新人教版八年级上册初中数学全册课前预习单

第十一章三角形

11.1与三角形有关的线段

【预习速填】

1.三角形的定义及相关概念.

理解这个知识点要注意以下两点：一是判定一个图形是不是三角形要掌握以下三

个特征：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次连接.二是三角形的基本

要素及表示方法：①三个顶点，三条边，三个内角；②三角形用符号“（）”

表示：③三角形的边可以用两个顶点表示，也可以用一个小写字母表示.

2.三角形按边分类.

三角形可分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等腰三角形又可分为底边和

腰不相等的等腰三角形和等边三角形.掌握它要理解：等边三角形是特殊的等腰三

角形，等边三角形（）是等腰三角形，但是等腰三角形（）是等边三

角形.（填“一定”或“不一定”）

3.三角形的三边关系.

要理解以下两点：一是“三角形两边的和第三边，三角形两边的差（）第三

边，，中，，三角形两边，，是指三角形的任意两边，而不是特定的；二是根据三角形的三

边关系可以解决以下问题：①判断三条线段能否组成三角形；②已知三角形的两

边，求第三边的范围（或取值）.

4.三角形的中线（如图2,A2D2是△A2B2c2的边B2c2上的中线）.

要掌握以下两点：①三角形的中线是一条线段，一个三角形的中线有三条，且中

线及中线的交点都在三角形内部；②三角形的中线把对边分成相等的两部分，同

时也把三角形的分成相等的两部分，如图2中，B2D2=_=^B2c2,SAA2B2D2=

1

-2---

2

图22

5.三角形的角平分线（如图3,A3D3是△A3B3c3的角平分线）.

6.要掌握以下两点①三角形的角平分线是一条线段，一个三角形的角平分线有三

条，且角平分线及角平分线的交点都在三角形内部；②三角形的角平分线把角分

成相等的两部分如图3中，NB3A3D3=_=_。

6.三角形的稳定性，要注意以下三点:

（1）三角形的三边长度确定以后，它的形状和大小就被确定了，三角形的这种

特征叫做三角形的稳定性.而四边形的四边长度确定以后，它的形状和大小不能确

定，故四边形。—稳定性；（2）要判断某图形是否具有稳定性，就是看它的基

本组成部分是否是若是，则具有稳定性，反之则不具有稳定性；（3）三角

形的稳定性与四边形的不稳定性都有着广泛的应用.例如上图中空调挂机的固定方

式就运用了三角形的稳定性.

口一空调挂机

__]

三角形支架

【自我检测】

1.下列说法正确的是（）

A.连接任意三点组成的图形是三角形

B.三角形按边分类可分为三边都不相等的三角形、等腰三角形和等边三角形

C.等边三角形一定是等腰三角形

D以上说法都不正确

2.如图，画△ABC的一边上的高，下列画法正确的是（）

3.若AD是△ABC的角平分线（D在线段BC上），则NBAD=—=|—.若AE是

△ABC的中线（E在线段BC上）则BE=—=_BC,5.SAABC=_SAABE=

SAACE..

【解析】由角平分线的定义可知，ZBAD=ZCAD=-ZBAC,由中线的定义及性

2

质可知，BE=CE=—BC,且SAABC=2SAABE=2SAACE.

2

4.如图，木工师傅做完门框后，为了防止变形，常常像图中所示那样斜钉两根木条,

这样做的数学道理是.

口一空调挂机

___I

三角形支架

5.房子的屋顶常用三角结构，从数学角度来看，是应用了而活动挂架则应用了

6.一个等腰三角形的周长为20cm,其中一边5cm,求其他两边长.

参考答案

【预习速填】

1.A

2.一定，不一定

3.大于，小于

4.面积，C2D2,SAA2C2D2>SAA2B2C2

5.NC3A3D3,NB3A3c3

6.不具有，三角形

【自我检测】

1.【解析】连接任意不在同一条直线上的三个点才是三角形；三角形按变分类可

分为三边都不相等的三角形和等腰三角形，等边三角形属于等腰三角形；因此C

正确。

【答案】c

2.【解析】A选项中NC是钝角，因此需要作辅助线延长BC；B选项中同理需要

作辅助线延长CB；C选项正确；D选项中应做AD垂直于BC的延长线。

【答案】C

3.【解析】由角平分线的定义可知，ZBAD=ZCAD=izBAC,由中线的定义及性

2

质可知，BE=CE=—BC,且SAABC=2SAABE=2S^ACE.

2

【答案】ZCAD,ZBAC,CE,2,2

4.【解析】三角形具有稳定性。

【答案】三角形具有稳定性

5•【解析】三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性。

【答案】三角形的稳定性，四边形的不稳定性

6.【解析】当长5cm的边为腰时，则底边长为20-5*2=10(cm),5+5=10,不符

合三角

形两边的和大于第三边，不能围成三角形；当长5cm的边为底时，则腰为

5(cm)其他两边长为7.5cm,7.5cm

第十二章三角形

11.2与三角形有关的角

【预习速填】

7.三角形内角和定理理解它要注意以下两点：①任何一个三角形的三个内角的都

是；②三角形内角和定理的证明，是通过作把三角形的内角转化到一

个平角中，从而得出结论.

