高中数学《三角函数模型的简单应用》导学案

F.第IB章三角函数

DIYlZHANG1.6三角函数模型的简单应用

卜课前白主预习

1.三角函数作为描述现实世界中B周期现象的一种数学模型,可

以用来研究很多问题，在刻画②周期变化的规律、预测其未来等方面

都发挥着重要作用.实际问题通常涉及复杂的数据，因此往往需要用

到计算器或计算机.

2.建立三角函数模型的步骤

1自诊小测

1.判一判(正确的打，错误的打“义”)

(1)当函数y=Asin(3r+o)(A>0,①>0),%£[0,+8)表示一个振

动量时，周期T=引，频率六索)

(2)函数/(%)=Asin(Gx+9)的图象的两个相邻对称轴间的距离为

一个周期.()

答案(1)V(2)X

2.做一做

⑴某人的血压满足函数式加)=24sin(160M+110,其中山)为血

压(mmHg),/为时间(min),则此人每分钟心跳的次数为()

A.60B.70C.80D.90

答案C

解析7=-=-^-=—min

解忻1co160兀80mm，

又尸圣十=80(次)，故每分钟心跳次数为80.

80

(2)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s

cm和时间is的函数关系式为s=6sin(2m+",那么单摆来回摆动一

次所需的时间为()

A.27rsB.7TSC.0.5sD.1s

答案D

2jr

解析单摆来回摆动一次所需的时间为T=^=ls.

Z71

(3)(教材改编P65练习T1)如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳

子各点的位置图，经过;周期后，乙的位置将移至()

A.甲B.乙C.丙D.丁

答案C

解析相邻的最大值与最小值之间间隔区间长度为半个周期.

(4)电流/(A)随时间/(s)变化的关系式是/=55足(100兀，+野，则当

击s时,电流I为A.

答案1

解析当?=2005时，/=5sin(100兀义吉5+北

=5si“+*=5cosg=S(A).

卜课堂互动探究

探究1与三角函数图象有关的问题

例1如图是函数y=sinx(OW%W兀)的图象，A(x,y)是图象上任

意一点，过点A作入轴的平行线，交其图象于另一点B（A,B可重

合）.设线段A3的长为则函数八%）的图象是（）

7T

解析当％=］时，A,8两点重合，此时段）=0,故排除C,D；

当》《。，当时，於―关于％的一次函数，其图象是一条线

段.所以选项A正确.

答案A

拓展提升

用建模方法解决函数图象与解析式问题

解决此类问题的关键是将实际意义与函数模型y=Asin（①x+°）

的性质相结合，转化为数学问题去解决.

【跟踪训练11动点A（x,y）在圆X2+y2=l上绕坐标原点沿逆

时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知时间/=0时-，点A的坐标

是层，2)f则当0W/W12时-，动点A的纵坐标y关于/(单位：秒)的

函数的单调递增区间是()

A.[0,1]B.[1,7]

C.[7,12]D.[0,1]和[7/2]

答案D

解析由已知可得该函数的最小正周期为7=12,

则(0=爷=劳.又当1=0时，A的坐标为区坐)，

...此函数为产sin毋+m，00,12],可解得此函数的单调递增

区间是[0,1]和[7,12].

探究2三角函数在物理中的应用问题

例2交流电的电压E(单位:V)与时间"单位：s)的关系可用E

=220\风由(100兀/+看)来表示，求：

(1)开始时电压；

(2)电压值重复出现一次的时间间隔；

(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.

解(1)当/=0时，E=11OV3(V),即开始时的电压为11即V.

27r1

(2)r=T00^=50(s),即时间间隔为。02s.

(3)电压的最大值为22附V,当100^+1=^,即片壶s时第

一次取得最大值.

拓展提升

三角函数在物理中的应用

三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹

簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，解决这类问题时尤其要弄

清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法.

--------••-------

04

【跟踪训练2]如图所示，点O为做简谐运动的物体的平衡位

置，取向右的方向为物体位移的正方向，若已知振幅为3cm,周期为

3s,且物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时.

(1)求物体离开平衡位置的位移％(cm)和时间*s)之间的函数关系

式；

(2)求k5s时一，该物体的位置.

解(1)设位移％(cm)和时间*s)之间的函数关系式为

x=Asin(①1+夕)(4>0,①>0,0W9V2兀)，

2冗

则由振幅为3cm,周期为3s,可得A=3,T=~~=3

co9

又物体向右运动到A点(距平衡位置最远处)开始计时，

・•・当，=0时，x=3sin9=3,/.sin^=l.

JI

V0^^<2K,.\(p=2,

从而所求的函数关系式是％=3sin停f+皆=3cos芥.

(2)令f=5,得％=3cos^—1.5,

故t=5s时，该物体在0点左侧且距0点1.5cm处.

探究3三角函数模型的简单实际应用

例3在美国波士顿，估计某一天的白昼时间的小时数。⑺的表

达式是Q(/)=3sin京]L79)]+12,其中/表示某天的序号，r=0表

示1月1日，以此类推.

