为

Xx2

()

A.(-oo,-l)B.(fl)C.(1，+°°)D.(-!.+<»)

【答案】c

【解析】令g(x)=4(x),因为函数“X)是定义在R上的偶函数，

所以g(-x)=-"(-X)=-xf(%)=-g(x),即g(x)是定义在R上奇函

数.

又“，x2e[0,-^),且，都有“&)--㈤=乳止乳X)<。成

X]-Xy玉一占

立，

所以g(x)在[0，+8)上单调递减，

又g(x)是定义在R上奇函数，所以g(x)在R上单调递减,

所以时(加)-(2加-1)/(2加-l)=g(m)-g(2〃Ll)>(),即g(m)>g(2/nT),

所以m<2m-1,解得心「故A,B,D错误.故选：C.

题型十二利用单调性奇偶性比较大小

【例12]定义在R上的偶函数/。)在(。,+⑹上是减函数，则下列判断正确的是

（）

A./图B.也）<《-乐/（|）

c.噌卜噌WW）D-（90卜尼）

【答案】A

【解析】因为/（X）为偶函数，所以/（［）=吗，〃-|）=吗），

113

又W<5<5,且fa）在（0，内）上是减函数，

所以呜》故选：A

【变式12-1］已知定义在R上的函数J。）的图象是连续不断的，且满足以下条

件：①VxeR,/（-x）=/（x）:②”,々G（0,E），当x产々时,***）*/（上）>0记

%-X2

«=/0）,。=竽，。=平，则（）

A.c<a<bB.a<b<cC.c<b<aD,b<c<a

【答案】B

【解析】依题意，Vxpx2e（0,+oo）,玉片电，**'）*小）>0,

X1—x2

fM/（X2）,zx

即%x2,所以函数△^在（0，x）上单调递增.