8.直角三角形的性质与判定.理解它要掌握以下三点:①“直角三角形的两个锐角

互余”及“有两个角互余的三角形是直角三角形”都可以利用推出；

②在直角三角形中，若已知两个锐角之间的数量关系,可以结合求出每个

锐角的大小，而不必再使用三角形内角和定理求解;③在判定一个三角形是直角三

角形时，除利用直角三角形的定义外,还可找出有两个锐角,从而直接判定.

3.三角形的外角.掌握这个知识点要理解以下两点:①判定一个角是三角形的外角

的三个条件:一是顶点是三角形的一个顶点,二是一边是三角形的一条边,三是另

一边是三角形的:②三角形的一个内角跟与它相邻的外另一边是三角

形的角是一对.

4.三角形内角和定理的推论(三角形外角的性质).理解时注意掌握以下两点:①三

角形外角的性质反映了三角形的外角跟与它不相邻的内角之间的数量关系，利用

它既可以求相关的角，又可以证明一个角等于另两个角的和或差,还可以把它作为

中间量证明两个角相等等.另外，由此性质可知,三角形的外角—任何一个与它

不相邻的内角;②三角形的三个外角的和是

【自我检测】

L如图,⑴在AABC中，NB=50°,NC的外角等于100°，则NA=(2)如图所

zjs,/a=.

2.在aABC中，NB=NA+20°,NC=NB+20°求aABC各内角的度数.

3.如图,AB〃CD,MG、NH分别平分NAMN、NCNM,交点为K,求证:△MNK为直角三角

形.

4.已知，如图，在aABC中,AD平分外角NEAC,ZB=ZC,求证AD〃BC.

F.

参考答案

【预习速填】

1.【答案】180°,平行线

2.【答案】三角形内角和定理，两锐角互余，互余

3.【答案】一条边的延长线，邻补角

4.【答案】大于，360°

【自我检测】

1•【解析】(1)由外角的性质可知，100°=ZA+ZB,所以NA=50°

(2)由图可知，Za=35°+70°=105°(对顶角相对，外角的性质)

【填空个数】2

【答案】50°,105°

2.【解析】ZB=ZA+20°,ZC=ZB+20°，/C=NA+40°在AABC中，ZA+Z

C=180°,

ZA+ZA+200+ZA+400=180°,ZA=40°.

3.【解析】MG、NH分别平分NAMN、ZCNM,

NKMN』/AMN,NKNM』NCNM.AB〃CD,ZAMN+ZCNM=180°

/.ZKMN+ZKNM=1(ZAMN+ZCNM)=90°

.•.△MNK为直角三角形

4.【解析】VAD¥^ZEAC,ZEAD=ZCAD.

又•.•NEAC=NB+NC,NB=NC,二NCAD=NC,，AD〃BC

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第十三章三角形

11.3多边形及其内角和

【预习速填】

9.多边形的定义及相关概念要理解以下四点:一是判断一个图形是多边形要同时

满足三个条件:①组成多边形的线段—同一条直线上;②所有线段首尾顺次相接；

③要构成—图形.二是多边形组成的角叫做它的内角多边形的边与它的

组成的角叫做多边形的外角.三是n边形有条对角线,从同一个顶点出发

的对角线有条.四是一个多边形不是凸多边形就是凹多边形.

10.多边形的内角和掌握多边形的内角和要注意以下三点:①多边形的内角和

与其边数有关,多边形内角和公式:n边形内角和等于；②多边形内角和公式

的证明主要借助于，把多边形问题转化为问题;③多边形内角和公

式的应用：已知多边形的边数求其内角和，已知多边形的内角和求其边数.

3.多边形的外角和定理.掌握多边形的外角和定理要注意以下三点:①多边形的外

角和与其边数无关,是一个定值,为；②正n边形的每个内角都相等,所以它

的每个外角都相等,都等于；③多边形的外角和定理的应用：已知各外角都相

等及其度数,求多边形边数；已知多边形边数及各外角都相等,求各外角的度数.

【自我检测】

1.九边形的对角线有（）

A.25条B.31条C.27条D.30条

2.下列图形中，是正多边形的是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.长方形D.正方形

3.如果四边形有一个角是直角，另外三个角的度数之比为2:3:4,那么这三个内角

的度数分别为.

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4.一个多边形的对角线的条数等于它的边数的5倍,求这个多边数.

5.若一个多边形的内角和与外角和的比为9:2,求这个多边形的边数.