(1)问哪一天白昼最长？哪一天最短？

(2)估计在波士顿一年中有多少天的白昼超过10.5小时？

解(1)白昼时间最长的一天，即。⑺取得最大值的一天，此时/

=170,对应的是6月20日(闰年除外)，类似地，/=353时，。⑺取

得最小值，即12月20日白昼最短.

(2)。⑺>10.5,即3sin[磊«—79)]+12>10.5,

I-2TTJ1

二.sin荻Q—79)>一],/e[0,365],

49<f<292,292—49=243.

所以约有243天的白昼时间超过10.5小时.

拓展提升

解三角函数应用问题的基本步骤

【跟踪训练3】某地昆虫种群数量在七月份1〜13日的变化如

图所示，且满足y=Asin(①%+°)+仇力>0,^>0).

（1）根据图中数据求函数解析式；

（2）从7月1日开始，每隔多长时间种群数量就出现一个低谷或

一个高峰？

解（1）由图象可知ymax=900,ymin=700,

且A+Z?=ymax,—A+Z?=》min,

.'max—，min900—700ymax+'min

..A=-----------=-----2-----=10°，b=-----------=800,

27rjr

且T=12=,，所以

CDO

将（7,900）看作函数的第二个特殊点应用专义7+9=5「.9=一号.

jr27r

因此所求的函数解析式为尸100sin（1x—竽）+800.,⑵由图可知,

T19

每隔半周期种群数量就出现一个低谷或高峰，又;竽=6..•.从7月

1日开始，每隔6天，种群数量就出现一个低谷或一个高峰.

探究4数据拟合问题

例4已知某海滨浴场的海浪高度y（米）是时间*小时）的函数，

其中0W/W24,记y=/m，下表是某日各时的浪高数据：，

t03691215182124

y1.51.00.51.01.51.00.50.991.5

经长期观测，y=/⑺的图象可近似地看成是函数旷=48$①f+b的

图象.

(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式；

(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，请依

据(1)的结论，判断一天内的8：00到20：00之间，有多少时间可供

冲浪者进行活动？

JT

解(1)由表中数据可知，7=12,所以①=耳.

又f=0时,y=1.5,所以A+Z?=1.5；f=3时，y=1.0,得♦=

1.0,所以振幅为:1，函数解析式为y，1c7osr9+l(0WW24).

(2)因为>>1时，才对冲浪爱好者开放，

1兀兀

所以)=呼051+1>1,COS^r>0,

兀兀71

2E—2<下<2E+](A£Z),

即12Z-3V/V12A+3(A£Z).

又0WW24,

所以0W/V3或9<t<15或21VW24,

所以在规定时间内只有6个小时冲浪爱好者可以进行活动，即9

<r<15.

拓展提升

建立三角函数拟合模型的注意事项

(1)在由图象确定函数的解析式时，注意运用方程思想和待定系

数法来确定参数.

(2)在应用三角函数模型解答应用题时，要善于将符号、图形、文

字等各种语言巧妙转化，并充分利用数形结合思想直观地理解问题.

【跟踪训练4]设y=/⑺是某港口水的深度M米)关于时间《小

时)的函数，其中0W/W24.下表是该港口某一天从0时至24时记录

的时间/与水深y的关系：，

t03691215182124

y1215.112.19.111.914.911.98.912.1

经长期观察，函数y=/⑺的图象可近似地看成函数y=k+Asin(cot

+9)的图象.下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函

数是()

TT

A.y=12+3sin蒙,re[0,24]

B.y=12+3sin备+，，£[0,24]

71

C.y=12+3sin谈re[0,24]

D.y=12+3sin后f+升[0,24]

答案A

解析对表中数据作近似处理，得下表：

t03691215182124

y1215129121512912

7T

可见k=且T—・co=

12,A=3,12,♦To.

又f=3时，y=159代入选项检验得正确答案A.

f------------------------------------10^黜穿1--------

运用三角函数模型解决问题的几种类型

(1)由图象求解析式：首先由图象确定解析式的基本形式，例

如：y=Hsin(s;+e),然后根据图象特征确定解析式中的字母参数，

在求解过程中还要结合函数性质.

(2)由图象研究函数性质：观察分析函数图象，能求单调性、奇

偶性、对称性、周期性.

(3)利用三角函数研究实际问题：首先分析、归纳实际问题，抽象

概括出数学模型，再利用图象及性质解答数学问题，最后解答出实际

问题.

卜课堂达标自测

1.与图中曲线对应的函数解析式是（）

A.y=|sinx|B.y=sin|x|

C.y=_sin|x|D.>,=—|sinx|

答案C

解析注意题图所对的函数值正负，因此可排除选项A,D.当

%£（0,兀）时，sin|x|〉O,而图中显然是小于零，因此排除选项B.