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参考答案

【预习速填】

1.【答案】不在，平面封闭，相邻两边，邻边的延长线，*且，n-3

2.【答案】（n-2）X180°,三角形内角和定理，三角形

3.【答案】360°,n

【自我检测】

1.【解析】n边形的对角线有此二3条，因此9边形的对角线有27条。

2

【答案】C

2.【解析】直角三角形不是正三角形，等边三角形才是正三角形；等腰三角形也

不一定是正三角形；长方形不是正四边形，正方形是正四边形。

【答案】D

3.【解析】设另外三个角分别是2k,3k,4k,则四边形的内角和为360°,即

90+2左+3V+4左=360,k=30,因此另外三个内角分别为60°,90°,120°0

【答案】60°,90°,120°

4.【解析】设这个多边形的边数为n,则有若？=5n,解得n=13.

这个多边形的边数为13.

5•【解析】设这个多边形的边数为n,则有空|泮弓,解得n=ll

3602

这个多边形的边数为11.

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第十二章全等三角形

12.1全等三角形

【预习速填】

第十四章全等形的概念与全等三角形的定义、表示方法要掌握以下三点:一是两

个图形是否全等只与这两个图形的形状和大小有关,与图形所在的位置无关,故平

移、翻折、旋转后所得的图形与原图形；二是记两个三角形全等时,通常把

表示对应顶点的字母写在对应的位置上,字母顺序不能随意书写;三是全等三角形

的对应元素包括对应顶点、对应边和对应角，可以根据字母顺序、图形位置、图

形大小或特征来确定对应边和对应角.

2.全等三角形的性质.要掌握以下两点:一是两个全等三角形中，对应边、对应角，

对应中线、对应高、对应角平分线、对应周长、对应面积等；二是应用全等

三角形的性质时,关键是要确定对应边或对应角.

【自我检测】

1.如图，若AABC四△DEF,回答下列问题:

(1)若aABC的周长为17cm,BC=6cm,DE=5cm,则DF=cm:

(2)若NA=65°，/DFE=40°,则NB=

2.如图，△AFBgAAEC,写出这两个全等三角形的对应顶点、对应边、对应角.

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参考答案

【预习速填】

1.【答案】全等

2.【答案】相等

【自我检测】

1•【解析】(1)由全等三角形的性质可知，三角形DEF的周长为17cm,因此

DF=6cm

(2)由全等可知,ZACB=ZDFE=40°,因此NB=180。-65°-40°=75°

【答案】6,750

2.【解析】对应顶点:点A与点A,点B与点C,点F与点E

对应边:AB与AC,BF与CE,AF与AE

对应角：NA与NA,ZAFB与NAEC,ZB与NC

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第十二章全等三角形

12.2三角形全等的判定

【预习速填】

第十五章用“边边边”判定三角形全等,要注意：（1）利用“边边边”（或记为来证

三角形全等时，要结合图形，找准对应边，同时要找出隐含的边，如公共边、中线、中

角平分线，以及等线段或同线段的和或差相等;（2）_分别相等判定三角形全等的结

论,还可以得到用直尺和圆规作一个角等于已知角的方法;（3）证明三角形全等的书

写步骤:①准备条件:证全等时需要用的间接条件要先证好;②三角形全等书写的三

个步骤:a.写出在哪两个三角形中;b.摆出的三个条件用大括号括起来;c写出全等结

论.

2.用“边角边”判定三角形全等要注意:①如果两个三角形有两边和一个角分别对应

相等，那么这两个三角形不一定全等.“两边和一角分别对应相等”有两种情况是两边

及其对应_相等,此时两个三角形全等（记为“边角边，，或二是两边和其中一边的

对角对应相等，此时两个三角形不一定全等;②运用“边角边''证明三角形全等的书写

步骤:a.准备条件:证全等时需要用的间接条件要先证好;b.三角形全等书写三个步骤:

先写出在哪两个三角形中，再按边、角、边的顺序摆出三个条件并用大括号括起来,

最后写出全等结论.

3.用“角边角”判定三角形全等两角和它们的—分别相等的两个三角形全等（可以简

写成“角边角"或要注意:“角边角”中的“边”是两个角的夹边;在书写两个三角

形全等的条件角边角时，一定要把夹边相等写在—，按角边角的顺序书写.

4.用“角角边”判定三角形全等.两角分别相等且其中一组等角的—相等的两个三角

形全等（可以简写成“角角边"或要注意:①用“角角边''判定两个三角形全等时，

相等的边必须是相等角的对边，即对应角的对边;②“角角边”可以看作是“角边角”的

推论:两个三角形中，若有两个角对应相等，由三角形的内角和等于180。可知第三个

角也对应相等，又有一组对应边相等，从而满足“角角边”的条件，可判定两个三角形

全等.

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5.用“斜边、直角边”判定直角三角形全等._和_分别相等的两个直角三角形全等

（可以简写成“斜边、直角边"或要注意:①直三角形是特殊的三角形,判断两

个直角三角形全等河以运用“SSS”,“SAS”“AS入',飞人$”,“印了9"111/'只对_三角

形适用，对一般三角形并不用，因此，在使用“HL”的过程中,要突出—这个条件.

【自我检测】

1下列条件能判定^ABC^ADEF的是（）

A.AB=DE,BC=EF,ZA=ZE

B.AB=DE,BC=EF,ZC=ZF

C./A=NE,AB=EF,NB=ND

D.ZA=ZD,AB=DE,ZB=ZE

2.如图,AB=DC,AF=DE,BE=CF,点B,E,F,C在同一直线上，求证:△ABF^ADCE.

3.如图，已知AB=DE,BC=EF,AF=DC,求证:NEFD=NBCA.

4.如图已知AB=AC,AD=AE,Zl=Z2,^iiE：AABD^AACE.

R

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5.如图在aABC和^ABD中,AC与BD相交于点E,AD=BC,ZDAB=ZCBA,

证:AC=BD.

6.］如图AD是^ABC的中线，过C、B分别作CFJ_AD,BE_LAD,垂足分别为F、

E.求证:BE=CF.

7.如图,AB=AC,点D、E分别在AC,AB±,AG±BD于G,AF±CE于F,且AG=AF.

求证:BD=CE.

8.如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度

DF相等，两个滑梯的倾斜角NABC和NDFE有什么关系?请说明理由.

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参考答案

【预习速填】

1.【答案】SSS,三边

2.【答案】夹角，SAS

3.【答案】夹边，ASA,中间

4.【答案】对边，AAS

5.【答案】斜边，一条直角边，HL,直角，直角三角形

【自我检测】

1•【解析】满足SSS或SAS或ASA或AAS定理即可。四个选项中只有D选项满

足，属于ASA定理。

【答案】D

2.【解析】••BE=CF,..BE+EF=CF+EF,即BF=CE,

(AB=DC

在^ABF-^ADCE中,AF=DE,•••△ABF怂△DCE(SSS)

(BF=CE

3.【解析】VAF=DC,:AF+FC=DC+FC,gpAC=DF.

(AB=DE

在^ABC和^DEF中BC=EF

(AC=DF

△ABC且Z\DEF(SSS)./.,ZEFD=ZBCA

4.【解析】VZ1=Z2,.\Z1+ZEAB=Z2+ZEAB,BPZDAB=ZEAC

'AB=AC

在^ABD和^ACE中,zDAB=zEAC

.AD=AE

.,.△ABD^AACE(SAS)

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,AD=BC

5.【解析】在^ABD与^BAC中,NDAB=zCBA

、AB=BA

/.△ABD之△BAC(SAS),，AC=BD.

6.【解析】：人口是△ABC的中线,，BD=CD.CFJ_AD,BE上

fz.BED=Z.CFD

AD,A.ZBED=CFD.it△BEDCFD中zBDE=zCDF

.BD=CD

:.ABED^ACFD(AAS),，BE=CF

7.【解析】VAG1BD,AF1CE,AZAGB=ZAFC=9O0,^

RtAAGB和RtAAFC中，点=^Z.RtAAGB^RtAAFC(HL),ZB=ZC,

IAB=AC

Z.B=ZC

在^ABD和aACE中,AB=AC

/BAD=Z.CAE

J△ABD也△ACE(ASA),・\BD=CE

8.【解析】NABC+NDFE=90。.理由:由题意知,NBAC=EDF=90。，

在RtAABC和RtADEF中空=

(BC=EF

.,.RtAABC^RtADEF(HL)

，ZACB=ZDFE,/.ZABC+ZDFE=ZABC+ZACB=90°.

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第十二章全等三角形

12.3角的平分线的性质

【预习速填】

1•角的平分线的作法.要注意以下两点:①用尺规作图法作一个角的平分线，实质是

运用“—”构造全等三角形，根据全等三角形的对应角_，找到平分一个角的射线;②

角的平分线是一条

2.角的平分线的性质.角的平分线上的点到角的两边的距离_要掌握以两点:①在运

用角的平分线的性质时要注意两个条件:一是点要在角的平分上，二是这一点到角

两边的距离是指这一点到角两边的—的长度;②角的平分线的性质常有以下应用：

作为证明两条线段相等的依据，为证三角形全准备条件.

3•角的平分线的判定角的内部到角的两边的距离相等的点在—证明一条射线是角

的平分线有两种方法:一是利用三角形全等证两角相等:二是利用到角两边距离相

等的点在角的平分线上.显然，方法二比方法一更简捷,在方法二判定一条射线是一

个角的平分线时一般分两步:一是找出或作出射线的一点到角两边的垂线段;二是

证明这两条线段相等.

4.三角形角平分线的交点.要掌握以下三点:①三角形三条角平分线交于一点，这点

到三边的距离②三角形两个外角的平分线也交于一点，这一点到边所在的直线

的距离」③三角形外角平分线的交点共有3个,所以到三角形三边所在直线的距离

相等点共有_个.