2.如图是函数y=Asin（①x+e）+2（A>0,0>0,|创<兀）的图象的

一部分，则它的振幅、周期、初相分别是（）

4兀71

T=F，（

A.A=3,3’p—~76

-,«e4兀3瓦

B.A=1,T—3,（p—4

C,.e47r37r

C.4=1,T=w，9=­I

一,.47rn

（

D.A=],T-3Qt/p——z6

答案C

解析由图象，知43y—1=1,T1=57yr-Jr1=2ny,则丁=拳47rco=

笔=普=，.由'^X1'+9=4+2E,%£Z,得夕=一齐+2匕r,*Z.令

147TZOZrZr4

T

攵=0,得9=一呈

3.一种波的波形为函数y=—sin自的图象，若其在区间[0,4上

至少有2个波峰（图象的最高点），则正整数f的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

答案C

JT

解析函数y=-sin/x的周期T=4且％=3时y取得最大值1,

因此27.

4.如图所示是一弹簧振子做简谐运动的图象，横轴表示振动的

时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是

答案尸25m障什才

解析设函数解析式为y=Asin(M+9),

4

则A=2,由图象可知T=2X(0.5—0.1)=亍

.2兀5兀5兀7T7T

••CO=丁=c/.—X0.1+^=2-9=不

...函数的解析式为y=2sin佟/+,.

5.已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的

位移s(cm)随时间*s)的变化规律为s=4sin(2，+||,00,+℃).用

“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：

(1)小球在开始振动。=0)时的位移是多少？

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？

(3)经过多长时间小球往复振动一次？

解列表如下，

_7171K7兀5瓦

t

612312~6

7137r

0712冗

2T

；2崔

sin010—10

s040—40

描点、连线，图象如图所示.

所以小球开始振动时的位移是2小cm.

(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和一

4cm.

(3)因为振动的周期是兀，所以小球往复振动一次所用的时间是兀

卜课后课时精练

A级：基础巩固练

一、选择题

1.已知函数八%)=2sin(Q)x十°XG＞。)的部分图象如图所示，则下

列不可能是函数"x)的对称中心的是()

A.京°)

B.(卷0)

C.厚0)

D.唇0)

答案B

解析)=与一言解得丁=兀一•.①=2,又图象过点借2),

...2sin(2X衿+9)=2,则夕=一鼻+2航，kGZ,.\Xx)=2sin(2x一卷,

...《理=2sin(2义需一§=—2W0,...借，0)不可能是函数人%)的

对称中心，故选B.

2.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场

的人流量满足函数F(0=50+4sin|(^0),则在下列哪个时间段内人

流量是增加的？()

A.[0,5]B.[5,10]C.[10,15]D.[15,20]

答案C

解析由题意，得/⑺=50+4sig«N0),

71/71

则由2br—/W/W2E+],kQZ,

得4E—兀，攵£Z.

又''2()，

当％=0时，函数尸⑺=50+4si戒的递增区间为[0,兀],当k=

1时，函数fV)=50+4sig的递增区间为[3兀，5呼V[10,15]C[37r,

5加],

二.此时函数单调递增.故选C.

3.一根长/cm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆

动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间*s)的函数关系式是s=

3COS[AJ|Z+^其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时,

线长/等于()

A.&・・二＞

71B2o兀兀C~?D4冗一./

答案D

解析因为周期丁=耳，所以m

-IS.

则f・

4.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心。距离水

面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）

与时间*秒）满足关系式y=Asin（口f+°）+2,贝！J（）

2兀Ac

A・⑴==2兀,A=3B.①==]5，A=3

-271ALe15

C.①=[<,A~~5D•-9A=5

152兀

答案B

解析,.,y=Asin（ttzx+9）+2,最高点离平衡位置距离是3,「.A

=3...,水轮每分钟旋转4圈，

.•.转动一周为一个周期，，T=15秒，①=写27r=管2Ji.

故/=得，A=3.

AB

5.如图，有一广告气球，直径为6m,放在公司大楼上空，当行

人仰望气球中心时，测得仰角N84C=会测得4=焉.若£很小时;

可取sin£^b试估算该气球的高8c的值约为()

A.70mB.86mC.102mD.118m

答案B

、7TCD7T

解析由已知，CD=30=］父外・=于=［二口,••AC

m,1OU/.iC0z=sin61Ov

=^-X3^172(111),/.BC=ACsin^=86(m).

二'填空题

6.如图为某简谐运动的图象，这个简谐运动需要s往返

一次.

答案0.8

解析由图象知周期7=0.8—0=0.8,则这个简谐运动需要0.8s

往返一次.

7.某城市一年中12个月的平均气温y与月份x的关系可近似地

兀

用函数y=a+Acos6)(%=1,2,3,…，12)来表示，已知6月份的

月平均气温最高，为28C,12月份的月平均气温最低，为18C,则

10月份的平均气温为℃.

答案20.5

解析当％=6时，ymax=a+A=28,当％=12时，ymin=a—A=

18,解得a=23,1=5.

兀

所以当％=10时，y=23+5cos£10—6)=20.5.

8.下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度//(m)在某天

0〜24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为

th/m

6

3

069

315/182124〃h

6

答案//=—6sin0,rG[0,24]

2兀

解析