【自我检测】

1.用尺规作一个角的平分线，其作法的理论依据是全等三角形的判定定理（）

CAASBSSSASASD.ASA

2.到三角形三边距离相等的点是（）

A.三条高的交点

B.三条中线的交点

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C.三条角平分线的交点

D.不能确定

3.如图，点P在NAOB的平分线上,PEJLOA于E,PF±OB于F,若PE=3,PF=

4.命题“两角和其中一角的平分线对应相等的两个三角形全等”的已知是，结

论.

5.如图,BD=CD,BEJ_AC于E,CF1AB于F.求证:AD平分NBAC.

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参考答案

【预习速填】

1.【答案】SSS(或边边边)，相等，射线

2.【答案】相等，垂线段

3.【答案】角的平分线

4.【答案】相等,相等，

【自我检测】

1.【解析】用尺规作图作角的平分线时，确定了两条相等的边，以及一条公共

边，因此B正确。

【答案】B

2.【解析】三角形角平分线的交点到三边的距离相等。

【答案】C

3.【解析】角平分线上的点到角两边的距离相等。

【答案】3

4.【解析】由命题的概念可知，将之改写为：“如果在两个三角形中，两角和其中

一角的平分线对应相等，那么这两个三角形全等

【答案】是在两个三角形中，两角和其中角的平分线对应相等#,#是这两个三角形

全等

5.【解析】BE±AC,CF±AB,.ZDFB=ZDEC=90°,

(ZDFB=ZDEC

在RtADFB和RtADEC中zFDB=zEDC

.DB=DC

DFB^RtADEC(AAS),.".DF=DE,AD平分NBAC

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6.【解析】YAD是△ABC的中线,.*.BD=CD.CFJ_AD,BE上

(△BED=Z.CFD

AD,A.ZBED=CFD.^△BEDCFD中zBDE=zCDF

.BD=CD

...ABED^ACFD(AAS),...BE=CF

7.【解析】•.•AG，BD,AFJ_CE,；.NAGB=NAFC=90。,在

RSAGB和RtAAFC中，点=RtAAGB^RtAAFC(HL),ZB=ZC,

IAB=AC

ZB=Z.C

在^ABD和^ACE中,AB=AC

/BAD=zCAE

・・・AABD^AACE(ASA),/.BD=CE

8.【解析】NABC+NDFE=90。.理由:由题意知l,NBAC=EDF=90。，

在RtAABC和RtADEF中已?=

(BC=EF

/.RtAABC^RtADEF(HL)

ZACB=ZDFE,.\ZABC+ZDFE=ZABC+ZACB=90°.

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第十六章轴对称

13.1轴对称

【预习速填】

1.轴对称图形.理解轴对称图形的概念，要注意以下三点:①轴对称图形是一个整图

形;②将图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相_；③轴对图形的对称轴是

一条一它可以是一条，也可以有多条.

2.轴对称的定义.理解轴对称的概念要注意与轴对称图形区别,轴对称是相对于两个

图形而言的，把其中一个图形沿着某一条直线折叠，能够与另一个图形重合,则这两

个图形关于这条直线成

3.轴对称的性质.经过线段中点并且于—这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平

分线，由此得到轴对称的性质:如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何

一对对应点所连线段的—•反过来，如果两个图形的点所连线段分别被同一条直线

垂直平分，那么这两个图形关于这条直线成

4.线段的垂直平分线的性质与判定.线段的垂直平分线说明了垂直平分线与线段的

两种关系:①位置关系一垂直;②数量关系一平分线段的垂直平分线的性质是:线段

垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离—，其主要应用于证明线段相等;判

定是:与线段两个端点距离相等的点在这条线段的一上，其主要应用于证明某一个

点在线段的垂直平分线上.

【自我检测】

1.下面每组两个图形成轴对称的是（）

=1=1FF=IFFt

ABCD)

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2.下列图形中是轴对称图形的有.（填序号）

3.如图,线段AB、CD关于直线EF对称，则AC±_,BD±,A0=,B0,=

4.如图所示,直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线,它们交于P点,请问

PA和PC相等吗？为什么？

5.如图是一个轴对称图形,请找出对称轴的条数,并在图上画出其中的一条对称轴.

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参考答案

【预习速填】

1.【答案】重合，直线

2•【答案】轴对称

3.【答案】垂直，垂直平分线，轴对称

4.【答案】相等，垂直平分线

【自我检测】

1.【解析】由轴对称的概念可知C正确。

【答案】C

【答案】B

2.【解析】由轴对称的概念可知，这四个图像都是轴对称图形

【答案】⑴⑵⑶⑷

3.【解析】由轴对称的概念，EF是对称轴，求解。

【答案】EF,EF,CO,D0.

4.【解析】相等理由：连接PB,MN是AB的垂直平分线,PA=PB.同DP理,PC=PB,

，，PA=PC.

5.【解析】6条对称轴,画图如图

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第十七章轴对称

13.2画轴对称图形

【预习速填】

1轴对称变换的性质.轴对称变换是由一个平面图形得到它的轴对称图形，它描述的

是两个图形的位置、形状、大小的关系,即:①由一个平面图形可以得到它关于条

直线1成轴对称的图形,这个图形与原图形的—完全相同;②新图形上的任意

一点，都是原图形上某一点关于直线1的_；③连接任意一对对称点的线段被对称

轴—.

2.作关于直线对称的图形的方法画轴对称图形的依据是轴对称的性质，找特殊点对

作出轴对称图形极其重要,因为几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出

这些点关于对称轴的_,再_这些对称点,就可以得到原图形的轴对称图形;对于一

些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点(如线段端点)

的_，再连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形.

3.点关于坐标轴对称.实际动手操作，在平面直角坐标系中任意选取一些点,画出它

们分别关于x轴、y轴的对称点,观察每对对应点的坐标规律，总结:点(x,y)关于x轴

对称的点的坐标为—，即横坐标相同,纵坐标互为相反数;点(x,y)关于y轴对称的点

的坐标为即横坐标互为相反数，纵坐标相同;在记忆规律时，要注意,关于坐标轴对

称的点的坐标只有符号不同，其绝对值相同.

4.图形关于坐标轴对称.要在平面直角坐标系中作出一个图形关于坐标轴对称的图

形，只要先求出已知图形中的一些特殊点(如多边形的顶点)的对称点的坐标,描出并

顺次—这些点，即可得到这个图形关于坐标轴对称的图形注意:所我的特殊点，一定

要能确定原图形，否则作出的图形与原图形不一定成轴对称.

【自我检测】

1.如图,△ABC和^ABC关于直线1成轴对称，连接AA、CC分别交直线1于点D、

E若AD=2cm,C'E=lcm,则AA,=_cm,CE=_cm.

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2.已知点P(2a+b,-3a)与点P<8,b+2).若点P与点P关于x轴对称，则a=一b=_;若点P

与点P关于y轴对称，则a=_,b=_.

3.(1)已知△ABC及点A的对称点A；请作出对称轴直线1,并画出△ABC关于直线1

的对称图形.

(2)如图，把下列图形补成以直线1为对称轴的轴对称图形.

4.平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,4),B(2,4),C(3,-l).

(1)试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；

(2)求4ABC的面积；

(3)若△AIBICI与△ABC关于x轴对称，写出Ai、Bi、Ci的坐标并在坐标系中作出

△AiBiCi.

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参考答案

【预习速填】

1.【答案】形状，大小，对称点，垂直平分

2.【答案】对称点，连接，对称点

3.【答案】(x,-y),(-x,y)

4.【答案】连接

【自我检测】

1.【解析】由轴对称可知，AA,=2AD=4cm,CE=C'E=lcm。

【答案】4,1

2.【解析】关于x轴对称的点的坐标横坐标相等，纵坐标互为相反数；关于y轴

对称的点的坐标纵坐标相等，横坐标互为相反数。

【答案】2,4,6,-20

3.【解析】⑴

⑵

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4.【解析】（1）如图所示

(2)SAABC=|X(2-0)X[4-(-1)]=5

(3)AI(0,-4),BI(2,-4),CI(3,1),作图⑴.

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第十八章轴对称

13.3等腰三角形

【预习速填】

1等腰三角形的性质.有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.等腰三角形的性质有

两条:性质1,等腰三角形的两个—相等(简写成“等边对等角”);性质2,等腰三形的顶

角平分线、底边上的中线、—相互重合(简写成“三线合一”)的性质常用来证明相

关的线段或角相等或相关的线与线之间的垂直关系，如:如图，在△ABC

中，①YAB=AC,ZBAD=ZCAD,BD=_,

±_.(2)VAB=AC,BD=CD,ZBAD=_,

±_.(3)AB=AC,AD1BC,ZBAD=_,BD=_.

A

BDC

2.等腰三角形的判定方法.判定一个三角形是否是等腰三角形,有两种方法:①定义

法运用等腰三角形的概念“有两条边_的三角形是等腰三角形”直接判定:②用等腰

三角形的判定定理“如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也来

判定.补充:如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那这个三角形是

三角形.

已知等腰三角形底边长为a,底边上的高的长为h,作出这个等腰三角形的步骤如

下，⑴作AB=_。)作出AB的—，与AB交于D;⑶在MN上取一点C,使DC=_;(4)

连接AC,4ABC即为所求.

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3.等边三角形的性质.因为等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形具等腰

三角形的所有性质.等边三角形的三个内角都一并且每一个角都等于—，等边三

角形是有一条对称轴的轴对称图形.

4.等边三角形的判定.等边三角形的判定方法有很多种:①定义法，证明三角形的边

相等;②证明三角形的三个内角相等;③证明三角形是等腰三角形，且有内角是这

三种方法是相互联系的，要会灵活运用.

5.含30。角的直角三角形的性质用两个全等的含30。角的直角三角尺，拼出一个等

边三角形，由此分析得到:在直角三角形中，如果一个锐角等于30。,那么它所对的直

角边等于斜边的—.用符号语言表示:如图，在△ABC

中,NC=9()o,NA=30。,二BC=J_.

拓展:在直角三角形中，若一直角边等于斜边的一半,该直角边所对的角为

【自我检测】

1.等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为40°,则底角为.

2.如图,在4ABC中，D、E是BC边上的三等分点，AAED是等边三角形,则

ZBAC=.

3.下列说法中:①有两个角相等的三角形是等边三角形;②有两个角等于60°的三

角形是等边三角形;③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形;④三个角都相

等的三角形是等边三角形正确的是(填序号).

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4.在RtZSABC中，NC=90°，/B=2NA,贝D/A=,ZB=,AB=BC.

5.一个三角形的三个内角的度数之比为1:2:3,最长边长为8,则最短边长为_

6.如图，在RtAABC中，ZABC=90°,BD1AC于D,且NA=60°,BD=4cm,则BC=

7.如图，AB=AE,BC=ED,ZB=ZE,AM±CD,垂足为点M,求证：CM=DM.

8.如图,在4ABC中，AB=AC,ZA=30°,BF=CE,BD=CF,ZDFE的度数.

9.如图,AC和BD相交于点0,且AB〃DC,0A=0B,求证:0C=0D.

10.已知在4ABC中，ZA=ZB=ZC,求证:AB=AC=BC.

11.已知:如图,AABC是等边三角形,BD是中线，延长BC到E,使CE=CD求证:DB=DE

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12.已知：如图，在RtaABC中，NACB=90°,CD是高，NA=30°.求证:BD』AB.

4

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参考答案

【预习速填】

1.【答案】底角，底边上的高，CD,AD,BC,ZCAD,AD,BC,ZCAD,

CD

2.【答案】相等，相等,等腰，a,垂直平分线MN,h

3.【答案】相等,60°,3

4.【答案】60°

5.【答案】一半，AB,30°

【自我检测】

1•【解析】作图可知，分两种情况。利用等腰三角形两底角相等。

【答案】25°或65°

2.【解析】由题可知，BD=DE=EC=AD=AE,因此NADE=NAED=NDAE=60°,ZDAB=

ZDBA=ZEAC=ZECA=30°,因此NBAC=NBAD+NDAE+NEAC=120°

【答案】120°

3.【解析】有两个角相等的三角形一定是等腰三角形，但不一定是等边三角形；

有两个角都是60°的三角形一定是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形

一定是等边三角形；三角都相等的三角形一定是等边三角形。

【答案】②③④

4.【解析】由题可知，ZA+ZB=ZA+2ZA=3ZA=90°,因此NA=30°,Z

B=60°,直角三角形30°角所对的边等于斜边的一半。

【答案】30°,60°,2

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5.【解析】由题可知，该三角形三角度数分别为30°,60°,90°,因此30°

角对的直角边是斜边的一半，可知最短变长为4.

【答案】4

6.【解析】由题可知，ZC=30°,因此在直角三角形BDC中，BC=2BD=8cmo

【答案】8cm

7.【解析】连接AC、AD.VAB=AE,ZB=ZE,BC=ED,

.,.△ABC^AAED,.*.AC=AD.XVAMICD,.*.CM=DM.

8.【解析】AB=AC,NA=30°,/.ZB=ZC=75O，贝!]NFEC+NCFE=105°.又：BF=CE,

ZB=C,BD=CF,...△BDF之△CFE,/DFB=NFEC,

/.ZDFE=180°-(ZDFB+ZCFE)=180°-(ZFEC+ZCFE)=180°-105°=75°

9.【解析】0A=0B,.,.ZA=ZB.VAB#DC,.\ZA=ZC,ZB=ZD,A.ZC=ZD,Z.

0C=0D

10.【解析】ZA=ZB,.\AC=BC,同理有AC=AB,AB=AC=BC

11.【解析】证明：依题意可知,BD为NABC的平分线，••./CBD=|NABC=|NACB.

CE=CD,AZE=ZCDE.ZACB=ZE+ZCDE=2ZE,AZE=ZCBD,Z.DB=DE

12.已知：如图，在RtAABC中，ZACB=90°,CD是高，ZA=30°.求证:BD』AB.

4

【解析】•.,在RtAABC中，NA=30°,

ABC^AB.VZBCD+ZDCA=ZA+ZDCA=90°,/.ZBCD=ZA=30°,

2

24

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第十九章轴对称

13.4课题学习最短路径问题

【预习速填】

1最短路径问题.求最短路径问题要分两种情况:①求已知直线上一点与直线异侧

两点所连线段的和的最短问题,解决方法是只要连接这两点,所得的线段与直线的

交即为所要确定的点;②求已知直线上一点与直线同侧两点所连线段的和的最短

问题,解决方法是只要找到其中一个点关于这条直线的—,连接对称点与另一个

点,所得的线段与该直线的交点即为所要确定的点.

总结:在解决最短路径问题时,我们通常利用_、一等变化把已知题转化为容

易解决的问题,从而作出最短路径的选择.

【自我检测】

1.如图,A、B是两个蓄水池,都在河流a的同一侧,为了方便灌溉作物,要在河边建

抽水站，将河水送到A、B两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短?试

在图中画出该点.（不写作法，但要保留作图痕迹）

B

参考答案

【预习速填】

1.【答案】对称点，轴对称，平移

【自我检测】

1•【解析】点C即为所求作的点，如图

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第十四章整式的乘法与因式分解

14.1整式的乘法

【预习速填】

1.同底数幕的乘法法则.用公式表示是:a"•a"=—（m,n都是正整数），即同底数事

相乘，底数不变，指数相加理解同底数基的乘法法则要注意以下几点:①同底数累

的乘法法则只有在底数相同时才能使用，其中法则中的a可以是单项式,也可以是

多项式,如果底数是多项式时，要把底数当作一个整体看待;②单个字母或数字可

以看成指数为一的累，进行同底数幕的运算时，不能忽略了指数为1的基:③对

于底数为负数时事的符号由指数的奇偶性确定：当指数为奇数时,符号为—:当指

数为偶数时,符号为—.

拓展:①同底数基的乘法法则对于3个或3个以上同底数基相乘同样适用，即

a〜a"…a"=a…"（m,n,…，p都是正整数）；②同底数幕的乘法法则的逆用产=

（m,n都是正整数）.

2.事的乘方法则.用公式表示是：（aro）"=（m,n都是正整数），即幕的乘方,底数

不变,指数相乘运用此法则时要理解以下几点:①底数a可以是单项式,也可以是

习多项式,在计算过程中，要注意底数的符号;②不能把事的乘方与同底数易的乘

法混淆,其相同点都是底数不变,不同点是同底数幕的乘法是指数,而累的乘

方材是指数.

拓展:累的乘方法则可以推广，即[（a”）"]=（m,n,p都是正整数）；幕的乘方

法则可以逆用，即建=（a"）。=—（m,n都是正整数）.

3.积的乘方法则.用公式表示是（ab）”=_（n为正整数），即积的—,等于把的每一

个因式分别一,再把所得的毒相乘,理解时注意以下几点:①幕的底数是乘积的形

式，其中“a”和“b”可以代表一个单项式，也可以代表一个多项式;②运用积的

乘方法则时,应先看积中有哪些因式,再把每一个因式分别乘方,不能漏掉任何一

个因式;③字母的系数应连同它的符号一起乘方,系数是负数时,要注意符号.

拓展：当积中的因式为三个或三个以上时，积的乘方法则仍然适用，即（abc）n=

（n为正整数）；积的乘方法则还可以逆用，即abn=—（n为正整数）.

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4.单项式与单项式相乘.两个单项式相乘的实质是按照乘法的运算律,将其转化为

有理数的乘法和同底数暴的乘法进行运算,具体步骤可分为:①系数相乘:②同底

数嘉相乘;③只在一个单项式里出现的字母，连同它的指数一起作为.注意在

计算中不要漏乘和出现符号错误.

5.单项式与多项式相乘.单项式与多项式相乘的实质是利用分配律将其转化为单

项式乘单项式的问题,其结果是一个—,其项数与因式中多项式的项数—.在

计算过程中，要注意符号问题，同时切记不要漏乘项,特别是常数项.

6.多项式与多项式相乘.用两种方法表示出扩大后的绿地面积,分别为(a+b)(p+q)

和(ap+aq+bp+bq),由此得出等式,从中抽象出多项式与多项式相乘的

实质是将多项式乘多项式转化为单项式与多项式相乘的问题,最后转化为几个单

项式乘积的—的形式,多项式与多项式相乘的结果仍为,在进行多项式乘多

项式的运算时,要注意符号问题,不漏项,且展开式中有同类项的要合并同类项,在

合并同类项之前,积的项数应等于两个多项式的项数之一.

7.同底数基的除法.由于同底数事的乘法运算与除法运算互为逆运算，故同底数累

相除,底数不变，指数—.用公式表示是am4-an=—(aWO,m,n都是正整数,并且

m>n),理解时注意以下几点:①底数a可以是一个数,也可以是单项式或多项式;②

公式成立的条件是a#0,当a=0时,a"=0,除数为0无意义.

拓展:①同底数基的除法法则可以推广到三个或三个以上的同底数幕相除，即a"14-

—a—